CdL Professioni Sanitarie AA 2012/2013

L. Zampieri – Fisica per CdL Professioni Sanitarie – A.A. 12/13
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CdL Professioni Sanitarie
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Unità 9: Gas e processi di diffusione
• Gas
– Equazione di stato dei gas perfetti
– Trasformazioni termodinamiche
– Miscele di gas
• Processi di diffusione
– Diffusione dei gas nei liquidi
– Diffusione libera
– Osmosi
[Tutti gli argomenti trattati in questi appunti non fanno parte del
programma dei Corsi di Laurea in Fisioterapia e Tecniche di Radiologia]
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Equazione di stato dei gas perfetti
I gas sono particolari fluidi in cui le interazioni tra le molecole sono
molto piccole. Nelle condizioni ideali in cui le interazioni sono nulle
e le molecole possono solo urtare le une contro le altre (e contro le
pareti del contenitore) il gas viene detto perfetto (o ideale).
Un gas reale si trova con buona approssimazione in queste condizioni
se la sua densità è molto bassa (gas rarefatto) e la sua temperatura
è abbastanza elevata. In queste condizioni infatti le distanze tra le
molecole sono mediamente molto più grandi delle loro dimensioni e la
loro energia cinetica è cosı̀ elevata che l’interazione tra le molecole è
praticamente nulla.
Le proprietà fisiche di un gas perfetto sono descrivibili attraverso una
relazione che lega tra loro la pressione p, la temperatura T ed il volume
V del gas, detta equazione di stato dei gas perfetti (o equazione
di Clapeyron):
p · V = nRT ,
dove n è il numero di moli di gas contenute nel volume V e R = 8.31
J/K è una costante (costante dei gas perfetti). Una mole (mol)
viene definita come la quantità di gas (o di una generica sostanza)
che contiene un numero di Avogadro NA di atomi o molecole (NA =
6.02 × 1023 , pari al numero di atomi contenuti in 12 g di 12 C).
Un gas alla temperatura di 0 0 C e alla pressione di 1 atmosfera si dice
in condizioni di pressione e temperatura standard (STP).
Esercizio: calcolare il numero di moli contenute in 8 m3 di azoto in
condizioni di pressione e temperatura standard (STP). Si approssimi
R = 8 J/K e la temperatura dello zero assoluto con 300 K.
T = 0 0 C ∼ 300 K, p = 1 atm = 105 P a, V = 8 m3
n = p · V /(RT ) = 333.3
Trasformazioni termodinamiche
Uno stato termodinamico di un gas è una configurazione di equilibrio
del gas in cui temperatura, pressione e volume hanno ovunque un valore
ben definito. Si usa rappresentare lo stato termodinamico di un gas su
di un diagramma cartesiano ortogonale in cui il valore del volume viene
riportato sull’asse x e quello della pressione sull’asse y (diagramma
(p,V); figura 5.1 Monaco-Sacchi-Solano). Se è noto il numero di moli,
in ogni punto è fissata anche la temperatura (T = pV /(nR)).
Si dice che il gas subisce una trasformazione termodinamica quando
cambiano il valore di p, V e/o T . Se essa avviene lentamente il gas
passa dallo stato iniziale a quello finale attraverso una sequenza di stati
di equilibrio. Ognuno di questi stati è rappresentato da un punto sul
diagramma (p, V ), mentre la trasformazione è rappresentata da una
linea su tale grafico.
• Trasformazioni isoterme: avvengono a T costante. Quindi, dalla legge dei gas perfetti: p·V = cost (legge di Boyle), ossia p ∝ 1/V .
La curva che la rappresenta sul piano (p, V ) è un’iperbole.
• Trasformazioni isobare: avvengono a p costante. Quindi: V /T =
cost, ossia V ∝ T . La curva che le rappresenta è una retta parallela
all’asse x.
• Trasformazioni isocore: avvengono a V costante. Quindi: p/T =
cost, ossia p ∝ T . La curva che le rappresenta è una retta parallela
all’asse y.
Sono possibili sequenze di trasformazioni differenti. Due punti qualsiasi del piano (p, V ) possono sempre essere collegati da una opportuna combinazione di tali trasformazioni. Due isoterme/isobare/isocore
diverse non si intersecano mai.
Esercizio (es. 2, pag. 171, Cromer): un pneumatico di un’automobile
viene gonfiato fino ad una pressione relativa di 1.6 atm alla temperatura
di 20 0 C. Dopo 150 km in autostrada, la temperatura è di 50 0 C. Qual
è la pressione del pneumatico? Si approssimi la temperatura dello zero
assoluto con 300 K.
