raccolta temi d`esame

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Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini
Prova scritta del 19/2/02
Problema 1
(6/30)
Le coordinate spazio-temporali di due eventi sono, per un osservatore O
x1 = 6 * 1 04 m, y1 = z1 = 0 m,t1 = 2 * 1 0−4 s
x 2 = 1 2 * 1 04 m,y 2 = z2 = 0 m,t2 =1*10 −4 s.
L’osservatore O’ viaggia rispetto ad O con velocita’ v lungo l’asse x, e trova che i
due eventi sono simultanei.
Calcolare v.
Problema 2
(6/30)
Verificare la seguente relazione nel caso del sottoguscio n = 2 e l = 1 di un atomo:
l
2l +1
2
= ∑ Υlm .
4
m =− l
Commentare il significato fisico.
Problema 3
(9/30)
Per un oscillatore armonico di pulsazione ω, l’operatore di annichilazione e’, com’e’

h
1 x
noto, a =
, dove
. Si calcoli la media sullo stato
x0 =
+
ix
p
0

m
2  x0
fondamentale 0 degli operatori:
‡
2
W = aa a 4 a
‡
2
‡
‡2
Z = a a + a a aa
2
2
‡2
Problema 4
(9/30)
Usando la regola [AB,C]_ = A[B,C]_ + [A,C]_ B, calcolare i commutatori
[px ,x 2]
[Lz ,x 2 ]
2
[Lz ,x 2]
Soluzione dei problemi
Soluzione 1
t'2 −t'1 =
(t2 − t1 ) − (x2 − x1 )
1−
v
c2
v2
c2
deve esser nullo; risolvendo, si trova
1
v
=− .
2
c
Soluzione 2
Le tre armoniche sferiche sono:
Υ1−1 ( ,
3
−i
sin e , Υ10 ( ,
8
)=
)=
6
cos , Υ11( ,
8
)=
3
i
sin e
8
ed i moduli quadrati
3
6
3
2
2
2
2
2
sin , Υ10 ( , ) =
cos , Υ11 ( , ) =
sin .
8
8
8
la verifica richiesta è immediata. Mediando su un guscio non vi sono direzioni
privilegiate.
Υ1−1 ( ,
)
2
=
Soluzione 3
W = 0 perche’ ci sono 4 operatori di creazione e 5 di annichilazione. Inoltre, usando
le regole di commutazione, e la normalizzazione degli stati,
‡
Z = a (1+ a a)a
2
‡2
= aa
3
‡3
Soluzione 4
[p, x 2 ] = −2ihx
[Lz ,x 2] = 2ihxy
[Lz ,x 2 ] = 2h2 (x2 − y 2 ) + 4ihxyLz
2
= 3!= 6.
Problema 1
(6/30)
Il razzo O’ viaggia rispetto ad stazione spaziale O con velocita’ v.
Il pilota del razzo dice che l’oblo’ da cui guarda la stazione e’ lungo 4 m, e che ad
un certo istante la sua lunghezza e’ stata identica a quella di una finestra della
stazione, parallela al moto.
Il capostazione dice invece che la finestra e’ lunga 5 m.
Qual’e’ la velocita’ v?
Problema 2
(12/30)
Un sistema a 2 livelli e’ descritto dall’Hamiltoniana
H = a b + b a,
dove a e b sono stati quantici ortonormali. Se al tempo t=0 la misura dell’Osservabile
A= a a − b b
fornisce A=1, per quale t per la prima volta il sistema e’ certamente in b?
Problema 3
(12/30)
Una particella di massa m in una dimensione e’ confinata fra 0 e L lungo l’asse x ( il
potenziale e’ nullo fra 0 e L ed infinito fuori). Calcolare gli autovalori dell’energia e
le loro degenerazioni in presenza della piccola perurbazione
H' ( a) = V
( x − a),
a ∈ (−∞,∞).
Prova scritta del 5/3/02: soluzione dei problemi
Soluzione 1
5 = 4 1−
v 3
v2
; risolvendo, si trova = .
2
c
c 5
Soluzione 2
Gli autostati di H sono:
a + b
a −b
, −=
2
2
con autovalori 1 e –1 rispettivamente. Pertanto al tempo t=0,
+
=
(0) =
a =
+
+
2
−
;
al tempo t,
eit + −e− it
( t) = +
= a cos(t) − i b sin( t).
2
Quindi, il sistema si trovera’ per la prima volta in b per t =
2
.
Soluzione 3
Se a non e’ nell’intervallo, la correzione e’ nulla e lo spettro, com’e’ noto’ e’ dato da
h2 2 2
n =
2 n ,n = 1,2,....
2mL
h2 2 2
Altrimenti, n ≈
2 n +
n H' ( a) n
2mL
dove, con x nell’intervallo,
n a
2 n x
2V
; la correzione vale n H' (a) n =
.
sin
sin 2 
n (x ) =
 L 
L  L 
L
Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali
Prof.Michele Cini-Prova scritta del 30/9/2002
Problema 1
(9/30)
Una astronave viaggia rispetto ad una stazione spaziale con velocita’ v.
Il pilota piazza due specchi A e B, il primo in testa e l’altro in coda, a distanza
AB=2l0 fra loro;
l0
l0
S
A
B
una sorgente di luce S in mezzo all’astronave emette un segnale che arriva
simultaneamente in A e B dopo un tempo 0.
Per un osservatore sulla stazione spaziale l’arrivo del segnale in B precede
l’arrivo in A di un tempo ∆t.
∆t
qual’e’ la velocita’ v?
Se
=1,
0
Problema 2
(12/30)
Un oscillatore è preparato al tempo t=0 nello stato ψ (0 ) =
1
2
1 +
2 , dove n
5
5
1

indica l’autostato con autovalore En = hω n +  .

