Geometria analitica - Matematica e Fisica

Geometria analitica - Quesiti esame di stato
Retta
1. Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A2 ;−1 e B −6 ;−8 . Si determini
l’equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A. [Q3 PNI 2013]
2. Si determini la distanza delle due rette parallele: 3 x y−3  10=0 e 6 x2 y5  10=0 .
[Q1 sup 2008]
3. Dato un sistema di riferimento cartesiano in un piano, si dica che cosa rappresenta l’insieme dei
punti P 1t 2 , 1t 2  , ottenuto al variare di t nei reali.
[Q10 sup 2008]
4. In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnato un triangolo
qualsiasi. Dimostrare le formule che esprimono le coordinate del baricentro del triangolo in
funzione delle coordinate dei suoi vertici.
[Q7 PNI str 2004]
5. In un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto a un cerchio, AB è la base maggiore, CD la minore
e BC il lato obliquo. Le misure, considerate rispetto alla stessa unità di misura, del raggio del
cerchio e del perimetro del trapezio sono nell’ordine 2 e 18.
a) Calcolare le misure dei lati del trapezio.
b) Riferito il piano della figura a un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), scrivere le
coordinate dei vertici del trapezio.
[P2 PNI sup 2003]
6. Nel triangolo ABC , rettangolo in A, si ha: AB=2 AC , BC =a , con a lunghezza nota.
i. Stabilire se la bisettrice AD e la mediana CE del triangolo sono perpendicolari o no e darne
esauriente spiegazione.
ii. Dopo aver riferito il piano del triangolo ABC ad un conveniente sistema di assi cartesiani,
trovare le coordinate dei punti A; B; C e del punto in cui si secano le rette AD e CE.
[P1 Mag PNI 2001]
7. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani Oxy sono assegnati i punti A2 , 0 e
B 0 , 4 . Sia P  x , y un punto del piano tale che x0 e y0 e C, D, E, F i punti medi
dei lati OA, AP, PB, BO del quadrilatero OAPB. Il quadrilatero:
a. dica quali posizioni deve occupare P perché il quadrilatero OAPB degeneri in un triangolo;
b. dimostri che il quadrilatero CDEF è un parallelogramma;
c. dica quali posizioni deve occupare P perché il parallelogramma CDEF sia un rettangolo;
d. dica quali posizioni deve occupare P perché il parallelogramma CDEF sia un rombo;
e. dica dove si trova P quando il parallelogramma CDEF è un quadrato e ne determini le
coordinate;
f. dimostri che l'area del parallelogramma CDEF è metà dell'area del quadrilatero OAPB;
g. esprima in funzione dell'ascissa di P il rapporto z tra l'area del quadrato di lato EF e l'area del
parallelogramma CDEF quando P, oltre a rispettare le condizioni inizialmente assegnate,
appartiene alla retta di equazione y=4−x .
[P1 PNI 1996]
8. Considerato il triangolo equilatero ABC, chiamare: C', C" i punti che dividono il lato AB in tre
parti congruenti (AC' < AC"); A', A" i punti che dividono il lato BC in tre parti congruenti (BA' <
BA"); B', B" i punti che dividono il lato CA in tre parti congruenti (CB' < CB").
Indicare quindi con: L il punto intersezione dei segmenti AA' e BB"; M il punto intersezione dei
segmenti AA' e CC"; N il punto intersezione dei segmenti BB' e CC"; P il punto intersezione dei
segmenti BB' e AA"; Q il punto intersezione dei segmenti CC' e AA"; R il punto intersezione dei
segmenti CC' e BB". Dimostrare, con il metodo che si preferisce, che l'area dell'esagono
LMNPQR è 1/10 di quella del triangolo ABC.
[P1 1995]
9. In un sistema di assi cartesiani ortogonali si scriva l'equazione della retta r' simmetrica, rispetto
alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, di una generica retta r di equazione y=mx . Si
individui la coppia di rette r ed r' tali che il triangolo isoscele formato da esse e da una
perpendicolare alla bisettrice considerata abbia l'altezza uguale alla base.
[P4 1987]
10.Due numeri x e y hanno somma e quoziente uguali a un numero reale a non nullo.
Riferito il piano ad un sistema S di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche  x ; y :
a) si interpreti e discuta il problema graficamente al variare di a;
b) trova l’equazione cartesiana del luogo dei punti che soddisfano il problema. [P1 PNI 2002]
11.Dati i punti A2 , 0 e B 4 , k  , con k ∈ℝ , sia P il punto ottenuto dalla intersezione della
retta x=k con la perpendicolare per B alla retta AB.
2
x −2 x8
Dimostra che il luogo geometrico descritto da P al variare di k ha equazione y=
.
x
[P2 Com 2010]
12.Nel piano riferito a coordinate cartesiane, siano: S il punto di coordinate (0,4); P un punto della
retta r di equazione 2 x – y – 2=0 ; n la retta per S perpendicolare alla congiungente S con P; Q
il punto di intersezione di n con la retta s parallela per P all’asse y. Trovate l’equazione cartesiana
del luogo G descritto da Q al variare di P su r.
[P2 Lat 2003]
13.Studiare il luogo dei punti del piano tali che la somma delle loro distanze da due rette
perpendicolari fissate nel piano non superi 1.
[Q3 Spe sup 2002]
Circonferenza
14.In un riferimento cartesiano Oxy siano C1 e C2 le circonferenze di equazioni:
x 2 y 24 x=12 e x 2 y 2−4 x=12 .
Si determinino le coordinate dei punti A e B comuni alle due circonferenze e si calcoli l’area
della regione di piano Σ comune ai due cerchi.
[P1 Eur 2013]
15.In un riferimento cartesiano Oxy si consideri la semicirconferenza γ, tangente nell’origine
all’asse y, passante per il punto A(2;0) e appartenente al primo quadrante.
a. Sia X un punto del diametro OA, distinto da O, Q il punto di γ avente la stessa ascissa di X e B
il punto in cui la semiretta OQ incontra la tangente in A alla semicirconferenza. Determina un
punto P della semiretta XQ tale che i due triangoli OPX e OQA abbiano uguale area. Sia P1 la

posizione di P quando AOQ=/6
; si determinino le coordinate di P1.
b. Si provi che il luogo geometrico descritto da P, al variare di X su OA, è il ramo, appartenente
al primo quadrante, della curva di equazione xy 24 x−8=0 .
[P2 Bra 2011]
16.I vertici di un triangolo sono: O 0 , 0 , A0 , 2 , B 1 ,1 . Trova le equazioni delle
circonferenze g1 e g2 inscritta e circoscritta al triangolo.
