La matematica nel pallone

La matematica nel pallone
Paolo Alessandrini
Dolomiti in Scienza
7 febbraio 2015
La palla è davvero rotonda?
Il pallone (Regola 2) deve essere:
• di forma sferica
• di cuoio o altro materiale approvato
• di circonferenza minima di 68 cm e
massima di 70 cm
• di peso minimo di 410 g e massimo
di 450 g all’inizio della gara
• di pressione fra 0,6 e 1,1 atm al
livello del mare.
Ma il pallone può essere veramente sferico?
A differenza della natura, l’uomo fa fatica a fabbricare palle
perfettamente sferiche. E’ più facile approssimare una sfera
creando solidi formati da pezzi di cuoio cuciti insieme.
Come costruire un pallone?
Ad esempio cucendo assieme pezzi di cuoio regolari e uguali
tra di loro, ottenendo “spigoli” e “vertici” tutti uguali tra di loro.
Nel Timeo, Platone descrisse i solidi fatti
così: i solidi regolari, o “platonici”.
Un solido platonico è un poliedro (solido
delimitato da facce piane poligonali) in cui
le facce sono poligoni regolari uguali tra di
loro e in cui gli spigoli e i vertici sono tutti
equivalenti tra di loro.
Platone associò i cinque solidi regolari
conosciuti agli elementi fondamentali: il
tetraedro al fuoco, il cubo alla terra,
l'ottaedro all’aria, il dodecaedro all’universo
in generale, l'icosaedro all’acqua.
TETRAEDRO
CUBO
OTTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Perché solo cinque?
Euclide dimostrò che non esistono altri
solidi platonici: mentre i poligoni regolari
sono infiniti, i poliedri regolari sono solo
cinque!
Come procurarsi i solidi platonici?
Palloni platonici
Quali dei solidi platonici sono più
adatti per costruire palloni?
Tetraedro: un po’ troppo aguzzo…
Cubo: usato nel 1930 e anche nel
2014 (Brazuca)
Ottaedro, dodecaedro e icosaedro:
in teoria ancora più adatti
L’icosaedro pare il migliore: ha il
maggior numero di facce, e quindi
è il più vicino alla sfera
Solidi archimedei
Certo, si potrebbe provare a tirare calci a un icosaedro, ma
perché non provare a renderlo ancora più rotondo?
Archimede da Siracusa definì una nuova
famiglia di poliedri (archimedei): quelli che
hanno come facce non un solo tipo di
poligono regolare, ma due o più diversi tipi;
inoltre dovevano avere vertici tutti uguali e
facce della stessa lunghezza (per potersi
cucire tra loro)
Alla fine Archimede trovò che i solidi di
questo tipo sono solo 13
Uno di questi, l’ottaedro troncato, si ottiene troncando i vertici di
un ottaedro platonico (Adidas Teamgeist, 2006)
L’icosaedro troncato
Troncati i 12 vertici
dell’icosaedro
• 12 facce pentagonali
• le 20 facce triangolari
diventano esagonali
Quante cuciture?
12 x 5 + 20 x 6
= 180
Quindi 90
cuciture (ancora
abbastanza
poche).
Volume: 86,74% di quello della sfera circoscritta
Pallone gonfiato: più del 95%
I fullereni, o solidi “palloneschi”
1985: scoperta del
buckminsterfullerene o C60 (60 atomi
di carbonio disposti a forma di
icosaedro troncato, cioè di Telstar)
Famiglia di appartenenza: fullereni
Caratteristica: 12 facce pentagonali
(come il dodecaedro) + N facce
esagonali (che non deformano la
struttura di partenza)
Primo nome del C60: soccerene
La matematica scende in campo
Regola 1
Segnatura del terreno. Il terreno di gioco deve essere rettangolare e
segnato con linee che fanno parte delle superfici che delimitano. Le
linee che delimitano i lati più lunghi del terreno sono denominate
“linee laterali”; quelle che delimitano i lati più corti “linee di porta”.
