L`invenzione del gioco degli scacchi

Fare per capire
Laboratorio di matematica
L’invenzione del gioco degli scacchi
Leggi con attenzione questo antico racconto.
“Il re Iadava perse il suo unico figlio durante una guerra. Da allora cadde nella più
nera disperazione e nulla sembrava risollevarlo e dargli un po’ di gioia.
Ma un giorno, un bramino umile e povero donò al re una tavola divisa in 64 caselle
uguali: su di esse erano allineate pedine che si muovevano secondo regole diverse.
Il re apprezzò moltissimo il gioco perché riusciva a distrarlo dal suo terribile dolore.
Per questo chiese al bramino come desiderava essere ricompensato.
Il bramino disse:
- Non voglio oro, terreni o palazzi. Mi darai un chicco di grano per la prima casella
della scacchiera, due per la seconda, quattro per la terza, e così via, raddoppiando la
quantità ad ogni casella fino all’ultima.
Il re e tutti i presenti scoppiarono a ridere: pensavano che il bramino fosse uno sciocco
a chiedere solo qualche chicco di riso, quando invece avrebbe potuto avere una fortuna
e diventare ricchissimo.
Anche il re si stupì per questa stravagante richiesta ma ordinò di far venire i migliori
matematici della corte e li pregò di calcolare quanti chicchi di riso fossero dovuti al
giovane bramino …”
Malba Tahan, L’uomo che sapeva contare, Salani
E tu, sai fare delle previsioni sul numero di chicchi di riso che servono per accontentare
il bramino? All’incirca quanti chilogrammi sono necessari?
Dopo aver fatto le tue previsioni passa al conteggio. È facile sapere quanti chicchi di riso
ci sono sulle caselle, basta ricordarsi che ogni volta raddoppiano.
1
2x1=2
2x2
2x2x2
2x2x2x2
…..
…..
…..
Le moltiplicazioni con tutti i fattori uguali si possono rappresentare in un altro modo: si
scrive il fattore (la base) e accanto un numeretto più piccolo (l’esponente) che indica
quante volte si ripete il fattore.
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1
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Ad esempio:
si scrive
2x2
22
2x2x2
23
2 x 2 x 2 x 2 24
si legge
due alla seconda oppure due al quadrato
due alla terza oppure due al cubo
due alla quarta
Queste moltiplicazioni speciali si chiamano potenze e hanno la caratteristica di far
diventare i numeri molto grandi.
Scrivi con le potenze quanti chicchi devono stare su ciascuna
delle 64 caselle della scacchiera.
1
2
1
2
2
2
3
Ora prova a contare i chicchi di ogni casella, se vuoi puoi
aiutarti con la calcolatrice.
Ecco come devi fare per contare con la calcolatrice 23,
cioè 2 x 2 x 2:
tasti 2 x 2 = =
visore 2 2 2 4 8
Ogni volta che premi il tasto = la calcolatrice ripete la moltiplicazione x 2, cioè
raddoppia il risultato.
Riporta i risultati in una tabella come quella che vedi
di fianco.
Fino a quando la calcolatrice può aiutarti a contare?
Ti devi fermare quando sul visore della calcolatrice
non ci stanno più cifre.
Ad esempio se sul visore della tua calcolatrice ci
stanno 8 cifre puoi arrivare a contare i chicchi fino
alla 27° casella:
226 = 67 108 864 (si legge 67 milioni 108 mila 864)
casella
1
2
3
4
5
6
7
8
potenza
21
22
23
24
25
26
27
chicchi
1
2
4
…
…
…
…
128
… E poi? Se vuoi continuare a contare i chicchi delle caselle successive devi usare carta
e matita: la tua mente è più potente della calcolatrice!
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Ma il tuo conteggio non è ancora finito, perché ora devi sommare tutti i chicchi di tutte
le caselle con una lunghissima addizione formata da numeri grandissimi. Sei sicuro di
riuscire a trovare il totale senza fare qualche errore?
Ecco un piccolo trucco per contare senza errori. Osserva il numero dei chicchi di riso
corrispondenti alla prima riga della scacchiera:
1
2
4
8
16
32
64
128
Conta
… quanti chicchi ci sono sulle prime 3 caselle: 1 + 2 + 4 = 7 = (4 x 2) – 1
… sulle prime 4 caselle: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = (8 x 2) – 1
… sulle prime 5 caselle: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 = (16 x 2) – 1
… sulle prime 6 caselle: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 = (32 x 2) – 1 ……..
I risultati di questi conteggi seguono una regola precisa? Qual è?
Quindi, per sapere quanti chicchi di riso stanno su tutte le 64 caselle della scacchiera
basta calcolare ………………………………………….
Come vedi si tratta di un numero di chicchi grandissimo: sai dire a quanti chilogrammi
corrisponde? (a pag. 78 del libro delle discipline di classe quinta ci sono le indicazioni
per calcolare quanti chicchi di riso ci sono in un chilogrammo!)
Attività
Ora puoi immaginare come si è conclusa la storia di Iadava e del bramino? Scrivi la
conclusione con parole tue e illustra la storia con un disegno.
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Come si usano le potenze
Anche i numeri multipli di 10 si possono rappresentare con le potenze.
1 000 000
10 x 10 x 10 x 10 x
10 x 10
106
100 000
10 x 10 x 10 x
10 x 10
105
10 000
10 x 10 x 10
x 10
104
1 000
10 x 10 x
10
103
100
10 x
10
102
10
1
10
1
101
100
Osserva come sono scritte le potenze: l’esponente di 102 è 2, come gli zeri del numero
100. Quindi l’esponente della potenza corrisponde al …………………
Le potenze sono dei prodotti che hanno i fattori tutti uguali.
Sono formate da due numeri: la base e l’esponente.
La base è il fattore
che si ripete
2
10
L’esponente indica
quante volte la base
si ripete.
Qualunque potenza con lo zero all’esponente dà come risultato 1 per convenzione, ad
esempio: 20 = 1
150 = 1
Le potenze servono per scrivere i numeri molto grandi in una forma più breve o per
scomporre i numeri, osserva gli esempi:
34 000 000 000  34 x 109
35 785 = 3 x 104 + 5 x 103 + 7 x 102 + 8 x 101 + 5 x 100.
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