ALGEBRA 2 — FOGLIO DELLE COSE VERE • Un gruppo nel quale

ALGEBRA 2 — FOGLIO DELLE COSE VERE
1. O RDINE DI ELEMENTI E SOTTOGRUPPI
• Un gruppo nel quale ogni elemento 6= id ha ordine 2 è abeliano.
• Ogni elemento commuta con le sue potenze; in particolare ogni gruppo ciclico è abeliano. Un
gruppo di ordine primo è sempre ciclico.
• Se H, K sono sottogruppi di G, allora HK possiede |H||K|/|H ∩ K| elementi. Inoltre, HK è un
sottogruppo di G se e solo se HK = KH — ad esempio, quando gli elementi di H commutano
con quelli di K, oppure uno dei due sottogruppi è normale in G.
• Se g, h ∈ G commutano, ed hanno ordine m, n, allora G contiene un elemento di ordine mcm(m, n).
Se m, n sono primi tra loro, gh ha ordine mn.
• Il prodotto di elementi di ordine finito che commutano ha ordine finito. Il prodotto di elementi di
ordine finito che non commutano può avere ordine infinito.
• Un gruppo di ordine 2d, con d dispari, possiede un sottogruppo di indice 2. Un sottogruppo di
indice 2 è sempre normale.
• Se H, K sono sottogruppi di G, e [G : H] = 2, allora K ⊂ H oppure [K : K ∩ H] = 2.
• Teorema di Lagrange. In un gruppo finito, l’ordine di ogni sottogruppo divide l’ordine del
gruppo. In particolare, l’ordine di ogni elemento divide l’ordine del gruppo.
• Teorema di Cauchy. Se un primo p divide l’ordine di un gruppo finito G, allora in G si può
trovare un elemento di ordine p.
• Teorema di Sylow I. Sia pn la massima potenza del primo p che divide l’ordine di G. Allora esiste
almeno un sottogruppo di G (detto p-Sylow) di ordine esattamente pn .
• Teorema di Sylow II. I p-Sylow di G sono tutti coniugati tra loro.
• Teorema di Sylow III. Il numero dei p-Sylow di G è un divisore di |G| congruo a 1 modulo p.
2. O MOMORFISMI DI GRUPPI
• Se ρ : G → H è un omomorfismo di gruppi, l’immagine di ρ è un sottogruppo di H, e il nucleo di
ρ è un sottogruppo normale di G. Inoltre, l’immagine di ρ è isomorfa a G/ ker ρ.
• Se N C G, allora vi è una corrispondenza biunivoca tra sottogruppi di G/N e sottogruppi di G
che contengono N . Tale corrispondenza conserva la normalità.
• Se H < G, N C G, allora HN/N ' H/(H ∩ N ).
• Se N < H < G, e N , H C G, allora G/H ' (G/N )/(H/N ).
• Ogni omomorfismo di gruppi applica l’identità nell’identità, e l’inverso di ogni elemento nell’inverso della sua immagine; è iniettivo se e solo se il suo nucleo è banale.
• Se ρ : G → H è un omomorfismo di gruppi, e g ∈ G è un elemento di ordine finito, allora l’ordine
di ρ(g) è un divisore dell’ordine di g. Se ρ è iniettivo, l’ordine di ρ(g) è uguale all’ordine di g.
3. R ELAZIONE DI CONIUGIO PER ELEMENTI E SOTTOGRUPPI , EQUAZIONE DELLE CLASSI E
p- GRUPPI FINITI
• Il numero di coniugati di un elemento g ∈ G è uguale all’indice in G del suo centralizzatore
C(g) = {x ∈ G | gx = xg}. Il numero di coniugati di un sottogruppo H < G è uguale all’indice in
G del suo normalizzatore N (H) = {x ∈ G | xHx−1 = H}.
• Elementi coniugati hanno lo stesso ordine. Sottogruppi coniugati sono isomorfi.
• Due elementi di Sn sono coniugati se e solo se hanno la stessa struttura ciclica.
• Equazione delle classi. Se Z è il centro di G, e ca indica l’insieme dei coniugati di a ∈ g, allora
X |G|
.
|G| = |Z| +
|C(a)|
ca 6⊂Z
• Se G non è abeliano, allora G/Z(G) non è ciclico. In particolare, Z(G) non ha indice primo.
