Derivata di una funzione

Derivata di una funzione
Prof. E. Modica
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Il problema delle tangenti
Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la determinazione della retta tangente ad una delle coniche in un loro punto. Tale tangente interseca la conica
in un solo punto.
Questa considerazione trae in inganno quando si vuole definire la retta tangente ad una generica curva,
in quanto, come mostrato nella figura sottostante, esistono rette tangenti alle curve in un punto che
hanno con esse ulteriori punti in comune.
Q
b
b
P
Per risolvere questo problema di definire la tangente ad una curva qualsiasi, si introduce la seguente
Definizione 1 : Sia data una curva qualsiasi e sia P un suo punto. Si definisce retta tangente alla
curva nel punto P la posizione limite, se esiste, della retta secante passante per P e per Q quando P
tende a Q.
Q2 Q1
b
b
b
Q
P
b
Quando si vuole determinare l’equazione della retta tangente ad una conica in un suo punto P (x0 ; y0 ),
si procede come segue:
• si scrive l’equazione del fascio proprio di rette passante per P : y − y0 = m(x − x0 );
• si mette a sistema la precedente equazione con l’equazione della conica considerata;
• si pone uguale a zero il ∆ del sistema e si ricava il valore di m.
Esempio 1 : Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x2 nel suo
punto P (1; 1).
Scriviamo l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P (1; 1):
y − 1 = m(x − 1) ⇒ y = mx − m + 1
Risolviamo il sistema:
y = x2
y = mx − m + 1
Risolvere il sistema equivale a risolvere la seguente equazione:
x2 = mx − m + 1 ⇒ x2 − mx + m − 1 = 0
Calcoliamo il ∆:
∆ = m2 − 4m + 4 = (m − 1)2
Ponendo il ∆ = 0 si ottiene:
(m − 2)2 = 0 ⇒ m = 2
Sostituendo il valore m = 2 all’equazione del fascio, si ottiene:
y = 2x − 1
Quando si vuole determinare l’equazione della retta tangente ad una curva che non sia necessariamente
una conica, non si può sempre utilizzare questo procedimenti, in quanto è necessario risolvere sistemi
non algebrici. Per tale ragione bisogna determinare un procedimento che permetta di risolvere il
problema per ogni curva.
Concetto intuitivo di derivata
f (x0 + h) y
B y = f(
b
b
b
b
f (x0 )
b
α
A
b
β
b
b
C
b
b
x0
x
x0 + h
Com’è possibile intuire da quanto precedentemente detto, esiste una relazione tra la derivata di una
funzione in un punto e il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel
punto.
Proprietà 1 : Data la funzione y = f (x) sia x0 un punto appartenente al suo dominio. Il coefficiente
angolare m della retta tangente al grafico della funzione nel punto x0 è uguale al valore che la derivata
assume nel punto x0 , in formule:
m = f 0 (x0 )
In virtù di tale proprietà è possibile effettuare le seguenti considerazioni relative ai vari grafici presentati.
Grafico 1 : La funzione è decrescente a sinistra di x0 e crescente a destra di x0 . Nel punto x0 la
retta tangente al grafico è parallela all’asse delle ascisse, di conseguenza il suo coefficiente angolare è
uguale a 0. Essendo il coefficiente angolare della retta tangente nel punto x0 uguale alla derivata della
funzione in x0 , si ha che f 0 (x0 ) = 0. Quindi nei punti di minimo la derivata prima è uguale a zero.
2
y
b
x
x0
Grafico 2 : La funzione è crescente a sinistra di x1 e decrescente a destra di x1 . Nel punto x1 la
retta tangente al grafico è parallela all’asse delle ascisse, di conseguenza il suo coefficiente angolare è
uguale a 0. Essendo il coefficiente angolare della retta tangente nel punto x1 uguale alla derivata della
funzione in x1 , si ha che f 0 (x1 ) = 0. Quindi nei punti di massimo la derivata prima è uguale a zero.
y
b
x
x1
Grafico 3 : La funzione è crescente a sinistra e a destra di x2 . Nel punto x2 la retta tangente al grafico
è parallela all’asse delle ascisse, di conseguenza il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Essendo il
coefficiente angolare della retta tangente nel punto x2 uguale alla derivata della funzione in x2 , si ha
che f 0 (x2 ) = 0. Quindi nei punti di flesso a tangente orizzontale la derivata prima è uguale a zero.
y
b
x
x2
Osservazione 1 :
In seguito alle precedenti considerazioni, possiamo dare la seguente definizione.
Definizione 2 : Data una funzione y = f (x), un punto x0 ∈ domf si dice stazionario se
f 0 (x0 ) = 0
3
Derivata delle funzioni elementari
Funzione costante
Dk = 0
Funzione identica
Dx = 1
Funzione potenza di base variabile ed esponente costante
Dxn = nxn−1
Regole di derivazione
Derivata della somma algebrica di due funzioni
Data la funzione h(x) = f (x) ± g(x), la sua derivata è uguale alla somma delle derivate delle singole
funzioni, in formule:
h0 (x) = f 0 (x) ± g0 (x)
Esempio 2
La derivata della funzione f (x) = x3 − x2 è:
f 0 (x) = 3x2 − 2x
Derivata del prodotto di una costante per una funzione
Data la funzione h(x) = k · f (x), la sua derivata è uguale al prodotto della costante per la derivata
della funzione f (x), in formule:
h0 (x) = k · f 0 (x)
Esempio 3
La derivata della funzione f (x) = 3x5 è:
f 0 (x) = 3 · (5x4 ) = 15x4
Derivata del prodotto di due funzioni
La derivata del prodotto di funzioni due funzioni è uguale alla somma dei prodotti della derivata di
ciascuna funzione per l’altra non derivata.
