risposte – domande di matematica applicata alla

DOMANDE E RISPOSTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL’ECONOMIA
Ques.36 - Cita il nome di qualche variabile incontrata in economia. Cosa si può dire circa il loro
segno?
Risp. 36 – Sono variabili economiche: la quantità prodotta e offerta, la quantità domandata, i costi di
produzione, il ricavo, l’utile, il prezzo di vendita, le ordinazioni di materia prima, ecc. Tutte le variabili
economiche sono quantità positive, discrete ( valori interi ) o continue ( valori reali con la virgola ).
Ques.37 - A chi spetta il compito di scegliere il modello matematico che meglio descrive un
fenomeno economico? Sulla base di cosa viene scelto tale modello?
Risp. 37 – E’ compito degli economisti analizzare i vari fenomeni e ricavare o ipotizzare i legami fra le
varie grandezze. Attraverso metodi matematici gli economisti scelgono i modelli matematici che
interpretano al meglio la realtà e, in quanto tali, possono anche non rappresentare bene le relazioni tra le
grandezze in gioco.
Ques.38 - Dai la definizione di valore marginale nel discreto della funzione y=f(x) e di valore
marginale nel continuo. Cosa rappresentano in economia? Cosa in matematica?
Risp. 38 – Si definisce valore marginale nel discreto della funzione y=f(x) il rapporto incrementale
y f ( x  x)  f ( x)
. Esso è un indice che ci informa sull’andamento crescente o decrescente della

x
x
funzione y=f(x) nell’intervallo (x , x+∆x). Dal punto di vista matematico rappresenta la pendenza della
retta secante passante per i punti P(x,f(x)) e Q(x+∆x , f(x+∆x)).
Se la funzione y=f(x) è derivabile, si definisce valore marginale nel continuo il limite per ∆x  0 del
dy
y
f ( x  x)  f ( x)
rapporto incrementale
. Matematicamente coincide con la
 lim
 lim

x

0

x

0
dx
x
x
definizione di derivata f (x) e rappresenta la pendenza della retta tangente a y=f(x) nel suo punto
dy
P(x,f(x)). Il segno di
ci indica se la funzione è crescente o decrescente nel punto P(x,f(x)).
dx
Ques.39 - Dai la definizione di coefficiente di elasticità di una funzione y=f(x) e poi spiega il suo
significato dal punto di vista economico-matematico.
Risp. 39 – Il coefficiente di elasticità di y =f(x) è il rapporto tra la variazione relativa della funzione e la
variazione relativa della variabile indipendente x:
f
f

x
x
. Esso misura la rapidità con cui varia f al variare della variabile indipendente x.
Ques.40 - Dai la definizione di elasticità d’arco
di una funzione y=f(x) nei suoi punti P(x,f(x)) e
Q(x+∆x,f(x+∆x)).
y
P
f(x)
f(x+∆x)
Q
O
x
x+∆x
x
Risp. 40 – Si definisce elasticità d’arco il rapporto tra il valore marginale di y=f(x) nei punti P(x,f(x)) e
Q(x+∆x,f(x+∆x)) e il suo valore medio:
f ( x  x)  f ( x)
x f . Esso è una modalità diversa di scrivere il coefficiente di elasticità,
x
 
f ( x)
f x
x
f
f
f x
x f
f





 x .
x
f
f x
f x
x
x
f
  x 
f
x
infatti
Ques.41 - Dai la definizione di elasticità puntuale di una funzione y=f(x) in P(x,f(x)).
Risp. 41 – Se f(x) è derivabile, nel continuo, il limite dell’elasticità d’arco per ∆x  0 prende il nome di
elasticità puntuale:
f ( x  x)  f ( x)
f
x f
x df
x
x
  lim x  lim
 lim 
 
