Laboratorio di matematica: Introduzione

Transcript

Considerazioni teoriche generali
Udine, Master in Didattica delle Scienze
Laboratorio di matematica
Introduzione
Giorgio T. Bagni
UNIVERSITAS
STUDIORUM
UTINENSIS
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Udine
[email protected]
www.syllogismos.it

Le tecnologie possono contribuire alla creazione di un
ambiente in cui l’allievo può realizzare importanti
percorsi di apprendimento.
Dunque le tecnologie informatiche sono artefatti, non
dissimili dagli artefatti tradizionali (strumenti quali il
compasso, l’abaco etc.).
L’impiego di artefatti
non può realizzarsi in
termini del tutto
spontanei, istintivi:
esso coinvolge un
approccio teorico delicato.
Il quadro teorico:
apprendimento e artefatti
Il quadro teorico:

L’applicazione di artefatti alla didattica richiede
dunque la precisazione di un quadro teorico: ci
rifaremo a quanto proposto da M.G. Bartolini Bussi,
M.A. Mariotti e F. Ferri (CERME-3).
Vygotskij riconosce funzioni di mediazione agli
strumenti tecnici e psicologici (segni o strumenti di
mediazione semiotica: Vygotskij, 1974, p. 227).
Wartofsky (1979) identifica gli strumenti tecnici come
artefatti primari.
Gli artefatti secondari sono usati per fissare e
trasmettere le modalità di azione.

Il quadro teorico:
Le tecnologie e l’apprendimento

Didatticamente significativo è che l’uso degli artefatti
primari richieda la loro manipolazione.
Anche Vygotskij (1987, p. 45) sottolinea la necessità
di combinare l’uso di “linguaggio, occhi e mani”.
L’importanza degli aspetti corporei si accorda con la
posizione della scienza cognitiva basata sui lavori di
Lakoff, Johnson e Núñez (Lakoff & Núñez, 2000),
secondo la quale la formazione di idee matematiche si
basa sull’esperienza sensoriale-motoria.
Qual è, in tale inquadramento teorico, il ruolo di un
programma per computer?
Dunque un compasso o una squadra possono essere
considerate, in tale lettura, artefatti primari.
Le regole, le convenzioni rappresentative etc.
corrispondono ad artefatti secondari.
Una teoria matematica è un artefatto terziario che
organizza i modelli costruiti come artefatti secondari.
Si può supporre (Bartolini Bussi, 2002) che gli aspetti
pratico, rappresentativo e teorico siano incorporati
(potenzialmente) nell’attività che si svolge con
l’artefatto il quale, in tale modo, acquista le
caratteristiche della polisemia (Engestroem, 1990).

Un computer permette l’impiego didattico di software
che possono contribuire a creare dei “micromondi”
(ambienti) nell’ambito dei quali l’allievo può
realizzare importanti esperienze per realizzare e
consolidare l’apprendimento.
Tali “micromondi” (ad esempio basati su programmi
di manipolazione simbolica, algebrica etc.) sono
chiaramente utili per la mediazione semiotica.
Numerose ricerche didattiche sperimentali (M. A.
Mariotti, Università di Siena; M. Cerulli, Università di
Pisa) hanno confermato la loro possibile applicazione
in termini certamente positivi.
1
Le tecnologie e l’istituzionalizzazione
Un contratto mai firmato

Nella pratica scolastica (ci riferiamo a diversi livelli)
l’uso di computer, calcolatrici etc. è talvolta oggetto di
discussione.
È lecito ricorrere alle tecnologie a scuola?
Quale loro impiego è consentito? Durante le
esercitazioni? Durante le occasioni di valutazione?
Si pensi al dibattito sull’uso delle calcolatrici
scientifiche e delle calcolatrici grafiche nel corso delle
prove scritte (ad esempio di analisi matematica, o
durante gli esami di stato).
È indispensabile una negoziazione esplicita della
situazione tra l’insegnante e gli allievi.
Spesso, nella nostra attività di insegnanti, ci è capitato
di basare il nostro rapporto con gli allievi su regole
non scritte, su convenzioni implicite che vengono
accettate sia dal docente che dal discente.
Talvolta sembra quasi che queste (mai dichiarate)
norme di comportamento siano perfettamente
conosciute da entrambe le parti in gioco, come se
costituissero una sorta di contratto la cui validità sia
indiscutibilmente nota e chiara per tutti.
Un contratto mai firmato, ma non per questo meno
importante, tale da influenzare, anche in termini
decisivi, l’insegnamento e l’apprendimento.
Un contratto mai firmato
Il contratto didattico: clausole