[Q6 PNI str 2010]
17.Sia t una retta e P un punto non appartenente ad essa. Dimostra che le circonferenze di raggio
assegnato r, passanti per P e con centro su t sono al più due.
[Q3 Aus 2009]
18.Nel piano riferito a un sistema Oxy di coordinate cartesiane traccia il diagramma del luogo dei
punti del quarto quadrante che hanno dall'origine una distanza quadrupla di quella che hanno dal
punto A2 , 0 .
[Q8 Aus 2009]
19.La circonferenza S1 di centro C e raggio a=1 , appartiene al semipiano delle y positive ed è
tangente all’asse x nell’origine O del sistema di riferimento.
a. Da un punto P dell’asse x, distinto da O, si conduca l’ulteriore tangente a S1 e si indichi con T
il punto di tangenza. Successivamente, si consideri la circonferenza S2 tangente esternamente a
S1 nel punto T e tangente altresì all’asse x in un punto A; si denoti con B il centro di S2 e con b il
suo raggio. Si dimostri che i triangoli OTA e CPB sono entrambi rettangoli e che OP 2=ab .
b. Qual è il luogo geometrico descritto da B al variare di P sull’asse x?
c. Dimostra che l’area S del quadrilatero OABC in funzione dell’ascissa x di P è espressa da:
2
f  x=∣x∣ x 1 .
[P1 Eur 2014]
20.Rispetto a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) si consideri il punto A(2; 0).
Scrivi l’equazione del luogo dei punti del piano che verificano la condizione PO 22 PA2=8
controllando che si tratta di una circonferenza di cui si chiedono le coordinate del centro e il
raggio.
21.È assegnata la funzione f a  x=
[P2 PNI sup 2007]
a
2 , dove a è un parametro reale non nullo.
1 x
b) Una volta riferito il piano a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy) e
indicato con A il punto di massimo del grafico G della funzione quando a≠0 , scrivere
l’equazione della circonferenza g di diametro OA.
c) Determinare quanti e quali punti hanno in comune la circonferenza g e la curva G, quando a
varia nell’insieme dei numeri reali positivi.
d) Calcolare il valore di a per il quale la circonferenza g e la curva G hanno in comune i vertici di
un triangolo equilatero.
[P2 PNI sup 2005]
22.In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnato il
luogo geometrico dei punti che soddisfano l'equazione: 8 x 28 y 2−4 kx8 y−3 k =0 , dove k
è un parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da: 1) un punto; 2) due
punti; 3) infiniti punti; 4) nessun punto.
[Q2 PNI str 2003]
23.Si consideri la seguente equazione in x, y: 2 x 22 y 2 x yk =0 , dove k è un parametro
reale. La sua rappresentazione in un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani:
a. è una circonferenza per ogni valore di k.
b. è una circonferenza solo per k 1/2 .
c. è una circonferenza solo per k 1/ 4 .
d. non è una circonferenza qualunque sia k.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e giustificare la risposta.
[Q1 sup 2002]
24.Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati
i punti: A(0, 2), B(1, 1), C(1, 0). Trovare l’equazione della circonferenza γ inscritta nel triangolo
OAB.
[P2 PNI 2001]
25.In un piano sono assegnati una retta r ed un punto H la cui distanza da r è 3/ 2 rispetto ad una
data unità di misura delle lunghezze.
a) Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), determinare
sulla retta r due punti A e B tali che il triangolo HAB sia equilatero e trovare l’equazione della
circonferenza circoscritta al triangolo.
b) Determinare l’equazione in t che risolve la seguente questione: «Condurre, ad una distanza t
dal punto H, la retta s parallela ad r in modo che intersechi la circonferenza e il triangolo suddetti
e, indicate con PQ ed RS le corde che su tale retta s intercettano nell’ordine la circonferenza e il
triangolo medesimi, risulti: PQ=k⋅RS , dove k è un parametro reale assegnato».
c) Posto, nell’equazione trovata, t= X e k 2=Y , esprimere Y in funzione di X.
[P1 Eur 2004]
26.In un piano riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è assegnato il
luogo geometrico dei punti che soddisfano all'equazione 3 x 23 y 2−6 kx y2=0 , dove k è
un parametro reale. Determinare, se esistono, i valori di k per cui il luogo è costituito da:
A) un punto; B) due punti; C) infiniti punti; D) nessun punto.
[Q3 Spe 2002]
27.Le misure a, b, c dei lati di un triangolo ABC sono in progressione aritmetica di ragione k.
a) Si esprima, in funzione di k, il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo;
b) si stabilisca il valore di k per il quale r è massimo;
c) si fissi nel piano del triangolo un conveniente sistema di assi cartesiani, ortogonali e
monometrici, e, per il valore di k determinato in b), si scrivano le coordinate dei vertici del
triangolo ABC nonché le equazioni delle circonferenze, inscritta e circoscritta, ad ABC.
[P1 PNI sup 2001]
28.Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), sono assegnati i punti A(0; 2); B (1; 1);
C (1; 0). Trova l'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo OAB.
[P2 PNI 2000]
29.Considerato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, indicare con D il piede della sua altezza
condotta per C e costruire il triangolo ECD, isoscele sulla base CD e simile a quello dato, in
modo che il punto E cada dalla stessa parte di A rispetto a BC. Sia BC =4 e CD=  3 .

a) Dimostrare che l'angolo ECB
è retto.
b) Riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, trovare
l'equazione della circonferenza K passante per i punti A, C, D.
c) Spiegare perché K passa pure per E.
d) Detto F il punto in cui K seca ulteriormente CB, calcolare le aree delle due regioni piane in cui
il minore degli archi DF di K divide il quadrilatero ABCE.
[P3 1994]
30.Dati i due punti A (-1, 0) e B (1, 0) determinare il luogo dei punti P  x , y tali che:
PA
=k con k 0 . Descrivi le caratteristiche di tale luogo.
[P3 sup 1992]
PB
31.Si consideri in un piano cartesiano ortogonale Oxy la circonferenza di centro A1 , 0 passante
per l'origine degli assi. Detta r la retta di equazione y=mx , sia OPQ il triangolo rettangolo
inscritto nella circonferenza il cui cateto OP appartiene alla retta r. Esprimi in funzione di m
l'area del rettangolo avente come lati i cateti del triangolo OPQ.
