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22 marzo 2016
Il Teorema di Pitagora:
diversi punti di vista
Il teorema di Pitagora è considerato il teorema più
affascinante di tutta l’opera di Euclide, al punto che
uomini di tutte le classi sociali e di tutte le nazionalità,
dal filosofo ormai anziano, seduto nella sua
poltrona in salotto, al giovane soldato in trincea, in
prossimità della terra di nessuno, durante la prima
guerra mondiale, nel lontano 1917, hanno trascorso ore
ed ore alla ricerca di una nuova dimostrazione.
Elisha Scott Loomis, Il teorema di Pitagora.
Elisha Scott Loomis (1852 – 1940) non è un nome molto famoso tra i
matematici
Non ci sono equazioni o teoremi che portino il suo nome ed ormai i pochi libri
che scrisse sono oggi completamente dimenticati.
Tutti tranne uno: il suo libro intitolato Il teorema di Pitagora, di 285
pagine, nel quale egli raccolse e classificò ben 371 diverse dimostrazioni
dell’enunciato di tale teorema.
Tra queste, una senz’altro molto particolare è quella basata sul concetto di
tassellazione piana, ovvero un ricoprimento dell’intero piano con un motivo
geometrico ripetuto, che non lasci zone vuote e non preveda alcuna
sovrapposizione.
Si tratta di una “dimostrazione senza parole”, che viene presentata senza
ulteriori spiegazioni e che gli studenti possono analizzare, comprendere e
commentare per scritto.
Proverbio cinese
Se ascolto dimentico,
se vedo ricordo,
se faccio capisco,
se gioco imparo.
il fare crea una
conoscenza stabile
su cui si può fare
affidamento
ESPERIENZA
- i triangoli rettangoli da comporre
- la cordicella con i nodi
- i disegni sul quaderno
che diventa il proprio
manuale
Formalizzazione
Ogni processo
va formalizzato: registriamo
le azioni eseguite con i vari oggetti
geometrici
Incolliamo le figure realizzate,
disegniamo, evidenziamo,
scriviamo le osservazioni fatte
Pitagora e le piastrelle,
narra la leggenda…
Tavoletta di argilla babilonese 1900-1600 a.C.
Pimpliton 322, ritrovata nell’antico sito Larsa, in Iraq
15 righe di numeri scritte in forma sessagesimale
Pare corrispondenti a 15 terne pitagoriche, diverse le interpretazioni
Terne pitagoriche
Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali a,
b, c tali che a2 + b2 = c2. Il nome viene dal teorema di
Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo
rettangolo con lati interi corrisponde una terna
pitagorica, e viceversa.
Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc),
dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è
quindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc.
Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non
hanno divisori comuni.
I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive
sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente
terna primitiva.
Le terne pitagoriche
Le terne pitagoriche sono note fin dai tempi di Euclide ( decimo libro
degli Elementi) e sono rintracciabili anche nell’Aritmetica di Diofanto,
250 d. C. a cui viene attribuito il metodo per trovare le terne pitagoriche.
Forse i babilonesi del tempo di Hammurabi erano
ben consapevoli del significato di tali numeri, incluso il fatto che essi
costituiscono le lunghezze intere dei lati di un triangolo rettangolo.
Potrebbe essere interessante fare scrivere una tabella con le terne pitagoriche
- per prendere dimestichezza con il calcolo letterale
- per osservare le terne primitive
n>m m n2 - m2
n2 + m2
2mn
2
3
3
4
4
4
5
1
1
2
1
2
3
1
3
8
5
15
12
7
24
4
6
12
8
16
24
10
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
21
16
9
35
32
27
20
11
48
45
40
33
24
13
63
60
55
48
39
28
15
80
77
72
65
20
30
40
12
24
36
48
60
14
28
42
56
70
84
16
32
48
64
80
96
112
18
36
54
72
Verifica
5 9+16=25
10
13
17
20
25
26
29
34
41
37
40
45
52
61
50
53
58
65
74
85
65
68
73
80
89
100
113
82
85
90
97
Primitiva
si
1
si
si
2
3
si
4
si
5
si
si
6