Già nel 1973 J. Filloux ipotizzò la presenza di un
contratto pedagogico tale da collegare e da
influenzare reciprocamente i comportamenti
dell’insegnante e dell’allievo.
Nel 1986, G. Brousseau perfezionò questa idea,
inizialmente incentrata sulla dimensione sociale, e la
arricchì con la considerazione degli aspetti cognitivi:
nacque così il contratto didattico.
Il contratto didattico secondo Brousseau è «l’insieme
dei comportamenti dell’insegnante che sono attesi
dall’allievo e l’insieme dei comportamenti
dell’allievo che sono attesi dall’insegnante» .

Clausole collegate al risultato
Conoscenze (Drouhard-Panizza)

Spesso le prove di valutazione (sia scritte che orali)
sono basate su richieste del tipo: determina il risultato
del problema seguente. Il risultato da trovare può
essere un numero, una formula, un diagramma
cartesiano etc.
L’esito della prova dipende dunque dalla correttezza
di questo risultato: se “il risultato è giusto”, allora “il
compito è andato bene”.
Il risultato finale è un protagonista di primo piano
del contratto didattico!
I problemi impossibili possono costituire un ostacolo
(si ricordi il celebre “problema del pastore”).
Un primo esempio: implicite attese, da parte degli
studenti, basate sulla ripetizione delle modalità (ogni
martedì interrogazione, ogni volta quattro interrogati,
ogni interrogato un’equazione da risolvere etc.).
Oppure: l’uso (non raramente maldestro) di un
linguaggio apparentemente rigoroso o altisonante da
parte dell’allievo può essere determinato dal tentativo,
non sempre del tutto consapevole, di imitare il
linguaggio impiegato dall’insegnante nelle
spiegazioni o di utilizzare, in qualche modo, la
terminologia presente nel libro di testo.
Nasce (per la matematica) il… matematichese!
La
classificazione
cui faremo
riferimento
si basa
“Che
cosa si devea sapere
per fare
matematica
su di una
domanda
proposta
da J.-P. Drouhard
in modo
che essa
sia matematica?”

Conoscenza del I ordine: i “contenuti” di ogni (vera)
affermazione matematica (definizioni, teoremi…).
Conoscenza del II ordine: ciò che permette al
discorso matematico di funzionare come si suppone
che esso debba funzionare. Ci sono due tipi di
conoscenza del II ordine: uno semiotico (II-s) ed uno
riguardante la validità e la verità (II-v). Per fare
matematica è necessario sapere come esprimersi
correttamente nei vari registri semiotici e sapere che ci
sono regole per argomentare, dedurre etc.
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Conoscenza del III ordine: riguarda le concezioni
della natura della conoscenza del I e del II ordine.
Un’interpretazione stretta di tale idea porterebbe a dire
che c’è forse una sola conoscenza del III ordine, cioè
quella secondo la quale l’attività matematica consiste
nell’operare con la conoscenza del I ordine secondo le
“regole del gioco” date dalla conoscenza del II ordine.
Si noti che in situazioni di insegnamento si può avere
a che fare con affermazioni che non sono riconducibili
a conoscenza del I o del II ordine.
Dunque le conoscenze del III ordine fanno capire che
si sta facendo “matematica” e non qualcos’altro.

Oltre il contratto didattico
Oltre il contratto: situazioni didattiche
L’epistemologia genetica di Piaget si è basata
sull’ipotesi della partecipazione attiva dello studente
alla costruzione del proprio sapere matematico.
Ma altri elementi vanno considerati: lo studente
apprende una disciplina con caratteristiche specifiche
che non viene “ricostruita” spontaneamente.
C’è inoltre l’aspetto sociale per quanto riguarda lo
status della conoscenza matematica, le modalità di
espressione e di applicazione.
C’è infine la componente sociale per quanto riguarda
l’apprendimento in classe (ad esempio l’omogeneità
etc.).