  f ( x)
x 0
x 0
x 0 f
f
f ( x)
x f dx f
x
x
Ques.42 - Dai la definizione di domanda complessiva e spiega se è una funzione crescente o
decrescente motivando la risposta.
Risp. 42 – Si definisce domanda complessiva di una merce la quantità che viene richiesta ad un certo
prezzo dalla totalità degli acquirenti.
La funzione della domanda x = f(p) è funzione non crescente del prezzo, nel senso che all’aumentare del
prezzo la quantità domandata diminuisce.
Ques.43 - Dai la definizione di funzione di vendita e spiega se è una funzione crescente o
decrescente motivando la risposta.
Risp. 43 – Nel caso in cui la funzione della domanda x = f(p) ammette inversa, si definisce funzione di
vendita proprio la sua inversa p = f-1(x) ed esprime il prezzo p al quale si può vendere una data quantità x
di merce. Tale funzione è decrescente come la funzione diretta da cui deriva.
Ques.44 - Quale curva rappresenta la funzione lineare y = ax + b nel piano cartesiano?
Rappresenta y = 300-15x.
Risp. 44 – La funzione razionale intera di primo grado y = ax + b ha per grafico quello di una linea retta
che attraversa il primo e terzo quadrante se la pendenza a > 0, mentre è disposta tra secondo e quarto
quadrante quando la pendenza a < 0. Il termine noto b, detto ordinata nell’origine o intercetta,
rappresenta la lunghezza del segmento intercettato sull’asse y.
a>0
a<0
-b/a
y
y
b
b
O
x
O
-b/a
x
La retta y = 300-15x ha pendenza negativa e pertanto è disposta tra il secondo e quarto quadrante. Per
disegnarla si ha bisogno di almeno due suoi punti. Determiniamo, a tale scopo, le intersezioni con gli assi
cartesiani:
y
 y  300  15 x  x  0
A0,300


x  0
 y  300
300
300

x 
 20
B20,0

15
 y  0
Scegliendo un sistema di riferimento con unità di misura diverse
e opportune, possiamo rappresentare la retta come quella a lato.
 y  300  15 x

y 0
300  15 x  0

y  0
O 20
x
Ques.45- Quale curva rappresenta la funzione quadratica y = ax2 + bx +c nel piano cartesiano?
Disegna la curva y = -0,25x2 + 300x – 10.000.
Risp. 45 – La funzione razionale intera di secondo y = ax2 + bx + c ha come grafico quello di una

 b
parabola di vertice V  
,  con la concavità verso l’alto se a > 0 e verso il basso se a < 0.
 2a 4a 
Per rappresentarla graficamente occorrono almeno
y
tre punti. Di solito conviene calcolare il vertice e
le intersezioni con gli assi cartesiani.
Dalla risoluzione del sistema
 y  ax 2  bx  c
 ax 2  bx  c  0

x1 O
x2
x
y  0
Si deduce che:
se   0 la parabola incontra l’asse x in due punti
x1 e x2 ;
se   0 la parabola incontra l’asse x in un solo
punto x1 ed è ivi tangente;
se   0 la parabola non incontra l’asse x.
Per rappresentare y = -0,25x2 + 300x – 10.000 determineremo il vertice e le intersezioni con l’asse x:
b
300
xV  

 600
yV  f (600)  0,25(600) 2  300(600)  10.000  80.000
2a
 0.5
y
Passa per V 600,80.000
 y  0,25 x 2  300 x  10.000

y0
x 2  1200 x  40.000  0
80.000
 34,31
2
 1165,69
Passa per A34,31 ; 0 e B1165,69 ; 0
O
-10.000
x 1  600  600 2  40.000 
35
600
1165
x
Ques.46 – Quale curva rappresenta la funzione quadratica y = ax2 + bx nel piano cartesiano?
Rappresenta la curva y = 0,01x2 + 8x .
Risp. 46 – La funzione razionale intera di secondo y = ax2 + bx + c ha come grafico quello di una

 b
parabola di vertice V  
con la
, 
 2a 4a 
concavità verso l’alto se a > 0 e verso il basso se
a < 0. Nel nostro caso, mancando del termine noto
c, risulta passante per l’origine.
Per disegnare la funzione y = 0,01x2 + 8x ,
determiniamo le coordinate del vertice e dei punti
di intersezione con l’asse x.
b
8
xV  