7
si
8
si
9
si
10
si
si
11
12
si
13
si
14
si
15
si
16
Proposta didattica
L’unica terna pitagorica è quella formata da
numeri naturali consecutivi è (3, 4, 5)
Si può dimostrare
Dato il lato del quadrato, il calcolo della diagonale
offre una stima della radice di 2 corretta fino alla V cifra
decimale 1,41421
Esempio di applicazione del teorema di Pitagora e di calcolo
con i numeri irrazionali
YBC 7289 tavoletta di argilla babilonese 1800-1600 a.C.
Collezione dell'Università di Yale
Tavoletta trovata a Susa,
antico impero babilonese, 1800-1600 a.C. tra gli
esempi più antichi dell’impiego della relazione di Pitagora
Trovate il raggio del cerchio in cui è inscritto un triangolo isoscele
conoscendo i lati (50, 50, 60)
CH= 40
La relazione risolutiva corrisponde ad una equazione di I grado con incognita r
AH2 = AB2 - BH2
(40-r)2 = r2 – 302
r
r
H
Tavoletta babilonese del 1750 a. C.
Una tavoletta tra le cinquecento trovate nel 1962 presenta
un problema in cui vengono date area e diagonale di un
rettangolo al fine di trovare le misure dei lati. La soluzione
proposta, molto articolata, è sottoforma di istruzioni:
-1 Moltiplica l’area per due
-2 Eleva al quadrato la diagonale
-3 Sottrai (1) da (2)
-4 Trova la radice quadrata
-5 Dimezza il risultato
-6 Trova un quarto di ( 3 )
-7 Somma l’area a ( 6)
-8 Trova la radice quadrata di (7)
-9 Lunghezza = (5) + (8)
-10 Larghezza = (8) – (5)
IIlustrazione inserita nel II libro del Chou Pei, testo cinese arcaico di
astronomia, libro dello Gnomone e delle orbite circolari
Datazione incerta VI-III a. C. ( 246 problemi in 9 capitoli)
Prima dimostrazione diagrammatica
La relazione di Pitagora era conosciuta
molto prima di Pitagora 600 a.C.
Il teorema di Pitagora è stato
dimostrato successivamente
Gli Egiziani, per costruire la base quadrata delle piramidi, cioè per fare in modo che gli angoli fossero proprio retti, si valevano del meto
Gli Egiziani notarono che i numeri 3, 4, 5, lunghezze dei lati del triangolo, erano tali che:
3² + 4² = 5².
Un angolo retto con la corda:
applichiamo
l’inverso del teorema di Pitagora
Gli Egiziani
Dal testo di E. Castelnuovo “Matematica 1. Numeri e figure” Ed. La Nuova Italia:
Gli Egiziani, per costruire la base quadrata delle piramidi, cioè per fare in modo
che gli angoli fossero proprio retti, si valevano del metodo della corda. Si era nel 3000 a.C.
Il metodo è questo: si prende una corda lunga, per esempio, 12 unità di lunghezza
(noi prenderemmo 12 metri), e si divide con dei nodi in tante parti uguali:
una parte si fa di 3 nodi, una di 4 e una di 5. Si tende la parte di 4 nodi
fra due paletti ficcati per terra, e si tirano le altre due parti, lunghe 3 e 5,
in modo che i loro estremi s'incontrino. Si ottiene così un triangolo;
e questo triangolo ha un angolo retto.
Gli Egiziani notarono che i numeri 3, 4, 5, lunghezze dei lati del triangolo, erano tali che:
3² + 4² = 5².
Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali
c 2 = (a-b)2 + 4 ab
2
c 2 = a 2+ b 2
Il teorema di Pitagora nella
matematica cinese
Numerose applicazioni, una trattazione estesa e ingegnosa ,
contrariamente alla matematica dell’antica Grecia .
La dimostrazione cinese è questione di senso comune,
lo scopo dello studio è quello pratico
In Cina prende il via una tradizione di ragionamento geometrico
Principio del ragionamento: scomposizione e rimontaggio
Applicazione: il bambù spezzato
II sec. a.C./I sec. d. C. Arte del calcolo in 9 capitoli
Problema famoso nella storia della matematica, continua comparire nelle
opere dei matematici indiani del IX e XII secolo e poi in Europa.
Un bambù alto 10 piedi ( b+c) si è spezzato e la sua estremità tocca terra
ad una distanza di 3 piedi (a) dalla base, a che altezza si è spezzato (b)?
Conosco
b+c = 10 e a =3
La trattazione fornisce la formula della soluzione
utilizzando la relazione di Pitagora
1
a2 

