Dispensa - Alessandro Giacomini

Capitolo 7
Integrali doppi
In questo capitolo studieremo gli integrali per funzioni di più variabili: più precisamente ci
occuperemo degli integrali di funzioni di due variabili (dunque integrali doppi), ma piccole
varianti dei concetti che verranno introdotti permettono di studiare gli integrali di funzioni
di tre e più variabili.
7.1
Motivazioni
Come per il caso degli integrali di funzioni di una variabile, il procedimento di integrazione
per funzioni di due variabili nasce in modo naturale nelle applicazioni.
1. Il calcolo di un volume Consideriamo una funzione f (x, y) continua, positiva e
definita su un dominio rettangolare D = [a, b] × [c, d]. Per calcolare il volume della
zona determinata dal grafico di f e dal piano xy e con base D, si procede in maniera
analoga a quanto visto per il problema dell’area per funzioni di una variabile: si
suddividono [a, b] e [c, d] tramite due suddivisione T e S
T = {a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b}
e
S = {c = s0 < s1 < · · · < sm+1 = d},
167
168
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
y
d
s3
s2
s1
c
a
t1
t2
b
x
si sceglie un valore ξi,j nel rettangolo [ti , ti+1 ] × [sj , sj+1] e si ottiene
X
V ∼ Ṽ =
f (ξi,j )(ti+1 − ti )(sj+1 − sj ).
i,j
Raffinando le suddivisioni T e S, Ṽ sarà un’approssimazione sempre migliore di V .
2. Calcolo della massa di una lastra Supponiamo di avere una lastra rettangolare
D = [a, b] × [c, d], e supponiamo che ρ(x, y) sia la densità di massa per unità di
superficie nel punto (x, y): ciò significa che un piccolo rettangolo di lati ε e η vicino
a (x, y) ha una massa
mε,η ∼ ρ(x, y)εη.
La funzione ρ(x, y) non è supposta continua: in questo modo possiamo tenere in conto
il caso interessante dei corpi compositi, cioè composti di diversi materiali. Analogamente a quanto visto nel caso di una variabile, date due suddivisioni T e S di [a, b]
e [c, d], la massa m della lastra è approssimata da
X
M ∼ M̃ =
ρ(ξi,j )(ti+1 − ti )(sj+1 − sj )
i,j
dove ξi,j appartiene al rettangolo [ti , ti+i ] × [sj , sj+1]. Raffinando T e S, abbiamo che
M̃ è un’approssimazione sempre migliore di M.
3. Calcolo della superficie di una regione piana Il procedimento precedente può essere utilizzato anche per calcolare la superficie di regioni curve. L’idea è questa: se E
è una regione piana limitata con bordo curvilineo, e D è un rettangolo che la contiene,
possiamo considerare la funzione 1E (x, y) definita da
(
1 se (x, y) ∈ E
1E (x, y) =
0 se (x, y) ∈ D \ E.
La regione determinata dal grafico di 1E ed il piano xy è un cilindro di base E ed
altezza costante pari a 1: dunque il suo volume è pari numericamente all’area di E.
169
7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE
z
y
x
E
Potendosi calcolare il volume tramite il procedimento di approssimazione visto prima,
concludiamo che anche l’area di E può approssimarsi in modo simile.
7.2
Definizione di integrale
Motivati dai discorsi precedenti, possiamo formalizzare, in perfetta analogia con il caso monodimensionale, il concetto di integrale doppio per funzioni limitate definite su
rettangoli.
1. Sia D = [a, b] × [c, d], e sia f : D → R una funzione limitata. Date due suddivisioni
T = {a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b} e S = {c = s0 < s1 < · · · < sm+1 = d} di
[a, b]e [c, d] rispettivamente, si dicono somma inferiore e somma superiore di f
rispetto alla griglia T × S le quantità
Σ (f, T × S) :=
X
Σ′′ (f, T × S) :=
X
′
i,j
inf
[ti ,ti+1 ]×[sj ,sj+1 ]
f
(ti+1 − ti )(sj+1 − sj )
f
!
(ti+1 − ti )(sj+1 − sj )
e
i,j
sup
[ti ,ti+1 ]×[sj ,sj+1 ]
2. Diciamo integrale inferiore ed integrale superiore di f i valori
I ′ (f ) = sup Σ′ (f, T × S)
T,S
e
I ′′ (f ) = inf Σ′′ (f, T × S).
