Compito del 23/6/2003

Compito di Algebra II
Assegnato il 23/6/2003
Nel gruppo simmetrico S4 si consideri il sottogruppo G generato da x = (1, 2, 3, 4) e
da y = (2, 4).
a) Determinare tutti gli elementi di G e l’ ordine di G. È G abeliano ?
b) È G normale in S4 ?
c) Determinare il centro di G.
d)Provare che ogni sottogruppo di G di ordine 4 contiene il centro.
e) Provare che g possiede 3 sottogruppi di ordine 4. Sono ciclici?
f) Determinare le classi di coniugio di G.
Cenni sulla soluzione.
a)Osserviamo che x è di ordine 4 e y è di ordine 2 e vale la relazione yx = x3 y. Da
ciò segue che gli elementi di G sono 8 e sono:
e, x = (1, 2, 3, 4), x2 = (1, 3)(2, 4), x3 = (1, 4, 3, 2),
y = (2, 4), xy = (1, 2)(3, 4), x2 y = (1, 3), x3 y = (1, 4)(3, 2);
inoltre G non è abeliano perchè xy 6= yx.
b) Posto t = (1, 2, 3) ∈ S4 si ha tyt−1 = (3, 4) ∈
/ G.
c) Osserviamo che Z ha ordine 2: infatti il suo ordine non è uno per un teorema sui
p−gruppi, non è 8 altrimenti G sarebbe abeliano e nemmeno può essere 4 perchè in tal
caso detto v un elemento che non sta nel centro, G sarebbe generato da Z e da v e quindi
sarebbe abeliano.
Il centro contiene quindi due elementi che sono e e z = x2 : infatti si verifica subito
che x2 y = yx2 .
d) Stesso ragionamento di prima: detto H un sottogruppo di ordine 4, se H non
contenesse Z allora G sarebbe generato da H e da Z e quindi sarebbe abeliano.
e) Sia H un sottogruppo di ordine 4:
1) Se H è ciclico esso coincide con < x > perchè x, x3 sono gli unici elementi di
ordine 4.
2) Se H non è ciclico, dovendo contenere e, z può essere {e, z, y = (2, 4), zy = (1, 3)}
oppure {e, z, u = (1, 2)(3, 4), zu = (1, 4)(2, 3)}.
f)I sottogruppi di ordine 4 sono normali; tenendo presente ciò segue che le classi di
coniugio sono: quella formata dal solo e, quella formata dal solo z, quella formata da
{x, x3 }, quella formata da {y, zy} e quella formata da {u, zu}.