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Legge di riempimento dei serbatoi
Po
Po
Ro
2*alfa
Lo
Ho
ro
Si considerino due serbatoi, uno di forma cilindrica ed l'altro di forma conica, aventi la stessa altezza Ho
e lo stesso volume.
Supponendo che siano riempiti di acqua da due identici rubinetti aventi la stessa portata Po,
determinare l'andamento della legge di riempimento ed il grafico dell'altezza del livello del liquido h(t) in
funzione del tempo.
Ho := 100
ro := 50
Po := 1000
2
Volume cilindro := π⋅ ro ⋅ Ho
2
Volume cono :=
Ricordando che:
π⋅ Ho⋅ Ro
3
Volume cilindro = Volume cono, uguagliando le due espressioni si ha:
Ro := ro⋅ 3
Ro = 86.603
Da una analisi trigonometrica si può notare che tangente dell'angolo alfa è uguale a Ro/Ho,
sostituendo nell'espressione del volume del cono si ha:
Volume cono :=
α := atan 
π
3
2
2 Ro
⋅ Ho⋅ Ho ⋅
Ho
2
Ro 

 Ho 
Volume cono :=
Volume cono :=
π
3
π
2
3 Ro
⋅ Ho ⋅
Ho
2
⋅ Ho ⋅ ( tan ( α ) )
3
2
3
Il generico volume occupato dall'acqua fino ad una generica altezza h si ottiene sostituendo nella espressione
precedente il termine Ho3 con il termine h3.
Ricordando che il volume di acqua esistente fino all'altezza h è anche uguale al prodotto della portata P per il
tempo trascorso, si ottiene la relazione che fornisce il livello h in funzione del tempo .
Il tempo di riempimento totale dei due serbatoi si ottiene
dividendo il volume totale del cilindro per la portata P
To :=
Ho⋅ π⋅ ro
Po
2
To = 785.398
A.C. Neve
Le relazioni che forniscono gli andamenti delle due altezze in funzione del tempo sono date da:
t = Volume(h)/portata, da cui:
t := 0.1, 1 .. To
Po⋅ t
hcil( t ) :=
2
π⋅ ro
1
 3⋅ Po⋅ Ho2⋅ t 

hcon ( t ) := 
 π⋅ 2 
Ro


3
100
hcil( t )
hcon( t )
50
0
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
t
La velocità di salita del liquido si ottiene dalla derivata della funzione h(t) rispetto al tempo
d
H1cil( t) := hcil( t)
dt
d
H2con ( t) := hcon ( t)
dt
100
10
H1cil( t )
H2con( t )
1
0.1
0.01
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
t
Come si può notare, all'istante t=150 sec le due velocità sono uguali.
Si noti anche che la velocità di riempimento del primo serbatoio è costante.
A.C. Neve