[P1 PNI sup 1992]
32.Si considerino due circonferenze di centri A e A' e, rispettivamente, di raggi 9 e 1, tangenti
esternamente nel punto O. Sia r la tangente comune in O ed s una retta tangente ad entrambe le
circonferenze nei punti B e B'. Detto C il punto d'intersezione delle rette r ed s, si dimostri che i
triangoli ACA' e BOB' sono rettangoli e si calcoli il rapporto delle loro aree. [P3 1991]
33.In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri nel primo quadrante la circonferenza di raggio
unitario tangente ai due assi coordinati. Detta r una retta passante per l'origine e secante la
circonferenza nei punti A e B, determina, al variare di r, l'area del triangolo ABC, essendo C il
centro della circonferenza.
[P1 sup 1991]
34.In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) sono assegnati i punti
A4 ; 0 e B 2 ; 0 e la retta r per B di coefficiente angolare −4/3 . Si scrivano le
equazioni delle due circonferenze tangenti in A all'asse delle ascisse e tangenti alla retta r.
Indicati con C e C' i centri delle due circonferenze e con D e D' i rispettivi punti di contatto di
queste con la retta r, si determinino l'area e il perimetro del quadrilatero CDD'C'. Si dimostri che
i triangoli DAD' e CBC' sono simili e se ne dica il rapporto di similitudine.
[P2 sup 1989]
35.Sia data nel piano cartesiano la circonferenza A di raggio uno e centro nell'origine. Si
determinino le equazioni delle circonferenze B e C appartenenti al primo quadrante, tangenti ad
entrambi gli assi coordinati e alla circonferenza A e, rispettivamente, interna ed esterna ad A. Le
circonferenze B e C e gli assi coordinati determinano tre regioni finite appartenenti al primo
quadrante ed esterne a B e C. Si calcoli l'area complessiva delle tre regioni.
[P1 1986]
36.In un sistema di assi coordinati cartesiani si scrivano le equazioni delle due circonferenze
passanti per l'origine O ed aventi i centri rispettivamente nei punti C'(2; 0) e C"(-1/2; 0). Conduci
per il punto O due rette mutuamente perpendicolari, delle quali la prima incontra le due
circonferenze, oltre che nel punto O, nei due punti A e B rispettivamente e la seconda nei punti C
e D. Esprimi l'area del quadrilatero ACBD in funzione del coefficiente angolare della retta AB.
[P1 1981]
37.Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si considerino i triangoli
ABC con A(1; 0), B(3; 0) e C variabile sulla retta di equazione y=2 x .
a. Si provi che i punti (1; 2) e 3/5 , 6/5 corrispondono alle due sole posizioni di C per cui è

ACB=/
4 .
b. Si determini l’equazione del luogo geometrico descritto, al variare di C, dall’ortocentro del
triangolo ABC.
[P1 PNI 2008]
38.In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate
le rette r ed s di equazioni rispettivamente 2 xmy=1 e mx−2 y=2 , dove m è un
parametro reale. Qual è l’equazione del luogo geometrico descritto dal punto di intersezione delle
due rette al variare di m?
[Q7 sup 2005]
39.Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA=a , la retta t tangente a g in A, una retta r
passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t.
La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t si intersecano in P.
Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria
Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].
a. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB=OA: DP ; OC : DP=DP : BC ,
dove D è la proiezione ortogonale di B su OA.
b. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e
3
monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di G è: y=
a
2
2 .
x a
[P1 PNI 2003]
40.Sia AB un segmento di lunghezza 2a e C il suo punto medio. Fissato un conveniente sistema di
coordinate cartesiane monometriche (Oxy):
PA
=k ( k 0 ) è una circonferenza
PB
a) si verifichi che il luogo dei punti P tali che
(circonferenza di Apollonio) e si trovi il valore di k per cui la soluzione degenera in una retta;
b) si determini il luogo geometrico dei punti X che vedono AC sotto un angolo di 45°.
[P1 PNI 2001]
41.Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche  x , y , si consideri il
luogo geometrico γ dei punti P che vedono il segmento di estremi A(0, 1) e B(2, 1) sotto un

angolo APB=/
4 e se ne disegni il grafico.
[P1 Spe sup 2001]
42.Sia r la retta di equazione x−1=0 e P un suo punto. Siano A e B i punti di intersezione della
retta OP con la circonferenza di centro P e raggio
2
.
Verifica che il luogo di A e B, al variare del punto P su r, è dato dalle curve di equazioni:
x
f  x=±
7−2 x x 2 .

[P2 PNI 1997]
x−1
Parabola
43.Del trapezio ABCD si hanno le seguenti informazioni: la base maggiore AB e la base minore DC
misurano rispettivamente 4 m e 1 m, l’altezza del trapezio misura 3 m e la tangente dell’angolo

è uguale a 3/ 2 . Riferito il piano del trapezio ad un conveniente sistema di assi
DAB
cartesiani, si trovi l’equazione della parabola Γ avente l’asse perpendicolare alle basi del trapezio
e passante per i punti B, C, D.
[P2 sup 2013]
44.Nel riferimento cartesiano Oxy si consideri il triangolo di vertici O, B(1; 0), A(0; a) con a0 .
Preso un punto P interno al triangolo, si denotino con Q e con R i punti in cui la retta per P,
parallela all’asse y, taglia i lati OB e AB rispettivamente.
a. Si dimostri che il luogo dei punti P, interno al triangolo OBA, tali che QP : QR=OQ : OB è
un arco della parabola G di equazione y=ax 1− x .
b. Si verifichi che il lato BA del triangolo e la mediana ad esso relativa sono tangenti a G
rispettivamente in B e O.
[P1 Ame 2011]
45.Nel sistema di riferimento cartesiano Oxy si consideri il quadrato OABC, dove A1 ; 0 e
C =0 ;1 . Sia P un punto appartenente al lato AB. Si considerino le parabole, con asse
parallelo all’asse y, passanti per O e per P e tangenti al lato BC. Quali sono i possibili vertici di
tali parabole, al variare di P su AB?
[P1 Eur 2011]
46.Nel piano riferito a un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di
equazioni: y 2=2 ax e x 2=ay . Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate
dei fuochi, le equazioni delle rispettive rette direttrici e il punto d’intersezione delle due parabole
diverso dall’origine O.
[P2 PNI 2010]
(Il quesito, che è collegato al problema classico della duplicazione del cubo, è stato riproposto
in diverse occasioni, con delle piccole variazioni nel testo).
47.Sia data la parabola di equazione y=ax 2bxc . Determina a, b, c in modo che la parabola
passi per i punti A0 ,−6 , B 1 , 0 e nel punto B sia tangente alla retta di coefficiente
angolare uguale a 5.
