TEST – Scrivere il numero della risposta sopra alla corr

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Statistica Matematica – Prova scritta del 06/07/05
1
COGNOME:
NOME:
TEST – Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda.
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Sia data una variabile casuale continua X con funzione di probabilità
½
f (x) =
x
0
se 0 ≤ x ≤
altrove;
√
2,
.
Calcolarne il valore
√ medio µX :
[1] µX = 1/ 2;
[2] µX = 1;
√
[3] µX = 8/3;
[4] µX = 1/2;
2 Le due v.a. X ed Y , indipendenti ed identicamente distribuite, siano uniformi in [0, 1]. Trovare P (cos(πY ) < 12 )
[1] 1%;
[2] 33.3%;
[3] 50%;
[4] 66.7%;
3 Qual è la probabilità che almeno due fra 4 coetanei nati nella stessa stagione festeggino il compleanno nello stesso giorno?
(una stagione=92 giorni)
[1] Non è possibile rispondere a questa domanda;
[2] 1.63%;
[3] 6.39%;
[4] 4.34%;
4 Se la probabilità teorica del sintomo B data la malattia A è il 30%, supponendo che la percentuale della malattia e del
sintomo in Emilia sia, rispettivamente, P (A) = 0.15 e P (B) = 0.05, calcolare la probabilità di malattia A dato il sintomo B.
[1] 90%;
[2] 45%;
[3] 70%;
[4] 10%;
5 Un dado a sei facce è lanciato tre volte. Qual è la probabilità di ottenere “sei” almeno una volta?
[1] 120/216;
[2] 91/216;
[3] 1/216;
[4] 3/6;
6 Il punteggio ottenuto dagli studenti alla prova scritta di un esame si può modellizzare come una v.a. normale di media
21 e varianza 8. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto fra 16 e 27 (estremi inclusi)?
[1] ' 6%;
[2] ' 98%;
[3] ' 96%;
[4] ' 94%;
7 Un calcolatore addiziona un milione di numeri e in ognuna di queste addizioni si effettua un errore di arrotondamento;
supponiamo che i singoli errori siano indipendenti e abbiano distribuzione uniforme su [− 12 10−10 , 12 10−10 ]. Qual è la probabilità che l’errore finale sia inferiore in valore assoluto a 12 10−7 ? (cioè qual è la probabilità che la settima cifra decimale sia
significativa?)
[1] 99%;
[2] 8%;
[3] 96%;
[4] 92%;
8 Per depurare un lago artificiale in cui si è rilevato un parassita, si esegue più volte un trattamento. Il trattamento riduce
il numero medio di parassiti per litro, λ, portandolo a λ/6. Se inizialmente il numero di parassiti è una v.a. di Poisson di
media 5, quanti interventi occorrono perché al termine ogni litro abbia parassiti con probabilità inferiore (≤) a 0.1% ?
1.1
[1]
[2]
[3]
[4]
5;
6;
4;
100;
9 In un’urna ci sono 5 palline bianche e 3 nere e si estraggono a caso e senza rimpiazzo due palline. Se X è il numero di
bianche estratte ed f la sua funzione di probabilità, determinare f (2).
[1] 5/8;
[2] 5/7;
[3] 5/14;
[4] 4/7;
10 Una compagnia aerea ha un aereo di 19 posti ed accetta 21 prenotazioni perchè sa che il 10% dei prenotati non si
presenta. Con quale probabilità un passeggero resterà a terra?
[1] p ≈ 36.47%;
[3] p ≈ 3.65%;
[4] p ≈ 1%;
1.2
2
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
1 Si consideri la costante k tale che
2
½
F (x) =
3
4
5
0
k(1 − e−x )2
6
7
8
9
10
se x ≤ 0
se x > 0
sia la funzione distribuzione di una variabile aleatoria X; trovare c tale che P (X > c) = 90%.