 400
2a
0,02
yV  f (400)  0,01(400) 2  8(400)  1.600
 y  0,01x 2  8 x
0,01x 2  8 x  0
 

y  0
y  0
 x 0,01x  8  0
 x  0 , x2  800
  1

y0
y  0

y
-800
-400
0
-1.600
x
La parabola passa per i punti V  400,1.600 ,
O0,0 e A 800,0
Ques.47 – Disegna la funzione della domanda x = a – bp con a, b > 0 in generale e poi rappresenta
la funzione x = 150 -10p nel piano Opx.
Risp. 47 – La funzione razionale di primo grado x = a – bp con a, b > 0 ha come grafico quello di una
retta con pendenza m=-b < 0 e intercetta “a”. Incontra gli assi nei
punti:
x
a
x

a

bp
p

0



passa per A(0 , a) ;

p  0
x  a
a

 x  a  bp
a  bp  0
p 





b
x  0
x  0
 x  0
a 
passa per B ,0 
b 
O
Per disegnare la funzione
x = 150 -10p , determiniamo le
intersezioni con gli assi cartesiani:
 x  150  10 p
p 0
 
passa per A(0 , 150)

p 0
 x  150
150

 x  150  10 p
150  10 p  0
p 
 15





10
x 0
x  0
 x  0
passa per B15 , 0 . Scegliendo unità di misure diverse ed
opportune si giunge al grafico qui a lato.
a/b
p
x
150
100
50
O 5 10 15
p
Ques.48 – Disegna la funzione della domanda x = a – bp2
con a, b > 0 in generale e poi
rappresenta la funzione x = 16 – p2 nel piano Opx.
Risp. 48 – La funzione razionale intera di secondo grado ha come grafico quello di una parabola.
Nel nostro caso x = a – bp2 con a, b > 0 ha per
x

 b
vertice V   ,   0, a  , volge la concavità
a
 2a 4 a 
verso il basso e incontra l’asse p nei punti

a
 x  a  bp 2
a  bp 2  0

 
 p   b

x  0
x  0
 x  0
ab
O
p
 ab

 a 
a 
A 
,0  e B
,0 
b
b




La funzione della domanda x = 16 – p2 è una
x

 b
parabola di vertice V  
,   0,16 e
16
 2a 4a 
incontra l’asse p nei punti
 x  16  p 2
16  p 2  0  p   16  4
 
 

-4
O
+4
p
x  0
x  0
 x0
A 4 , 0 e B4 , 0
Scegliendo unità di misura diverse ed opportune
si giunge al grafico qui a lato.
Ques.49 – Disegna la funzione della domanda x 
a
 b con a > 0, b ≥ 0 , c ≥ 0 in generale e poi
pc
25  p
nel piano Opx.
p 1
a
 bp  a  bc
b 
Risp. 49 – La funzione razionale fratta x 
è detta funzione omografica.
pc
pc
rappresenta la funzione x 
Ha per grafico quello di un’iperbole equilatera di
asintoti p=-c (verticale) e x=-b (orizzontali ):
D f   ,c   c,
x
(a-bc)/c
 a

 a

lim  
 b    , lim 
 b   b .
p    p  c
p  c
 pc



Incontra gli assi cartesiani nei punti
a

p0
 b 
x 
 a  bc 
A 0,

pc

 x  a  bc
c 

 p  0

c
-c O
-b
(a-bc)/b
p
  bp  a  bc
 0  a  bc 

B
,0 
pc

b


 x  0
a

b
x 
pc

 x  0
25  p
è definita per p  1  0  D f   ,1   1, .
p 1
Ha per asintoto verticale la retta p = -1
x
25  p 26
lim
   