[P1 str 2008]
48.Data la semicirconferenza Г che ha centro in C e diametro AB= 2, si determini su Г un punto P
tale che detta Q la sua proiezione ortogonale sulla tangente in B a Г, si abbia APPQ=k ove
k è un parametro reale diverso da zero.
[P1 Ame 2008]
49.La circonferenza γ passa per B (0, -4) ed è tangente in O (0, 0) alla retta di coefficiente angolare
–4; la parabola λ passa per A(4, 0) ed è tangente in O a γ. Si disegnino γ e λ e se ne determinino
le rispettive equazioni cartesiane.
[P1 Eur 2008]
50.Si determini l’equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti
alla parabola y= x 21 nel punto (1, 2).
[Q7 PNI 2007]
51.Nel piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate
le due parabole p′ e p″ di equazioni rispettivamente: y= x 2 , x= y 2−2 y .
a) Fornirne la rappresentazione grafica, dopo aver determinato, fra l’altro, i loro punti comuni.
b) Indicato con V′ il vertice della parabola p′, con V″ il vertice della parabola p″ e con P il punto
in cui p″ interseca il semiasse positivo delle y, calcolare l’area della regione finita di piano
delimitata dall’arco V′V″ della parabola p′, dall’arco V″P della parabola p″ e dal segmento V′P.
[P1 PNI sup 2006]

52.È dato il triangolo ABC in cui: AB=25/2 , AC =5  5 , tg A=2
.
Determinare l’altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza k avente centro
in C e tangente al lato AB.
Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, in
modo, però, che uno degli assi di riferimento sia parallelo alla retta AB:
a) scrivere l’equazione della circonferenza k;
b) trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del punto D in cui la circonferenza k interseca
il segmento BC;
c) determinare l’equazione della parabola p, avente l’asse perpendicolare alla retta AB, tangente
in D alla circonferenza k e passante per A;
e) trova le coordinate dei punti comuni alla circonferenza k ed alla parabola p.
(I calcoli dei punti c, e sono estremamente laboriosi).
[P1 PNI str 2006]
53.Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali Oxy, è assegnata la
parabola p’ di equazione y=ax 2 , dove a è un numero reale positivo assegnato.
a) Condotta una generica retta t per il fuoco F della parabola p’ e chiamato M il punto medio del
segmento che p’ intercetta su t, trovare le funzioni x k  e y k  che forniscono, nell’ordine,
l’ascissa e l’ordinata di M per mezzo della pendenza della retta t.
b) Considerate le equazioni x k  e y k  ed eliminato il parametro k fra esse, si trova
l’equazione di una seconda parabola p” (luogo geometrico del punto M al variare di t nel fascio
di centro F).
c) Calcolare l’area A della regione piana R delimitata dalle parabole p’ e p” e dalle rette di
equazioni x=0 e x=2 a .
[P2 Ame 2006]
54.Nel piano Oxy sono date le curve l e r di equazioni  : x 2=4 x− y , r : 4 y= x6 .
a. Si provi che l e r non hanno punti comuni.
b. Si trovi il punto P ∈ che ha distanza minima da r.
c. Si determini l’area della regione finita di piano racchiusa da l e dalla retta s, simmetrica di r
rispettoall’asse x.
d. Si determini il valore di c per il quale la retta y=c divide a metà l’area della regione S del I
quadrante compresa tra l e l’asse x.
[P1 PNI 2005]
55.Siano date la parabola λ e la retta r di equazioni rispettive y= x 21 e y= x−1 .
a. Quale è la distanza minima tra λ e r? E quale ne è il valore?
b. Siano A e B i punti d’intersezione di λ con la retta s di equazione y=x3 ; si determini il
punto P appartenente all’arco AB tale che il triangolo ABP abbia area massima.
c. Si determini l’area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è 4/3
dell’area del triangolo ABP.
[P2 Est 2005]
56.In un piano è assegnata la parabola p di vertice V e fuoco F tali che, rispetto a una assegnata
unità di lunghezza, il segmento VF sia lungo 1/ 2 . Indicato con E il punto simmetrico di F
rispetto a V e riferito il piano a un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy):
a) determinare l’equazione della parabola p e stabilire se esiste un punto A di p tale che il
triangolo AEF sia rettangolo in A;
b) chiamato P un generico punto della parabola p, trovare le coordinate del baricentro G del
triangolo PEF e determinare l’equazione del luogo geometrico k descritto dal punto G al variare
di P su p;
c) indicati con R ed S due punti appartenenti il primo alla parabola p e il secondo al luogo k e
situati nel 1° quadrante su una retta r perpendicolare all’asse di simmetria della parabola p,
calcolare a quale distanza da V bisogna condurre la retta r affinché l’area della regione finita di
piano delimitata dal segmento RS, dall’arco VR della parabola p e dall’arco VS del luogo k sia
uguale a 83−  3/9 ;
d) stabilire se la distanza trovata è espressa da un numero razionale.
[P1 PNI str 2004]
57.In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le parabole di
equazione: y=a−1 x 2−2 axa 2 , dove a è un parametro reale diverso da 1.
a) Determinare quali tra esse hanno punti in comune con l’asse x.
b) Trovare le due parabole che hanno il vertice in un punto di ascissa a.
c) Stabilire se le due parabole trovate sono congruenti o no, fornendo un’esauriente spiegazione
della risposta.
d)Scrivere l’equazione del luogo geometrico L dei vertici delle parabole assegnate.
[P1 PNI sup 2003]
58.La base minore, la base maggiore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell’ordine:
6 cm, 10 cm, 4 4  5cm .
a) Dire, giustificando la risposta, se il trapezio è circoscrittibile a una circonferenza.
b) Spiegare perché il trapezio è inscrittibile in una circonferenza k.
c) Dopo aver riferito il piano del trapezio a un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali,
trovare l’equazione di k.
d) Trovare l’equazione della parabola p passante per gli estremi della base minore del trapezio e
avente l’asse perpendicolare a tale base e il vertice nel centro di k.
e) Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il trapezio. [P2 str 2003]
59.Con riferimento a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy):
a) scrivere l’equazione della circonferenza k con centro nel punto (8; 2) e raggio 6 e calcolare le
coordinate dei punti M ed N in cui la bisettrice b del 1° e 3° quadrante interseca la curva;
b) scrivere l’equazione della parabola p avente l’asse parallelo all’asse delle ordinate, tangente
all’asse delle ascisse in un punto del semipiano x0 e passante per i punti M ed N;
c) calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola p e dalla bisettrice b;
d) verifica che la circonferenza k e la parabola p non hanno altri punti in comune oltre ad M ed
N.
