Circuiti RC (vedi pag 127 Caforio - Ferilli) Carica del condensatore

Circuiti RC
(vedi pag 127 Caforio - Ferilli)
Carica del condensatore.
Un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, viene collegato tramite una resistenza R ai poli
di un generatore di f.e.m. f. Dalla seconda legge di Kirchhoff ricaviamo l'equazione del circuito:
q
f = Ri (la d.d.p. ai capi della pila si distribuisce tra il condensatore e la resistenza).
C
Poiché i=
dq
, possiamo scrivere: RC q ' q=Cf .
dt
Dal punto di vista matematico, si tratta di una equazione differenziale lineare del primo ordine, a
coefficienti costanti, non omogenea. Per risolverla, consideriamo intanto l'equazione omogenea
associata: RC q ' q=0 . Essa ammette delle soluzioni della forma qt = A e kt .
Per determinare k, sostituiamo q t  nell'equazione omogenea e dividiamo per A e kt , ottenendo
così l'equazione caratteristica: RC k 1=0 ⇒ k =−
1
.
RC
Le soluzioni dell'equazione omogenea sono tutte e sole le funzioni della forma: q om= A e
−
t
RC
.
La quantità =RC viene detta costante di tempo o tempo caratteristico del circuito. Essa ci
informa che per t= la grandezza q om è diminuita di un fattore e rispetto al suo valore iniziale.
Dobbiamo ora determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Poiché il
termine indipendente da q è costante, cerchiamo la soluzione particolare tra le funzioni costanti, e
quindi imponiamo che q ' =0 . Ricaviamo quindi: q part =Cf .
La soluzione generale dell'equazione non omogenea è quindi data dalla soluzione generale
dell'equazione omogenea e da una soluzione particolare dell'equazione non omogenea:
q gen = A e
−
t
RC
Cf .
Per determinare il valore della costante indeterminata A, imponiamo la condizione iniziale
q 0=0 , ovvero che il condensatore fosse inizialmente scarico. Ricaviamo quindi:
ACf =0 ⇒ A=−Cf .
Pertanto, la soluzione dell'equazione del circuito che rispetta la condizione iniziale data è:
−
qt =Cf 1−e
t
RC
 .
Osserva che all'istante t=0 la carica sulle armature del condensatore è nulla, mentre per
t ∞ , essa tende asintoticamente al valore massimo q=Cf che deriva dalla definizione di
capacità di un condensatore.
t
−
dq
f
RC
Poiché i=
, ricaviamo l'intensità della corrente che scorre nel circuito: i t = e
.
dt
R
Osserviamo che per t=0 la corrente è i 0=
f
, ovvero quella data dalla legge di Ohm nel caso
R
in cui il circuito sia puramente resistivo, mentre per t ∞ , essa tende a zero, in quanto il
condensatore si comporta come un circuito aperto.
t
−
q
Scriviamo infine la d.d.p. tra le armature del condensatore: V t = = f 1−e RC  che varia da
C
zero al valore massimo f dato dalla f.e.m. della pila.
Scarica del condensatore.
Mancando il generatore, l'equazione del circuito è semplicemente:
Come abbiamo visto, essa ammette la soluzione q om= A e
−
t
RC
q
Ri=0 ⇒ RC q ' q=0 .
C
.
In alternativa, possiamo considerarla come un'equazione differenziale a variabili separabili,
scrivendo: RC
dq
dq −dt
=−q ⇒
=
.
dt
q RC
t
Integrando, ricaviamo: ln q=−
t
−
c
−
t
c ⇒ q=e RC = A e RC .
RC
Per determinare il valore della costante indeterminata A, imponiamo la condizione che all'istante
iniziale la carica sulle armature del condensatore abbia un certo valore Q che possiamo determinare
sperimentalmente.
−
Quindi: A=Q e la soluzione che verifica tale condizione iniziale è: q t =Q e
t
RC
, in cui il
valore della carica decresce esponenzialmente da Q a zero.
t
Ricaviamo infine la corrente nel circuito: i t =
dq
Q − RC
e la d.d.p. tra le armature del
=−
e
dt
RC
t
q Q −
condensatore: V t = = e RC .
C C
Entrambe queste quantità decrescono in maniera esponenziale verso il valore zero.