Il terreno di gioco è diviso in due metà dalla “linea mediana”, che
congiunge il punto medio delle due linee laterali. A metà della linea
mediana è segnato il punto centrale del terreno di gioco.
Attorno a questo punto è tracciata
una circonferenza di m. 9,15 di
raggio.
È possibile tracciare un segmento
di linea al di fuori del terreno di
gioco a m. 9,15 dall’arco d’angolo,
sia perpendicolarmente alla linea
di porta sia alla linea laterale (…)
La matematica scende in campo
L’area di porta. Due linee sono tracciate perpendicolarmente alla
linea di porta, a m. 5,50 dall’interno di ciascun palo. Queste due linee
hanno una lunghezza di m. 5,50 verso l’interno del terreno di gioco e
sono congiunte da una linea parallela alla linea di porta. La superficie
delimitata da queste linee e dalla linea di porta è denominata area di
porta.
L’area di rigore. Due linee sono tracciate perpendicolarmente alla
linea di porta, a m 16,50 dall’interno di ciascun palo. Queste due
linee hanno una lunghezza di m. 16,50 verso l’interno del terreno di
gioco e sono congiunte da una linea tracciata parallela alla linea di
porta. La superficie delimitata da queste linee e dalla linea di porta è
denominata area di rigore.
All’interno di ciascuna area di rigore, a m 11 dalla linea di porta,
equidistante dai pali, è segnato il punto del calcio di rigore. Con
centro in tale punto deve essere tracciato all’esterno dell’area di
rigore un arco di circonferenza di m 9,15 di raggio.
La matematica scende in campo
Le bandierine
A ciascun angolo del terreno deve essere
infissa un’asta con bandierina. L’asta (…)
deve avere un’altezza non inferiore a m 1,50
dal terreno. (…) Da ciascuna bandierina
d’angolo è tracciato all’interno del terreno di
gioco un quarto di cerchio di m 1 di raggio.
Dimensioni
La lunghezza delle linee laterali deve essere superiore alla lunghezza
delle linee di porta.
Lunghezza: min 90 m, max 120 m
Larghezza: min 45 m, max 90 m
Gare internazionali:
Lunghezza: min 100 m, max 110 m
Larghezza. min 64 m, max 75 m (…)
La matematica scende in campo
Campi “standard”
In teoria sarebbe regolamentare anche un campo 91× 90 metri
Formato standard: 105 × 68 metri
(raccomandato da FIFA e leghe di Serie A e B)
Esempi:
• San Siro
• Camp Nou
• Stadio Azteca
• Estadio Centenario
• Olimpico di Roma
• Olimpico di Torino
• Juventus Stadium
• San Paolo
• Bentegodi
Fields of gold?
Rettangolo aureo: a : b = b : a-b ≈ 1.618
Formato standard dei campi di gioco:
105 : 68 ≈ 1,544 (poco aureo)
110 × 68 sarebbe stato un formato aureo
Wembley: 105
Maracanà:
110 :: 70
75 == 1,5
1,466
Il campo più aureo del mondo
Wikipedia inglese: 107 × 72 metri
rapporto 1,486
Wikipedia spagnola: 105 × 70 metri
rapporto 1,5
Altre fonti: 106 × 70 metri
rapport 1,514
Sito dell’UEFA: 106 × 66 metri
rapporto 1,606 (quasi aureo)
Angoli di tiro
Un giocatore corre verso la
porta avversaria lungo una
linea parallela alla linea
laterale.
Man mano che il giocatore
avanza, l’angolo di tiro
(formato dai due segmenti che
congiungono il giocatore ai
pali) aumenta, raggiunge un
massimo e poi si riduce.
Il punto ideale da cui tirare per fare gol è quello dal quale
l’angolo di tiro è massimo.