T,S
3. La definizione di integrabilità e di integrale doppio è la seguente.
170
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
Definizione 7.1 (Funzioni integrabili e integrale doppio). Sia D = [a, b]×[c, d].
Diciamo che una funzione limitata f : D → R è integrabile secondo Riemann se
I ′ (f ) = I ′′ (f ). Tale valore si indica con
ZZ
f (x, y) dxdy
o
D
Z bZ
a
d
f (x, y) dxdy,
c
e si dice l’integrale doppio di f su D.
Come nel caso unidimensionale si ha la seguente condizione d’integrabilità .
Proposizione 7.2 (C.n.s. per l’integrabilità ). Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata f : [a, b]×[c, d] → R sia integrabile secondo Riemann
è che per ogni ε > 0 esistano una suddivisione T di [a, b] ed una suddivisione S di
[c, d] tali che
Σ′′ (f, T × S) − Σ′ (f, T × S) < ε.
Il significato geometrico della condizione precedente è il seguente: è possibile ricoprire la superficie z = f (x, y) con (x, y) ∈ D tramite una famiglia di parallelepipedi
associati ad una grigli di suddivisione di D la somma dei cui volumi è piccola a
piacere.
4. La classe delle funzioni integrabili è molto ampia. Ragionando come nel caso unidimensionale, si vede che risultano certamente integrabili le funzioni continue.
Abbiamo visto che sono interessanti anche le funzioni discontinue. Una classe che
ricorre nelle applicazioni è quella delle funzioni continue a tratti. La definizione
di funzione continua a tratti in un dominio bidimensionale imita quella già vista in
una variabile. Siano A1 , A2 , . . . , An insiemi aperti disgiunti contenuti in D e tali che
(7.1)
n
[
Āj = D
j=1
Una funzione f : D → R si dice continua a tratti in D se esistono una famiglia di
aperti A1 , A2 , . . . , An che soffisfa (7.1) e delle funzioni continue f1 , f2 , . . . , fn : D → R
tali che f = fj su ogni Aj .
171
7.3. I DOMINI NORMALI RISPETTO AGLI ASSI
Aj
Per una condizione di integrabilità per funzioni continue a tratti, rinviamo alla sezione
7.4.
5. L’integrale doppio gode delle proprietà di linearità
ZZ
ZZ
ZZ
(af + bg) dxdy = a
f dxdy + b
g dxdy,
D
D
e di confronto, cioè se f ≤ g
ZZ
D
f dxdy ≤
D
ZZ
g dxdy.
D
In particolare, si ha
ZZ
Z Z
|f | dxdy.
f dxdy ≤
D
7.3
D
I domini normali rispetto agli assi
In questa sezione introduciamo una classe di insiemi essenziali nello studio degli integrali
doppi e nelle loro applicazioni.
1. Supponiamo che α, β : [a, b] → R siano due funzioni tali che
∀x ∈ [a, b] : α(x) ≤ β(x).
La regione di piano determinata da α e β può essere descritta dalla formula
E = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b,
α(x) ≤ y ≤ β(x)}.
Si dice che E è un dominio normale rispetto all’asse delle x.
172
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
y = β(x)
y
y = α(x)
a
b
x
2. Similmente, se γ, δ : [c, d] → R sono due funzioni tali che
∀y ∈ [c, d] : γ(y) ≤ δ(y),
diciamo che l’insieme
F = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d,
γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}
è un dominio normale rispetto all’asse delle y.
x = γ(y)
y
d
x = δ(y)
c
x
3. Un insieme nel piano può talvolta essere visto come un dominio normale sia rispetto
all’asse delle x che all’asse delle y. Ad esempio il triangolo T determinato da (0, 0),
(1, 0) e (1, 1)
y=x
(1, 1)
(1, 0)
173
7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME
può essere descritto sia nella forma
T = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}
che nella forma
T = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1}.
Altri domini invece non sono normali né rispetto ad un asse, né rispetto all’altro: ad
esempio questo è il caso di una corona circolare.
