Il caso non a caso

DIESSE FIRENZE
Didattica e Innovazione Scolastica
Centro per la formazione e l’aggiornamento
SCIENZAFIRENZE
OTTAVA EDIZIONE
Docenti e studenti a confronto su:
IL LINGUAGGIO DEL LIBRO DELLA NATURA
La dimensione matematica dei fenomeni naturali
Aula Magna
Polo delle Scienze Sociali, Università di Firenze
Firenze, 13 – 14 aprile 2011
Menzione d’onore – Sezione Triennio
Titolo: Il caso non a caso
Di: Alessandrini Benedetta, Alessandrini Maria Elisa, Amoroso Miriam, Dughiero
Michele, Torrini Irene
Scuola: Liceo Classico S. Orsola - Roma
Docente: Regoliosi Luigi
Motivazione: Per indagare la descrizione matematico-probabilistica della caduta di raggi
cosmici (obiettivo finale della ricerca) gli studenti hanno cercato una modellizzazione
matematica della caduta casuale di un gran numero di oggetti. Mediante un modello di
simulazione detto “scatola del caso”, in cui si registravano le distribuzioni di caduta di
900 chicchi di granoturco, hanno verificato sperimentalmente che, nella configurazione
finale di caduta, si presentava la distribuzione di Poisson. Andando oltre le conoscenze
scolastiche di matematica, hanno dimostrato notevole iniziativa e impegno nell’inoltrarsi
in un campo sconosciuto e complesso. Lavoro interessante per gli aspetti sia fisici che
matematici.
RELAZIONE DEL DOCENTE SUL LAVORO SVOLTO
Risulta necessaria una premessa: gli studenti frequentano il II e III liceo classico e due di loro hanno iniziato
lo studio della fisica solo qualche mese fa e perciò non è stato affatto facile guidarli verso un rigore
scientifico. Il contributo concreto non è stato, in effetti, uguale da parte di ciascuno, ma tutti hanno
partecipato attivamente, divertendosi e impegnandosi in maniera a tratti sorprendente.
Il progetto “Il caso non a caso” ha preso le mosse dall’interesse mostrato dai ragazzi nei confronti dei
fenomeni casuali e della possibilità di trovare una “legge” anche dentro circostanze che tutto sembrano
fuorché regolari.
Il lavoro si è svolto in tre fasi successive:
-
in una prima fase ho introdotto i ragazzi al mondo del calcolo delle probabilità per fornire loro una
base teorica da cui partire;
-
la seconda fase è consistita nella realizzazione di un prototipo sperimentale “la scatola del caso”
attraverso il quale abbiamo riprodotto fenomeni casuali dove è stato però possibile individuare una
“certa regolarità”: gli studenti hanno scoperto – guidati dal docente – che tutto accadeva secondo
una legge ben precisa, che poi si è scoperto essere proprio la legge di Poisson (che non
conoscevano prima e che si sono dovuti ricavare personalmente grazie anche alla conoscenza della
curva esponenziale e dei limiti);
-
la terza fase ha visto la collaborazione del gruppo di ricerca INFN di Tor Vergata attraverso cui il
docente e i ragazzi hanno potuto scoprire come la regolarità poissoniana non riguarda solo un
modello come “la scatola del caso” ma è presente anche nella natura stessa in diversi fenomeni, in
particolare abbiamo potuto studiare le “cascate” di raggi cosmici.
Il lavoro è stato svolto nell’arco dei mesi di Dicembre, Gennaio e Febbraio e ha richiesto non poco impegno
da parte degli studenti e del docente accompagnatore, poiché la fisica sperimentale riserva non poche
sorprese: occorre trovare i materiali giusti e a basso costo, correggere i procedimenti se i risultati non
tornano e quindi capire dove si sta sbagliando o dove si potrebbe migliorare in termini di tempo (si pensi al
conteggio piuttosto laborioso dei chicchi di mais nella scatola del caso) e, a volte (almeno a noi è successo
così), tutto ciò richiede giorni piuttosto che ore.
IL CASO NON A CASO
ScienzA Firenze
13–14 aprile 2011
Il linguaggio del libro della natura
La dimensione matematica dei fenomeni naturali
Sezione triennio
INTRODUZIONE
Incuriositi dall’eventuale regolarità dei fenomeni casuali abbiamo iniziato il nostro lavoro dallo studio
della probabilità.