Angoli di tiro
Il luogo dei punti ideali per il tiro (al variare della linea su cui
corre il giocatore)
Tornei e campionati
Tre tipi principali di torneo o campionato:
torneo a eliminazione diretta: ad ogni turno ogni squadra gioca
contro un’altra: le vincenti accedono al turno dove vengono
accoppiate tra di loro, e le perdenti vengono eliminate
Vantaggio: dura di meno
(esempi: fase finale dei Mondiali e degli Europei)
girone all’italiana o “round robin”: ogni squadra gioca contro
tutte le altre (a turno unico o a doppio turno), e viene mantenuta
una classifica che è significativa soltanto alla fine
Vantaggio: classifica più veritiera
(esempi: la maggior parte dei campionati nazionali)
formula mista: fasi a eliminazione diretta e fasi a girone
all’italiana (esempi: fase eliminatoria dei Mondiali e degli
Europei, Europa League, Champions League)
Eliminazione diretta
Se ci sono N squadre:
• N deve essere una potenza di 2
(ad esempio 2, 4, 8, 16, 32)
• ci sono in tutto log2N turni
(ad esempio, con N=16 squadre,
ci sono log216 = 4 turni)
• ci sono in tutto N/2 + N/4 + … + + 2 + 1 = N-1 partite
(ad esempio, con N=16 squadre,
ci sono 16-1 = 15 partite)
Eliminazione diretta
Girone all’italiana
Se ci sono N squadre:
• N dovrebbe essere pari
(con N dispari, ad ogni giornata
una squadra riposa)
• ci sono in tutto N-1 giornate,
o 2(N-1) in caso di doppio turno
(ad esempio, con N=20 squadre,
ci sono 19 giornate, oppure 38 in caso di doppio turno)
• ci sono in tutto (N-1) × N/2 partite, o (N-1) × N in caso di
doppio turno
(ad esempio, con N=20 squadre, ci sono 19 × 10 = 190
partite, oppure 380 in caso di doppio turno)
L’algoritmo di Berger
Gruppo D dei
Mondiali 2014:
Uruguay
Costarica
Inghilterra
Italia
Giornata 1 (14 giugno):
Uruguay - Costarica
Inghilterra - Italia
Giornata 2 (19-20 giugno):
Uruguay - Inghilterra
Italia - Costarica
Giornata 3 (24 giugno):
Uruguay - Italia
Costarica- Inghilterra
Chi vincerà i Mondiali?
Ricerca di J. López Peña e H. Touchette (University College di
Londra): ogni squadra dei Mondiali 2010 rappresentata come
grafo orientato e pesato
Grafo: insieme di punti, detti nodi, collegati da linee dette archi.
Archi con direzione
grafo orientato
Arco con peso
grafo pesato
Giocatori: nodi
Peso dell’arco: frequenza dei passaggi tra i due giocatori
Benefici: capire lo schema della squadra, valutare se il gioco è
bilanciato, misurare la coesione, identificare le aree in cui il
gioco è carente, determinare l’importanza di ogni giocatore,
ipotizzare le conseguenze della rimozione di un giocatore
Prevista vittoria Spagna in Mondiali 2010 ed Europei 2012
Se vinciamo siamo vincitori, se perdiamo siamo
perditori.
Meglio perdere una partita 6-0 che sei partite 1-0.
Meglio perdere 4-0 che 5-0.
Squadra che vince scudetto è
quella che ha fatto più punti
Chi non tira in porta non segna.
Rigore è quando arbitro fischia.
Vujadin Boškov
Per approfondire…
• Javier López Peña, Hugo Touchette, «A network theory
analysis of football strategies», in C. Clanet (ed.), Sports
Physics: Proc. 2012 Euromech Physics of Sports
Conference, p. 517-528
• Marcus de Sautoy, «L’equazione da un milione di
dollari», Rizzoli, 2011
• Mr. Palomar, blog di Paolo Alessandrini
(http://misterpalomar.blogspot.com)