25
p 1
p 1 0
per asintoto orizzontale la retta di equazione x=-1

25 
p  1  
p
25  p
lim
 lim 
 1
p    p  1
p  

1
p1  
p

-1 O
Incontra gli assi cartesiani nei punti
-1
25  p

p  0
x 
A0 , 25
p 1


x

25

 p  0
La funzione x 
25  p

x 
p 1

 x  0
 25  p
0

 pc
 x  0
p
25
B25 , 0
Ques.50 – Disegna la funzione della domanda x  a  e bp
rappresenta la funzione x  200  e 0,02 p nel piano Opx.
con a > 0, b > 0 in generale e poi
Risp. 50 – La funzione x  a  e bp è una funzione esponenziale di base e b 
decrescente nel suo dominio
D f   , , con asintoto
a  e   0 
orizzontale x=0 (quando p → +∞) : lim a  e bp  
;

p 
 a  e  
inoltre incontra l’asse x nel punto P(0,a).
La funzione x  200  e 0,02 p incontra l’asse x in P(0,200) ed ha
l’asse p come asintoto orizzontale di equazione x=0.
Il grafico è riportato nella figura qui a lato.
1
 1 , sempre
eb
x
a
O
p
x
200
O
p
Ques.51 – Disegna la funzione della domanda x 
a
p
con a > 0, α > 0 in generale e poi
9
nel piano Opx.
p2
Risp. 51 – Nel caso che  sia un numero intero positivo la curva è composta di due rami situati nel
primo e terzo quadrante se n è dispari e nel primo
e secondo se n è pari. All’aumentare di  il
grafico si schiaccia verso il basso, come mostrano
i seguenti grafici colorati (ad ogni colore uguale
corrisponde un medesimo valore di  ).
9
Studiamo ora la funzione x  2 . Essa è definita
p
rappresenta la funzione x 
per p 2  0  p  0 e pertanto ha per dominio
D f   ,0  0, . Ha asintoto orizzontale
9
9

 0 e
2

p
asintoto verticale completo l’asse x di equazione
9
9
p = 0 : lim 2     .
p 0 p
0
18
Dalle derivate prima e seconda: x    3 ,
p
54
x   4 è facile rendersi conto che la funzione
p
non ha né massimi, né minimi e né flessi; è
crescente per p<0, decrescente per p>0 e volge
sempre la concavità verso l’alto.
Il grafico è quello della figura a lato.
l’asse p di equazione x=0: lim
p   
x
O
p
a
con a > 0, α > 0 è  .
p
Risp. 52 – In base alla definizione di elasticità puntuale possiamo scrivere:
Ques.52 – Dimostra che l’elasticità puntuale della domanda x 
d 
p dx


x dp

p d ap 

a
dp
p

 p
p
 a    p  1
a


 p  1 
  
p  1
   
Ques.53 – Dai la definizione di offerta e spiega se è una funzione crescente o decrescente motivando
la risposta.
Risp. 53 – Si definisce offerta di una merce la quantità totale immessa sul mercato dalla totalità dei
produttori.
Essa è una funzione non decrescente (crescente o costante) del prezzo: x = g(p), nel senso che più si alza
il prezzo e più i produttori cercheranno di immettere sul mercato maggior merce possibile, ovviamente,
entro i limiti della capacità massima produttiva.
Ques.54 – Dai la definizione di funzione di produzione e spiega se è una funzione crescente o
decrescente motivando la risposta.
Risp. 54 – Se con x = g(p) indichiamo la funzione dell’offerta e tale funzione ammette inversa, allora si
definisce funzione di produzione p = g-1(x) la sua funzione inversa. Anche la funzione di produzione è
una funzione non decrescente come la corrispondente funzione diretta da cui deriva.
Ques.55 – Elenca i requisiti necessari perché un mercato si possa ritenere di concorrenza perfetta.
Risp. 55 – In economia si parla di mercato di libera concorrenza o di concorrenza perfetta se esso
soddisfa ai seguenti requisiti:
- omogeneità del prodotto ( devono essere immessi sul mercato prodotti dello stesso tipo, della stessa
qualità e caratteristiche tecniche produttive)
- trasparenza del mercato ( ogni operatore deve conoscere le condizioni di domanda, di offerta e il
relativo prezzo)
- libertà di ingresso ( ogni operatore deve essere libero di entrare o di uscire dal mercato a seconda
della propria convenienza)
- frazionamento della domanda e dell’offerta ( devono essere presenti sul mercato molti produttori e
molti consumatori, in modo che nessun operatore possa singolarmente influire sul prezzo del bene)
Ques.56 – In un mercato di libera concorrenza, da chi è determinato il prezzo di un bene? Col
passare del tempo il prezzo di equilibrio può cambiare?
Risp. 56 – In un mercato di libera concorrenza il prezzo di un bene è determinato dall’incontro fra la
domanda e l’offerta, soluzione del sistema:
 xd  f  p 