[1] c = 0.3;
[2] c = 0.83;
[3] c = 0.62;
[4] c = 0.38;
2 In due punti di un lago si misura l’intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto “rumore di ambiente”).
Siano X, Y le due variabili aleatorie intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità
½
2
2
1
xye[− 2 (x +y )] se x, y ≥ 0
fX,Y (x, y) =
0
altrove
Determinare la distribuzione della intensità massima di rumore, Z = max(X, Y )
1 2
[1] (1 − e− 2 z )2 ;
1 2
[2] (e− 2 z )2 ;
1
[3] (1 − e− 2 z )2 ;
2
[4] (1 − ez )2 ;
3 Il 10% di bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso. Trovare la probabilità che, in un campione casuale di 400,
al massimo 30 siano difettosi.
[1] 1.58;
[2] 0.9429;
[3] 0.0571;
[4] 0.075;
4 Il tempo di sopravvivenza di una lampada è una v.a. esponenziale di media µ = 10 giorni. Appena si brucia, essa è
sostituita. Trovare la probabilità che 40 lampade siano sufficienti per un anno.
[1] 29%;
[2] 50%;
[3] 71%;
[4] 11%;
5 Sia data una moneta truccata in cui la probabilità che esca testa è 25 . Lanciandola 4 volte calcolare la probabilità p che
esca testa almeno 2 volte:
[1] p = 76/625;
[2] p = 4/25;
[3] p = 1/2;
[4] p = 328/625;
6 Il numero di particelle α emesse al secondo da una sostanza radioattiva è una v.a. di Poisson con parametro µ = 0.5.
Qual è la probabilità di osservare almeno due particelle durante un secondo?
[1] 39%;
[2] 91%;
[3] 61%;
[4] 9%;
7 Una fabbrica produce componenti elettronici, che escono da due linee di produzione, A e B nelle proporzioni del 30% e
70%. La Linea A ha una percentuale di pezzi difettosi del 10%, contro il 17% della linea B. Si considera una confezione di
10 chips di tale fabbrica: con quale probabilità la confezione contiene esattamente un chip difettoso?
[1] ' 35%;
[2] ' 23%;
2.1
[3] ' 15%;
[4] ' 53%;
8 La popolazione di una regione è affetta da virus Ebola con probabilità 1%. Il miglior test per il virus ha affidabilità 80%
tanto sui sani quanto sui malati. Una persona è scelta a caso e risulta positiva. Qual è la probabilità che sia effettivamente
affetta da Ebola?
[1] 206/1000;
[3] 8/206;
[4] 80/100;
9 Un test diagnostico di una malattia è corretto nel 98% dei casi. Ripetendo due volte il test sullo stesso soggetto, qual è
la probabilità di un doppio errore?
[1] 0.2%;
[2] 0.04%;
[3] 4%;
[4] 0.4%;
10 Lampadine escono per il 60% da una linea di produzione A e per il 40% dalla linea B. Dalla prima linea esce un 2% di
difettose, dall’altra esce un 3.8% di difettose. Con quale probabilità una lampadina difettosa è uscita dalla linea A?
[1] 44.1%;
[2] 76.1%;
[3] 4.4%;
[4] 7.6%;
2.2
3
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Sia data una variabile casuale continua X con funzione di probabilità
½
c(1 − x)2 se 0 ≤ x ≤ 2,
f (x) =
.
0
altrove;
Calcolare c:
[1] c = 3/8;
[2] c = 3/2;
[3] c = 1/3;
[4] c = 1;
2 Un canale di trasmissione dati può ricevere messaggi binari da due sorgenti diverse A e B con probabilità 12 ciascuna.
Ognuna delle due sorgenti produce messaggi in cui i bit successivi sono tra di loro indipendenti. Ma per la sorgente A i
bit possono essere 1 o 0 con probabilità 12 , mentre per B il valore 1 si verifica con probabilità 14 e 0 con probabilità 34 . Un
messaggio di lunghezza 10 viene ricevuto e in esso si osservano 4 bit uguali a 1. Qual è la probabilità che si tratti della
sorgente A?
[1] ' 85%;
[2] ' 58%;
[3] ' 50%;
[4] ' 23%;
3 Se il numero di annegamenti in un anno è pari a 0, 3 su centomila, si chiede la probabilità che in una città di duecentomila
abitanti ci siano 3 o 4 annegamenti all’anno.