Dopo aver introdotto la probabilità in generale e aver stabilito il calcolo della probabilità di un evento
v
P(E) = ,
n
dove v sono i casi favorevoli e n tutti i casi possibili, abbiamo studiato diversi problemi che ci
permettessero di capire bene di cosa si parlava e su cosa si doveva basare il nostro lavoro. In questa
introduzione ci limitiamo a citarne solo alcuni tra i più significativi ai fini della nostra ricerca.
Ci siamo particolarmente soffermati sul paradosso del compleanno. Il paradosso afferma che la probabilità
che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a
quanto potrebbe dire l’intuito. Questo problema ci ha permesso di scoprire il fattoriale come sintesi
delle operazioni di calcolo delle probabilità, strumento che avremmo utilizzato, in seguito, nell’analisi
dei dati del nostro esperimento. Il modo più semplice per calcolare la probabilità P(p) che ci siano
almeno due persone appartenenti ad un gruppo di p persone che compiano gli anni lo stesso giorno è
calcolare dapprima la probabilità P1(p) che ciò non accada. Il ragionamento è questo: data una
qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data del suo compleanno), vi sono 364 casi su
365 in cui il compleanno di una seconda persona avvenga in un giorno diverso; se si considera una terza
persona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone e
via dicendo. Esprimendo in formule quanto sopra, la probabilità che tutti i compleanni cadano in date
diverse è:
e dunque la probabilità del suo evento complementare, cioè che esistano almeno due compleanni
uguali, è
dove il “!” dopo il numero indica il fattoriale, ovvero n! = n (n-1) (n-2)…
Un altro problema che abbiamo affrontato è stato il problema degli antipasti: ci siamo chiesti quanti sono i
possibili pasti completi che includono tutte e tre le portate (antipasto, primo e secondo) scelti una sola
volta conoscendo il numero di antipasti, primi e secondi del menù; abbiamo prima trovato a risolvere
questo problema graficamente.
MENU’
A1
A2
P1
A3
P1
P1
S1
S1
S1
S2
S2
S2
S3
S3
S3
S4
S4
S4
P2
P2
P2
S1
S1
S1
S2
S2
S2
S3
S3
S3
S4
S4
S4
Grazie a questo diagramma, abbiamo trovato la soluzione matematica per ogni situazione simile. Basta
infatti effettuare il calcolo 3 x 2 x 4 per trovare quanti sono i possibili pasti completi (=24).
Lo stesso calcolo può essere effettuato su un problema analogo come il problema dei podi: ad un gran
premio di Formula 1 partecipano 20 piloti, ma solo i primi tre classificati vanno sul podio: quante sono
le possibili terne di piloti sul podio? Se il primo classificato può essere un qualunque pilota tra i 20
partecipanti, il secondo uno qualunque tra i restanti 19 e il terzo uno tra 18, ci saranno 20 x 19 x 18 =
6.840 terne possibili di piloti sul podio.
Con queste basi abbiamo potuto procedere con coscienza verso quello che sarebbe stato il nostro
principale lavoro: infatti, grazie ad esse, abbiamo potuto calcolare la probabilità di avere un numero n di
chicchi in una determinata casella.
Ogni riferimento non è puramente casuale. Rimandiamo la scoperta ai prossimi paragrafi.
1. LA SCATOLA DEL CASO
1.1 DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO
Interessati alla casualità di alcuni fenomeni naturali, abbiamo deciso di indagare su di essi volendo
capire se esiste una regolarità in fenomeni quali la caduta della pioggia o dei fulmini. Non potendo,
materialmente, riprodurre uno di questi eventi, abbiamo deciso, sotto consiglio del nostro docente, di
realizzare una scatola che rappresentasse, in piccolo, quello che accade in natura – lavoro che in fisica
viene chiamato modello.
Per costruire la scatola abbiamo utilizzato:
• Lastre di compensato tagliate a misura [per la base 60x60 cm, per le pareti laterali e per la parete
finale, per la parete iniziale]
• Filo da pesca lungo 3,48 m e spesso 1 mm
• Lastra di plexiglas di spessore 3 mm
• Listelli di legno spessi 1 cm
• 900 chicchi di mais per pop – corn
• Colla per legno
• Chiodi
• Spara – punti con punte da 8 mm
Costruita la base della scatola, abbiamo tracciato su di essa un reticolato di 900 caselle con il filo da
pesca. Con la lastra di plexiglass abbiamo costruito il coperchio della scatola e l’abbiamo fatto scorrere
all’interno dei binari, creati precedentemente sulle pareti con i listelli di legno. Per unire le singole
sezioni abbiamo utilizzato la colla, i chiodi e la spara – punti.