 xs  g  p
 x x
s
 d
Ques.57 – Dai la definizione di costo totale, costo medio e costo marginale.
Risp. 57 – Si definisce costo totale la somma di tutti i costi sostenuti da un’impresa nella produzione di
un bene: y = C(x).
Si definisce costo medio o unitario il rapporto fra il costo totale per produrre la quantità x e la quantità x
C ( x)
prodotta: y 
con x > 0.
x
Se la funzione costo totale è definita nel discreto o non è derivabile, si definisce costo marginale
sostenuto per ottenere un’unità addizionale di prodotto o anche il rapporto incrementale fra l’incremento
C ( x)
del costo e l’incremento della quantità prodotta: y 
. Se la funzione del costo totale y = C(x) è
x
derivabile, il costo marginale è la derivata della funzione costo totale rispetto alla quantità x prodotta:
C ( x) dC ( x)
y  lim

 C ( x) .
x 0
x
dx
Ques.58 – Da quali costi è composta la funzione y=C(x) del costo totale? Essa è una funzione
crescente o decrescente?
Risp. 58 – I costi si dividono in
a) costi fissi ( indipendenti dalla quantità prodotta, come il salario degli operai, le spese per la
manutenzione dei macchinari, il consumo di corrente elettrica, l’affitto dei locali, ecc. );
b) costi variabili, che possono essere a loro volta direttamente proporzionali alla quantità prodotta ( come
i costi per la materia prima, di magazzinaggio, ecc.) o non proporzionali ( come le spese di ordinazione
per l’approvvigionamento delle scorte di magazzino).
La funzione y = C(x) è una funzione crescente.
Ques.59 – Dai una rappresentazione grafica dei seguenti modelli di funzione costo:
1) y  ax  b
2) y  ax 2  bx  c
3) y  ax 3  bx 2  cx  d
4) y  a e bx
con a, b  0
con a  0 , b, c  0
con a  0 , b, c, d  0
con a, b  0
Risp. 59 – Riportiamo di seguito i grafici di ciascuna funzione:
y  ax  b
a, b  0
y  ax 3  bx 2  cx  d
y  ax 2  bx  c a  0 , b, c  0
y  a e bx a, b  0
a  0 , b, c, d  0
x
x
b
x
x
d
a
c
O
p
O
p
O
p
O
p
Ques.60 – Se la funzione costo è y  ax  b , qual è la funzione costo unitario? Qual è il suo grafico?
Risp. 60 – Se la funzione costo totale è lineare
y
ax  b
y  ax  b , la funzione costo unitario y 
a
x
è la funzione omografica che ha il grafico di
O
x
un’iperbole equilatera di asintoti x=0 (verticale) e
y=a (orizzontale).
Ques.61 – Rappresenta graficamente la funzione costo totale y  12 x  1800 e le corrispondenti
funzioni del costo unitario e del costo marginale.
Risp. 61 – Le funzioni richieste sono le seguenti:
C ( x) 12 x  1800
dC ( x)
a) y  C ( x)  12 x  1800
b) y 
c) y  C ( x) 

