1 Il terminale di un aeroporto ha un tapis roulant per il trasporto dei

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1 Il terminale di un aeroporto ha un tapis roulant per il trasporto dei
C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2009-10
Fisica Generale
08-07-10
ESERCIZIO 1
Il terminale di un aeroporto ha un tapis roulant per il trasporto dei passeggeri attraverso un lungo
corridoio. Un ragazzo che cammina lungo il passaggio pedonale impiega un tempo t1  180 s per
percorrerlo; un uomo con una grossa valigia utilizza il tapis roulant e copre la stessa distanza in un tempo
t2  90 s . Una terza persona utilizza il tapis roulant e inoltre cammina con lo stesso passo del ragazzo.
Quando tempo impiegherà quest’ultima persona per percorrere il corridoio?
Soluzione
Chiamata l la lunghezza del corridoio, la velocità del ragazzo è v1  l t1 , mentre la velocità dell’uomo è
v2  l t2 . La velocità della terza persona è data, per il teorema dei moti relativi, da
1 1
v3  v1  v2  l t1  l t2  l   
 t1 t2 
D’altra parte si ha l  v3 t3 . Per confronto tra le precedenti equazioni si ottiene infine:
t3 
180 s  90 s 
t1 t2

 60 s
t1  t2
180 s  90 s
ESERCIZIO 2
Un corpo di massa m1  3 kg urta contro un secondo corpo di massa m2  5 kg inizialmente fermo. Dopo
l'urto di due corpi procedono attaccati su di un piano orizzontale per un tratto di lunghezza l  35 m . Il
coefficiente di attrito dinamico è  k  0.25 . Calcolare:
a) il lavoro delle forze di attrito;
b) la velocità dei due corpi subito dopo l'urto;
c) la velocità del primo corpo prima dell'urto.
Soluzione
a) Il lavoro fatto dalle forze di attrito è:
W  d  m1  m2  g l  0.25  3  5  kg   9.8m s 2   35 m   686 J ;
b) Essendo questa anche l’energia cinetica dei due corpi subito dopo l’urto si ha, per la loro velocità vd :
Ek , f  Wa  vd 
2Wnc

m1  m2
2  686 J 
 13.1 m s 1 .
 3  5  kg
c) Per quanto riguarda la velocità del primo corpo prima dell'urto, essa si può ricavare dalla
conservazione della quantità di moto:
 m  m2   3  5  kg
m1v1   m1  m2  vd  vd  1
v
13.1 m s 1  34.9 m s 1
m1
3kg
ESERCIZIO 3
Una sfera piena scende partendo da fermo lungo un piano inclinato di altezza h  2.0 m . Calcolare la
velocità del centro di massa della sfera quando essa arriva in fondo al piano inclinato, nei due diversi casi:
a) il piano è liscio e la sfera striscia senza rotolare;
b) il piano è scabro e il moto della sfera è di puro rotolamento un
Soluzione
Chiamata  la inclinazione del piano inclinato, la sua lunghezza è d  h sin  .
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a) Nel primo caso la componente della accelerazione lungo il piano è as  g sin  . La sfera giunge alla
base del piano dopo un tempo t  2d as , con una velocità:
h
g sin   2h g  2  2.0 m   9.8 m s 2   6.26 m s 1 ;
sin 
b) Nel secondo caso la accelerazione della sfera si ricava risolvendo la seconda equazione cardinale
riferita al punto istantaneo di contatto:
mgr sin   I P   I P ac r
dove r è il raggio della sfera, ac l’accelerazione del centro di massa ed I P è il momento di inerzia,
dato per il teorema di Huygens-Steiner da:
7
I P  IC  m r 2  m r 2
5
Risolvendo si ottiene
m g r 2 sin  5
ac 
 g sin 
IP
7
e sostituendo in una equazione come per il caso a) si ottiene
h 5
10
10
vr  t   2 d ac  2
g sin  
hg 
 2.0 m   9.8 m s 2   5.29 m s 1
sin  7
7
7
vs  t   2 d as  2
ESERCIZIO 4
Una macchina di Carnot funziona tra una sorgente calda a temperatura T1 e una sorgente fredda a
temperatura T2  503 K . La macchina assorbe il calore Q1  5550 J e compie il lavoro W  1750 J . Il
calore ceduto alla sorgente a temperatura T2 viene interamente utilizzato da una seconda macchina di
Carnot che utilizza una miscela di acqua e ghiaccio fondente come sorgente fredda. Calcolare
a) la temperatura T1 ;
b) il lavoro compiuto dalla seconda macchina di Carnot;
c) il rendimento complessivo delle due macchine, viste come se fossero una macchina sola.
Soluzione
a) Il rendimento di una macchina di Carnot è
Q  Qc W
T
 a