T1 = 20 0 C = 320 K, p̄1 = 1.6 atm, T2 = 50 0 C = 350 K
p1 = p̄1 + p0 = 2.6 atm
Trasformazione isocora
p1 /T1 = p2 /T2 → p2 = p1 (T2 /T1 ) = (2.6 atm)(350 K)/(320 K) = 2.86 atm
p̄2 = p2 − p0 = 1.86 atm
Miscele di gas
Una miscela di gas è costituita da diversi gas mescolati tra loro. L’aria
è una miscela di Azoto, Ossigeno, Argon e Anidride carbonica. La
pressione di una miscela di gas perfetti è la somma delle pressioni
parziali dei singoli componenti (legge di Dalton), ossia:
p = p1 + p2 + ... = n1 RT /V + n2 RT /V + ... = nRT /V ,
dove n = n1 + n2 + ... e pi = niRT /V è la pressione che l’elemento iesimo eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume a disposizione
(pressione parziale). Dividendo pi = niRT /V per p = nRT /V , si ottiene:
pi = (ni/n)p ,
ossia la pressione parziale di un componente è proporzionale alla sua
frazione molare xi = ni/n. Le frazioni molari dei componenti dell’aria
sono: N2 78%, O2 20.93 %, Ar 0.97%, CO2 0.03%.
Introducendo la concentrazione molare Ci = ni/V ([Ci] = m−3 ), la
pressione parziale si può anche scrivere:
pi = CiRT ,
ossia la pressione parziale di un componente della miscela è proporzionale alla sua concentrazione.
Esercizio: calcolare la concentrazione di 3.2 kg di O2 in una bombola
di 500 cm3 .
m = 3.2 kg, V = 5 × 102 cm3 = 5 × 10−4 m3
mmol = 32 g = 3.2 × 10−2 kg
n = m/mmol = 100
C = n/V = 100/(5 × 10−4 m3 ) = 2 × 105 m−3 = 200 litro−1
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Diffusione dei gas nei liquidi
A causa dell’agitazione termica, un gas a contatto con un liquido
può diffondere e sciogliersi in esso. La concentrazione molare del
gas disciolto Ci è proporzionale alla pressione parziale pi del gas nella
miscela a contatto con il liquido (legge di Henry)
Ci = si · pi ,
dove si è una fattore di proporzionalità (detto coefficiente di solubilità)
che dipende dal gas e dal liquido, oltre che dalla temperatura. Nel SI:
[si] = m−3 P a−1 .
Gli scambi gassosi che garantiscono l’apporto di ossigeno e la rimozione di anidride carbonica nel corpo umano avvengono grazie alla
diffusione di gas in liquidi. Nei polmoni ciò avviene attraverso le pareti
alveolari. La pressione parziale dell’ossigeno all’interno dei polmoni è
sufficientemente elevata che l’ossigeno diffonde nel sangue.
Diffusione libera
Analogamente ad una miscela che è costituita da più gas mescolati
tra loro, una soluzione è costituita da più sostanze (anche liquide)
mescolate tra loro. Una delle sostanze, usualmente la più abbondante,
viene detta solvente, mentre le altre soluti. La concentrazione molare
(o molarità) Ci di un soluto viene definita esattamente come fatto in
precedenza per le miscele di gas.
Se la concentrazione di soluto non è uniforme, a causa dell’agitazione
termica esso comincia a diffondere in tutto il solvente (figura 5.3,
Monaco-Sacchi-Solano). Se C1 e C2 sono le concentrazioni in due
punti a distanza ∆x, il numero di moli che in un tempo ∆t attraversa
una superficie S perpendicolare alla direzione del moto del soluto è
(legge di Fick):
n = DS∆t(C1 − C2 )/∆x ,
dove il fattore D (coefficiente di diffusione) dipende dal soluto, dal
solvente e dalla temperatura.
Osmosi
Molte funzioni biologiche avvengono attraverso lo scambio di sostanze
tra soluzioni con concentrazioni differenti di soluto separate da membrane semipermeabili. In queste condizioni la diffusione non è più libera
e si parla di processo osmotico.
Il solvente è usualmente libero di fluire ma non il soluto (figura 5.4,
Monaco-Sacchi-Solano). Per la legge di Fick, si stabilisce un flusso
di solvente verso il soluto sino a che la pressione idrostatica cresce
al punto tale da controbilanciarlo. Per descrivere questo processo si
definisce una pressione efficace π, detta pressione osmotica, che è
proporzionale alla concentrazione di soluto e che si suppone causi un
flusso di solvente dal compartimento a pressione osmotica inferiore a
quello a pressione osmotica maggiore. Essa è data da (legge di Van’t
Hoff):
π = δCiRT ,
dove δ rappresenta il rapporto tra il numero di molecole del soluto in
soluzione e indissociato (coefficiente di dissociazione elettrolitica). π
si misura in Pa.
Due soluzioni con la stessa π si dicono isotoniche. Tra di esse non vi
è flusso netto di solvente. Se una soluzione ha π maggiore o minore di
un’altra, si dice ipertonica o ipotonica ed in tal caso si stabilisce un
flusso di solvente sino a che la differenza di pressione idrostatica non
lo controbilancia. È importante che le sostanze iniettate nel sangue
siano isotoniche al plasma, altrimenti si potrebbe verificare l’atrofizzazione (nel caso di soluzione ipertonica) o emolisi (nel caso di soluzione
ipotonica) delle cellule del plasma.