Delineate le 900 caselle sulla base, abbiamo quindi simulato la caduta casuale di una cascata di 900
chicchi di mais, sottoponendo la scatola, per 10 secondi prima di iniziare il conteggio, ad una scossa
uniforme.
Abbiamo iniziato, quindi, a contare quanti chicchi venivano a trovarsi in ogni casella - interessandoci,
però, esclusivamente al conteggio delle caselle con n = 0, 1, 2, 3, ... chicchi al loro interno - e riportando
i dati sul computer. La prima difficoltà che abbiamo incontrato è stata quella dell’agitazione della nostra
scatola: solo in pochi riuscivano ad effettuarla, a causa della pesantezza, della larghezza e della
coordinazione dei movimenti delle braccia che la scatola esigeva affinché la scossa dei chicchi fosse più
casuale e uniforme possibile e non portasse i chicchi a stabilizzarsi interamente da un lato. Significativa
è stata la problematica verificatasi proprio nel calcolo: potevano servire anche 20 minuti per effettuare
l’operazione in modo preciso.
Inizialmente prendevamo in considerazione solo i chicchi conteggiati con la modalità precedentemente
descritta. Successivamente il conteggio è stato effettuato con tre modalità diverse, in modo da avere
non uno, ma tre parametri di confronto: abbiamo continuato a considerare i chicchi in ogni casella,
aggiungendo il conteggio dei chicchi considerati ogni due caselle consecutive, ed, infine, considerando i
chicchi in quadrati contenenti quattro caselle ciascuno. Mentre uno di noi dettava i dati - che contava
secondo la prima modalità - a chi stava al computer e li trasferiva su Excel, altri due contavano,
rispettivamente, secondo gli altri due parametri trascrivendo i dati in primo luogo su carta e dettandoli,
alla conclusione effettiva del conteggio, a quello che stava riportando i dati al computer. Il lavoro si è
così velocizzato: si riusciva a lavorare in quattro ad ogni scossa calcolando, già, con le tre diverse
modalità.
Le operazioni sono state ripetute più volte, con numeri differenti di chicchi. Naturalmente, quando il
numero di chicchi da conteggiare si è abbassato, è stato più facile e veloce contare. Infatti, ripetendo
ulteriormente il calcolo, il tempo di lavoro è diminuito a 5 minuti per ogni conteggio.
1.2 RACCOLTA E ANALISI DEI DATI ovvero “COME È ANDATA”
Abbiamo iniziato l’esperimento con 900 chicchi disposti nella scatola da 900 caselle. Dopo aver agitato
la scatola, ripetendo l’esperimento per 7 volte, abbiamo raccolto i dati che emergevano mettendoli in
alcuni istogrammi, che indicavano le varie quantità di caselle con un determinato numero di chicchi
(figura 1).
figura 1: 3a agitata con 900 chicchi e 900 caselle
337
330
150
62
21
0
1
2
3
4
0
0
0
5
6
7
N = numero di chicchi nella casella
Ciò che abbiamo notato dai grafici è che vi è una certa regolarità con cui le colonne decrescono, se si
esclude la prima “agitata”, influenzata da una disposizione raggruppata dei chicchi in un determinato
punto. Per avere più dati sfruttando un'unica “agitata”, abbiamo pensato di ridurre il numero di caselle
raggruppandole in rettangoli da 2x1 e quadrati da 2x2. Anche in questo caso abbiamo riscontrato una
certa regolarità, ovvero che sono presenti due colonne più alte, e colonne minori che diminuiscono
regolarmente: quelle più alte si spostano verso destra quando il numero di caselle diminuisce (figure 2,
3, 4).