b   b  c 
2
bc
Bambù spezzato
a2
c  b  a  (c  b)(c  b)  a  c  b 
cb
c  b  c  b


a2
c  b 
cb

a2
2b  c  b 
cb
2
2
2
2
Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali
(a+b) 2 = a2 + b2+ 2 ab
(a+b) 2 = c 2 + 4 ab
2
Thabit Ibn Qurra 826-901Baghdad,
astronomo e matematico arabo
Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali
Sir George B. Airy 1801-1892,
matematico e astronomo reale inglese
"Come potete vedere, sono
Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali
a² + b² − ab
Quando ci sono due triangoli sopra di me
È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa
Ma se invece sto io sopra di loro
Si leggono i quadrati dei due lati"
Garfield, 1831-1881,
20° presidente degli Stati Uniti
a
b
a
Area trapezio = Area 3 triangoli
(a+b)x(a+b) = 2ab+c2
2
2 2
b
Liu Hui, III sec. d. C
Liu uno commentatore del libro dello gnomone
Liu utilizza principio della scomposizione e rimontaggio
Quale limite ha questa dimostrazione?
Abu l-Wafā matematico e
astronomo persiano 940-998
Henry Perigall
1801-1898
agente di cambio
astronomo dilettante
Domino spezzato
matematico, orientalista svedese Jöran Friberg
nato nel1932
Tempelhoff, 1769 (o Leonardo)
La dimostrazione di Euclide (300 a. C),
fine del Libro I degli Elementi
Per capire la dimostrazione di
Euclide è necessaria una
notevole conoscenza delle
proprietà geometriche relative
ai triangoli congruenti
La figura che si ottiene per la
dimostrazione è detta mulino a vento
o coda del pavone o sedia della
sposa
Estensione del teorema
Le aree di poligoni regolari costruiti sui lati del triangolo rettangolo
stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi lati omologhi
Generalizzazione ai poligoni simili costruiti sui lati del triangolo
rettangolo:
la dimostrazione più semplice ed elegante, “la bustina”
Generalizzazione: In ogni triangolo rettangolo, l'area di un
qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa è
uguale alla somma delle aree dei poligoni simili a quello
costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.
Teorema di Pappo V sec. d. C.
Caso generale esteso a tutti i triangoli:
Il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema di Pappo
Frattale simmetrico di Pitagora
Frattale di Pitagora
Bibliografia essenziale
C’era una volta un numero, la vera storia della
Matematica
George Gheverghese Josep Ed. Net


Storia della matematica Carl B Boyer
Dentro la matematica, il pensiero geometrico
Bernardi, Cateni Fortini, Maracchia, Olivieri, Rohr
Ed. Le Monnier

La costruzione del piano, Cap. 1
W. Maraschini, M. Palma Ed. Paravia

Pagine web interessanti:

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Pitagora

http://for.indire.it/global_lms/uploads/pon_matematica1213/19552.pdf

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Gen_02/C
ap5.html

http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/biopitagora1.htm

http://matematicamedie.blogspot.it/2009/10/il-teorema-di-pitagora-nel-chiu-change.html

http://www.orianapagliarone.it/storia%20della%20matematica/animapita18.htm

http://crema.di.unimi.it/~citrini/Tesi/Parlato/Pagina%20Pitagora.htm

www.unipv.it/iscr/corsi_speciali/.../Il%20teorema%20di%20Pitagora.doc

http://www.gestinv.it/