Esercizi di Matematica Generale -C.d.L. in Economia Aziendale

Esercizi di Matematica Generale -C.d.L. in Economia Aziendale per gli studenti degli a.a. 2012/13
Prof.ssa Rinauro Silvana
Regole per l’esame:
Si darà facoltà agli studenti di convalidare il voto dello scritto, se questo è
compreso fra 18 e 27, senza sostenere l’orale.
Chi prenderà un voto superiore al 27 dovrà sostenere l’orale per confermare
o migliorare il voto, a meno che non si accontenti del 27.
Per i voti da 15 a 17 sarà obbligatorio sostenere l’orale, per poter raggiungere (o superare) la sufficienza.
Chi avrà un voto minore di di 15 (cio da 1 a 14) non sarà ammesso alla
prova orale e dovrà ripetere la prova scritta.
Chiunque abbia superato lo scritto e voglia sostenere l’orale per migliorare
il proprio voto potrà farlo.
Ovviamente nei casi in cui ci sia il dubbio che lo studente abbia copiato il
compito, sarà richiesta la prova orale per poter convalidare il voto.
Sono elencati di seguito gli esercizi-tipo che bisogna saper svolgere per
superare un compito scritto.
Gli esercizi che saranno assegnati in un singolo scritto saranno del tipo di
alcuni dei seguenti
Esercizio 1: Per ciascuna delle funzioni sotto indicate:
(a) Si determini il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti);
(b) Si determini il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi (3 punti);
(c) Si determinino gli eventuali asintoti (4 punti);
(d) Si determinino gli intervalli di monotonia, e i punti di massimo e minimo
relativi (4 punti);
(e) Si determinino gli intervalli di concavità e convessità e gli eventuali flessi
(4 punti);
1
(f ) Si disegni il grafico (4 punti).
(d) Si scriva l’equazione della retta tangente al grafico di f (x) nel punto x0
indicato accanto alla funzione (4 punti);
(e) Si trovino il minimo e il massimo assoluti nell’intervallo [a, b] indicato
accanto alla funzione (4 punti).
1. f (x) =
x2 −9
x+1 ,
x0 = 0, [a, b] = [0, 2].
2. f (x) =
x+1
,
x2 +1
x0 = 1, [a, b] = [−4, 2].
3. f (x) = log(1 − x), x0 = 0, [a, b] = [−2, 0].
4. f (x) =
x2 −2x+1
x−2 ,
x0 = −1, [a, b] = [3, 6].
5. f (x) = ex − e3x , x0 = 0, [a, b] = [−1, 1].
6. f (x) =
p
7. f (x) =
x2 −1
,
x2 −4
8. f (x) =
x−1
,
x2 −x−6
(4 − x2 ), x0 = 0, [a, b] = [−1, 1].
x0 = 1, [a, b] = [−1, 1].
x0 = 1, [a, b] = [−1, 2].
9. f (x) = x ln x, x0 = 1, [a, b] = [ e12 , 2].
x+1
10. f (x) = e x2 +1 , x0 = 1, [a, b] = [ e12 , 2].
11. f (x) = ln
12. f (x) =
x
x2 +1
x−1
,
x2 +1
, x0 = 1, [a, b] = [ 21 , 2].
x0 = 0, [a, b] = [−2, 2].
13. f (x) = ln(x2 − 1), x0 = 2, [a, b] = [3, 5].
2
14. f (x) = e(1−x ) , x0 = 0. [a, b] = [−2, 3].
15. f (x) =
p
(1 − 2x), x0 = −1, [a, b] = [−5, 0].
2
Esercizio 2: Si calcolino i seguenti limiti, senza l’uso del Teorema de
l’Hôpital (6 punti):
2
ex −1
2 2x ,
tan
x→0
[Risp. = 14 ];
1−cos x
,
x7→0 sin 3x
[Risp. = 0];
1. lim
2. lim
2 cos x
2 ,
x7→0 1−x
3. lim
[Risp. = 2];
sin 3x
,
x7→0 log(x+1)
[Risp. = 3];
5. lim
tan(x−1)
x−1 ,
[Risp. = 1];
6. lim
log(2x+1)
,
x
4. lim
x7→1
x7→0
[Risp. = 2];
x
7. lim
1−
8. lim
x
x2 +1
9. lim
x3 −3x+5
x+1
x7→+∞
x7→+∞
x7→−∞
10. lim
x7→−∞
11. lim
x7→1
12. lim
2
x
, [Risp. = 0].
2−4x4
2x4 +x3
x2 −2x+1
2x−2
x7→−2
, [Risp. = e−2 ].
, [Risp. = +∞].
, [Risp. = −2].
, [Risp. = 0].
x2 +6x+8
x2 +10x+16
, [Risp. = 13 ].
Esercizio 3: Si calcoli la derivata delle seguenti funzioni (4 punti):
1. f (x) = log
x
x2 +1
.
x−1
2. f (x) = e x2 +1 .
3. f (x) = log(x2 − 1).
4. f (x) =
x3 +5x2 +3
.
x2 −2
√
5. f (x) =
e(1−x2 ) .
3
6. f (x) =
q
3x+1
.
x2 −1
Esercizio 4: Si calcolino i seguenti integrali definiti (6 punti):
e
3
1
3
log(3x)
dx,
x
[Risp. = 12 ];
1.
R
2.
√
R 1 e2x
1
2 ) − 2 ];
dx,
[Risp.
=
arctg(e
0 1+e4x
2
4
3.
R2
4.
R3
5.
R
6.
R2√
7.
R1
8.
R 2 2 x3 −4
dx, [Risp. = 13 (e4 − e−4 )].
0 x e
0
xex
2 −1
dx, [Risp. = 12 (e3 − 1e )];
x2 −2
0 x2 +3x+2 dx,
π
4
0
0
0
[Risp. = 3 − 2 log 5].
sin2 xdx, [Risp. =
π
8
− 14 ].
√
2x + 1dx, [Risp. =
125−1
].
3
xex dx, [Risp. = 1].
Esercizio 5: Si dia la definizione composta f (g(x)) e si calcoli f (g(x)) nel
caso che f (x) = e1−x e g(x) = x2 + 2x + 1 (Teoria, 6 punti).
Esercizio 6: Si dia la definizione di derivata e si calcoli, usando la definizione,
la derivata della funzione f (x) = 3x2 nel punto x0 = 2 (Teoria, 6 punti).
Esercizio 7: Si dia la definizione di massimo e minimo assoluto di una
funzione in un intervallo [a, b] e si enunci il teorema di Weierstrass (Teoria,
6 punti).
Esercizio 8: Si spieghi il significato geometrico della derivata (Teoria, 6
punti).
Esercizio 9: Si dia la definizione di funzione crescente e strettamente crescente. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria,
4
6 punti).
Esercizio 10: Si dia la definizione di funzione decrescente e strettamente
decrescente. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento
(Teoria, 6 punti).
Esercizio 11: Si dia la definizione di massimo e minimo relativi per una
funzione e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria, 6 punti).
Esercizio 12: Si dia la definizione di funzione convessa in un punto e di
punto di flesso. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento
(Teoria, 6 punti).
5