[1] 0.3%;
[2] 1.97%;
[3] 2.27%;
[4] 22.7%;
4 Per depurare un lago artificiale in cui si è rilevato un parassita, si esegue più volte un trattamento. Il trattamento riduce
il numero medio di parassiti per litro, λ, portandolo a λ/6. Se inizialmente il numero di parassiti è una v.a. di Poisson di
media 5, quanti interventi occorrono perché al termine ogni litro abbia parassiti con probabilità inferiore (≤) a 0.1% ?
[1] 6;
[2] 5;
[3] 100;
[4] 4;
½
2
2
1
xye[− 2 (x +y )] se x, y ≥ 0
fX,Y (x, y) =
0
altrove
Trovare la distribuzione dell’intensità minima di rumore U = min(X, Y ).
2
[1] 1 − e(u ) ;
[2] 1 − e(−u) ;
2
[3] 1 − e(−u ) ;
2
[4] e(−u ) ;
[1] ' 6%;
[2] ' 98%;
[3] ' 96%;
[4] ' 94%;
3.1
significativa?)
[1] 92%;
[2] 99%;
[3] 96%;
[4] 8%;
8 Due carte sono estratte a caso senza reimmissione da un mazzo di 52 carte ben mescolato. Calcolare la probabilità p
che siano due assi.
[1] p = 2/52;
[2] p = 1/221;
[3] p = 1/132 ;
[4] p = 1/13;
9 È noto che il 25% degli studenti della nostra Università è iscritto a Giurisprudenza, il 15% frequenta il primo anno e la
percentuale di studenti del primo anno iscritti a Giurisprudenza è il 10%. Sapendo che un studente frequenta il primo anno
che probabilità p ha di essere iscritto a Giurisprudenza?
[1] p = 15/10;
[2] p = 15/25;
[3] p = 10/25;
[4] p = 10/15;
10 Tre malattie A, B, C causano un certo sintomo con probabilità 9/10, 6/10, 4/10. In Emilia d’estate un individuo è
affetto da ciascuna malattia con probabilità pA = 0.1%, pB = 1%, pC = 5%. Sapendo che un paziente emiliano questa estate
presenta tale sintomo, qual è la probabilità che egli abbia la malattia B?
[1] 22.3%;
[2] 6.1%;
[4] 37.17%;
3.2
4
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Una variabile aleatoria X discreta ha come valori possibili x = 1, 2, 3 con funzione di distribuzione
F (1) =
1
3
, F (2) = , F (3) = 1.
8
8
Qual è la varianza di X?
2
= 1;
[1] σX
2
[2] σX
= 15/8;
√
2
= 2/2;
[3] σX
2
= 1/2;
[4] σX
2 In due punti di un lago si misura l’intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto “rumore di ambiente).
Siano X, Y le due v.a. intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità
½
4xe−x ye−2y se x, y ≥ 0
fX,Y (x, y) =
0
altrove
Sia U = min(X, Y ) l’intensità minima di rumore. Calcolare P (U ≥ 0.2).
[1] ' 8%;
[2] ' 46%;
[3] ' 92%;
[4] ' 9.2%;
3 Il voto ad una prova di ingresso è distribuito normalmente, e il miglior 10% dei candidati verrà assunto. Ad esame finito,
il voto medio è stato 72 e la deviazione standard è stata 9. Qual è il voto minimo che un candidato deve ottenere per essere
assunto?
[1] 72;
[2] 9;
[3] 90;
[4] 84;
4 Un segnale consiste in una parola di n bit, ciascuno dei quali può assumere i valori 0 oppure 1. Nel corso della trasmissione
ogni bit con probabilità p = 0.01 può essere distorto. Per ridurre la distorsione si usa il seguente protocollo: ogni bit viene
trasmesso 3 volte e ed il vero valore viene deciso a maggioranza: il bit viene posto uguale ad A (A = 0 oppure 1) se vi sono
almeno due valori A tra quelli ricevuti. Qual è la probabilità che un segnale di 1000 bit contenga bit distorti?
[1] 56.35%;
[2] 25.77%;
[3] 3%;
[4] 0.3%;
5 La memoria secondaria di un calcolatore è composta da 30 unità disco in ognuna delle quali sono archiviati 100 file.
Durante l’esecuzione di un programma è necessario accedere a 40 di questi file, tutti diversi. Qual è la probabilità che sia
necessario usare l’unità 1? (Cioè qual è la probabilità che tra i 40 file ve ne sia almeno uno contenuto nell’unità 1?)