 12
x
x
dx
y costo
costo totale
y  C ( x)  12 x  1800 ha per grafico quello di
unitario
una retta passante per i punti A(0,1.800) e
B(-150 , 0) intersezioni con gli assi cartesiani.
C ( x) 12 x  1800
1.800
è la funzione omografica
y

x
x
che ha come grafico quello di un’iperbole
equilatera di asintoti x=0 (verticale) e y=12
(orizzontale) .
dC ( x)
y  C ( x) 
 12 funzione costante il cui
12
Costo marginale
dx
grafico è una retta parallela all’asse x.
O
x
Ques.62 – Se la funzione costo è y  ax 2  bx  c , qual è la funzione costo unitario? Qual è il suo
grafico?
Risp. 62 – Se la funzione costo è
y
y  C ( x)  ax 2  bx  c allora la funzione costo
unitario è data dalla funzione somma
C ( x) ax 2  bx  c
c
y

 ax  b 
il
cui
x
x
x
grafico è quello di un’iperbole non equilatera di
asintoti x=0 (orizzontale) e y=ax+b (obliquo).
O ca
x
Dallo studio della derivata prima ricaviamo i
 ca
punti di max e min:
c
c
y   a  2  0  ax 2  c  0  x  
a
x
y  0

ax 2  c
0
x2
 ax 2  c  0  verificata per x  

c
a

c
c
, x
a
a
c
a
++++++ o--------------o++++++++++
max
min
Ques.63 – Rappresenta graficamente la funzione costo totale y  0,2 x 2  1.000 x  200.000 in un
primo grafico e le corrispondenti funzioni del costo unitario e del costo marginale insieme in un
secondo grafico .
Risp. 63 – Le funzioni da rappresentare graficamente sono le seguenti:
costo totale
y  C ( x)  0,2 x 2  1.000 x  200.000
C ( x) 0,2 x 2  1.000 x  200.000
200000

 0,2 x  1000 
x
x
x
dC ( x)
y  C ( x) 
 0,4 x  1.000
dx
y
costo medio o unitario
costo marginale
y
y  C ( x)  0,2 x  1.000 x  200.000
è una parabola di vertice V(-2.500, -1.050.000)
2
xV  
b
1.000

 2.500
2a
0,4
yV  f (2.500)  0,2(2.500) 2  2.500.000  200.000 
200000
 1.050.000
che incontra l’asse x nei punti:
 y  0,2 x 2  1.000 x  200.000

 y0
0,2 x 2  1.000 x  200.000  0
x 2  5.000 x  1.000.000  0
-4791,29
-208,71 O
-1050000
x 1  2500  2500 2  1000000  2500  2291,29 
2
 4791,29
A 4791,29 ; 0 , B 208,71 ; 0
 208,71
La funzione del costo medio
C ( x) 0,2 x 2  1.000 x  200.000
y


x
x
200000
 0,2 x  1000 
x
è una funzione somma di asintoti x=0 e
y  0,2 x  1000 e punti di max e min determinati
dallo studio della derivata
200000
200.000
 1.000
y   0,2 
0 x
2
0,2
x
0,2 x 2  200  000
 0 verificata per
x2
x  1.000 , x  1.000
-1.000
y  0
1.000
+++++++++++0--------------0++++++++++
max
min
200.000
 200  1.000  200  600
 1.000
200.000
 f (1.000)  0,2(1.000)  1.000 
 200  1.000  200  1.400
1.000
y max  f (1.000)  0,2(1.000)  1.000 
y min
x
La funzione del costo marginale y  C ( x) 
che incontra gli assi cartesiani nei punti:
 y  0,4 x  1.000
x  0
 


x0
 y  1.000
 y  0,4 x  1.000

y  0

dC ( x)
 0,4 x  1.000 ha per grafico una retta crescente
dx
A0 , 1.000
1.000

 0,4 x  1.000  0
 2.500
x  



0,4
y  0
 y  0
 B 2.500 , 0
Ques.64 – Dimostra che le curve del costo medio e del costo marginale si incontrano nei punti
stazionari ( di massimo e di minimo ) della funzione costo medio.
C x 
Risp. 64 – Consideriamo la funzione y 
del costo medio. Come è noto, i punti stazionari ( di max
x
e/o di min relativi) si determinano imponendo y   0 , pertanto, derivando rispetto a x e imponendo la
C x   x  C x   1
C x 
derivata uguale a zero si ha:
 che
 0  C x   x  C x   0  C x  
2
x
x
C x 

 y  x
equivale a risolvere il sistema 
. Quindi le curve del costo medio e del costo marginale si

 y  C  x 
incontrano nei punti stazionari della curva del costo medio.
Ques.65 – Data la funzione costo totale y  0,25x 2  200 x  10.000 , far vedere che le corrispondenti
funzioni di costo medio e costo marginale si incontrano nei punti stazionari della funzione costo
medio.
Risp. 65 – Determiniamo le funzioni richieste:
C x  0,25 x 2  200 x  10.000
10.000
y

