qim36 - Docenti Università di Siena

Unicità del T.I.R. e Interessi
Cumulati: un Commento
Quaderno n. 36
Istituto di Matematica
Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie
Università degli Studi
Siena
SUMMARY : In riferimento agli Articoli Ò2Ó, Ò3Ó e Ò10Ó, apparsi sulla Rivista Economie et
Societè, di E. M. Bezza e M. Jegers concernenti l'utilizzazione del concetto degli Interessi
cumulati al fine di ottenere l'unicità del Tasso Interno di Rendimento ÐT.I.R.Ñ di un dato
progetto, si stabiliscono criteri di dominanza tra la condizione fornita da E. M. Bezza ed
altre a suo tempo presentate in letteratura, al fine di una chiarificazione e dei concetti e
delle procedure adottate dai vari Autori .
Si illustra in modo generale la procedura a cui sono riconducibili queste come gran
parte delle condizioni sufficienti di unicità del T.I.R. oggi note e si ribadisce anche la
validità di una condizione non solo di unicità ma anche di significatività economica a cui il
Tasso Interno di Rendimento deve soddisfare per poter fornire un criterio di valutazione
coerente e privo di ambiguità.
La versione in francese di questo Articolo è stata pubblicata sulla Rivista Economie
et Societè, n.7 - anno 1988 .
1  INTRODUZIONE
Molti Autori si sono negli anni occupati della ricerca di sempre più ampie
condizioni sufficienti a garantire l'unicità del T.I.R. di un dato progetto, con cash-flows
assegnati:
F! ß F" ß ÞÞÞß F8
problema facilmente riconducibile a quello della ricerca delle radici dell'equazione:
8
F> † Ð1  <Ñ8> œ 0 , sotto le condizioni
Ð1Ñ
>œ!
8
Ð2Ñ F!  0 e
F>  0 ,
>œ!
condizioni queste sufficienti a garantire la presenza di almeno una soluzione positiva per
l'equazione considerata.
Lo scopo di questa nota è quello di far vedere come la condizione fornita da E. M.
Bezza in Ò2Ó sia dominata dalla condizione di unicità, sempre per T.I.R. positivi, fornita da
R. Bernhard in Ò1Ó, e quindi costituisca solo una condizione sufficiente a soddisfare un'altra
condizione sufficiente, già nota in letteratura.
Il metodo di analisi che ci permetterà di raggiungere rapidamente il nostro scopo è
quello fornito dal cosiddetto Teorema di Vincent Ðvedi Ò18ÓÑ, che qui ci limitiamo
brevemente a richiamare .
2  IL TEOREMA DI VINCENT
Questo Teorema può essere così formulato:
 Sia dato il polinomio di grado n nell'incognita B :
8
F3 † B83 .
Ð3Ñ
3œ!
Se esso ammette solo radici distinte, allora, dopo un numero finito di trasformazioni
sulla incognita B del tipo :
1
B3" œ c3 
, con B! œ B , con c3 − ™ ,
B3
si perviene ad una equazione trasformata i cui coefficienti presentano al più una variazione.
Da questo Teorema possiamo ricavare un metodo di indagine per la ricerca del
numero delle soluzioni positive della Ð3Ñ nonchè per la determinazione di un intervallo in
cui ogni radice è contenuta .
Consideriamo anzitutto le due sostituzioni :
H! : B œ B! œ 1  B" e
1
H" : B œ B! œ
.
1  B"
Se il polinomio ottenuto mediante la prima sostituzione presenta nessuna o una sola
variazione nei coefficienti della nuova incognita B" , allora per il polinomio Ð3Ñ ci saranno
nessuna o una sola soluzione B nell'intervallo B À 1  B   ∞ ; similmente, se i coefficienti del polinomio ottenuto mediante la seconda trasformazione presentano nessuna o una
sola variazione, ci sarà un ugual numero di soluzioni per il polinomio Ð3Ñ nell'intervallo
B À 0  B  1.
Se una trasformazione conduce ad un polinomio con un numero di variazioni
maggiore od uguale a due, in base alla Regola dei Segni di Cartesio, non siamo ancora in
grado di trarre una conclusione definitiva .