figura 2: agitate con 900 chicchi e 900 caselle senza la
prima agitata
2032
1944
941
369
106
0
1
2
3
4
5
3
0
5
6
7
N = numero di chicchi nella casella
figura 3: agitate 2x1 con 900 chicchi
243
240
162
126
81
32
11
0
1
2
3
4
5
6
3
1
1
7
8
9
N = numero di chicchi nella casella
figura 4: agitata 2x2 con 900 chicchi
89
87
69
66
46
34
25
14
9
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
N = numero di chicchi nella casella
2
1
1
0
1
10
11
12
13
14
Su suggerimento del professore abbiamo ripetuto l’esperimento con 720 chicchi, mantenendo il “triplo
conteggio”, senza sapere perché utilizzare proprio questo numero. In questo caso abbiamo avuto dei
problemi di conteggio, in quanto sommando il numero di chicchi che abbiamo contato, non risultavano
720. Dopo aver ricontato più volte senza migliori risultati, ancora per un suggerimento del professore,
abbiamo inserito nella scatola solo 450 chicchi. A questo punto abbiamo notato che il numero di
chicchi che stavamo contando era esattamente la metà di 900, e che quindi anche 720 doveva essere un
numero non casuale. Infatti il rapporto tra 720 e 900 è uguale a 4/5, cioè 0,8 che è la media di chicchi in
ogni casella. Abbiamo verificato che anche con le altre quantità di chicchi il rapporto aveva un valore
particolare, che nei grafici influenzava le colonne più alte. Era per questo motivo che al diminuire delle
caselle negli esperimenti con 900 chicchi, aumentava la media e di conseguenza le colonne più alte si
spostavano verso destra. Con 450 chicchi, contando ogni volta nei tre modi sopra descritti, abbiamo
ripetuto l’esperimento per 4 volte. In questo caso dall’istogramma che si riferiva al conteggio delle
singole caselle (1x1) risultava che una sola colonna era più alta delle altre, ma l’andamento decrescente
rimaneva invariato (figure 5, 6).
figura 5: agitate con 450 chicchi e 900 caselle
2235
1012
283
60
0
1
2
3
8
2
0
0
4
5
6
7
N = numero di chicchi nella casella
figura 6: agitate 2x1 con 450 chicchi
683
651
313
104
36
0
1
2
3
4
12
0
1
0
0
5
6
7
8
9
N = numero di chicchi nella casella
Abbiamo continuato l’esperimento diminuendo sempre più il numero di chicchi da contare,
analizzando per 10 volte 180 chicchi, e altrettante 10 per 90 chicchi. Ovviamente in queste ultime
occasioni abbiamo riscontrato la presenza di molte caselle con 0 chicchi; nonostante questo continuava
ad esserci la stessa regolarità (figure 7, 8).
figura 7: agitate con 180 chicchi e 900 caselle
7376
1461
150
0
1
2
13
0
3
4
N = numero di chicchi nella casella
figura 8: agitate con 90 chicchi e 900 caselle
8148
806
0
1
44
2
0
2
3
4
N = numero di chicchi nella casella
Grazie alle analisi degli istogrammi abbiamo riconosciuto che il numero di caselle con n chicchi,
decresce sempre più velocemente al crescere di n, ovvero ci è sembrata una decrescita di tipo
esponenziale.
1.3 “COME SAREBBE DOVUTA ANDARE” ovvero POISSON
Come già detto, analizzando gli istogrammi, abbiamo notato che il rapporto tra i chicchi e le caselle,
cioè la media, influenza i risultati. Abbiamo cominciato a ragionare riguardo al risultato che
l’esperimento avrebbe dovuto darci, cercando di confrontare poi i risultati matematici con quelli
ottenuti dall’esperimento. Come si poteva calcolare la probabilità di avere delle caselle con un
determinato numero di chicchi, considerando come valore medio 1 (numero di chicchi uguale al
numero di caselle)?
Dato un numero di chicchi di mais (m), uguale al numero delle caselle (c), abbiamo calcolato la
probabilità che ci sia almeno una casella senza chicchi. (m = c)
Calcoliamo il numero di combinazioni totali, elevando il numero di caselle al numero dei chicchi:
poiché vogliamo che almeno una casella rimanga senza chicchi, sottraiamo 1 al numero delle caselle
totali, lasciando che i chicchi si dispongano liberamente in quelle rimanenti:
quindi la probabilità che volevamo calcolare corrisponde al numero di combinazioni con c-1 caselle,
diviso quelle totali:
quindi:
=
Per generalizzare la legge al caso di valori grandi di c - grazie al fatto che stiamo studiando i limiti nello
studio delle funzioni - abbiamo posto c tendente ad infinito:
questo è un limite notevole che, essendo c = m, corrisponde a
, che ha come risultato
, ovvero un esponenziale. A questo punto abbiamo avuto conferma di ciò che avevamo intuito
osservando gli istogrammi, cioè che in qualche modo la regolarità poteva essere data da un
esponenziale.