• Se |G| = pn , con p primo, il centro di G non può contenere solo l’identità, e non può avere indice
p.
• Se |G| = p2 , con p primo, allora G è abeliano.
• Se |G| = pn , con p primo, esistono in G sottogruppi di ordine ph per ogni h ≤ n.
Date: 17 agosto 2010.
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• Se |G| = pn , con p primo, ogni sottogruppo di indice p in G è normale1.
4. R ISOLUBILITÀ E SEMPLICITÀ
• L’unico sottogruppo normale non banale di Sn , n ≥ 5, è An .
• Il gruppo An , n ≥ 5 è semplice.
• Ogni omomorfismo ρ : G → H applica il derivato di G nel derivato di H. Se ρ è suriettivo, allora
ρ(G0 ) = H 0 .
• Il sottogruppo derivato di G è il più piccolo sottogruppo normale di G a quoziente abeliano.
• Sottogruppi e quozienti di gruppi risolubili sono risolubili.
• Sia N C G. Allora G è risolubile se e solo se N e G/N sono entrambi risolubili.
• Tutti i gruppi di ordine < 60 sono risolubili.
• Un gruppo semplice di ordine 60 è isomorfo ad A5 .
• I p-gruppi finiti sono tutti risolubili2.
• Un gruppo semplice è risolubile se e solo se è ciclico di ordine primo.
• Tabella di gruppi di ordine basso (sono indicati tutti i gruppi a meno di isomorfismo, elencando
prima quelli abeliani). Mi fermo a 16 perché per i non abeliani diventa un macello.
abeliani
|G|
C2 ' S2
2
3
C3 ' A 3
4
C4 , C2 × C2 ' V4
5
C5
6
C6
C7
7
8 C8 , C 4 × C 2 , C2 × C2 × C2
9
C9 , C3 × C3
10
C10
11
C11
12
C12 , C6 × C2
13
C13
14
C14
C15
15
non abeliani
S3 ' D3
D 4 , Q4
D5
D6 ' S3 × C2 , C4 n C3 , A4 ' C3 n V4
D7
5. A ZIONI DI GRUPPI SU INSIEMI
• Lo stabilizzatore Stab(x) = {g ∈ G | g.x = x} di un elemento x ∈ X è un sottogruppo di G, e
quindi il suo ordine divide |G|. g.x = h.x se e solo se g ed h appartengono allo stesso laterale
destro di Stab(x), cioè se g Stab(x) = h Stab(x).
• Il numero di elementi nella G-orbita di x ∈ X è uguale all’indice di Stab(x) in G, ed è quindi un
divisore di |G|.
• L’azione di G su X decompone X in unione disgiunta di orbite.
• |HgK| = |H||K|/|H ∩ gKg −1 |.
6. P RODOTTI DIRETTI E SEMIDIRETTI
• G è isomorfo a H × K se e solo se contiene due sottogruppi normali, che si intersecano solo
nell’identità, isomorfi ad H e K rispettivamente.
• G è isomorfo a H oφ K se e solo se contiene due sottogruppi, che si intersecano solo nell’identità,
isomorfi ad H e K rispettivamente, e quello isomorfo ad H è normale in G.
• H × K è abeliano se e solo se H e K sono entrambi abeliani.
• H oφ K è abeliano se e solo se H e K sono entrambi abeliani, ed il prodotto è diretto — questo
capita se e solo se φ : K → Aut H applica ogni elemento di K in idH .
• Ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow.
• Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti. Ogni gruppo abeliano finito è isomorfo ad un
prodotto diretto di gruppi ciclici finiti.
• Un gruppo di ordine pq, con p < q primi, p 6 | q − 1, è ciclico.
• Un gruppo di ordine pq, con p < q primi, p | q − 1, è ciclico oppure è prodotto semidiretto non
banale di un p-Sylow con l’unico q-Sylow. Esiste un unico tale prodotto semidiretto a meno di
isomorfismo.
1Questo è vero, ma non lo abbiamo dimostrato durante il corso.