[1] 1 − (3000 · 2999 · ... · 2961)/(2900 · 2899 · ... · 2861);
[2] 1 − (2900 · 2899 · ... · 2861)/(3000 · 2999 · ... · 2961);
[3] (3000 · 2999 · ... · 2961)/(2900 · 2899 · ... · 2861);
[4] (2900 · 2899 · ... · 2861)/(3000 · 2999 · ... · 2961);
6 Una scatola ha fondo quadrato di lato 1 metro, al centro del quale vi è un foro circolare di diametro 10 cm.Nella scatola
sono gettate a caso e indipendentemente 10 palline di diametro piccolo (cioè << 10 cm). Con quale probabilità alla fine dei
lanci si trovano nella scatola 7 palline?
[1] 28%;
[2] 0.28%;
[3] 2.8%;
[4] 0.82%;
4.1
[1] p = 76/625;
[2] p = 4/25;
[3] p = 1/2;
[4] p = 328/625;
8 L’urna I contiene 3 palline rosse e 5 bianche, mentre l’urna II ne contiene 4 rosse e 2 bianche. Si sceglie una pallina a
caso dall’urna I e la si mette, senza osservare il colore, nell’urna II; si estrae poi una pallina dall’urna II. Qual è la probabilità
che la pallina cosı̀ estratta sia bianca?
[1] 3/8;
[2] 1/24;
[3] 23/24;
[4] 2/5;
9 Un compilatore assegna ad ognuna delle variabili che intervengono in un programma una cella di memoria a caso, con
indipendenza da una variabile all’altra. In caso di conflitto (cioè se due variabili sono assegnate alla stessa cella), l’operazione
di assegnazione deve essere ripetuta. Se vi sono 100 celle di memoria e 4 variabili, qual è la probabilità che si verifichi un
conflitto?
[1] 5.89%;
[2] 1%;
[3] 4%;
[4] 9.41%;
10 In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti?
[1] 10!;
[2] 5040;
[3] 410 ;
[4] 24;
4.2
5
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Determinare la probabilità p che in 300 lanci di una moneta non truccata si verifichino esattamente 150 teste.
[1] p ≈ 5%;
[2] p ≈ 50%;
[3] p ≈ 95%;
[4] p ≈ 1%;
2 Nella trasmissione di un’immagine ogni pixel resta integro con probabilità p = 0.9984. Un’immagine è composta da
512 × 256 = 131072 pixel. Qual è la probabilità che vi siano almeno (≥) 200 pixel distorti?
[1] ' 70%;
[2] ' 22%;
[3] ' 78%;
[4] ' 99%;
3 Una fabbrica produce componenti elettronici, che escono da due linee di produzione, A e B nelle proporzioni del 30% e
70%. La Linea A ha una percentuale di pezzi difettosi del 10%, contro il 17% della linea B. Si considera una confezione di
10 chips di tale fabbrica: con quale probabilità la confezione contiene esattamente un chip difettoso?
[1] ' 15%;
[2] ' 23%;
[3] ' 35%;
[4] ' 53%;
4 Se il numero di annegamenti in un anno è pari a 0, 3 su centomila, si chiede la probabilità che in una città di duecentomila
abitanti ci siano 3 o 4 annegamenti all’anno.
[1] 2.27%;
[2] 0.3%;
[3] 1.97%;
[4] 22.7%;
5 Un canale di trasmissione dati può ricevere messaggi binari da due sorgenti diverse A e B con probabilità 12 ciascuna.
Ognuna delle due sorgenti produce messaggi in cui i bit successivi sono tra di loro indipendenti. Ma per la sorgente A i
bit possono essere 1 o 0 con probabilità 12 , mentre per B il valore 1 si verifica con probabilità 14 e 0 con probabilità 34 . Un
messaggio di lunghezza 10 viene ricevuto e in esso si osservano 4 bit uguali a 1. Qual è la probabilità che si tratti della
sorgente A?
[1] ' 58%;
[2] ' 85%;
[3] ' 23%;
[4] ' 50%;
che siano due assi.