In questo caso si può proseguire componendo, mediante uno schema ripetitivo ad
albero, in tutti i possibili modi, quante si vogliano trasformazioni del tipo H! e H" .
Componendo, ad esempio, due trasformazioni, si presentano le seguenti quattro
possibilità :
1  B#
H"" : B œ
;
2  B#
1
H!" : B œ
;
2  B#
2  B#
H"! : B œ
;
1  B#
H!! : B œ 2  B# ;
mediante le quali, per 0  B#   ∞ , in base al numero delle variazioni nei coefficienti
dei polinomi ottenuti con queste trasformazioni, potremo avere indicazioni sulla presenza
di radici positive del polinomio Ð3Ñ, rispettivamente, negli intervalli:
1
1
B1 ; 0B
; 1B2 e 2B ∞ .
2
2
Se il polinomio Ð3Ñ non ha soluzioni multiple, comunque, per il Teorema di
Vincent, dopo un numero finito di queste trasformazioni, otterremo dei polinomi trasformati i cui coefficienti presentano al più una variazione .
3  IL CALCOLO DEI COEFFICIENTI
Come detto da vari Autori Ðvedere ad esempio Ò9Ó, Ò11Ó e Ò14ÓÑ, la laboriosità dei
calcoli necessari ad eseguire le varie trasformazioni è fortemente diminuita dal calcolo di
particolari tabelle, per realizzare le quali si richiedono solamente addizioni.
Se la trasformazione da operare è la H! , la prima riga della tabella è data dai
coefficienti del polinomio, in ordine di indice crescente:
F! ß F" ß F# ß ÞÞÞß F8" ß F8 .
Il primo elemento della seconda e di ogni altra riga successiva è F! , ed ogni
elemento della tabella si ottiene mediante la somma dei due elementi che gli stanno,
rispettivamente, a sinistra e sopra nella tabella .
Se, con notazione matriciale, denotiamo con A3ß4 l'elemento della tabella situato
sulla 3-esima riga e 4-esima colonna, possiamo formalizzare quanto precedentemente detto
nel seguente modo:
Ú A!ß4 œ F4
:0 Ÿ 4 Ÿ 8;
:0 Ÿ 3 Ÿ 8  1;
Û A3ß! œ F!
Ü A3ß4 œ A3"ß4  A3ß4" :1 Ÿ 3 Ÿ 8; 1 Ÿ 4 Ÿ 8.
I coefficienti del polinomio trasformato sono dati dagli elementi della diagonale :
eA8"ß! ß A8ß" ß A8"ß# ß ÞÞÞß A#ß8" ß A"ß8 f
ovvero dagli elementi A3ß4 per cui 3  4 œ 8  1 , 0 Ÿ 3 Ÿ 8  1 , 0 Ÿ 4 Ÿ 8 .
Similmente per la trasformazione H" , invertendo però gli elementi della prima riga,
ovvero disponendo in essa i coefficienti del polinomio Ð3Ñ in ordine di indice decrescente :
F8 , F8" , ... , F" , F! .
In questo secondo caso il procedimento può essere formalizzato mediante le :
Ú A!ß4 œ F84
:0Ÿ4Ÿ8;
Û A3ß! œ F8
Ü A3ß4 œ A3"ß4  A3ß4"
:0Ÿ3Ÿ81;
:0Ÿ3Ÿ8;0Ÿ4Ÿ8.
I coefficienti del polinomio trasformato sono ancora dati dagli elementi A3ß4 della
diagonale tali che 3  4 œ 8  1 , 0 Ÿ 3 Ÿ 8  1 , 0 Ÿ 4 Ÿ 8 .
Per iterare quante si vogliono trasformazioni del tipo H! e/o H" basta prendere
come prima riga della tabella i coefficienti del polinomio ottenuto mediante l'ultima
trasformazione e disporli in ordine crescente se la trasformazione da eseguire è la H! o
nell'ordine inverso se essa è la H" .