2Anzi, nilpotenti, ma non abbiamo visto la nilpotenza durante il corso.
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• Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico. In particolare, il gruppo
moltiplicativo di un campo finito è ciclico. Z/(p)× è ciclico se p è primo.
7. A UTOMORFISMI DI GRUPPI
−1
• x 7→ x è un automorfismo di G se e solo se G è abeliano.
• Se g ∈ G, allora Ig : x 7→ gxg −1 è sempre un automorfismo di G, ed è detto automorfismo interno
indotto da g.
• L’applicazione g 7→ Ig è un omomorfismo di gruppi, il cui nucleo è il centro Z(G) di G. Pertanto,
il gruppo Int(G) degli automorfismi interni di G è isomorfo al quoziente G/Z(G).
• Int(G) è un sottogruppo normale di Aut(G).
• Se H < K < G, H è caratteristico in K, e K è normale in G, allora H è normale in G. Se H CK CG,
in generale non si può dire nulla sulla normalità di H in G.
• Aut(Cn ) ' Z/(n)× .
• Se p è un primo dispari, e n > 0, allora Z/(pn )× è ciclico.
• Z/(2n+3 )× ' C2 × C2n per ogni n ≥ 0.
8. E STENSIONI DI CAMPI , ELEMENTI ALGEBRICI E TRASCENDENTI
• La caratteristica di un dominio di integrità è ben definita, ed è sempre 0 oppure un numero primo.
• In un dominio di integrità un polinomio di grado n ha al più n soluzioni.
• Se K ⊂ L è un’estensione di campi, allora L è uno spazio vettoriale su K, e i campi K ed L hanno
la stessa caratteristica.
• Ogni campo di caratteristica 0 è infinito. Ogni campo finito ha caratteristica 6= 0. Esistono campi
infiniti di caratteristica diversa da 0.
• Se K ⊂ F ⊂ L, allora [L : K] = [L : F ][F : K].
• Se K ⊂ L è un’estensione finita, allora ogni elemento di L è algebrico su K.
• Se ogni elemento di L è algebrico su K, non è detto che l’estensione K ⊂ L sia finita.
• α è algebrico su F ⇔ F [α] = F (α) ⇔ F (α) è un’estensione finita di F .
• Se α è algebrico su F allora F (α) è isomorfo a F [x]/(q(x)), dove q(x) è il polinomio minimo di α,
e [F (α) : F ] è uguale al grado di q(x). Se il grado di q(x) è d, allora una F -base di F (α) è data da
1, α, . . . , αd−1 .
• Il polinomio minimo è sempre irriducibile.
• Un polinomio irriducibile che abbia α come radice è il suo polinomio irriducibile.
9. C AMPI DI SPEZZAMENTO E CHIUSURE ALGEBRICHE
• Ogni polinomio di grado n ammette un campo di spezzamento, il cui grado divide n!
• Se L è il campo di spezzamento su F del polinomio f (x) ∈ F [x] di grado d, allora Gal(L/F )
agisce fedelmente sulle radici di f (x): se σ ∈ Gal(L/F ) fissa tutte le radici, allora σ = id. Se f (x) è
irriducibile su F , allora l’azione di Gal(L/F ) è anche transitiva, cioè le radici appartengono tutte
alla stessa orbita.
• Campi di spezzamento dello stesso polinomio sono isomorfi.
• Se MCD(f (x), f 0 (x)) = 1, allora le radici di f (x) in un suo campo di spezzamento sono distinte.
• Ogni polinomio irriducibile f (x) soddisfa MCD(f (x), f 0 (x)) = 1, a meno che f 0 (x) ≡ 0. Quest’ultima cosa è impossibile:
– in caratteristica 0;
– in campi di caratteristica p 6= 0, quando ogni elemento è una p-esima potenza (es.: campi
finiti, estensioni algebriche di Fp , campi algebricamente chiusi).
• Un polinomio irriducibile è separabile se è primo con la sua derivata. Un polinomio è separabile se tutti i suoi fattori irriducibili sono separabili. Un polinomio primo con la sua derivata è
separabile, ma il viceversa non è necessariamente vero.