[P1 str 2002]
60.Dimostrare che le curve di equazione y= x 2kxk , assegnate in un riferimento cartesiano,
passano tutte per uno stesso punto.
[Q8 str 2002]
61.In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la
parabola p di equazione: y= x 2 x1 .
a) Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di
contatto.
b) Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che
il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.
c) Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per A.
e) Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k. [P1 Lat sup 2002]
62.Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:
BD=DE =EC . Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.
a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.
b) Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia 45 a 2 / 2 , dove a è una lunghezza assegnata,

e ammesso che l’angolo ABC
sia acuto e si abbia inoltre: AB=13 a , BC =15 a ,
verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo.
c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente
sistema di assi cartesiani, trovare l’equazione della parabola avente l’asse perpendicolare alla
retta BC e passante per i punti M, N, C.
[P2 2001]
63.Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k circoscritta ad
esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indicare con D la proiezione ortogonale di A su t e con
E quella di A su BC.
a) Dimostrare che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.
b) Ammesso che le misure del raggio della circonferenza k e del segmento AE, rispetto ad
un’assegnata unità di misura, siano 5/ 4 e 2, riferire il piano della figura ad un conveniente
sistema di assi cartesiani (Oxy), in modo però che l’asse x sia parallelo alla retta BC.
Trovare: le coordinate dei punti B, C, D; l’equazione della circonferenza k; l’equazione della
parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti B, C, D.
c) Stabilire analiticamente se la circonferenza k e la parabola p hanno altri punti in comune oltre
ai punti B e C.
[P1 Bor 2005]
64.In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la parabola p di
equazione: y= x 2 / 2− x1 .
a) Determinare le equazioni della retta t tangente alla parabola nel suo punto C di ascissa 0 e
della retta s perpendicolare alla retta t e tangente alla parabola medesima.
b) Dopo aver controllato che la retta s e la parabola si toccano nel punto A(2; 1), trovare le
equazioni delle circonferenze tangenti alla parabola nel punto A e tangenti alla retta t.
[P1 Lat 2001]
65.Una parabola passante per A e B divide il triangolo ABC in due parti equivalenti. Supposto ABC
equilatero di lato 3 cm e l'asse della parabola perpendicolare al segmento AB, in un
conveniente sistema di riferimento si determinino:
i. le coordinate di A; B e C ;
ii. l'equazione della parabola;
iii. l'equazione del cerchio inscritto nel triangolo ABC.
[P1 sup 2000]
66.In un piano a sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza data r e una parabola p
passante per gli estremi A; B di un diametro di k e avente come asse di simmetria l'asse del
segmento AB. L'area del segmento parabolico delimitato dalla parabola p e dal segmento AB è
2
8 r /3 . Dopo aver riferito il piano a ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy):
i. determinare l'equazione della circonferenza k;
ii. determinare l'equazione della parabola p;
iii. trovare le coordinate dei punti comuni a k e p.
[P2 1999]
67.In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è data la parabola γ di
equazione y= x 2 / 2− x . Siano A un punto dell’asse x di ascissa λ, con λ>0, B il suo simmetrico
rispetto ad O, e A’ e B’ i punti della parabola le cui proiezioni ortogonali sull’asse x sono
rispettivamente A e B. Il candidato:
a. verifichi chele tangenti a e b alla parabola γ, rispettivamente in A’ e B’, si incontrano in un
punto E dell’asse y;
b. detti C e D i rispettivi punti d'intersezione di a e b con l’asse x, esprima in funzione di λ l’area
s del triangolo CED.
[P1 PNI 1999]
68.In un piano sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza nota r ed una parabola p
che seca k nei punti A e B e passa per il suo centro C. Inoltre l'asse di simmetria della parabola è
perpendicolare alla retta AC e la corda AB è lunga quanto il lato del triangolo equilatero inscritto
in k. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy):
a) determinare l'equazione della parabola p;
c) considerata la retta t, tangente alla parabola p e parallela alla retta AB, trovare la distanza delle
rette t ed AB;
d) dimostra analiticamente che p e k non hanno altri punti comuni oltre ad A e B.
[P1 1997]
69.Data l'equazione y=ax 2bxc , rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane
ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determina, in funzione del coefficiente a, i
coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).
a. Determinare l'equazione del luogo dei vertici delle parabole della famiglia.
b. Considerate le due parabole g1 e g2 della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e B,
calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e l'area R del
quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.
[P1 sup 1997]
70.In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è assegnata la parabola g
avente per asse di simmetria l'asse x e passante per i punti A0 ,−1 e B −2 , 0 . Siano r
una retta parallela all'asse y, H il suo punto di intersezione con l'asse x, Q ed R i suoi punti di
intersezione con la parabola g. Il candidato esprima in funzione dell'ascissa di H l'area s del
triangolo OQR.
[P2 PNI sup 1996]
71.In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si consideri la parabola G di
1 2 1
equazione y=− x  x e sia P il punto di G di ascissa l. Il candidato:
2
2
a. scriva l'equazione della parabola passante per l'origine O e avente il vertice nel punto P;
b. determini l'equazione della curva S, luogo geometrico del fuoco della parabola al variare di l.
[P2 PNI 1995]
 e OB
 non paralleli e con lo stesso punto di applicazione O, sia
72.Presi due vettori OA

 =a e congiungere O con C. Il punto P divida il
 
OA=2
a e OB=
b . Tracciare il vettore BC


 . Dimostrare che i punti A, P, B sono allineati (è
segmento OC in due parti tali che OP=2
PC
 e PB
 sono multipli di uno stesso
allo scopo sufficiente dimostrare che i due vettori AP
vettore). Posto 
a ⊥
b e ∣a∣=1 e fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali di
centro O con ascissa parallela ed equiversa a a e ordinata parallela ed equiversa a 
b , trovare
∣b∣ affinché i due segmenti OC e AB siano perpendicolari. Trovare, in questo caso, le due
parabole con asse parallelo all'asse delle y e passanti rispettivamente la prima per O, P ed A e la
seconda per B, P e C. Verificare che le due parabole sono tra loro tangenti in P. [P1 1992]
73.In un piano cartesiano ortogonale Oxy si considerino le parabole C e C' di equazione
rispettivamente y− x 2=0 e y 28 x−6 y−3=0 .
Si verifichi che C e C' sono tangenti in A1 ,1 e che hanno in comune un ulteriore punto B.
Detto P un punto della retta AB, sia QQ' la corda intercettata su C dalla parallela all'asse delle
ascisse, RR' la corda intercettata su C' dalla parallela all'asse delle ordinate e S la proiezione di P
sulla retta y2=0 .