7.4
Integrale di una funzione f su un insieme E
Nelle applicazioni è utile poter integrare funzioni non solo su rettangoli, ma anche su insiemi più generali (cerchi, ellissi...). È pertanto opportuno estendere il procedimento di
integrazione su insiemi con bordi curvilinei.
1. Come abbiamo visto nella sezione delle motivazioni (parlando di area di regioni piane), data una funzione integrabile f : D → R con D = [a, b] × [c, d], un modo
ragionevole per definire il suo integrale su un insieme E ⊆ D è quello di porre
ZZ
ZZ
f dxdy =
f 1E dxdy.
E
D
z
z = f (x, y)
y
E
x
D
174
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
In questo modo, ponendo f uguale a zero fuori di E, ci si concentra solo su quanto
accade nell’insieme E. La definizione risulta ben posta se f 1E è una funzione integrabile: ciò è garantito se 1E risulta integrabile, perché il prodotto di funzioni integrabili
risulta integrabile.
2. Gli insiemi tali che 1E sia integrabile si dicono insiemi misurabili secondo Riemann. Pertanto è ben definita l’integrazione su insiemi di questo tipo. Dall’interpretazione geometrica dell’integrabilità , e dalla forma particolare del grafico di 1E ,
si vede che l’integrabilità secondo Riemann è equivalente al fatto che il bordo di E
possa essere ricoperto mediante una famiglia finita di rettangoli la somma delle cui
aree è piccola a piacere. Ciò viene sintetizzato dicendo che ∂E ha area nulla. Dunque possiamo concludere che l’integrabilità secondo Riemann di un insieme
è equivalente al fatto che il suo bordo abbia area nulla.
Sono sicuramente misurabili secondo Riemann gli insiemi normali rispetto
agli assi determinati da funzioni integrabili di una variabile. Questo discende
immediatamente dal fatto che i bordi di tali insiemi sono costituiti da due segmenti
e da due curve: i segmenti hanno chiaramente area nulla; le curve pure hanno area
nulla perché ciò discende dall’integrabilità delle due funzioni.
3. Torniamo all’integrabilità delle funzioni continue a tratti f : D → R a cui abbiamo
accennato nella Sezione 7.2: se A1 , . . . , An e f1 , . . . , fn sono gli insiemi aperti in D e
le funzioni continue associate a f secondo la definizione di funzione continua a tratti,
si ha
n
X
f=
fj 1Aj + g
j=1
175
7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME
S
dove g è non nulla solo su nj=1 ∂Aj . Supponiamo che A1 , . . . , An siano integrabili
secondo S
Riemann. Allora ogni funzione fj 1Aj è integrabile secondo Riemann, ed
essendo nj=1 ∂Aj di area nulla, una verifica diretta mostra che anche g loSè . Dunque
f risulta integrabile in quanto somma di funzioni integrabili. Essendo nj=1 ∂Aj di
area nulla, gli insiemi aperti A1 , . . . , An formano essenzialmente una partizione di D
(rimane escluso solo un insieme di area nulla). Possiamo riassumere la condizione
trovata dicendo che una funzione continua a tratti è integrabile se i bordi
della partizione associata sono di area nulla. Ciò accade ad esempio se ∂Aj ha
lunghezza finita.
4. Siano D = [a, b] × [c, d], E1 , E2 ⊆ D insiemi misurabili secondo Riemann, e siano
f, g : D → R funzioni integrabili. Valgono le seguenti proprietà :
(a) se E1 ∩ E2 = ∅
ZZ
ZZ
f dxdy =
(b) se E1 ⊆ E2
ZZ
f dxdy +
ZZ
f dxdy =
E2
E2 \E1
f dxdy;
ZZ
f dxdy;
E2
E1
E1 ∪E2
ZZ
f dxdy −
E1
(c) se f (x, y) ≤ g(x, y) per ogni (x, y) ∈ E,
ZZ
ZZ
f dxdy ≤
g dxdy;
E
E
(d) se E ha area nulla
ZZ
f dxdy = 0;
E
(e) si ha
Z Z
ZZ
≤
f
dxdy
|f | dxdy;
E
(f) se E1 ∩ E2 = ∅ e
h è integrabile e
E


f (x, y) se (x, y) ∈ E1
h(x, y) = g(x, y) se (x, y) ∈ E2


0
se (x, y) ∈ D \ (E1 ∪ E2 ),
ZZ
E1 ∪E2
h dxdy =
ZZ
E1
f dxdy +
ZZ
E2
g dxdy.