4  GENERALIZZAZIONE DELLA PROCEDURA
Come detto in Ò11Ó e Ò13Ó , il procedimento più generale di utilizzazione del
Teorema di Vincent può essere opportunamente formalizzato.
Osserviamo anzitutto come ogni composizione di quante si vogliano trasformazioni
Ðin numero, ad esempio, di kÑ H! e/o H" possa essere espressa nella forma:
α  " B5
B! œ
, con α, " , # e $ numeri naturali,
#  $ B5
che noi identifichiamo con la :
α  "B
Ðα, # ; " , $ Ñ ¶
.
#  $B
Avremo quindi che :
B œ B! ¶ 0ß 1à 1ß 0
H! : B! œ 1  B" ¶ 1ß 1à 1ß 0
1
H" : B! œ
¶ 1ß 1à 0ß 1
1  B"
ed inoltre :
H! Ò αß # à " ß $ Ó ¶ α  " ß #  $ à " ß $ , e
H" Ò αß # à " ß $ Ó ¶ α  " ß #  $ à αß # .
Se, componendo un numero 5 qualsivoglia di trasformazioni H! e/o H" , abbiamo
ottenuto la :
α  " B5
B! œ
,
#  $ B5
calcolando i limiti, rispettivamente per B5 Ä 0 e per B5 Ä  ∞ , della variabile B! ,
avremo l'intervallo :
α
"
"
α
Ð4Ñ
 B! 
oppure
 B! 
,
#
$
$
#
a seconda che il numero delle trasformazioni H" operate sia pari o dispari, ed il numero di
variazioni nella diagonale della tabella corrispondente sarà una limitazione superiore al
numero delle radici del polinomio Ð3Ñ in questo intervallo.
Tutti gli estremi degli intervalli che si ottengono seguendo questa procedura sono
numeri razionali.
Se uno degli estremi è radice del polinomio trasformato, sia semplice che multipla,
questo comporta l'annullamento di un numero di coefficienti della diagonale finale, a
partire dal termine noto, pari alla molteplicità di detta radice.
Come detto anche in Ò9Ó, Ò11Ó e Ò14Ó, molte sono le proprietà di cui godono queste
tabelle. Elenchiamo le principali :
P1  Ogni riga ha un numero di variazioni di segno minore o uguale a quello della
precedente;
P2  Non occorre calcolare tutti gli elementi di una riga, basta arrestarsi a quello sulla
diagonale;
P3  Se gli elementi della i-esima riga, da A3ß! fino ad A3ß8"3 , non presentano variazioni,
allora il numero delle variazioni degli elementi della diagonale coincide con quello della
sequenza:
eA3ß8"3 à A3"ß8#3 à ÞÞÞà A#ß8" à A"ß8 f ;
P4  Considerando le variazioni di segno negli elementi che si trovano su di un cammino
che parta da un qualunque elemento nella prima colonna e termini all'ultimo elemento della
seconda riga, il loro numero è ancora una limitazione superiore al numero delle radici
positive del polinomio. I cammini più utili, in vista di un risparmio nel numero dei calcoli,
sono quelli costituiti da spostamenti orizzontali - da sinistra a destra - e diagonali - dal
basso verso l'alto;
P5  Considerando anche cammini come nella P4, se da un cammino ad un altro vi è un
decremento nel numero delle variazioni di segno, questo è sempre per un numero pari.
Incontrando cammini con una sola o nessuna variazione di segno, otteniamo delle
limitazioni esatte al numero delle radici del polinomio. Questo però non è vero se il termine
noto del polinomio è nullo. In questo caso il polinomio trasformato ammette tra le sue
radici quella nulla, e le variazioni di segno, da un cammino ad un altro, possono diminuire
anche di un numero dispari, per cui, se in un cammino avessimo una sola variazione di segno, non è detto che questo fornisca una indicazione esatta del numero delle radici.
5  APPLICAZIONI
Esplicitamente o implicitamente, la maggior parte degli Autori che hanno formulato
condizioni sufficienti per l'unicità del T.I.R. hanno attinto a questa procedura che consente,
mediante la composizione di quante trasformazioni si vogliano, ed imponendo poi
condizioni sugli elementi di un qualunque cammino in una qualunque tabella, di formulare
un numero pressochè illimitato di condizioni sufficienti per l'unicità del T.I.R. .