8 PS 2
Esprimi il rapporto
in funzione dell'ascissa di P.
QQ '⋅RR '
Detta W la regione finita di piano delimitata dalle due parabole, si conduca per A una retta r che
incontra l'asse delle y in S e il contorno di W, oltre che in A, in un ulteriore punto Q.
Determina la funzione f m=
AP
, con m coefficiente angolare della retta r. [P1 PNI 1992]
AS
74.In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri il punto A2 x , 0 . Si trovi il luogo L del
punto B  x , y tale che il triangolo OAB abbia perimetro 2p e si determini l'area della regione
finita di piano delimitata dal luogo stesso. Se B0 è il punto di L del primo quadrante la cui ascissa
è p/4 ed A0 il terzo vertice del triangolo relativo, si calcoli l'area del triangolo OA0B0. Si
individuino inoltre le altre 7 posizioni di B tali che il triangolo OAB sia equivalente ad OA0B0.
[P1 1991]
75.Si consideri in un piano cartesiano ortogonale Oxy la famiglia di parabole con asse di simmetria
parallelo all'asse delle ordinate e tangenti all'asse delle ascisse nel punto A (1, 0). Detto B il punto
d'incontro della generica parabola con l'asse delle ordinate, determina l'area della regione finita di
piano compresa tra la parabola stessa e la retta passante per B, parallela alla bisettrice del
secondo quadrante.
[P2 1991]
76.Data la parabola y=4 x− x 2 e la retta y=k (con k ≥0 ) che intercetta sulla parabola i due
punti A e B, determinare la superficie del triangolo OAB (ove O è l'origine degli assi cartesiani).
[P1 sup 1990]
77.In un piano cartesiano ortogonale, determina le equazioni della circonferenza di centro
nell'origine degli assi e raggio r e delle parabole aventi per asse di simmetria l'asse delle ordinate
e tangenti alla stessa circonferenza ciascuna in due punti la cui retta congiungente abbia dal
centro distanza uguale a metà del raggio.
[P2 sup 1988]
78.Considera la parabola C di equazione y=−x 24 x−3 . Sottoposta la curva alla
trasformazione x=mX ( m0 ), y=nY ( n0 ) si determinino i coefficienti m ed n in
modo che il rettangolo circoscritto al segmento parabolico di C determinato dall'asse delle
ascisse si trasformi in un quadrato equivalente. Si calcoli l'area dello stesso segmento parabolico.
[P2 sup 1987]
79.In un sistema di assi cartesiani si consideri la parabola di equazione y= x 2−2 x2 e la sua
simmetrica rispetto alla retta di equazione y=2 . Si calcoli l'area della regione finita di piano
delimitata dalle due curve e si scriva l'equazione della circonferenza in essa inscritta (bitangente
alle due curve).
[P2 sup 1986]
80.In un sistema di assi coordinati cartesiani si consideri la parabola di equazione y=3 x− x 2 . Si
scrivano l'equazione della parabola ad essa simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e le
equazioni delle due parabole ad esse simmetriche rispetto alla retta congiungente i loro vertici. Si
calcoli l'area della regione finita di piano delimitata dalle quattro parabole e si trovi il perimetro
del quadrato in essa inscritto con i lati tangenti alle parabole stesse.
[P1 1985]
81.Considerato il triangolo ABC con i lati AB=3 a , AC =4 a , BC =5 a si scriva, in un
sistema di assi coordinati cartesiani opportunamente scelto, l'equazione della parabola con asse
perpendicolare al lato BC, tangente in B al lato AB e passante per il punto C. Si indichi il criterio
seguito nella scelta del sistema di riferimento.
[P2 1984]
82.Una parabola passante per gli estremi di un diametro di una circonferenza di raggio r ha le
tangenti in tali punti perpendicolari fra loro e l'asse del diametro come asse di simmetria. Si
scrivano, in un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto, le equazioni della parabola e
della circonferenza e si calcolino le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve.
[P2 1983]
83.Si determinino i coefficienti dell'equazione y=ax 2bxc ( a0 ) in modo che la parabola
da essa rappresentata sia tangente alle rette di equazione y= x e y= x /2 ed abbia la corda
congiungente i punti di contatto di lunghezza 5/2. Si calcoli l'area del segmento parabolico
delimitato dalla stessa congiungente.
[P2 sup 1982]
84.In un sistema di assi coordinati cartesiani si consideri la parabola di equazione
y= x 2   3 x1 . Condotte per l'origine O le due rette tangenti ad essa, si scriva l'equazione
della circonferenza passante per O e per i due punti di contatto e si calcolino le aree delle due
regioni finite di piano delimitate dalle due curve.
[P3 1980]
85.Si scriva l'equazione della parabola a avente l'asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate,
passante per i punti P(0; 3), Q(2; 3) ed il cui vertice V stia sulla parabola b di equazione
y=−x 23 x . Detto W l'ulteriore punto comune alle due curve, si scrivano l'equazione della
retta tangente ad a in W e quella della retta tangente a b in V.
[P3 sup 1980]
86.In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino le parabole C' e C'' aventi
rispettivamente equazione y=2 x−2 x 2 e y= x− x 2 . Nella regione finita di piano delimitata
dalle due curve si conducano: la retta di equazione y=k ( k 1/ 4 ) sulla quale C' intercetta
la corda AB; la retta tangente a C" nel suo vertice sulla quale la stessa C' intercetta la corda CD.
Esprimi in funzione di k l'area del trapezio ABCD.
[P1 1978]
87.Tra le parabole di equazione y= x 2 / 2−3 xk si individui quella sulla quale la retta
2 y= x2 intercetta una corda AB di lunghezza l=5  5/2 . Conduci in A e in B le rette
tangenti alla parabola trovata.
[P3 1978]
88.In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino i punti O(0; 0) ed A(2; 2) e la
circonferenza avente per diametro OA. Si determinino i coefficienti dell'equazione
2
y=ax bxc in modo che la parabola che la rappresenta passi per i due punti dati e abbia in
A come tangente la retta tangente alla circonferenza.
[P3 sup 1978]
89.In un sistema di assi ortogonali cartesiani si considerino le parabole rappresentate dalle equazioni
y=3 x− x 2 , y= x 2−2 x . Nella regione finita di piano delimitata dalle due curve, considera
il triangolo avente un vertice nel punto comune alle due curve, diverso dall'origine, e il lato
opposto sulla retta di equazione x=t . Esprimi l'area del triangolo in funzione di t. [P1 1977]
90.Si determinino i coefficienti dell'equazione y=ax 2bxc in modo che la parabola da essa
rappresentata sia tangente alle rette di equazione: 2 x y−3=0 , 4 x− y−12=0 , y=0 .