176
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
5. Come nel caso di funzioni di una variabile, la simmetria della funzione f (x, y) può agevolare il calcolo di un integrale doppio. Per esempio se f (x, y) è una funzione pari
in x
f (−x, y) = f (x, y),
ed E è un insieme misurabile simmetrico rispetto all’asse delle y, cioè
(x0 , y0 ) ∈ E =⇒ (−x0 , y0 ) ∈ E
si ha
ZZ
f (x, y) dxdy = 2
E
ZZ
f (x, y) dxdy,
E+
dove
E + := {(x, y) ∈ E : x > 0}.
Geometricamente, il risultato dice semplicemente che la regione dello spazio di cui
dobbiamo calcolare il volume è simmetrica rispetto al piano x = 0, per cui tale volume
è semplicemente il doppio del volume della regione nel semispazio x ≥ 0.
z
z = f (x, y)
E
x
y
Similmente si ha che se f (x, y) è una funzione dispari in x, cioè
f (−x, y) = −f (x, y)
ed E è un insieme misurabile simmetrico rispetto all’asse delle y, allora si ha
ZZ
f (x, y) dxdy = 0.
E
Geometricamente, il risultato dice semplicemente che le due regioni appartenenti ai
semispazi x ≥ 0 e x ≤ 0 hanno lo stesso volume ma con segno differente.
177
7.5. FORMULE DI RIDUZIONE
z
z = f (x, y)
E
x
y
Analoghe considerazioni si possono fare se f ha una particolare simmetria in y ed il
dominio E è simmetrico rispetto all’asse dell x.
7.5
Formule di riduzione
Fino a questo momento non abbiamo un metodo pratico per calcolare un integrale doppio
che non sia quello di applicare la definizione. Le formule di riduzione di cui ci occupiamo
in questa sezione, permettono di ridurre il calcolo di un integrale doppio al calcolo di due
integrali per funzioni di una variabile.
1. Le formule di riduzione consistono nell’integrare prima rispetto ad una variabile e
poi rispetto ad un’altra.
Proposizione 7.3 (Formule di riduzione). Sia D = [a, b] × [c, d], e sia f : D → R
una funzione integrabile. Supponiamo che per ogni x ∈ [a, b] l’applicazione y →
f (x, y) sia integrabile su [c, d]. Allora l’applicazione
Z d
x→
f (x, y) dy
c
è integrabile sull’intervallo [a, b] e si ha
Z bZ d
Z b Z
f (x, y) dxdy =
a
c
a
d
f (x, y) dy
c
dx.
Similmente se per ogni y ∈ [c, d] l’applicazione x → f (x, y) è integrabile su [a, b],
allora l’applicazione
Z b
y→
f (x, y) dx
a
è integrabile sull’intervallo [c, d] e si ha
Z bZ d
Z
f (x, y) dxdy =
a
c
c
d
Z
a
b
f (x, y) dx dy.
178
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
L’interpretazione geometrica della prima formula di riduzione è la seguente (in maniera analoga si ragiona per la seconda): si seziona la regione tridimensionale A sottesa
dalla superficie z = f (x, y) con piani del tipo x = k, ottendo una regione piana Ax
di cui si calcola l’area. Il volume di A si ottiene integrando rispetto a x le aree di Ax
al variare di x in [a, b].
z
z = f (x, y)
x
y
Ax
Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione della prima formula di riduzione (per la
seconda il ragionamento è analogo). Poiché per ogni x ∈ [a, b] l’applicazione y →
f (x, y) è integrabile su [c, d], è ben definita la funzione
g(x) =
Z
d
f (x, y) dy.
c
La tesi è dimostrata se vediamo che g è integrabile e che
Z
b
g(x) dx =
a
Z bZ
a
d
f (x, y) dxdy.
c
Siano T e S due suddivisioni di [a, b] e [c, d]
T = {a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b}
e
S = {c = s0 < s1 < · · · < sm+1 = d}.