Oltre il contratto: situazioni didattiche
Oltre il contratto: tipi di situazioni

Situazione a-didattica: sono coinvolti gli studenti e il
sapere, non l’insegnante. Una situazione suggerisce
alcune attività collegate alla matematica, gli studenti
reagiscono allo stimolo con delle strategie, ma senza
obblighi didattici.
Situazione non-didattica: c’è la presenza degli
studenti e dell’insegnante, ma l’attività non è
finalizzata a un ben preciso sapere in gioco.
Situazione didattica: c’è l’esplicita intenzione di
insegnare (da parte dell’insegnante) e di apprendere
(da parte degli allievi). L’influenza del contratto
didattico è rilevante.
Più si considerano ordini di conoscenza elevati
meno accordo si trova su di essi: mentre la
conoscenza del I ordine è presentata nei manuali, la
conoscenza del II-III ordine non sempre ottiene lo
status di conoscenza «ufficiale» ed è considerata a
volte alla stregua di commento o di interpretazione.
La conoscenza del III ordine sarebbe in particolare
collegata ad una definizione della matematica e non
c’è completo accordo su di essa (si pensi ai dibattiti
sull’intuizionismo o sulle dimostrazioni basate
sull’uso di tecnologie informatiche).
L’uso di tecnologie coinvolge conoscenze del III
ordine.
I due aspetti sociali citati (nella direzione della
matematica da apprendere e nella direzione della
comunità che apprende) attribuiscono all’insegnante
un ruolo centrale.
L’impostazione teorica di G. Brousseau prevede uno
studio delle diverse situazioni che si creano
nell’apprendimento. Ci riferiremo al “triangolo”:
insegnante
allievo
sapere
Situazioni di azione: sono determinate da interazioni
con l’ambiente e favoriscono il sorgere di teorie
implicite (modelli protomatematici).
Situazioni di formulazione: espressione di modelli e
acquisizione di linguaggi (nel caso di dimensione
sociale esplicita: situazioni di comunicazione).
Situazioni di validazione: prevedono la produzione
di prove e di spiegazioni.
Situazioni di istituzionalizzazione: conferimento
dello status ufficiale a conoscenze emerse durante
l’attività in aula.
3
Un momento cruciale: la devoluzione
Contratto e costume (Balacheff)

Lo studente costruisce la propria conoscenza (cioè
apprende) soltanto quando si interessa personalmente
al problema che gli viene proposto nella situazione
didattica.
Tale coinvolgimento personale viene indicato
mediante il termine devoluzione.
Esempio di mancata devoluzione: lo studente segue le
spiegazioni, esegue i compiti, studia. Ma…
…non partecipa!
È come se dicesse: “Sono qui, faccio quello che mi
dicono essere il mio dovere, ma… ciò che mi
propongono non mi coinvolge, non mi interessa”.

La presenza di un costume e di un contratto didattico
in una stessa classe, secondo Balacheff, non
rappresenta una contraddizione o un’alternativa.
Il carattere locale del contratto didattico può far sì
che un particolare contratto si sovrapponga al costume
per un certo periodo (collegato, ad esempio, ad una
particolare attività).
Quando il particolare contratto che era stato stabilito
decade, si torna a fare riferimento al costume.
Anche il costume si evolve, ad esempio a fronte
dell’evoluzione di alcune pratiche matematiche.
Il concetto di costume riprende in termini diversi
alcune caratteristiche spesso associate al contratto
didattico.
Ciò che rende diversa una comunità basata su
interazioni collegate al costume da una nella quale è
stabilito un contratto didattico è che mentre il
costume è spontaneo e inconscio, il contratto è più
esplicito.
La presenza del costume appare nel momento in cui i
suoi effetti si manifestano.
Il costume è più generale: un contratto didattico
viene negoziato in una classe particolare.
La legittimazione dell’uso di tecnologie
informatiche (dalla calcolatrice tascabile al computer)
è un elemento che si collega in termini essenziali al
costume.
A tutti grazie
dell’attenzione
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