Il ragionamento è analogo se vogliamo trovare la probabilità che in una casella arrivino un certo
numero di chicchi (a). Eleviamo quindi il numero di caselle meno 1, al numero di chicchi meno a, e lo
moltiplichiamo a 1, ovvero la casella rimanente (W), nella quale vogliamo far capitare quegli a chicchi.
Naturalmente tutto diviso il numero delle combinazioni possibili:
Ma dobbiamo calcolare tutti i modi con cui si possono prendere gli a chicchi perché si dispongano nella
casella rimanente W:
il numeratore indica il numero di combinazioni in cui a chicchi possono essere presi dall’insieme m, ma
non interessa includere l’ordine con cui si dispongono in W. Quindi dividiamo per a!, cioè il numero di
modi in cui gli a chicchi si possono disporre tra loro.
Il professore ci ha suggerito di semplificare l’equazione: abbiamo quindi moltiplicato il numeratore e il
denominatore per (m-a)!, in modo da avere al numeratore m!:
a questo punto mettiamo in relazione le due equazioni che abbiamo ricavato:
viene eliminato in quanto dà come risultato sempre 1.
lo si può riscrivere come:
=
. Semplificando:
=
quindi risulta l’equazione:
=
Per capire la validità della legge per un numero di caselle sempre maggiore, poniamo c tendente ad
infinito.
Se la soluzione sarà un numero finito la legge sarà valida per tutti i valori di c.
Poiché l’ordine di infinito maggiore è
=
, semplifico il numeratore con il denominatore:
=
In conclusione, ricordando che, se sostituiamo c con
che c = m, risolviamo il limite:
, al denominatore risulta:
=
= 1; e
Abbiamo trovato l’equazione che calcola la probabilità che a chicchi vadano in una casella,
considerando c = m.
e quindi la media
1?
Cosa accadrebbe se
A questo punto la probabilità di avere una casella senza nessun chicco sarebbe:
=
Come fatto precedentemente, per generalizzare il caso bisogna porre c sempre più grande, quindi
poniamo c tendente ad infinito:
=
Quindi, poiché
=
=
, possiamo riscrivere:
infine, siccome
è uguale alla media, che chiamiamo M (o meglio, si suppone che c cresca allo stesso
modo di m, ovvero che il loro rapporto sia costante:
uguale alla probabilità che una casella non abbia alcun chicco.
), concludiamo dicendo che:
è
Allo stesso modo se vogliamo calcolare la probabilità che in una casella cadano a chicchi, sempre
tenendo c m, è sufficiente riprendere l’equazione precedente:
In questo caso, però,
a
=
=
non è più uguale, come avveniva precedentemente, a 1, ma
.
Quindi possiamo riscrivere l’equazione:
=
è uguale a 1 se sostituiamo c con , e
è uguale a
, come dimostrato
Poiché
sopra, possiamo concludere che la probabilità che una casella abbia a chicchi è pari all’equazione:
.
Una volta che abbiamo trovato questa legge, il professore ci ha detto che si trattava della legge di Poisson:
dove λ indica la media e k l’evento di cui vogliamo calcolare la probabilità.
. Per verificare la validità della legge anche in
Se k = 0, allora la legge si riduce all’esponenziale:
questo caso, abbiamo creato un grafico su cui sono indicate le caselle con 0 chicchi al variare della
media.
Caselle con 0 chicchi al variare di Lambda
0,91
0,82
0,67
0,62
0,46
0,38
0,13
0,02
0,1
0,2
0,4
0,5
0,8
1
2
4
Lambda
Poisson per il numero di caselle con 0 chicchi
0,90
0,82
0,67
0,61
0,45
0,37
0,14
0,02
0,1
0,2
0,4
0,5
0,8
1
2
4
Lambda
1.4 POISSON? ovvero IL CONFRONTO TRA “COME È ANDATA” E “COME
SAREBBE DOVUTA ANDARE”
Di seguito riportiamo i grafici realizzati con i dati raccolti nell’esperimento a confronto con gli
istogrammi della legge di Poisson.