 0,25 x  200 
costo unitario o medio
x
x
x
dC ( x)
y  C ( x) 
 0,5 x  200
dx
Derivando il costo medio rispetto a x e ponendo la derivata prima uguale a zero si ha:
0,25 x 2  10.000
10.000

0



yu  0,25 
0
0,25x 2  10.000  0
2
2
x
x
10.000
x
  40.000  200 . Dallo studio del segno della derivata prima
0,25

yu  0

0,25 x 2  10.000
0
x2
-200

0,25x 2  10.000  0

x  200 , x  200
+200
++++++0-------------0++++++++++
max
min
C x 
ha un punto di max e uno di min
x
10.000
 f  200  0,25 200  200 
 50  200  50  100
 200
si deduce che y m 
y max
A(-200,100) max
y min  f  200  0,25 200  200 
10.000
B(200,300) min
 50  200  50  300
 200
Facciamo vedere che A e B possono essere determinati come punto di incontro delle curve del costo
unitario e del costo marginale:
10.000

10.000
10.000
 y  0,25 x  200 
 0,5 x  200  0,25 x  200 
 0,25 x 
0

x
x
x
 y  0,5 x  200
0,25 x 2  10.000
10.000
  40.000  200
 0  0,25x 2  10.000  0  x  
0,25
x
 x  200
 x  200
 x  200
c.v.d



 y  0,5 x  200
 y  0,5 200  200  100
 y  0,5 200  200  300
Rappresentiamo le due funzioni per ritrovare i risultati anche graficamente.
yu è una funzione somma con asintoti:
x=0 verticale e y=0,25x+200 obliquo, con punti
A(-200,100) max e B(200,300) min
Per disegnare l’asintoto obliquo y = 0,25x+200
determiniamo i punti di incontro con gli assi:
x
y = 0,25x+200

0
-800
200
0
Analogamente procediamo per disegnare la retta
del costo marginale ym :
x
ym = 0,5x+200
0
-400
200
0
Ques.66 – Dai le definizioni di ricavo totale, ricavo medio e ricavo marginale.
Risp. 66 – Si definisce ricavo totale il prodotto tra il prezzo di vendita e la quantità venduta. Dette x la
quantità venduta e p=p(x) la funzione di vendita (funzione inversa della funzione della domanda)
y  Rx   px   x
Il ricavo medio è uguale al rapporto tra il ricavo totale e la quantità di bene venduta, ossia la funzione di
R x 
vendita p=p(x):
y
 px  .
x
Rx 
Il ricavo marginale, nel discreto, è dato dal rapporto incrementale y 
, mentre, se R(x) è
x
Rx  dRx 
derivabile, è dato dalla derivata di R(x) rispetto a x: y  Rx   lim
.

x 0 x
dx
Ques.67 – Se la funzione della domanda è espressa dalla relazione x  50  0,5 p da chi è data la
funzione ricavo? Per quali valori di x il ricavo è massimo?
Risp. 67 – Ricaviamo dalla funzione della domanda x  50  0,5 p la funzione di vendita p  100  2 x e
scriviamo la funzione del ricavo totale come prodotto fra p e x:
y  Rx   px   x  100  2 x x  2 x 2  100 x .
R(x) ha come grafico quello di una parabola passante per l’origine, con concavità verso il basso, pertanto
il massimo è raggiunto nel suo vertice:
b
100
2
yV  f x   225  10025  1250
xV  