[1] p = 2/52;
[2] p = 1/132 ;
[3] p = 1/13;
[4] p = 1/221;
7 La probabilità che il giocatore Aldo colpisca il bersaglio è 14 e la probabilità che lo colpisca Bruno è 25 . Supposto che Aldo
e Bruno sparino contemporaneamente contro il bersaglio (supponendo quindi gli eventi indipendenti), qual è la probabiltà
che uno solo dei due centri il bersaglio?
[1] 20%;
[2] 10%;
[3] 45%;
[4] 55%;
8 Si sa che lo 0.5% dei soggetti di una città è AIDS. Si sa che i tests diagnostici danno diagnosi corretta nell’80% dei sani
e nel 98% dei malati. Qual è la probabilità di esser sano posto che ti abbiano diagnosticato malato?
[1] 27.6%;
5.1
[2] 97.6%;
[3] 75%;
[4] 37.2%;
9 Una moneta è lanciata 3 volte. Se X è il numero di teste che si verificano nei lanci, e se F indica la funzione distribuzione,
quanto vale F (2.9)?
[1] 1/8;
[2] 6/8;
[3] 3/8;
[4] 7/8;
10 Siano X, Y v.a. indipendenti ed ambedue normali ∼ N (0, 1). Trovare P (X > Y + 12 )
[1] 36%;
[2] 50%;
[3] 64%;
[4] 21%;
5.2
6
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Una variabile aleatoria X discreta ha come valori possibili x = 1, 2, 3, 4 con funzione di distribuzione
F (1) =
1
3
3
, F (2) = , F (3) = , F (4) = 1.
8
8
4
Detta µ la media, quanto vale la probabilità P (X ≤ µ)?
[1] 96.25%;
[2] 1%
[3] 2.75%;
[4] 37.5%;
[1] ' 6%;
[2] ' 96%;
[3] ' 98%;
[4] ' 94%;
3 Il tempo di sopravvivenza di una lampada è una v.a. esponenziale di media µ = 10 giorni. Appena si brucia, essa è
sostituita. Trovare la probabilità che 40 lampade siano sufficienti per un anno.
[1] 29%;
[2] 71%;
[3] 11%;
[4] 50%;
[1] 66.7%;
[2] 1%;
[3] 33.3%;
[4] 50%;
5 Sia p = 98% la probabilità che un test diagnostico dia risposta vera su un individuo. In un gruppo di 7 persone qual è
la probabilità che il test dia risposta vera su tutti e 7?
[1] 80.81%;
[2] 99.21%;
[3] 13.19%;
[4] 86.81%;
6 La stazione Radio Bruco trasmette il segnale orario allo scoccare di ogni ora. L’ascoltatore tipo sintonizza il proprio
radioricevitore sulla stazione Radio Bruco a un istante uniformemente distribuito tra le ore 7 : 10 e le ore 19 : 30 nella
giornata. Calcolare la probabilità che l’ascoltatore riceva il segnale orario entro 5 minuti dalla sintonizzazione su Radio
Bruco (si adotti il minuto come unità di tempo).
[1] 0.1%;
[2] 8.1%;
[3] 12%;
[4] 0.67%;
7 Una compagnia di assicurazioni ha 3000 assicurati contro un dato rischio che ha probabilità 0.1% di colpire ogni singolo
assicurato in un anno. Sapendo che il numero X di indennizzandi in un anno è di Poisson, che la compagnia indennizza
ciascuno con 80000 Euro, che percepisce da ogni assicurato un premio annuale di 100 Euro, qual è la varianza del beneficio
annuale della compagnia?
[1] σ 2 = 3;
√
[2] σ 2 = 192 · 108 ;
[3] σ 2 = 64 · 108 ;
[4] σ 2 = 192 · 108 ;
6.1
8 L’urna I contiene 3 palline rosse e 5 bianche, mentre l’urna II ne contiene 4 rosse e 2 bianche. Si sceglie una pallina a
caso dall’urna I e la si mette, senza osservare il colore, nell’urna II; si estrae poi una pallina dall’urna II. Qual è la probabilità
che la pallina cosı̀ estratta sia bianca?