[P1 sup 1974]
91.Si scrivano le equazioni delle due circonferenze C' e C" tangenti alla retta di equazione y=1 e
bitangenti alla parabola di equazione y=5− x 2 e si indichino con r' ed r" ( r ' r ) i rispettivi
raggi. Dopo aver determinato r' ed r", si scriva l'equazione di un'altra circonferenza C"' tangente
alla C", avente il centro sulla retta degli altri due centri e raggio uguale ad r'. Inoltre si trovi
l'equazione della parabola tangente a C" e a C"' e si calcoli l'area della regione di piano limitata
dalle due parabole.
[P1 1973]
92.In un riferimento cartesiano O  x , y sono date la parabola y=−2 x 2 /327/8 e le
circonferenze x 2 y 2−2 ky=0 con k parametro reale. Delle predette circonferenze si consideri
quella che risulta tangente (internamente) alla parabola ed appartiene al semipiano y≥0 .
Scrivi le equazioni delle tangenti comuni alla parabola e alla circonferenza.
[P2 sup 1973]
93.Si scriva l'equazione della circonferenza passante per i punti A (-2, 0), B (4, 0) ed avente il centro
sulla retta y=4 e si calcolino le coordinate degli estremi del diametro parallelo all'asse delle x.
Si determinino poi i coefficienti dell'equazione y=ax 2bxc in modo che le parabole da esse
rappresentate abbiano in comune il punto C (0, 4) e siano tangenti all'asse delle ascisse. Tra
queste parabole si trovino quelle che passano per l'uno o per l'altro degli estremi del diametro
suddetto. Si calcoli infine l'area della regione limitata dalle predette parabole e dall'asse delle x.
[P1 1972]
94.Date le due parabole rappresentate dalle equazioni y= x 2−7 x12 , y=4 x 2−25 x36 si
determinino le coordinate dei punti comuni, le equazioni delle tangenti comuni e le coordinate
dei punti di contatto.
[P1 sup 1972]
95.Considerata la generica parabola di equazione x=ay 2byc , si determinino i coefficienti a,
b, c in modo che essa passi per i punti (-6, 0), (0, 2), (0, 6); si calcoli l'area della regione piana
limitata dalla curva e dalle tangenti ad essa nei punti di ascissa nulla.
[P4 1971]
96.E' dato il fascio di linee di equazione y=a1 x 2−2a1 x +1.
Dopo aver verificato che tutte le linee del fascio passano per due punti, di cui uno di ascissa
nulla, si determinino:
a. l'equazione della retta r del fascio;
b. i parametri a' e a'' delle due linee del fascio simmetriche rispetto alla retta r ed aventi, nel punto
comune di ascissa nulla, tangenti perpendicolari;
c. l'area della regione finita di piano delimitata dalle due linee così ottenute.
[P2 1989]
97.Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di
centro O ed estremi A(3; 0) e B(0; 3) e l’arco L della parabola di equazione x 2=9−6 y i cui
estremi sono il punto A e il punto 0 , 3/ 2 .
a. Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l’area di ciascuna delle
due parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB.
d. Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri
delle circonferenze tangenti internamente all’arco AB e all’asse x.
Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri, si
determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come
nella figura.
[P2 2012]
98.Si determini il luogo γ dei punti di intersezione delle due rette di equazioni:
 x – y – 2=0 , 1 –  x y2=0 .
descritto al variare di λ, parametro reale qualunque. Si disegni la curva γ.
[Q5 sup 2009]
99.Considera la funzione f  x =1− x 2 , il cui grafico è la parabola G. Trova il luogo geometrico
dei centri delle circonferenze tangenti a G nel suo punto di ascissa 1.
[P1 Ame 2007]
100.Sia Aa , b un punto della parabola G di equazione f  x= x 21 .
a. Dimostra che, qualunque sia a ∈ℤ , l'ordinata b non è mai un numero divisibile per 3.
b. Sia C il centro di una circonferenza tangente a G nel punto 1 , 2 . Determina l'equazione del
luogo geometrico descritto da C.
[P1 Eur 2007]
Ellisse
101.Un'ellisse ha semiasse maggiore 2 e semiasse minore 1. Qual è la distanza tra i due fuochi?
[Q7 Com 2013]
102.Un segmento AB di lunghezza costante a scorre con i suoi estremi sopra due rette ortogonali
fisse x, y. Dimostra che un punto qualsiasi P del segmento descrive una ellisse avente gli assi
sopra x, y. Che cosa succede se P è il punto medio di AB?
[Q10 PNI str 2008]
103.L’ellisse Σ ha equazione x 24 y 2=4 e P a , b , con b≥0 , è un suo punto.
a. Determina l’equazione della tangente a Σ in P e indicane con Q l’intersezione con l’asse y.
b. Verifica che l’equazione cartesiana del luogo geometrico Ω descritto dal punto medio M del
segmento PQ al variare di P è: y=
2− x 2
2  1− x 2
.
[P1 Aus 2008]
104.In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sono dati i punti A(-1; 0) e B
(1; 0). Il candidato:
i. scriva l'equazione di G1, luogo dei punti per cui è uguale a 2  2 la somma delle distanze da A
e B, e l'equazione di G2, luogo dei punti per cui è uguale a
2
la distanza da B;
ii. verifichi che G1 e G2 hanno due punti C e D in comune e dimostri che CBD è un triangolo
rettangolo;
iii. determini, eventualmente sfruttando la simmetria della curva G1 rispetto all'asse delle
ordinate, l'area della regione finita di piano S delimitata dagli archi di G1 e di G2 appartenenti al
semipiano di equazione y≥0 e dai segmenti VW e V'W', essendo V, V' e W, W' i punti di
intersezione dell'asse delle ascisse rispettivamente con G1 e con G2 (V e W di ascissa positiva).
[P1 PNI 1998]
105.In un piano cartesiano ortogonale Oxy si considerino il punto A(-1, 0) e la circonferenza C di
centro B(1, 0) e raggio r2 . Dimostra che il luogo del punto P appartenente al raggio BT, al
variare di T sulla circonferenza tale che sia PT =PA , è un'ellisse di fuochi A e B. Si calcoli per
quale valore di r la parte di piano da essa limitata è equivalente ad 1/16 del cerchio assegnato.