Notiamo che per definizione di integrale si ha
g(x) =
Z
d
′
c
f (x, y) dy ≥ Σ (f (x, ·), S) =
m X
j=0
inf
y∈[sj ,sj+1 ]
f (x, y) (sj+1 − sj )
179
7.5. FORMULE DI RIDUZIONE
e dunque
inf
x∈[ti ,ti+1 ]
g(x) ≥
Concludiamo che
′
Σ (g, T ) =
n X
i=0
≥
inf
inf
[ti ,ti+1 ]×[sj ,sj+1 ]
j=0
x∈[ti ,ti+1 ]
n X
m X
i=0 j=0
m X
f
(sj+1 − sj ).
g(x) (ti+1 − ti )
inf
[ti ,ti+1 ]×[sj ,sj+1 ]
f
(ti+1 − ti )(sj+1 − sj ) = Σ′ (f, T × S)
cioè che Σ′ (g, T ) ≥ Σ′ (f, T × S). Similmente si dimostra che
Σ′′ (f, T × S) ≥ Σ′′ (g, T ).
Passando al sup e all’inf sulle possibili suddivisioni T e S otteniamo le disuguaglianze
I ′ (f ) ≤ I ′ (g)
e
I ′′ (g) ≤ I ′′ (f ).
Z bZ
d
Poiché f è integrabile su D, si ha
′
′′
I (f ) = I (f ) =
per cui deduciamo
Z bZ d
a
c
a
f (x, y) dxdy
c
′
Z bZ
′′
f (x, y) dxdy ≤ I (g) ≤ I (g) ≤
Abbiamo dunque che g è integrabile e che
Z b
Z bZ
g(x) dx =
a
a
a
d
f (x, y) dxdy.
c
d
f (x, y) dxdy
c
che è la tesi.
Vediamo un esempio di applicazione delle formula di riduzione.
Esempio 7.4. Se D = [0, 1] × [0, 2], si ha
ZZ
Z 1Z 2
Z
xy dxdy =
xy dxdy =
D
0
=
Z
0
1
0
y2
x
2
2
0
dx =
Z
0
0
1
1
Z
0
2
xy dy
dx
1
2x dx = x2 0 = 1.
180
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
2. Le formule di riduzione su un rettangolo forniscono le formule di riduzione per
domini normali rispetto agli assi. Se ad esempio E è un dominio normale rispetto
all’asse delle x determinato da due funzioni integrabili α(x) e β(x) con a ≤ x ≤ b, si
ha che l’integrale di una funzione integrabile f su E è dato da
!
ZZ
Z b Z β(x)
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dy dx.
E
a
α(x)
Similmente se F ⊆ D è un dominio normale rispetto all’asse delle y individuato dalle
funzioni integrabili γ, δ : [c, d] → R, si ha
!
ZZ
Z d Z δ(y)
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dx dy.
F
c
γ(y)
x = γ(y)
y = β(x)
y
d
y
c
y = α(x)
a
x = δ(y)
x
b
x
Tali formule si deducono immediatamente dalle formule di riduzione nel rettangolo.
Ad esempio, per quanto riguarda i domini normali rispetto all’asse x, basta notare che
la sezione Ax della zona determinata da f con base E è semplicemente la zona sotto
il grafico di f (x, y) sull’intervallo [α(x), β(x)]: dunque l’area di Ax è semplicemente
Z β(x)
f (x, y) dy
α(x)
e quindi l’integrale doppio si ottiene integrando tale quantità rispetto a x ∈ [a, b].
z
z = f (x, y)
α(x)
x=a
y
x
Ax
x=b
β(x)
181
7.5. FORMULE DI RIDUZIONE
Esempio 7.5. Calcoliamo l’integrale doppio
ZZ
(x + y) dxdy
E
dove E = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 }.
y
y = x2
0
x
1
Si ha
ZZ
x2
y2
dx
(x + y) dxdy =
(x + y) dy dx =
xy +
2 0
E
0
0
0
4
1
Z 1
x4
1
x
x5
1
7
3
=
x +
dx =
= +
+
= .
2
4
10 0 4 10
20
0
Z
1
Z
x2
!
Z
1
3. Notiamo che tramite le formule di riduzione possiamo riottenere un risultato già visto
studiando gli integrali di una variabile: precisamente l’area del dominio normale
rispetto all’asse x dato da
E = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x)}
y = f (x)
y
y = g(x)
a
b
x
182
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
è data chiaramente dalla differenza delle aree determinate dai grafici di f e g, cioè
Z b
[f (x) − g(x)] dx.
a
Tramite gli integrali doppi e le formule di riduzione si ha
ZZ
Z b Z f (x) !