2
a) Scrivere la funzione d’onda al tempo t.
b) Calcolare il valore d’aspettazione dell’energia.
c) Calcolare il valore d’aspettazione dell’operatore posizione.
Problema 3
(9/30)
0 0
Un sistema quantistico a 2 livelli ha hamiltoniana H = 
 .
0 
Si calcoli in funzione di α reale il valore di aspettazione dell’energia nello stato (da
0 1 



 1
normalizzare) = e 0 0  . (Cenno: espandere l’esponenziale).
 0
Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali
Prof.M.Cini- risoluzione dei problemi -Prova scritta del 30/9/2002
Soluzione 1
l0
v2
; nella stazione spaziale la lunghezza e’ l = l0 1− 2 .
c
c
l
l
I tempi per arrivare in A e in B sono dati da A =
, B=
.
c+ v
c− v
∆t
v 1
2v
Quindi
=
, e viene =
.
2
2
c
5
c −v
0
Per l’astronauta,
(0)
=
Soluzione 2
3
5
−i ωt
− i ωt
1
2
2
2
.
a) ψ( t) =
1e
+
2 e
5
5
1

b) H = hω a + a +  ,dunque

2
H =
3
5
3
5
 1
i t
i t 
−i t
−i t 
23 .
2
1  1
2
 +

1e 2 +
2 e 2  h a a + 
1e 2 +
2 e 2 = h
 
 10
 5
5
2  5
5
<H> e’ una costante.
h
4 h
+
c) x (t ) =
ψ (t ) a + a ψ ( t ) =
cosωt .
2mω
5 mω
Oscilla in funzione del tempo con la frequenza del quanto.
Soluzione 3
1
=  ; normalizzando,
 
Poiche’ il quadrato della matrice all’esponente e’ nullo,
Si ottiene
=
2
1
1+
2
, e il valor medio e’ H =
1+
2
.
Problema 1
(10/30)
Un razzo si allontana da terra in linea retta lungo l’asse x positivo. Un UFO viene
avvistato da terra e da un razzo, mentre si muove anch’esso in linea retta lungo l’asse
x. Visto da terra, l’UFO si muove a 0.5 c, mentre visto dal razzo si muove a –0.5 c.
Qual’e’ la velocita’ del razzo?
Problema 2
Si calcoli il commutatore [e , p̂]− .
(10/30)
ikx
Problema 3
(10/30)
Siano M ,M =1,0, −1 gli autostati di L2,Lz con L = 1, Lz = M. Su questa base, esprimere
l’autostato di L2,Lx con L = 1, Lx =1.
Soluzione 1
La legge di composizione relativistica delle velocita’ dice che VT =
la velocita’ incognita, u =
VR −VT
; viene u=0.8 c.
1−VR VT
VR + u
dove u e’
1+ uVR
Soluzione 2
E’ noto dal corso che [ x n , p̂]− = ihnx n −1, cioe’ [ x n , p̂]− = ih
ih
d n
x . La risposta e’
dx
d ikx
ikx
e = −hke .
dx
Soluzione 3
0 1 0
1
1 0 1 . L’autovettore con
E’ noto dal corso che sulla base indicata Lx =

2
 0 1 0
1 + 2 0 + −1
autovalore 1 e’
.
2
Problema 1
Un punto materiale in una dimensione ha una lagrangiana classica
1
1
L(x, ẋ) = mẋ 2 − kx 2 ; si passi ad un sistema di riferimento naturalmente accelerato
2
2
1
di cordinata s ponendo x = s + at 2 . Si ricavino le equazioni del moto nei due
2
sistemi di riferimento dandone una breve discussione fisica.
Problema 2
Da una astronave A esce un razzo B che a sua volta lancia una scialuppa spaziale C
contenente un cannone che spara un proiettile D. La velocita’ di A rispetto a terra e’
v=0.5 c, ma anche la velocita’ di B rispetto ad A, di C rispetto a B e di D rispetto a C
sono tutte parallele ed uguali a v. Qual’e’ la velocita’ di D rispetto a terra?
Problema 3
 1
=   ; qual’e’ il valore di aspettazione
0 
rr
r
.n dello spin nella direzione n = (sin cos ,sin sin ,cos )? Qual’e’ la
probabilita’ che misurando lo spin in tale direzione si trovi che e’ su?
Un elettrone e’ descritto dallo spinore
Soluzione 1
2
1
1  1 
2
L(s, ṡ,t) = m ( ṡ + at) − k s+ at 2 ;
2
2  2 
dalle equazioni di Eulero-Lagrange viene
1 2 2
m( s˙˙ + a) = −k(s+ at ) . Nel sistema accelerato il punto di equilibrio dell’oscillatore
2
accelera e compare una forza inerziale.
Soluzione 2
vA + u
Usando vB =
, e simili, si trova in successione
1+ v Au
v B = 0.8, vC = 0.928571, v D = 0.97561, sempre in unita’ di c.
Mediando
r r  cos
.n =
sin ei


cos 

2
↑ =
   i
sin e
  2
Soluzione 3
sin e 
rr
 viene .n = cos . Poiche’
− cos 
−i

2
 
 la probabilita’ e’
.
P↑ = cos
,
 2


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