[P3 sup 1991]
Iperbole
106.Una circonferenza di centro O e raggio 4 è tangente esternamente nel punto A ad un’altra
circonferenza di raggio x minore di 4. Le tangenti comuni, non passanti per A, si incontrano in un
punto B.
a. Si provi che, al variare di x, la distanza di B da O è data da f  x=
4 x16
; si disegni il
4− x
grafico Г di f  x prescindendo dai limiti posti ad x dal problema.
b. Sia P un punto di Г. Si dimostri che la retta tangente a Г in P incontra gli asintoti di Г in due
punti equidistanti da P. Si verifichi altresì che Г ammette un centro di simmetria di cui si
chiedono le coordinate.
d. Sia g  x= f ∣x∣ . Qual è il grafico di g  x ? Si determini, al variare di k il numero delle
radici dell’equazione g  x=k .
[P2 Eur 2011]
1
1
107.Sia P un punto del piano di coordinate t , t−  .
t
t
Al variare di t (t ≠ 0), P descrive un luogo geometrico del quale si chiede l’equazione cartesiana e
il grafico.
[P2 Ame 2008]
108.Riferito il piano a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), si consideri l’equazione:
xy pxqyr=0 . Determinare sotto quali condizioni per i coefficienti p, q, r (non tutti
nulli) essa rappresenta l’insieme di due rette.
[Q6 PNI sup 2004]
109.Dopo aver riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy):
a. tra le iperboli di equazione xy=k indicare con j quella che passa per il punto A(1,3) e
chiamare B il suo punto di ascissa –3;
b. determinare i coefficienti dell’equazione y=ax 2bxc in modo che la parabola p
rappresentata da essa sia tangente a j in A e passi per B;
c. determinare le coordinate del punto situato sull’arco AB della parabola p e avente la massima
distanza dalla retta AB.
[P2 Ame 2003]
110.Determina b e c affinché la parabola di equazione y=−x 2bxc abbia il vertice in A(1; 6).
Determinare altresì il parametro k in modo che l’iperbole di equazione xy=k passi per A.
Disegnare le due curve e determinare le coordinate dei loro ulteriori punti comuni indicando con
B quello appartenente al primo quadrante.
111.Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali x, y:
[P2 Aus 2003]
1 1 1
 =
x y a
dove a è un parametro reale positivo.
a) Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un
piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di
equazione x y=4 .
c) Scrivere l’equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1; 1) e
intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2  2 .
d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla
retta t.
e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico di cui al precedente punto a), risulta
tangente alla circonferenza k.
[P1 2001]
112.In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnato
il luogo geometrico dei punti che soddisfano all'equazione: 2 xy−k −1 x4 y−2 k 1=0 ,
dove k è un parametro reale.
Determinare per quali valori di k il luogo assegnato è:
a) un'iperbole;
b) una coppia di rette.
[Q4 Lat 2001]
113.In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnato il luogo
geometrico dei punti rappresentati dall'equazione: x 2 y 2−4 xy=0 . Tale luogo è costituito da:
A) un punto;
B) due punti;
C) una retta;
D) due rette;
E) una figura diversa dalle precedenti.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un'esauriente spiegazione della risposta.
[Q5 Spe 2001]
114.In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sia data la parabola g di
equazione y= x 2 e sia P un suo punto di ascissa ≠0 ed r la parallela per P all'asse y.
Siano g1 e g2 le parabole con asse la retta r, vertice in P e stessa distanza focale di g (distanza
fuoco - direttrice, pari a 1/∣a∣ per la parabola di equazione y=ax 2bxc ). Il candidato:
a. scriva in funzione di l le equazioni di g1 e g2, essendo g1 la parabola che incontra g solo in P;
b. scriva le equazioni delle trasformazioni che mutano g in g1 e g in g2;
d. fissato =1 , e dette T, T1, T2 le rispettive intersezioni di g, g1, g2 con la retta di equazione
x−h=0 , studi la funzione z=
TT 1T 1 T 2
al variare di h, e ne tracci il relativo grafico in un
TT 2
piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O'hz.
[P1 PNI 1997]
115.Determinare il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla retta y=37/12 e passanti per
A(0; 19/12) ed il luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla circonferenza di equazione
x 2 y 24 x4 y−8=0 e passanti per B(2; 2).
[P2 1990]
116.Si verifichi che il triangolo, formato da una tangente qualsiasi ad un'iperbole equilatera e dagli
asintoti, ha area costante e che il punto di contatto P della tangente è punto medio del segmento
di tangente avente gli estremi A e B sugli asintoti.
117.Rappresenta la curva di equazione y=
[P4 sup 1989]
x−1
.
x1
Condotta poi per il punto (-1, 1) la retta di coefficiente angolare m, si dica per quali valori di m
una delle sue intersezioni con la curva appartiene al primo o al quarto o al terzo quadrante.
[P1 sup 1971]
118.Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e g la circonferenza di centro P e raggio AP.
Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza l passante per C
e tangente esternamente a g.
a. Se AP=x , si provi che il raggio di l in funzione di x è dato da f  x=
1−x
.
1x
b. Riferito il piano a un sistema di coordinate Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni
poste a x dal problema geometrico, il grafico di f  x . La funzione f  x è invertibile? Se sì,
qual è il grafico della sua inversa?
x
,
∣1−
1 x∣
c. Sia g  x=
x∈ℝ ∖{−1} ; qual è l’equazione della retta tangente al grafico di
g  x nel punto R(0; 1)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g  x nel punto
S 1 ; 0 ?
[P1 2010]
119.Si verifichi che la curva di equazione y=
x−1
è simmetrica rispetto all’intersezione dei suoi
x−2
asintoti.
[Q6 PNI str 2007]
xm
, con m parametro reale non nullo:
∣xm∣−m
120.Date le curve Cm di equazione: y= f m  x=
b) Dimostrare che ogni curva Cm ha un centro di simmetria.
c) Studiare e disegnare la curva C2 corrispondente ad m=2 .
d) Determinare l'equazione della retta t tangente a C2 nel punto di ascissa -1 e l'ascissa
dell'ulteriore punto comune alla retta t e alla curva C2.
121.Date le curve di equazione: y=
x−a
, con a parametro reale non nullo:
2 x−a
a. Dimostra che esse hanno in un comune uno ed un solo punto A.
[P1 Spe 2001]
b. Tra le curve considerate, determina quelle che intercettano, sulla retta passante per A e avente
coefficiente angolare 3, un segmento di lunghezza 4  10/3 .
[P3 sup 1994]
122.Data una circonferenza G di raggio unitario e centro O, tracciare una semiretta s uscente da O
ed intersecante G in un punto Q. Indicato con P un generico punto di s esterno alla circonferenza
G, tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza.
Indicato PQ=x , studia la funzione: f  x=
AQQB 2
 .
AB
[P3 1992]