 1 2
Qa
Qa
T1
da cui si ottiene:
1
 W 
T1  T2  1    735 K ;
 Qa 
b) Il calore ceduto alla seconda macchina è Qc  Qa  W  3800 J . Essa cede calore alla temperatura
T2 '  273.15 K , per cui il suo rendimento è
T '
 '  1  2  0.46
T2
W '   Qa '   Qc  0.46  3800 J   1736 J
c) Il rendimento complessivo delle due macchine si può ottenere direttamente dalla definizione di
rendimento:
W
W  W ' 1750 J  1736 J
tot  tot 

 0.63
Qa
Qa
5550 J
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ESERCIZIO 5
C
Tre cariche identiche di valore q  1 C sono disposte ai vertici di un triangolo
equilatero di lato 2 mm . Calcolare:
a) il potenziale nel punto H posto a metà del lato AB;
b) il campo elettrico nello stesso punto H, specificando modulo, direzione e verso;
c) la velocità con la quale una particella di carica qH  2 C e massa mH  10 g , che
parta da ferma, raggiunge l’infinito.
A
B
H
Soluzione
a) Il potenziale in H è dato da:
VH  VH , A  VH , B  VH ,C  2VH , A  VH ,C
La distanza h tra H e C è h  3 2 l . Si ha quindi:
2 q
1 q
2 q
1 


2

  23.2 MV
4 0 l 2 4 0 h 4 0 l 
3
b) Il campo elettrico in H ha direzione lungo la retta CH, con verso da C ad H. Il suo modulo è originato
dalla sola carica in C, in quanto i campi generati da A e B si compensano lungo la retta AB. Si ha
quindi:
1 q
1
q
1 q
EH  


 2.9 109 V m 1
2
2
4 0 h
4 0  3 
3 0 l 2
l

2


c) La conservazione dell’energia fornisce:
1
2qVH
qVH  mv 2  v 
 96.3 m s 1
2
m
VH 
ESERCIZIO 6
Con riferimento alla figura, si ha un filo rettilineo infinito percorso inizialmente da una
corrente i0  0.4 A diretta nel verso indicato e una spira rettangolare di resistenza
i
R  10  e lati a  5 cm e b  10 cm . Il centro della spira dista dal filo r  80 cm . Ad un
certo istante la corrente nel filo viene ridotta a zero con legge esponenziale i  t   i0 e t  ,
con   10  s . Nell’approssimazione che il campo magnetico sia omogeneo su tutta la
spira, e pari al suo valore in r, calcolare:
a) Il valore della f.e.m. indotta nella spira all’istante t  5  s ;
b) la corrente indotta ii allo stesso istante;
c) il verso in cui circola ii .

d) Si calcoli infine il valore esatto del flusso di B sulla spira.
Soluzione
a) Il campo alla distanza r è dato dalla legge di Biot-Savart:
 i  t  0i0 e t 
B  r, t   0

2 r
2 r
La f.e.m. indotta nella spira è data dalla relazione
d  BS 
d
d   i e t  a b 
0 i0 a b t 
 

  0 0
e 

dt
dt
dt 
2 r
2 r

Il suo valore all’istante t '  5  s è
3
a
r
b
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7
1
2
1
 5 106 s 
0 i0 a b t '   4 10 H m   0.4 A  5 10 m 10 m 
  t '  
e

exp  
  30.3 V 
5
2 r
2  0.8 m  105 s 
 10 s 
b) La corrente indotta è
ii  5  s    / R  30.3 V 10   3.03  A ;
c) Il campo generato dal filo nel punto r è entrante. Il suo valore sta diminuendo per la dipendenza
funzionale della corrente dal tempo. Per la legge di Lenz, il verso di percorrenza della corrente indotta
deve essere tale da generare un campo che si somma al campo generato dal filo e quindi deve essere
orario.

d) Il flusso di B sulla spira si calcola esattamente, con riferimento alla figura,
partendo dal flusso elementare sulla superficie d   b dx indicata in grigio.
b
d   B   B  x  b dx
e integrando da r  a 2 ad r  a 2 :
ra 2
  B, t  

r a 2
B  x, t  b dx 
ra 2
 0i  t 
0i  t  b r  a 2 dx 0 i0 e t  b
ra 2
b
dx


ln x r  a 2 


2 x
2 r a 2 x
2
r a 2
r dx a
7
1
1
0i0 b r  a 2 t   4 10 H m   0.4 A  10 m  0.8 m  0.025m t 

ln
e 
ln
e 
2
r a 2
2
0.8 m  0.025m
 5.0 1010 e t  Wb
4
x