Le Serie numeriche

Le Serie numeriche
1)Che cos'è una serie numerica
 Data una successione di numeri, a 1 , a 2 , a 3 ,... , a n , ... , si chiama serie numerica la
s 3=a 1a 2a 3 ,
successione dei numeri s1 =a1 , s 2=a 1a 2 ,
s n=a 1a 2a3...a n , ...
∞
Si indica con a 1a 2a3...a n... oppure
∑ an .
n=1
a 1 , a 2 , a 3 ,... , a n , ... sono i termini della serie e
parziali o ridotte.
s1 , s 2 , s 3 , ... , s n , ... sono le somme
ESEMPIO: La serie 1357..2n1... , con
successione dei numeri dispari, ha come ridotte 1,4 ,9,16 , ...
n∈ℕ , ossia la serie che otteniamo dalla
2)Serie convergente, divergente, indeterminate
 Carattere di una serie: è il comportamento della serie, ossia se è convergente, divergente o
indeterminata.
∞
 Una serie
∑ an
è:
n=1
•
Convergente se
lim s n=s con s∈ℝ , e si scrive
n ∞
∞
∑ an=s ; s
è la somma della
n=1
serie;
positivamente se
•
∞
∑ an=∞
n=1
Divergente
negativamente se
•
lim s n=∞ e si scrive
n ∞
lim s n=−∞ e si scrive
n ∞
s n non esiste.
Indeterminata se nlim
∞
∞
∑ an=−∞
n=1
∞
1
∑ n n1
ESEMPIO: La serie di Mengoli
è convergente. Abbiamo calcolato che la sua somma è 1.
n=1
∞
 Serie geometrica di ragione q: è la serie
∑ q n=1qq 2q 3...qn ...
n=0
n
•
1−q
, la serie è:
1−q
Divergente se q≥1 ;
•
Convergente se −1q1 ( cioè ∣q∣1 ) , con somma
•
indeterminata se q−1.
Poiché
s n=
s=
1
;
1−q
3)Le proprietà delle serie
 Proprietà distributiva
∞
Se c≠0, la serie
∑ an
∞
e
n=1
l'uguaglianza:
∑ can
hanno lo stesso carattere. Se sono convergenti, vale
n=1
∞
∞
n=1
n=1
∑ can =c⋅∑ a n .
 Proprietà associativa
Data una serie convergente oppure divergente, se associamo i suoi termini in gruppi
contenenti un numero finito di addendi consecutivi, otteniamo una serie che ha lo stesso
carattere e la stessa somma (finita o infinita).
 Se modifichiamo l'ordine dei termini di una serie, in generale ne otteniamo un'altra che ha
una somma diversa o un diverso carattere, quindi non vale la proprietà commutativa.
4)Il criterio generale di convergenza
∞
 Resto k-esimo di una serie
∑ an :
è la serie ottenuta sopprimendo i primi k termini della
n=1
∞
serie data: a k1a k2ak 3...=
∑
n =k1
a n . Indichiamo con r k la sua somma, quando
esiste.
 Proprietà di una serie e dei suoi resti
• Una serie e ogni suo resto hanno lo stesso carattere
• Se una serie converge, allora r k tende a 0 per k ∞ .
• Il carattere di una serie resta invariato se si cambia un numero finito dei suoi termini.
 Resto parziale di posto n: r n , k =a n1 a n2an3...a nk .
∞
 Condizione necessaria per la convergenza di una serie
∑ an
e che
n=1
lim a n=0.
n ∞
5)La serie a termini positivi
 Le serie a termini positivi possono essere soltanto convergenti o divergenti.
∞
1
 Serie armonica: ∑ . E' una serie a termini positivi e divergente.
n=1 n
∞
∑ an
 Serie minorante e maggiorante:
n=1
∞
è minorante di
∑ bn
∞
e
n=1
∑ bn
è maggiorante
n=1
∞
di
∑ an
se a n≤bn ∀ n∈ℕ .
n=1
 Criterio del confronto di Gauss
Se una serie a termini non negativi ammette una serie maggiorante convergente, allora è
convergente se ammette una serie minorante divergente, allora è divergente.
 Criterio del confronto asintotico
∞
Date le serie
∑ an
n=1
∞
e
∑ bn
entrambe a termini positivi, se esiste il limite
n=1
an
=l≠0, le due serie hanno lo stesso carattere. E' inoltre vero che:
n ∞ bn
∞
∞
an
=0 e ∑ bn converge, allora ∑ an converge;
• se lim
n ∞ bn
n=1
n=1
∞
∞
an
=∞ e ∑ bn diverge, allora ∑ an diverge.
• se lim
n ∞ bn
n=1
n=1
 Criterio del rapporto o di D'Alambert:
∞
an1
=l finito, se:
Data una serie a termini positivi ∑ an a termini positivi, con lim
n ∞ a n
n=1
0≤l1, la serie è convergente;
•
l1, la serie è divergente;
•
l=1, non è possibile decidere il carattere della serie.
•
 Criterio della radice o di Cauchy:
lim
∞
Data una serie a termini positivi
∑ an
n=1
a termini positivi, con
n
a n=l

n ∞
lim
finito, se:
0≤l1, la serie è convergente;
l1, la serie è divergente;
l=1, non è possibile decidere il carattere della serie.
•
•
•
∞
 Serie armonica di ordine α :
∑ n1α , con α∈ℝ .
Tale serie è:
n=1
divergente se α≤1 ;
convergente se α1.
•
•
6)La serie a termini di segno qualunque
 Serie a termini di segno alterno: sono del tipo
∞
∑ −1n1 a n=a 1−a 2a 3−a 4... , con an 0 ∀ n∈ℕ .
n=1
 Criterio di Leibniz
a n=0, allora è
Se una serie a termini di segno alterno è tale che a n1≤a n ∀ n∈ℕ e nlim
 ∞
convergente; inoltre vale la relazione:
∣r n∣≤a n1 ∀ n∈ℕ.
∞
 Convergenza assoluta: la serie
∑ an
è assolutamente convergente se è convergente la
n=1
∞
serie dei valori assoluti
∑∣a n∣.
Una serie assolutamente convergente è anche convergente.
n=1
 Quando una serie è convergente ma non è assolutamente convergente, si dice
semplicemente convergente.
7)L'addizione e la sottrazione di due serie
∞
 Date le serie
∑ an
∞
e
n=1
si chiama:
n=1
∞
serie somma la serie
•
∑ bn ,
∑ a nb n = a1b1  a2b 2a 3b 3...
n=1
∞
serie differenza la serie
•
∑ a n−b n = a1−b1 a 2−b2 a 3−b3 ...
n=1
∞
 Se
∑ an
n=1
∞
e
∑ bn
sono convergenti, allora
∞
n=1
∞
∞
n=1
n=1
n =1
∞
∞
∞
n=1
n=1
n=1
∑ a nb n =∑ a n∑ bn
e
∑ a n−b n =∑ a n−∑ bn .
 Se due serie sono assolutamente convergenti, allora la serie somma e la serie differenza sono
assolutamente convergenti.
 Date due serie, se una è convergente e l'altra è divergente, allora la serie somma e la serie
differenza sono divergenti.