Per un lungo, anche se non completo, elenco di questi lavori, si veda Ò11Ó .
Non appartiene invece a questo filone, tra le altre, la condizione di Soper Ò15Ó , che
riprenderemo nel seguito .
Componendo 5 trasformazioni H! e/o H" , otterremo 25 polinomi, le soluzioni
positive di ciascuno dei quali sono le soluzioni positive del polinomio Ð3Ñ in uno dei 25
intervalli in cui viene suddiviso il semiasse reale positivo, ottenibili mediante le Ð4Ñ.
Basta imporre condizioni che garantiscano una sola variazione di segno nella
diagonale finale di una sola delle 25 tabelle e nessuna variazione in tutte le rimanenti per
avere una condizione sufficiente per un T.I.R. positivo ed unico .
6  RELAZIONE TRA LA CONDIZIONE DI R. BERNHARD E QUELLA DI
E. M. BEZZA
Nell'articolo Ò1Ó R. Bernhard definisce le quantità :
>
83
B> œ
† F3 , 0 Ÿ > Ÿ 8 ,
Œ
>

3
3œ!
e dimostra che se queste presentano una sola variazione di segno, allora il polinomio Ð1Ñ
ammette una sola radice < positiva.
I coefficienti B> altro non sono se non la nuova espressione del polinomio Ð1Ñ,
ottenuta dopo aver effettuato il calcolo delle potenze 1  < 83 .
Essi possono essere considerati anche come il risultato di una trasformazione del
tipo H! effettuata sul polinomio Ð1Ñ, prendendo come sua incognita il binomio 1  < , e
quindi coincidono con la diagonale finale della corrispondente tabella.
Faremo ora vedere come i coefficienti dei polinomi D> che costituiscono gli
Interessi cumulati di E. M. Bezza altro non siano se non gli elementi che formano le
diagonali di questa tabella precedenti la diagonale finale, ovvero gli elementi A>"2ß2 ,
fissato >, > : 0  > Ÿ 8, al variare di 2 : 0 Ÿ 2 Ÿ >  1.
Quindi, se essi sono tutti negativi, e se la cumulata dei flussi di cassa, come
supposto nelle Ð2Ñ, è positiva, la diagonale finale, per le proprietà P1 e P4, presenterà una
sola variazione di segno ed il polinomio Ð1Ñ avrà allora una sola soluzione
< À 1  1  <   ∞, ovvero una sola soluzione < positiva .
Abbiamo allora che :
>
D> œ
3œ!
>
œ
F3 † ˆ 1  <
>3
F3 †
3œ!
5œ!
> >5
Œ
>3
5
Œ
>3
 1‰ œ
>
F3 † 1  <
3œ!
>
5
>3
>
3œ!
>
>3
F3 œ
†< 
3œ!
>
F3 œ

3œ! 5œ!
5
Œ
>3
>
† F3 † < 
>3
† F3 † <5 
F3 ,
5
3œ!
5œ! 3œ!
dalla quale, isolando nella prima sommatoria il valore 5 œ 0 , otteniamo :
> >5
>
>
>3
>3
5
!
D> œ
F
F
F3 ,
†
†
<

†
†
<

3
3
Œ
Œ
5
!
3œ!
3œ!
5œ" 3œ!
e quindi :
œ
5
F3 œ
3œ!
>
>5
Ð5Ñ D> œ
5œ" 3œ!
Œ
>3
5
† F3 † <5 .
Facciamo ora vedere che :
>"
A>"2ß2 † <>2 , 0 Ÿ > Ÿ 8 .
Ð6Ñ D> œ
2œ!
Dato che, come detto in Ò4Ó,
4
345"
A3ß4 œ
† F5 ,
Œ
45
5œ!
sostituendo, avremo :
2
>3
A>"2ß2 œ
† F3 ,
Œ
2

3
3œ!
da cui, sostituendo nella Ð5Ñ, si ha :
>" 2
>3
D> œ
† F3 † <>2
Œ
2

3
2œ! 3œ!
e ponendo >  2 œ 5 , otteniamo:
> >5
>3
† F3 † <5 ,
D> œ
Œ
5
5œ" 3œ!
ovvero la Ð6Ñ, e l'uguaglianza è dimostrata .