Area(E) =
dxdy =
dy
E
=
a
g(x)
b
Z
a
[f (x) − g(x)] dx
e si ottiene precisamente la stessa formula.
7.6
Formula del cambiamento di variabili
In questa sezione ci occupiamo dell’analogo per gli integrali doppi della formula d’integrazione per sostituzione per funzioni di una variabile.
1. Iniziamo con il definire cosa intendiamo per cambiamento di coordinate. Sia U
un aperto di R2 , e diciamo (x, y) il suo generico punto. Cambiare le coordinate in U
significa passare a nuove coordinate u, v legate alle vecchie da una relazione del tipo
(
x = Φ1 (u, v)
y = Φ2 (u, v).
Al variare di (x, y) in U, le coordinate (u, v) descrivono un insieme V . Si dice che Φ
è un cambiamento di coordinate di classe C 1 se Φ : V → U è un’applicazione di classe
C 1 , invertibile e tale che l’inversa Φ−1 : U → V sia di classe C 1 . Il cambiamento di
coordinate può anche essere pensato come una trasformazione tra V e U la cui legge
è data da Φ, e che ammette inversa Φ−1 .
Φ
(x, y)
(u, v)
U
V
Φ−1
Esempio 7.6. Ad esempio
(
x = u + 2v
y =u+v
è un cambiamento di coordinate di classe C 1 in R2 il cui inverso è dato da
(
u = 2y − x
v = x − y.
183
7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI
Esempio 7.7 (Le coordinate polari). Sono molto utili nelle applicazioni le coordinate polari piane: si descrive (x, y) tramite (r, ϑ) dove r è la lunghezza del vettore
determinato da (x, y), e ϑ è l’angolo che esso determina con l’asse delle ascisse come
in figura.
y
(x, y)
r
ϑ
x
Se descriviamo ad esempio l’insieme
U = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0}
y
x
tramite le coordinate polari, otteniamo che (r, ϑ) variano nel rettangolo V
1≤r≤2
e
−
π
π
≤ϑ≤ .
2
2
2. Diciamo jacobiano del cambiamento di coordinate Φ l’applicazione JΦ : V → R
definita da
∂Φ1 ∂Φ1 ∂u
∂v
JΦ (u, v) = det ∂Φ
.
∂Φ2
2
∂u
∂v
Possiamo dare un significato geometrico a |JΦ (u, v)| nel seguente modo.
184
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
γ2 (t)
v
y
u
x
Φ
γ1 (t)
Se prendiamo un quadrato Qε di lato ε molto piccolo con un vertice in (u0 , v0 ),
tramite Φ esso viene trasformato in un poligono Aε a lati curvilinei: in particolare il
segmento (u0 + t, v0 ) con 0 ≤ t ≤ ε viene modificato nella curva
γ1 (t) = (Φ1 (u0 + t, v0 ), Φ2 (u0 + t, v0 ))
mentre il segmento (u0 , v0 + t) con 0 ≤ t ≤ ε viene modificato nella curva
γ2 (t) = (Φ1 (u0 , v0 + t), Φ2 (u0 , v0 + t)).
Per ε piccolo, queste due curve sono ben approssimate dalla rette tangenti in (x0 , y0 ) =
Φ(u0 , v0 ) le cui direzioni sono date da
∂Φ1
∂Φ2
′
γ1 (0) =
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 )
∂x
∂x
e
γ2′ (0)
=
∂Φ1
∂Φ2
(u0, v0 ),
(u0 , v0 ) .
∂y
∂y
γ2′ (0)
y
(x0 , y0 )
γ1′ (0)
x
Dunque si ha per ε piccolo e per 0 ≤ t ≤ ε
γ1 (t) ∼ γ1 (0) + tγ1′ (0) = (x0 , y0 ) + tγ1′ (0)
e
γ2 (t) ∼ γ2 (0) + tγ2′ (0) = (x0 , y0 ) + tγ2′ (0)
7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI
185
Quindi l’area di Aε è approssimata dall’area del parallelogramma con un vertice in
(x0 , y0) e con lati dati da εγ1′ (0) e εγ2′ (0): ricordando il significato del prodotto
vettoriale tra due vettori, quest’area è data da
|εγ1′ (0) ∧ εγ2′ (0)| = ε2 |γ1′ (0) ∧ γ2′ (0)|.
