Disequazioni parametriche - e-Learning

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Disequazioni parametriche
1. 2x2 − 5kx − 3k 2 < 0
Abbiamo
∆ = 25k 2 + 24k 2 = 49k 2 > 0 per k 6= 0.
Consideriamo prima il caso in cui k = 0: l’equazione diventa
2x2 < 0
la cui soluzione è nessun valore di x. Sia ora k 6= 0. Le radici del trinomio
sono − 21 k e 3k. Quindi
• se k > 0, la soluzione è − 21 k < x < 3k
• se k < 0, la soluzione è 3k < x < − 12 k.
2. (k − 2)x2 − 2kx + k + 2 < 0
Osserviamo subito che se k = 2 la disequazione diventa di primo grado:
−4x + 4 < 0 ⇒ x > 1.
e 1. Poichè non
Supponiamo ora che k 6= 2. Abbiamo ∆ = 4 con radici k+2
k−2
conosciamo il valore del parametro k, occorre stabilire per quali valori di k
una delle due radici è maggiore o minore dell’altra. Ad esempio, ricerchiamo
quando è
k+2
4
>1⇒
> 0 ⇒ k > 2.
k−2
k−2
Quindi
• se k > 2 è
k+2
k−2
> 1 e il primo coefficiente del trinomio è positivo
• se k < 2 è
k+2
k−2
< 1 e il primo coefficiente del trinomio è negativo.
Di conseguenza
• se k > 2, la soluzione è 1 < x <
k+2
k−2
• se k = 2, la soluzione è x > 1
• se k < 2, la soluzione è x <
k+2
k−2
∨ x > 1.
3. (1 − a)x2 + 4 > 0
2
[a ≤ 1 : ∀x ∈ R; a > 1 : − √a−1
<x<
√2 ]
a−1
2
4. (a − 1)x2 − 2ax > 0
[a > 1 : x < 0 ∨ x >
2a
;0
a−1
2a
< a < 1 : a−1
< x < 0; a = 1 : x < 0;
2a
a < 0 : 0 < x < a−1 ; a = 0 : nessun valore di x]
5. ax2 − (a2 − 2)x − 2a > 0
[a > 0 : x < − a2 ∨ x > a; a < 0 : a < x < − a2 ; a = 0 : x > 0]
6. x2 + (2 − a)x − 2a > 0
[a < −2 : x < a ∨ x > −2; a = −2 : x 6= −2; a > −2 : x < −2 ∨ x > a]
7. x(x − a) ≤ 2(a − x)
[a > −2 : −2 ≤ x ≤ a; a = −2 : x = −2; a < −2 : a ≤ x ≤ −2]
8. x(x + a) − a(x + 2) ≥ a(a − 5)
√
√
[a < o ∨ a > 3 : x ≤ − a2 − 3a ∨ x ≥ a2 − 3a; 0 ≤ a ≤ 3 : ∀x ∈ R]
9. (k − 2)x2 − 2(k + 1)x + k + 4 >< 0
[k < 2 : x <
10.
x2 −4k2
k
+
x+k
3k
k+4
k−2
∨ x > 1; k = 2 : x > 1; k > 2 : 1 < x <
k+4
]
k−2
< 1 con k 6= 0
1
1
[k < − 12
: x < 2k ∨ x > −2k − 31 ; − 12
< k < 0 : x < −2k − 13 ∨ x > 2k;
1
k = − 12
: x 6= 16 ; k > 0 : −2k − 31 < x < 2k]