Agitate con 900 chicchi e 900 caselle senza la prima
agitata
2032
1944
941
369
106
0
1
2
3
4
5
3
0
5
6
7
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda = 1 per 7 agitate con 900 chicchi
2318
2318
1159
386
97
0
1
2
3
19
3
0
5
6
7
4
N = numero di chicchi nella casella
Agitate 2x1 con 900 chicchi
240
243
162
126
81
32
11
0
1
2
3
4
5
6
N = numero di chicchi nella casella
3
1
1
7
8
9
Poisson con Lambda = 2 per 2 agitate con 900 chicchi
244
244
162
122
81
32
11
0
1
2
3
4
5
6
3
1
0
0
7
8
9
10
N = numero di chicchi nella casella
Agitata 2x2 con 900 chicchi
89
87
69
66
46
34
25
14
9
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
N = numero di chicchi nella casella
2
1
1
0
1
10
11
12
13
14
Poisson con Lambda = 4 per 2 agitate con 900 chicchi
88
88
70
66
47
33
27
13
8
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
1
0
0
0
10
11
12
13
14
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 450 chicchi e 900 caselle
2235
1012
283
60
0
1
2
3
8
2
0
0
4
5
6
7
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=0,5 per 4 volte con 450 chicchi
2184
1092
273
0
1
2
45
6
1
0
0
3
4
5
6
7
N= numero di chicchi nella casella
Agitate 2x2 con 450 chicchi senza la 4a agitata
189
182
121
87
61
23
9
0
1
2
3
4
5
6
3
0
0
0
7
8
9
10
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=2 per 3 agitate con 450 chicchi
183
183
122
91
61
24
8
0
1
2
3
4
5
6
2
1
0
0
7
8
9
10
N = numero di chicchi nella casella
Agitate 2x1 con 450
683
651
313
104
36
0
1
2
3
4
12
0
1
0
0
5
6
7
8
9
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=1 per 4 agitate con 450 chicchi
662
662
331
110
28
0
1
2
3
4
6
1
0
0
0
5
6
7
8
9
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 180 chicchi e 900 caselle
7376
1461
150
0
1
2
N = numero di chicchi nella casella
13
0
3
4
Poisson con Lambda=0,2 per 10 agitate con180
7369
1474
147
0
1
10
0
3
4
2
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 180 chicchi e 225 caselle
1044
770
311
101
0
1
2
3
17
5
2
0
4
5
6
7
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=0,8 per 10 agitate con 180 chicchi
1011
809
324
86
0
1
2
3
17
3
0
4
5
6
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 180 chicchi per 450 caselle
3018
1206
239
0
1
2
33
3
1
0
3
4
5
6
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=0,4 per 10 agitate con 180 chicchi
3016
1207
241
0
1
2
32
3
0
3
4
5
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 90 chicchi e 900 caselle
8148
806
0
1
44
2
0
2
3
4
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=0,1 per 10 agitate con 90 chicchi
8144
814
0
1
41
1
0
2
3
4
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 90 chicchi e 225 caselle
1511
596
126
0
1
2
16
1
0
3
4
5
N = numero di chicchi nella casella
Poisson con Lambda=0,4 per 10 agitate con 90 chicchi
1508
603
121
0
1
2
16
2
0
3
4
5
N = numero di chicchi nella casella
Agitate con 90 chicchi e 450 caselle
3689
727
79
0
1
2
N = numero di chicchi nella casella
5
0
3
4
Poisson con Lambda=0,2 per 10 agitate con 90 chicchi
3684
737
74
0
1
2
5
0
3
4
N = numero di chicchi nella casella
2. UN FENOMENO NATURALE: LA CADUTA POISSONIANA DEI RAGGI
COSMICI
Realizzando questo esperimento abbiamo trovato una regolarità nella caduta dei chicchi di mais, ma a
questo punto ci interessava sapere se questo ordine può appartenere anche a fenomeni naturali. Su
suggerimento del nostro professore, quindi, abbiamo incontrato un docente di fisica dell’Università di
Tor Vergata, che ci ha proposto di confrontarci con il lavoro di un importante esperimento del gruppo
di ricerca a cui afferisce.
Ci ha molto colpito come, impegnandoci in questo esperimento, abbiamo scoperto che vi sono
telescopi attraverso i quali si possono osservare raggi che sfuggono all’occhio umano, come i raggi
infrarossi o radio, che superano i 700 nanometri, e i raggi ultravioletti o gamma, più piccoli di 400
nanometri. È proprio uno di questi telescopi, specializzato nei raggi gamma, che viene utilizzato
nell’esperimento per lo studio di raggi cosmici, cioè particelle pesanti che quando raggiungono
l’atmosfera colpiscono gli atomi e si dividono in coppie a cascata, in gruppi detti sciami. Per evitare che
i raggi si dividano fino alla disintegrazione, è stato scelto un luogo ad altissima quota per poter studiare
il fenomeno, come il Tibet.