Ma
|γ1′ (0) ∧ γ2′ (0)| = |JΦ (u0 , v0 )|.
Dunque |JΦ (u0 , v0 )| può essere interpetrato come il rapporto
Area(Aε )
.
ε→0 Area(Qε )
|JΦ (u0 , v0 )| = lim
3. Possiamo ora enunciare l’analogo dell’integrazione per sostituzione per gli integrali
doppi.
Proposizione 7.8 (Cambiamento di variabili). Siano U, V due aperti di R2 , e
sia Φ : V → U un cambiamento di coordinate di classe C 1 . Sia f : U → R una
funzione continua. Allora per ogni insieme misurabile secondo Riemann E ⊆ U tale
che E ⊂ U, si ha che Φ−1 (E) è misurabile e
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy =
f (Φ1 (u, v), Φ2(u, v))|JΦ (u, v)| dudv.
E
Φ−1 (E)
In particolare, scegliendo f = 1 si ha
ZZ
Area(E) =
Φ−1 (E)
|JΦ (u, v)| dudv.
La dimostrazione rigorosa della formula del cambiamento di variabili è complessa,
ma l’idea che ne sta alla base è tutta contenuta nel significato geometrico del termine
|JΦ (u, v)| che abbiamo visto al punto precedente. Infatti una somma di Riemann
dell’integrale a secondo membro rispetto ad una quadrettatura nel piano (u, v) con
quadrati Qij
ε di lato ε e con il vertice in basso a sinistra dato da (uij , vij ) è data da
X
f (Φ(uij , vij ))|JΦ (uij , vij )|Area(Qij
S̃ε =
ε ).
i,j
ij
Ma se Φ(uij , vij ) = (xij , yij ), e Aij
ε è il trasformato tramite Φ di Qε , allora grazie al
significato geometrico di |JΦ |, per ε piccolo tale somma è prossima a
X
S̃ε ∼
f (xij , yij )Area(Aij
ε ).
i,j
Il secondo membro è una somma di Riemann per l’integrale a primo membro relativo
ad una quadrettatura curvilinea nel piano xy data dai quadrilateri curvilinei Aij
ε e
pertanto S̃ε approssima l’integrale doppio iniziale.
186
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
Qij
ε
v
y
Aij
ε
u
x
Φ
Esempio 7.9. Calcoliamo
ZZ
T
(x − y)2
dx dy
1 + (x − y)2
dove
T = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x − y ≤ 2}.
Facciamo il cambiamento di variabili
(
x=u
x−y =v
(
x=u
=⇒
y =u−v
cioè Φ(u, v) = (u, u − v). Si ha
JΦ (u, v) = det
1 0
1 −1
= −1.
L’insieme T diventa l’insieme
0 ≤ u ≤ 2,
0≤v≤2
per cui
2
2
Z 2
Z 2
v2
1
v2
I=
du dv = 2
dv = 2
dv
1−
2
2
1 + v2
0
0 1+v
0 1+v
0
= 2 [v − arctan v]20 = 2(2 − arctan 2).
Z
Z
4. Nel caso delle coordinate polari piane si ha che JΦ (r, ϑ) = r cosı̀ che si ha
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy =
f (r cos ϑ, r sin ϑ)rdrdϑ.
E
Φ−1 (E)
Esempio 7.10. Consideriamo
I=
ZZ
x2 dx dy
T
dove T = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.
187
7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI
y
x2 + y 2 = 4
x
Allora con il cambiamento di coordinate polari, abbiamo che T diventa l’insieme
S = [0, 2] × [0, π/2]
e dunque
I=
ZZ
2
2
(r cos ϑ)r dr dϑ =
S
Z 2Z
Z 2Z
0
π
2
31
+ cos 2ϑ
drdϑ =
=
r
2
0
0
2
Z
π 2 3
π r4
=
= π.