Data la funzione h(x) = f (x) · g(x), la sua derivata è data quindi dalla formula:
h0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
Esempio 4
La derivata della funzione f (x) = (2x2 + x − 1) · (4x2 − 3x + 1) è:
f 0 (x) = (4x+1)(4x2 −3x+1)+(2x2 +x−1)(8x−3) = 16x3 −12x2 +4x+4x2 −3x+1+16x3 −6x2 +8x2 −3x−8x+3 =
= 32x3 − 6x2 − 10x + 4
4
Derivata del rapporto di due funzioni
La derivata del rapporto di due funzioni è uguale ad una frazione che ha per denominatore il quadrato
della funzione divisore e per numeratore la differenza tra il prodotto della funzione dividendo derivata
per l’altra non derivata e della funzione divisore per l’altra non derivata.
(x)
, la sua derivata è data quindi dalla formula:
Data la funzione h(x) = fg(x)
h0 (x) =
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
[g(x)]2
Esempio 5
La derivata della funzione f (x) =
f 0 (x) =
=
2x2 +x−1
4x2 −3x+1
è:
(4x + 1)(4x2 − 3x + 1) − (2x2 + x − 1)(8x − 3)
=
(4x2 − 3x + 1)2
16x3 − 12x2 + 4x + 4x2 − 3x + 1 − 16x3 + 6x2 − 8x2 + 3x + 8x − 3
=
(4x2 − 3x + 1)2
=
−10x2 + 12x − 2
(4x2 − 3x + 1)2
Legame tra la derivata di una funzione e la crescenza e decrescenza
Ricordiamo che esiste un legame tra il coefficiente angolare m di una retta e l’angolo α che essa forma
con il semiasse positivo delle ascisse, ovvero:
• se α è acuto, allora m > 0;
• se α è ottuso, allora m < 0.
Consideriamo il grafico sottostante:
y
B
b
A
b
b
C
β
α
x
Poiché la tangente in A forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle ascisse, il suo coefficiente
angolare è positivo e, di conseguenza, la derivata della funzione è positiva. Quindi, se la derivata è
positiva si deduce dal grafico che la funzione è crescente. Il punto B è un punto stazionario in
quanto il coefficiente angolare della tangente è pari a zero e, quindi, la derivata della funzione è nulla.
Invece, la tangente in C forma un angolo ottuso con il semiasse positivo delle ascisse, quindi il suo
coefficiente angolare è negativo e, di conseguenza, la derivata della funzione è negativa. Quindi, se la
derivata è negativa si deduce dal grafico che la funzione è decrescente.
Proprietà 2 : Data una funzione y = f (x), negli intervalli in cui la sua derivata prima è positiva la
funzione è crescente, negli intervalli in cui la sue derivata prima è negativa la funzione è decrescente.
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Osservazione 2 :
Dopo aver studiato il segno della derivata prima e dopo aver determinato i punti stazionari della
funzione ponendo f 0 (x) = 0, si possono presentare i tre seguenti casi:
• se a sinistra di un punto stazionario la derivata prima è positiva e a destra è negativa, allora
la funzione a sinistra cresce e a destra decresce, ovvero il punto stazionario è un punto di
massimo;
• se a sinistra di un punto stazionario la derivata prima è negativa e a destra è positiva, allora la
funzione a sinistra decresce e a destra cresce, ovvero il punto stazionario è un punto di minimo;
• se a sinistra e a destra di un punto stazionario la derivata prima è positiva, allora la funzione
è crescente a sinistra a destra, ovvero il punto stazionario è un punto di flesso a tangente
orizzontale ascendente;
• se a sinistra e a destra di un punto stazionario la derivata prima è negativa, allora la funzione
è decrescente a sinistra a destra, ovvero il punto stazionario è un punto di flesso a tangente
orizzontale discendente.
Esempio 6 : Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione f (x) =
2x2 +x−1
4x2 −3x+1 .
La derivata prima della funzione è:
f 0 (x) =
−10x2 + 12x − 2
(4x2 − 3x + 1)2
Studiamo il suo segno risolvendo la disequazione:
−10x2 + 12x − 2
≥0
(4x2 − 3x + 1)2
• N ≥ 0 ⇒ −10x2 + 12x − 2 ≥ 0 ⇒ 5x2 − 6x + 1 ≤ 0 ⇒ − 15 ≤ x ≤ 1
• D > 0 ⇒ (4x2 − 3x + 1)2 > 0 ⇒ ∀x ∈ domf
Riportando i risultati ottenuti in un grafico si ha:
− 15
1
b
-
b
-
+
Deduciamo che il punto x1 = − 15 è un punto di minimo per la funzione f (x), mentre il punto x2 = 1
è un punto di massimo. Le ordinate di tali punti si determinano sostituendo i due valori delle ascisse
trovate all’equazione della funzione.
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