L’esperimento che abbiamo affrontato è denominato ARGO-YBJ: Astrophysical radiation with ground-based
observatory-YanBaJing. Si tratta di un apparato a sciame di nuova generazione che viene realizzato in un
osservatorio di radiazione cosmica, nel laboratorio di YanBaJing, in Tibet, a 4300 metri di altitudine. E’
stato assemblato nel 2006 ed è attivo da 3 anni.
Argo dispone di una superficie di 5550 m2 di rivelazione a copertura totale, in grado di massimizzare il
numero di particelle rivelate. Parte dell’esperimento consiste nella misurazione dei tempi di arrivo di
questi sciami su un tappeto sensibile 78 x 74 metri; è stato calcolato che il numero di raggi cosmici è
pari a 3600 in un secondo.
Ci hanno inviato i dati raccolti nel giorno 185esimo dell’anno 2009. Queste informazioni contengono le
rilevazioni dei tempi in cui è arrivato uno sciame, per un totale di 2920097 sciami. Il cronometro ha
iniziato a misurare da 36069, 8667037 secondi e si è fermato a 36885, 0489415, per un totale di 816
secondi di differenza.
Abbiamo utilizzato un programma scritto in linguaggio C per calcolare quante volte lo stesso ritardo
avviene nell’intervallo di un microsecondo (per esempio, quanti ritardi ci sono nell’intervallo di tempo
tra 35 e 36 microsecondi), per raccogliere le differenze temporali tra l’arrivo di uno sciame e l’altro.
Il grafico 1 qui riportato mostra i tempi di attesa tra uno sciame e l’altro nell’asse delle ascisse, e il
numero di sciami arrivati dopo il tempo t nell’asse delle ordinate. Si può così notare che la probabilità
che ci siano tempi di attesa molto lunghi è uguale a zero. Es: non è possibile che in 4001 secondi non
arrivi neanche uno sciame. Successivamente abbiamo provato a vedere cosa sarebbe successo
cambiando gli intervalli di tempo: abbiamo trasformato i microsecondi in decimillesimi (10 alla - 4), in
centomillesimi (10 alla - 5) e in millesimi (10 alla - 6). Osservando i grafici ricavati con questi dati,
abbiamo notato che seguivano un uguale andamento, cioè una decrescita di tipo esponenziale.
Argo
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
27
527
1027
1527
2027
2527
T = Tempo di attesa tra uno sciame e l'altro
3027
3527
4027
Argo 2
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
94
97
10
0
88
91
79
82
85
73
76
67
70
64
58
61
55
52
46
49
43
37
40
34
28
31
19
22
25
13
16
7
10
4
1
0
Abbiamo scoperto attraverso l’osservazione dei grafici che la regolarità che emerge dal nostro
esperimento ritorna in quello di Argo, e considerato che quest’ordine è descritto dalla legge di Poisson,
ci aspettiamo che quest’ultima spieghi anche la caduta dei raggi cosmici. Purtroppo, non siamo riusciti a
ricavarla dai dati perché non abbiamo capito in cosa consisteva il valore di lambda e forse non abbiamo
ben calcolato i tempi di lavoro. Ci sono sorte comunque diverse domande:
1) Qual è la probabilità che aspettando t secondi ci siano zero sciami? Ovviamente più è lungo il
tempo di attesa, minore è la possibilità di trovare zero sciami e viceversa;
2) Ma cos’è lambda, cioè la media attraverso la quale potrei determinare tale probabilità? Può
essere ricavata dal rapporto tra sciami e l’intervallo di tempo in cui questi cadono?
Se c’entrasse veramente la poissoniana (come crediamo e sicuramente cercheremo di scoprire anche
λ k k n ⋅ e − λk
dopo aver consegnato questo lavoro), dovrebbe risultare una legge del tipo
, dove k
n!
dovrebbe essere il tempo del ritardo di arrivo dello sciame e n il numero di sciami arrivati.
In ogni caso è evidente come anche in un fenomeno naturale sia possibile riscontrare la regolarità che
non ci saremmo mai aspettate neanche nella nostra scatola del casο.