r dr =
4 0
4 4 0
π
2
r 3 cos2 ϑ dr dϑ
0
Z
2
r
0
3
ϑ sin 2ϑ
+
2
4
π/2
dr
0
Esempio 7.11. Vediamo ora come gli integrali doppi e la sostituzione con le coordinate polari ci permettano di calcolare il seguente integrale
Z +∞
2
I=
e−x dx
−∞
che risulta fondamentale in teoria della probabilità . Tale integrale è da intendersi
come
Z a
2
I = lim Ia = lim
e−x dx.
a→+∞
a→+∞
−a
Innanzitutto si può vedere che I è finito dal momento che (usa lo sviluppo di Taylor)
2
e−x ≤
x2
2
+1
e
lim
a→+∞
Z
a
−a
−x2
e
dx ≤ lim
a→+∞
Z
a
−a
x2
2
dx ≤ lim [2 arctan x]a−a = 2π.
a→+∞
+1
188
CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI
Consideriamo l’integrale doppio
ZZ
e−x
2 −y 2
dxdy
Ta
dove a > 0 e
Ta = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ a2 .
Tramite le coordinate polari si ha
Z
ZZ
−x2 −y 2
e
dxdy =
a
0
Ta
lim
a→+∞
2π
2
e−r rdrdϑ
0
Z
= 2π
Deduciamo che
Z
ZZ
a
0
e−x
"
2 −y 2
#
.
dxdy = π.
Ta
D’altro canto, si ha che
ZZ
ZZ
−x2 −y 2
e
dxdy = lim
lim
a→+∞
2
1 e−a
2
re−r dr = 2π
−
2
2
a→+∞
Ta
e−x
2 −y 2
dxdy
Qa
dove Qa indica il quadrato [−a, a] × [−a, a], dal momento che entrambi gli integrali
2
2
stanno tendendo all’integrale di e−x −y su tutto il piano. Dalle formule di riduzione
si ha che
Z a
Z a
ZZ
2
−x2 −y 2
−x2
e
dxdy =
e
dx
e−y dy = Ia2 .
−a
Qa
−a
Dunque otteniamo
I 2 = lim Ia2 = π
a→+∞
da cui
I=
Z
+∞
2
e−x dx =
√
π.
−∞
Esercizi
1. Sia E ⊆ R2 un insieme limitato. Dimostrare che E è misurabile secondo Riemann se e solo
se ∂E ha area nulla.
2. Sia γ : [a, b] → R2 una curva di classe C 1 e di lunghezza finita: dimostrare che γ([a, b]) ha
area nulla.
3. Sia E = [0, 1]2 ∩ Q2 . Dimostrare che E non è misurabile secondo Riemann.
4. Trovare una funzione f : [0, 1]2 → R non integrabile secondo Riemann.
7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI
189
5. Siano f : [0, 1] × [0, 2] → R e g : [1, 2] × [0, 2] → R due funzioni integrabili secondo Riemann,
e sia h : [0, 2] → R una funzione qualsiasi. Dimostrare che la funzione u : [0, 2]2 → R


f (x, y) se x ∈ [0, 1[
u(x, y) = g(x, y) se x ∈]1, 2]


h(y)
se x = 1
è integrabile secondo Riemann.
6. Sia f : [0, 1]2 → R integrabile secondo Riemann. È vero che per ogni x0 ∈ [0, 1] la funzione
g(y) = f (x0 , y) è integrabile secondo Riemann?
7. Sia E un insieme simmetrico rispetto all’asse x, e sia f : E → R una funzione integrabile
secondo Riemann pari rispetto a x. Siano E − = E ∩ {x < 0} e E + = E ∩ {x > 0}. Tramite
la formula del cambiamento di variabili dimostrare che
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy
f (x, y) dxdy =
E+
E−
cosı̀ che
ZZ
f (x, y) dxdy = 2
ZZ
f (x, y) dxdy.
E+
E
(Suggerimento: considera Φ(u, v) = (−u, v).)
8. Sia E un insieme simmetrico rispetto all’asse x, e sia f : E → R una funzione integrabile
secondo Riemann dispari rispetto a x. Siano E − = E ∩ {x < 0} e E + = E ∩ {x > 0}.
Tramite la formula del cambiamento di variabili dimostrare che
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy
f (x, y) dxdy = −
E
E
cosı̀ che
ZZ
f (x, y) dxdy = 0.
E
(Suggerimento: considera Φ(u, v) = (−u, v).)