la parabola

ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” – SEDE DI VIA FATTORI
CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA
CLASSI QUARTE
Prof. E. Modica
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DEFINIZIONI
Definizione. Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un
punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
Definizione. Si definisce asse di simmetria di una parabola la retta passante per il
fuoco e perpendicolare alla direttrice.
Definizione. Si definisce vertice di una parabola il punto dell’asse di simmetria che
appartiene alla parabola.
Osservazione. Il vertice della parabola è il punto medio del segmento avente come estremi
il fuoco e la proiezione di questo sulla direttrice.
Si dimostra che l’equazione di una generica parabola è la seguente:
{ }.
con
Teorema. Ogni equazione del tipo
parabola avente:
(
 vertice in
 fuoco in
(
, con
{ }, rappresenta una
)
)
 direttrice di equazione
 asse di simmetria di equazione
STUDIO DI UNA PARABOLA
Tracciamo il grafico della parabola di equazione:
Vertice
Utilizzando le formule date nel teorema precedente si ha:
(
)
(
)
Per determinare l’ordinata del vertice, basta sostituire il valore dell’ascissa nell’equazione
della parabola. Si ha:
(
)
(
Quindi il vertice ha coordinate: (
)
)
Fuoco
L’ascissa del fuoco è uguale a quella del vertice:
Il
dell’equazione è dato da:
(
)
(
)( )
Quindi l’ordinata del fuoco è:
(
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)
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Le coordinate de fuoco sono:
(
)
Direttrice
L’equazione della direttrice è data da:
(
)
Asse di simmetria
L’asse di simmetria della parabola ha equazione:
Intersezioni con gli assi
Per determinare le intersezioni con l’asse delle ascisse bisogna risolvere il sistema:
{
da cui si ha l’equazione:
ossia:
Essendo:
( )
le soluzioni saranno:
√
Quindi i punti d’intersezione della parabola con l’asse delle ascisse sono:
(
)
√
(
√
)
Per determinare le intersezioni con l’asse delle ordinate bisogna risolvere il sistema:
{
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da cui, sostituendo, si ha:
Quindi il punto d’intersezione della parabola con l’asse delle ordinate è:
(
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)
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RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI DI UNA PARABOLA E IL SUO GRAFICO
COEFFICIENTE
RELAZIONE
a
Ci dà informazioni sulla concavità
della parabola. Se
, allora la
concavità è rivolta verso l’alto; se
, essa è rivolta verso il basso.
b
Rende conto dello spostamento
dell’asse della parabola. Se b
aumenta l’asse si sposta verso
sinistra, se b diminuisce l’asse si
sposta verso destra.
c
Rende conto dello spostamento del
punto d’intersezione della parabola
con l’asse delle ordinate.
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GRAFICO
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RELAZIONE TRA IL DISCRIMINANTE E LE INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ASCISSE
DISCRIMINANTE
INTERSEZIONI EVENTUALI
GRAFICO
La parabola ha due punti di
intersezione distinti con l’asse delle
ascisse.
La parabola ha due punti di
intersezione con l’asse delle ascisse
coincidenti, ossia la parabola è
tangente all’asse delle ascisse.
La parabola non interseca l’asse
delle ascisse.
MUTUA POSIZIONE FRA RETTA E PARABOLA
Per studiare la mutua posizione tra una retta e una parabola basta risolvere il seguente
sistema:
{
Si possono verificare i tre casi illustrati nella seguente tabella, in base al valore del
discriminante del sistema.
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DISCRIMINANTE
POSIZIONE
GRAFICO
La retta e la parabola sono
secanti.
La retta e la parabola sono
tangenti.
La retta e la parabola sono
esterne.
TANGENTE A UNA PARABOLA IN UN SUO PUNTO
Data la parabola di equazione:
) un suo punto.
sia (
Per determinare l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P, si procede
come segue:
), cioè:
1) si scrive l’equazione del fascio proprio di rette passante per (
(
)
2) si determina il coefficiente angolare della retta tangente utilizzando la seguente
formula:
essendo
i coefficienti della parabola e
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l’ascissa del suo punto P.
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Esempio. Scrivere l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione:
nel suo punto (
).
Scriviamo l’equazione del fascio di rette passante
per il punto P:
(
)
Determiniamo il coefficiente angolare della retta
tangente alla parabola nel punto dato:
( )( )
(
)
L’equazione della retta tangente è quindi:
(
)
Ossia:
TANGENTI A UNA PARABOLA CONDOTTE DA UN PUNTO ESTERNO A ESSA
Data la parabola di equazione:
) un punto che non appartiene a essa.
sia (
Per determinare l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P, si procede
come segue:
), cioè:
1) si scrive l’equazione del fascio proprio di rette passante per (
(
)
2) si considera il sistema formato dalla parabola e dal fascio proprio di rette:
{
(
)
3) si pone uguale a zero il discriminante del sistema:
( )
4) si sostituiscono i valori trovati nell’equazione del fascio proprio di rette.
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Esempio. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione:
nel suo punto (
).
Scriviamo l’equazione del fascio di
rette passante per il punto P:
(
)
Consideriamo il sistema:
{
da cui si ricava l’equazione:
ovvero:
Raccogliendo si ottiene l’equazione:
(
)
Il discriminante è dato dall’espressione:
(
Imponendo
)
(
)
, si ottiene:
Risolvendo:
√
Quindi le equazioni delle rette tangenti sono:
(
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√
)
(
√
)
(
√
)
(
√
)
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