Esercizi 5 – Campo magnetico, forza su carica in moto 1. Due

Esercizi 5 – Campo magnetico, forza su carica in moto
1. Due bobine identiche, di N spire e raggio R, sono percorse dalla stessa corrente i. Esse sono
disposte coassialmente, ad una distanza uguale al loro raggio.
R
R
z
R
Bobine parallele al piano xy
Mostrare che il campo magnetico sull’asse z, intorno al centro di simmetria del sistema, e’
quasi uniforme.
Il campo totale e’ la risultante dei contributi delle due bobine. Ogni bobina si puo’
assimilare ad una spira, quindi i rispettivi contributi si scrivono, per i punti sull’asse z:
Ni
B1
0
R2
2
Ni
B2
0
1
R
2
z
R2
2
R
2
2 32
1
R
2
R
2
z
2 32
Quindi il campo totale sui punti dell’asse z e’:
B
B1
B2
Ni
0
R2
1
2
R
2
z
1
R
2
2 32
Nella regione vicina al centro di simmetria si ha:
z
0
z
R
1
R
2
z
R
2
2 32
Si puo’ in generale sviluppare B(z) in serie di Taylor:
dB
dz
B 0
B z
1 d2B
2! dz 2
z
z 0
z2
....
z 0
Calcoliamo le derivate nell’origine, riscrivendo B come segue:
A
R 1
B z
u
z R
1
z R
dB
du
dB
du
12
A
R 1
B u
u
A 31
R
1
12
1
A 3 54
R
54
31
2
d B
du 2
A
R
u
u
12
u
1
12
u
12
3 54
z 0
A 3 54
R
12
54
2 52
2 52
u
52
12
2 3
12
u
2 32
2 5
2
3 2 u 12 5 21
u 12
32
u 12
0
3
12 5 21
12
15 4 5 4
54
u 12
2
3 2 u
2 32
2 12
u 12
31
1
12
u 12
u 12
1
2 3
1
d2B
du 2
2 32
3
12
2 32
1
1
31
z R 12
1
2 12
12
z 0
2 32
u 12
2 32
2 5
3 54
52
5
15 4 5 4
54
5
32
0
Quindi i primi due coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor sono nulli; si puo’ verificare
che anche il III termine dello sviluppo ha coefficiente nullo. La dipendenza da z quindi e’
del tipo
B z
K1
K2 z R
4
z R
1
che mostra come il campo sia, nella zona centrale, piuttosto uniforme
2. Calcolare la forza per unita’ di lunghezza fra due fili rettilinei indefiniti, paralleli, percorsi
da correnti concordi
B2
F2
i1
F1
i2
B1
Usiamo le due leggi elementari di Laplace:
Campo generato dall’elemento di corrente 1 nei punti del filo 2:
ds rˆ12
d2
2
ds
0
dB1
i1 2
B1
2
d
dB1
0
i1
i1
2 d
0
La direzione e’ quella indicata nella figura, come conseguenza della regola della mano
destra, o del cacciavite, o del cavatappi
Forza esercitata sull’elemento di corrente 2:
dF2
ids 2 B1
dF2
i2 ds2 B1
dF2
ds2
i2
i1
2 d
0
i1i2
2 d
0
3. Una spira rettangolare percorsa da una corrente i2, di lati b e L, e’ immersa nel campo
magnetico generato da un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente i1, come in
figura:
i1
a
i2
b
L
Il campo generato dal filo e’ quello ben noto:
i
2 r
0
B
diretto perpendicolarmente al foglio; nel semipiano in cui si trova la spira esso risulta
entrante nel foglio stesso.
Calcoliamo le forze agenti sui 4 lati della spira:
sui 2 lati orizzontali agiscono forze dirette, rispettivamente
verso il filo (lato superiore), di intensita’
Fa
i
i2 L
2 a
0 1
i2 LB a
in verso opposto al filo (lato inferiore), di intensita’
Fa
b
i2 LB a
i
0 1
b
2
a
b
i2 L
Fa
sui 2 lati verticali agiscono forze uguali e opposte
La risultante e’ quindi una forza verticale, diretta verso il filo, di intensita’:
F
Fa
Fa
b
i
i2 L
2 a
i
0 1
0 1
2
a
b
i2 L
ii L 1
2
a
1
0 1 2
a
b
Volendo comunque calcolare la forza agente su uno dei lati verticali, si puo’ procedere
cosi’:
l’elemento di forza e’ dato dalla solita formula di Laplace; per la forza totale agente sul
singolo lato:
dF
i2 ds B
dF
i2 drB
i
2 r
o 1
B
dF
F
i2 dr
i2
i
i
2 r
o 1
a b
o 1
2
a
dr
r
ii
a b
ln
2
a
o 1 2
4. Un cavo coassiale e’ costituito da un conduttore cilindrico interno di raggio c, in cui scorre
una corrente i, circondato da un conduttore cilindrico cavo, di raggi a (esterno) e b (interno),
nel quale scorre una corrente –i (ossia, uguale e opposta a quella che scorre nel conduttore
interno). Calcolare il campo magnetico in funzione della distanza radiale r.
Si puo’ usare il teorema di Ampere, scegliendo come spira amperiana una circonferenza di
raggio r generico nelle varie regioni radiali:
r<c
B ds
0
i r
C
r2
i 2
c
i r
r2
i 2
c
r2
0i 2
c
B2 r
B
ir
2 c2
B
i
2 r
0
c<r<b
B ds
0
i
C
B2 r
0
i
0
b<r<a
B ds
i
0
i r
C
i r
i
B2 r
r2
b2
a2
b2
0
i1
i
r2
b2
a2
b2
r2
b2
a2
b2
B
b>a
B ds
0
C
B2 r
0
B
0
i
1
2 r
0
r2
b2
a2
b2