[1] 2/5;
[2] 23/24;
[3] 1/24;
[4] 3/8;
9 Un compilatore assegna ad ognuna delle variabili che intervengono in un programma una cella di memoria a caso, con
indipendenza da una variabile all’altra. In caso di conflitto (cioè se due variabili sono assegnate alla stessa cella), l’operazione
di assegnazione deve essere ripetuta. Se vi sono 100 celle di memoria e 4 variabili, qual è la probabilità che si verifichi un
conflitto?
[1] 1%;
[2] 4%;
[3] 9.41%;
[4] 5.89%;
10 Un dado a sei facce è lanciato tre volte. Qual è la probabilità di ottenere “sei” almeno una volta?
[1] 120/216;
[2] 91/216;
[3] 3/6;
[4] 1/216;
6.2
7
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Sia X ∼ N (−2, 4) la variabile casuale normale di parametri µ = −2 e σ 2 = 4. Determinare c ∈ R tale che P (X ≥ c) = 0.2.
[1] c = 0.32;
[2] c = 3.68;
[3] c = −0.42;
[4] c = −0.32;
2 Le due v.a. X ed Y , indipendenti ed identicamente distribuite, siano uniformi in [0, 1]. Trovare P (X + Y < 21 )
[1] 1%;
[2] 12.5%;
[3] 25%;
[4] 50%;
3 Un dado viene lanciato 900 volte e indichiamo con X il numero di volte in cui esce il 6. Sappiamo che esiste una partita
di dadi truccati che producono il 6 con probabilità 2/9. Per decidere se il dado è di questi ultimi usiamo questa procedura: lo
lanciamo 900 volte e decidiamo che è truccato se il 6 esce almeno (≥) 180 volte. Qual è la probabilità che un dado truccato
venga effettivamente individuato?
[1] ≈ 1.64%;
[2] ≈ 95%;
[3] ≈ 80%;
[4] ≈ 20%;
4 Un’azienda vende un preparato in partite di 200 confezioni con la garanzia che tutte siano non difettose; se la probabilità
che una confezione sia difettosa è 0.5%, con quale probabilità una partita viola la garanzia?
[1] 63%;
[2] 0.5%;
[3] 37%;
[4] 95%;
[1] 61%;
[2] 39%;
[3] 91%;
[4] 9%;
6 In un’urna ci sono 5 palline bianche e 3 nere e si estraggono a caso e senza rimpiazzo due palline. Se X è il numero di
bianche estratte ed f la sua funzione di probabilità, determinare f (2).
[1] 5/7;
[2] 5/8;
[3] 5/14;
[4] 4/7;
[2] p ≈ 36.47%;
[3] p ≈ 3.65%;
[4] p ≈ 1%;
che siano due assi.
[1] p = 1/221;
[2] p = 2/52;
[3] p = 1/132 ;
[4] p = 1/13;
7.1
9 In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti?
[1] 5040;
[2] 410 ;
[3] 24;
[4] 10!;
10 Uno studente è sottoposto ad un quiz con 4 risposte possibili. Se ha studiato, egli risponderà certamente in maniera
esatta, altrimenti sceglierà una risposta a caso tra le 4 disponibili. Supponiamo che abbia studiato con probabilità 1/2 e che,
sottoposto al quiz, abbia scelto la risposta esatta. Sulla base di ciò, qual è la probabilità che abbia studiato davvero?
[1] 62.5%;
[2] 12.5%;
[3] 80%;
[4] 90%;
7.2
8
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
1 Si consideri la costante c tale che
3
½
f (x) =
4
cxe−2x
0
5
6
7
8
9
10
se x ≥ 0
altrove
sia la funzione densità di una variabile aleatoria X. Determinare c.
[1] c = 1/2;
[2] c = 4;
[3] c = 1/4;
[4] c = 2;
[1] p = 328/625;
[2] p = 4/25;
[3] p = 76/625;
[4] p = 1/2;
3 La memoria secondaria di un calcolatore è composta da 30 unità disco in ognuna delle quali sono archiviati 100 file.
Durante l’esecuzione di un programma è necessario accedere a 40 di questi file, tutti diversi. Qual è la probabilità che sia
necessario usare l’unità 1? (Cioè qual è la probabilità che tra i 40 file ve ne sia almeno uno contenuto nell’unità 1?)