La condizione fornita da E. M. Bezza è quindi meno generale di quella di R.
Bernhard, ed ovviamente è solo sufficiente, e non necessaria, come già detto in Ò3Ó, per
l'unicità del T.I.R. positivo .
7  LA CONDIZIONE DI SOPER
Assicurata al polinomio Ð1Ñ, nell'incognita 1  < , l'esistenza di almeno una radice
1  <  0 ovvero <   1 , mediante le condizioni Ð2Ñ, detta <! questa radice, siano :
>
Ð7Ñ
S> <! œ
F3 † 1  <!
>3
Ÿ 0 , a>:0Ÿ>Ÿ81 .
3œ!
Allora, per quanto ipotizzato, S8 <! œ 0 , e la radice <! è unica.
La dimostrazione di questa condizione è matematicamente molto semplice.
Posto, nella Ð1Ñ, 1  < œ B , otteniamo il polinomio Ð3Ñ, e posto 1  <! œ B! , se
dividiamo il polinomio Ð3Ñ per B  B! , le quantità Ð7Ñ altro non sono se non i coefficienti
del polinomio quoziente, e dato che questo non presenta variazioni di segno, per la Regola
dei segni di Cartesio ne discende che la radice <! è unica .
Come detto, tra gli altri, in Ò5Ó, Ò6Ó, Ò7Ó, Ò16Ó e Ò17Ó, alle quantità Ð7Ñ può essere data
anche una chiara interpretazione economica, rappresentando esse i saldi del progetto alla
fine di ogni periodo.
Riproponendo quanto detto in Ò6Ó e Ò7Ó, questo permette di esprimere il progetto
F! ß F" ß ÞÞÞß F8 in uno ed in un solo modo, se valgono le Ð7Ñ, come una successione di 8
operazioni uniperiodali consecutive B>ß>" , B>ß> , 1 Ÿ > Ÿ 8 , tali che :
B>ß> œ  1  <! † B>ß>" ,
B"ß! œ F! ,
B>ß>  B>"ß> œ F> ,
B8ß8 œ F8 ,
se e solo se <! è un T.I.R. del progetto.
Si ha poi che :
>
B>"ß> œ
F3 † 1  <!
>3
e
3œ!
B>"ß>" œ  1  <! † B>"ß> .
Ma si dimostra, vedi Ò8Ó, che :
B>"ß> œ S> <! e che
B>"ß>" œ  1  <! † S> <!
per cui B8ß8 œ F8 implica S8 <! œ 0 , ovvero la Ð1Ñ .
Ovvero, vedi anche Ò7Ó, il T.I.R. è un tasso d'interesse applicato uniformemente ad
operazioni uniperiodali consecutive nelle quali il progetto può essere scomposto in maniera
univoca.
Riprendendo il classico tema della significatività economica del T.I.R., secondo
quanto detto in Ò6Ó e Ò7Ó, ci sembra opportuno ribadire come, se sono soddisfatte le
condizioni Ð7Ñ, in ognuna delle operazioni uniperiodali B>ß>" ,B>ß> il T.I.R. <! abbia
sempre il significato di tasso d'investimento e mai di finanziamento, escludendo così la
possibilità di una sua duplice natura e quindi di un suo uso ambiguo.
Concordando con quanto detto in Ò6Ó e Ò7Ó, è opportuno riaffermare come il T.I.R.
possa essere usato senza ambiguità non quando è unico, ma solo quando, usando la
terminologia del T.R.M. ÐÒ7Ó, Ò16Ó e Ò17ÓÑ, al dato tasso <! , esso è puro Ðper cui è anche
unicoÑ .
La classe dei progetti per i quali il criterio del T.I.R. è valido ed economicamente
significativo è allora solo un sottoinsieme della classe dei progetti a T.I.R. unico .
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