• Ogni campo possiede una chiusura algebrica, unica a meno di isomorfismo. La chiusura algebrica
di un campo F è numerabile quando F è finito, e possiede la stessa cardinalità di F altrimenti.
10. C AMPI FINITI
• Campi finiti dello stesso ordine sono isomorfi.
• Ogni campo di ordine pn , con p primo, possiede esattamente un sottocampo con pd elementi, per
ogni divisore d di n.
• Gli automorfismi di un campo finito di caratteristica p sono tutte e sole le potenze dell’automorfismo x 7→ xp .
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• L’estensione Fq ⊂ Fqn è sempre di Galois, ed il suo gruppo di Galois è ciclico, ed è generato
dall’automorfismo di Frobenius γ 7→ γ q .
• In particolare, quando α è algebrico su Fq , l’estensione Fq ⊂ Fq (α) è sempre di Galois, e quindi
contiene tutte le altre radici del polinomio minimo di α su Fq .
• Fp (t) è un campo infinito di caratteristica p. Fp (t) ⊂ Fp (t1/p ) è un’estensione finita che non è di
Galois (non è separabile).
• Se Fp ⊂ L e α ∈ L è una radice di f (x) ∈ Fp [x], allora anche αp è una radice di f (x).
11. E STENSIONI CICLOTOMICHE
•
•
•
•
I polinomi ciclotomici sono irriducibili su Q.
L’estensione Q ⊂ Q(ζn ) ha grado φ(n).
Gal(Q(ζn )/Q) ' Z/(n)× , e quindi l’estensione Q ⊂ Q(ζn ) è di Galois.
Se K è un campo di caratteristica 0, in generale Gal(K(ζn )/K) è isomorfo ad un sottogruppo di
Z/(n)× .
• Se p è un primo dispari, e
p−1 X
a
ζpa ,
α=
p
a=0
√
allora α2 = (−1)(p−1)/2 p. In particolare, p ⊂ Q(ζp , i) = Q(ζ4p ).
12. T EORIA DI G ALOIS
• Se F ⊂ L è un’estensione finita, | Gal(L/F )| divide sempre [L : F ].
• Sono condizioni equivalenti, affinché un’estensione finita F ⊂ L sia di Galois:
– L è il campo di spezzamento su F di un polinomio separabile f (x) ∈ F [x];
– | Gal(L/F )| = [L : F ];
– LGal(L/F ) = F ;
– L è un’estensione separabile3 e normale4 di F .
• Se G è un gruppo finito di automorfismi di un campo L, l’estensione LG ⊂ L è sempre finita e di
Galois. In particolare, |G| = [L : LG ].
• Sia F ⊂ L un’estensione finita di Galois, e G = Gal(L/F ). Allora, se α ∈ L, il polinomio minimo
di α su F è uguale5 a
Y
(x − β).
β∈G.α
• Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Se K ⊂ L è un’estensione finita di Galois, esiste
una corrispondenza biunivoca tra campi intermedi K ⊂ F ⊂ L e sottogruppi del gruppo di
Galois G = Gal(L/K) data da: H < G 7→ LH , F 7→ Gal(L/F ). L’estensione K ⊂ F è di Galois se
e solo se Gal(L/F ) C Gal(L/K) e in tal caso Gal(F/K) ' Gal(L/K)/ Gal(L/F ).
• Se K ⊂ F ⊂ L sono estensioni finite, e K ⊂ L è di Galois, allora anche F ⊂ L è di Galois.
√
• Se K ha caratteristica 0 e contiene tutte le radici p-esime dell’unità, allora K ⊂ K( p a) è un’estensione di Galois per ogni a ∈ K, ed ha grado p se e solo se a non è una potenza p-esima in
K.
• Teorema dell’elemento primitivo. Se K ⊂ F è un’estensione finita e separabile allora F contiene
un elemento γ tale che F = K(γ).
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3Questo vuol dire che il polinomio minimo su F di ogni elemento di L è separabile.
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Cioè, ogni polinomio irriducibile in F [x] che ha una radice in L si spezza in L.
5A lezione, abbiamo avuto bisogno di dimostrare solo che il polinomio minimo divide tale prodotto, ma il fatto che
effettivamente coincidano non è granché più difficile.