[1] 1 − (3000 · 2999 · ... · 2961)/(2900 · 2899 · ... · 2861);
[2] (2900 · 2899 · ... · 2861)/(3000 · 2999 · ... · 2961);
[3] 1 − (2900 · 2899 · ... · 2861)/(3000 · 2999 · ... · 2961);
[4] (3000 · 2999 · ... · 2961)/(2900 · 2899 · ... · 2861);
4 Un quiz consiste di 10 domande, ognuna con 4 risposte (di cui una corretta e le altre 3 errate). Uno studente che
risponde a caso ha quindi probabilità 14 di rispondere correttamente ad ogni domanda. Calcolare la probabilità p che lo
studente risponda correttamente ad almeno 6 domande (e sia quindi promosso):
[1] p ≈ 2%;
[2] p ≈ 4%;
[3] p ≈ 20%;
[4] p ≈ 10%;
significativa?)
[1] 99%;
[2] 92%;
[3] 96%;
[4] 8%;
[1] 1.58;
[2] 0.0571;
[3] 0.9429;
[4] 0.075;
½
2
2
1
xye[− 2 (x +y )] se x, y ≥ 0
fX,Y (x, y) =
0
altrove
8.1
[1]
[2]
[3]
[4]
1
2
(e− 2 z )2 ;
2
(1 − ez )2 ;
1 2
(1 − e− 2 z )2 ;
1
(1 − e− 2 z )2 ;
8 È noto che il 25% degli studenti della nostra Università è iscritto a Giurisprudenza, il 15% frequenta il primo anno e la
percentuale di studenti del primo anno iscritti a Giurisprudenza è il 10%. Sapendo che un studente frequenta il primo anno
che probabilità p ha di essere iscritto a Giurisprudenza?
[1] p = 15/25;
[2] p = 15/10;
[3] p = 10/25;
[4] p = 10/15;
che uno solo dei due centri il bersaglio?
[1] 55%;
[2] 10%;
[3] 45%;
[4] 20%;
10 Un’urna contiene 9 palline rosse e 6 gialle. Una dopo l’altra vengono estratte a caso, senza reimmissione, tre palline.
Calcolare la probabilità che siano tutte rosse.
[1] 14.93%;
[2] 18.46%;
[3] 21.46%;
[4] 60%;
8.2
9
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[1] 66.7%;
[2] 33.3%;
[3] 1%;
[4] 50%;
2 Lampadine escono per il 60% da una linea di produzione A e per il 40% dalla linea B. Dalla prima linea esce un 2% di
difettose, dall’altra esce un 3.8% di difettose. Con quale probabilità una lampadina difettosa è uscita dalla linea A?
[1] 44.1%;
[2] 7.6%;
[3] 76.1%;
[4] 4.4%;
3 Se la probabilità teorica del sintomo B data la malattia A è il 30%, supponendo che la percentuale della malattia e del
sintomo in Emilia sia, rispettivamente, P (A) = 0.15 e P (B) = 0.05, calcolare la probabilità di malattia A dato il sintomo B.
[1] 45%;
[2] 10%;
[3] 70%;
[4] 90%;
che almeno uno dei due centri il bersaglio?
[1] 20%;
[2] 55%;
[3] 10%;
[4] 45%;
5 Un dado viene lanciato 900 volte e indichiamo con X il numero di volte in cui esce il 6. Sappiamo che esiste una partita
di dadi truccati che producono il 6 con probabilità 2/9. Per decidere se il dado è di questi ultimi usiamo questa procedura: lo
lanciamo 900 volte e decidiamo che è truccato se il 6 esce almeno (≥) 180 volte. Qual è la probabilità che un dado truccato
venga effettivamente individuato?
[1] ≈ 20%;
[2] ≈ 80%;
[3] ≈ 1.64%;
[4] ≈ 95%;
6 Un segnale consiste in una parola di n bit, ciascuno dei quali può assumere i valori 0 oppure 1. Nel corso della trasmissione
ogni bit con probabilità p = 0.01 può essere distorto. Qual è la probabilità che un segnale di 1000 bit contenga almeno 10
bit distorti?