 25
2a
4
Il ricavo massimo si ottiene vendendo 25 unità di bene e ammonta a 1250 €.
Per rappresentare R(x) graficamente determiniamo le sue intersezioni con l’asse x:
 y  2 x 2  100 x
 2 x 2  100 x  0
 


y  0
y  0
 xx  50  0

y  0
x0
 x  50
 
e 
y  0
y  0
R(x) passa per V(25,1250), O(0,0) e A(50,0) e
volge la concavità verso il basso.
Ques.68 – Dai la definizione di profitto e mostra che esso è massimo per quel valore di x in cui il
costo marginale uguaglia il ricavo marginale.
Risp. 68 – Si definisce profitto o utile netto la differenza tra il ricavo totale e il costo totale:
y  Gx   Rx   C x  .
Determiniamo per quali valori di x il profitto è massimo, utilizzando la derivata prima:
 y  R  x 
y   Gx   Rx   C x   0  Rx   C x   0  Rx   C x   
 y  C  x 
ricavo marginale = costo marginale
ovviamente il profitto G(x) è massimo se nel punto x che annulla G'(x) risulta a sinistra G'(x)>0 e a
destra G'(x)<0 o equivalentemente R'(x) > C'(x) a sinistra e R'(x) < C'(x) a destra.
Si deduce la famosa legge economica: si ha il massimo utile per quel valore di x in cui il costo marginale
uguaglia il ricavo marginale.
Ques.69 – Rappresenta in un unico grafico cartesiano, in generale, le curve del ricavo marginale,
del costo unitario e del costo marginale (nel caso di un mercato di concorrenza perfetta) e giustifica
perché all’impresa conviene spingere avanti la produzione finché il costo marginale non diventi
uguale al ricavo marginale.
Risp. 69 – Nel caso di mercato di perfetta concorrenza il prezzo, incontro tra domanda e offerta, è
costante, pertanto il ricavo totale è dato
y=C'(x)
da y  Rx   px e di conseguenza il ricavo
y=Cu(x)
marginale è uguale al prezzo y   Rx   p , il
cui grafico è una retta parallela all’asse x.
Q
Nel punto Q risulta R'(x)=C'(x), a sinistra è
P
A
B
ric. marg.
R'(x) > C'(x) ( il grafico di R'(x) supera quello di
C'(x) ) e a destra R'(x) < C'(x) (il grafico di R'(x)
sta sotto quello di C'(x)), quindi Q è il punto di
massimo del profitto G(x). Da quanto detto si
deduce che all’impresa conviene espandere la
produzione finché il costo marginale non risulti
uguale al ricavo marginale.
Ques.70 – Data la funzione del costo totale y  0,25x 2  200 x  10.000 , determinare , nel caso in cui
il prezzo di vendita è costante p = 500, per quale valore di x l’utile è massimo e per quali valori
l’utile non è negativo.
Risp. 70 – Determiniamo il ricavo totale e successivamente il guadagno totale:
y  Rx   px  500 x
y  C ( x)  0,25x 2  200 x  10.000
y  Gx   Rx   Cx   500 x  0,25x 2  200 x  10.000  0,25x 2  300 x  10.000
Il profitto ha come grafico quello di una parabola con concavità verso il basso, pertanto raggiunge il
massimo nel vertice:
xV  
b
300

 600
2a
 0,5
yV  f 600  0,25600  300600  10.000  80.000
Il guadagno massimo lo si raggiunge con la vendita di 600
unità di bene e ammonta a 80.000 €.
Ritroviamo ora il risultato anche graficamente disegnando
y = G(x).
Determiniamo i punti di incontro tra y=G(x) e l’asse x
 y  0,25 x 2  300 x  10.000

y  0
2
 0,25x 2  300 x  10.000  0
x 2  1200 x  40.000  0
x 1  600  600 2  40.000 
2
 34,32
 1165,68
Per non essere in perdita occorre che Rx   C x  ossia Gx   0 . Basta risolvere la disequazione di
secondo grado:  0,25x 2  300 x  10.000  0  x 2  1200 x  40.000  0  34,32  x  1165,68
Si conclude che per non essere i perdita all’impresa conviene produrre non meno di 35 unità di bene e non
più di 1165.
 600  565,68 