[1] 56.35%;
[2] 76.35%;
[3] 50%;
[4] 43.65%;
[1] p ≈ 1%;
[2] p ≈ 3.65%;
[4] p ≈ 36.47%;
8 La stazione Radio Bruco trasmette il segnale orario allo scoccare di ogni ora. L’ascoltatore tipo sintonizza il proprio
radioricevitore sulla stazione Radio Bruco a un istante uniformemente distribuito tra le ore 7 : 10 e le ore 19 : 30 nella
giornata. Calcolare la probabilità che l’ascoltatore riceva il segnale orario entro 5 minuti dalla sintonizzazione su Radio
Bruco (si adotti il minuto come unità di tempo).
9.1
[1]
[2]
[3]
[4]
8.1%;
0.1%;
0.67%;
12%;
9 Una compagnia di assicurazioni ha 3000 assicurati contro un dato rischio che ha probabilità 0.1% di colpire ogni singolo
assicurato in un anno. Sapendo che il numero X di indennizzandi in un anno è di Poisson, che la compagnia indennizza
ciascuno con 80000 Euro, che percepisce da ogni assicurato un premio annuale di 100 Euro, qual è la varianza del beneficio
annuale della compagnia?
8
[1] σ 2 = 64
√ · 10 ; 8
2
[2] σ = 192 · 10 ;
[3] σ 2 = 192 · 108 ;
[4] σ 2 = 3;
10 Si consideri la costante k tale che
½
F (x) =
0
k(1 − e−x )2
se x ≤ 0
se x > 0
sia la funzione distribuzione di una variabile aleatoria X; trovare c tale che P (X > c) = 90%.
[1] c = 0.38;
[2] c = 0.62;
[3] c = 0.3;
[4] c = 0.83;
9.2
10
COGNOME:
NOME:
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 Com’è noto, le trasfusioni di sangue sono possibili: dal gruppo O a tutti gruppi; da A ai gruppi A, AB ; da B ai gruppi
B, AB; da AB al solo gruppo AB. Supponiamo anche che le frequenze dei gruppi sanguigni siano: P (O) = 52%, P (A) =
32%, P (B) = 10%, P (AB) = 6%. Qual è la probabilità che un individuo, scelto a caso, possa donare sangue a un individuo
pure scelto a caso ?
[1] ' 34%;
[2] ' 50%;
[3] ' 66%;
[4] ' 23%;
2 Due carte sono estratte senza reimmissione da un mazzo di 40 ben mescolato. Si calcoli la probabilità che esse siano la
prima un asso e la seconda nè asso nè fante.
[1] p = 3/40;
[2] p = 2/5;
[3] p = 16/195;
[4] p = 8/100;
3 Un test diagnostico di una malattia è corretto nel 98% dei casi. Ripetendo due volte il test sullo stesso soggetto, qual è
la probabilità di un doppio errore?
[1] 0.04%;
[2] 0.4%;
[3] 4%;
[4] 0.2%;
4 Un principiante di tiro al piattello lo colpisce con probabilità 2/9. Qual è la probabilità che gli occorrano almeno 5 tiri
per colpirlo la prima volta?
[1] 22.2%;
[2] 3.66%;
[3] 10.5%;
[4] 36.6%;
[1] 9%;
[2] 91%;
[3] 39%;
[4] 61%;
6 Se la probabilita’ di avere un figlio maschio e’ 21 , per una famiglia con 5 figli, qual è la probabilità di avere almeno un
maschio?
[1] 10/32;
[2] 4/5;
[3] 1/2;
[4] 31/32;
[1] ' 96%;
[2] ' 6%;
[3] ' 94%;
[4] ' 98%;
[1] 0.075;
[2] 0.0571;
[3] 1.58;
10.1
[4] 0.9429;
9 Una moneta è lanciata 3 volte. Se X è il numero di teste che si verificano nei lanci, e se F indica la funzione distribuzione,
quanto vale F (2.9)?
[1] 3/8;
[2] 1/8;
[3] 6/8;
[4] 7/8;
½
2
2
1
xye[− 2 (x +y )] se x, y ≥ 0
fX,Y (x, y) =
0
altrove
2
[1] (1 − ez )2 ;
1 2
[2] (e− 2 z )2 ;
1
[3] (1 − e− 2 z )2 ;
1 2
[4] (1 − e− 2 z )2 ;
10.2

TEST – Scrivere il numero della risposta sopra alla corr

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