Le terne pitagoriche ed il teorema di Pitagora

Le terne pitagoriche ed il teorema di Pitagora
Unità di apprendimento per gli studenti della classe seconda
1. PREREQUISITI NECESSARI ALLA GESTIONE DELL’UNITÀ DI APPRENDIMENTO
Conoscenze/Abilità
Competenze Relazionali
Competenze Linguistiche per
Alunni Stranieri
Conoscere:
 il concetto di equivalenza;
 l’unità di misura delle
superfici;
 i concetti di estrazione di
radice e di numero
quadrato;
 le proprietà generali dei
triangoli;
Capacità di:
 Lavorare in gruppo;
 Adottare atteggiamenti
responsabili rispetto all’uso
dei materiali
 Partecipare ad una
discussione collettiva senza
interrompere ed aspettando
il proprio turno di parola
 Esporre le proprie idee con
sufficiente chiarezza
Italiano lingua 2: primo livello
Operare:
 con le radici quadrate
 con aree e lunghezze;
2. DESCRIZIONE DELLA CLASSE
Il docente può inserire una breve descrizione della classe, della sua composizione e caratteristiche, utile a guidare lo
svolgimento dell’U.A. e le scelte dell’insegnante.
3. OBIETTIVI
Conoscenze
Abilità
 Sviluppare la
Sviluppare le capacità di:
conoscenza delle
proprietà geometriche
ed aritmetiche delle
terne pitagoriche;
 Sviluppare le
conoscenze della
terminologia e della
simbologia specifiche.

Individuare in una terna di numeri una terna
pitagorica;

Ricavare una o più terne pitagoriche
derivate da una terna primitiva;

Ricavare la terna pitagorica primitiva da una
terna derivata;

Applicare le proprietà delle terne
pitagoriche per individuare la misura di un
lato del triangolo rettangolo, dati gli altri
due;

Applicare le proprietà delle terne
pitagoriche nella risoluzione di problemi sui
triangoli ed i quadrilateri particolari;

Trasferire dal linguaggio grafico-simbolico al
linguaggio verbale e viceversa.
1
Competenze
 Sviluppare
competenze di
risoluzione di
problemi, anche in
contesti nuovi ed in
situazioni pratiche,
attraverso l’utilizzo
delle conoscenze e
delle abilità acquisite.
4. QUADRO SINOTTICO DELLE ATTIVITÀ PROPOSTE
Contenuti
Le terne pitagoriche
Attività
1. Costruzione di
triangoli rettangoli
con cerini
2. Formalizzazione
3.
Terne pitagoriche
primitive e derivate
4.
5.
Il teorema di Pitagora
6.
Il teorema di Pitagora
7.
Il teorema di Pitagora
Strategie
Lavoro in piccoli gruppi
Discussione in classe
Costruzione di
triangoli rettangoli
su carta millimetrata
Formalizzazione
Costruzione di
triangoli rettangoli
con quadrati di carta
millimetrata
Ricavare un numero
della terna dati gli
altri due
Applicare le
conoscenze ed
abilità acquisite alla
risoluzione di
problemi
Discussione in classe e
lavoro individuale
Discussione in classe
Discussione in classe e
lavoro in piccoli gruppi
Lavoro in piccoli gruppi e
discussione in classe
Tempi
2 ore
1 ora
2 ore
1 ora
2 ore
2 ore
Lavoro individuale
4 ore
2
5. SCHEDE DI DESCRIZIONE DELLE ATTIVITÀ
Contenuto: Le terne Pitagoriche
Attività 1 – costruire triangoli
Strategia: Lavoro in piccoli gruppi
Tempo:2 ore
Materiale necessario: cerini, fogli di cartoncino 70x100, colla, squadra, riga
Svolgimento:
L’insegnante introduce la seguente situazione- problema :
“Per costruire un triangolo occorrono terne di numeri ( i numeri indicano la misura dei lati).
È necessario che la somma di due numeri sia sempre maggiore del terzo.
Alcune terne generano triangoli rettangoli, altre no.
Usate i seguenti numeri per costruire triangoli e verificate in quali casi il triangolo è rettangolo”.
Gli alunni vengono suddivisi in gruppi di massimo 4 persone e vengono indicati i numeri coi quali costruire
le terne:
Numeri da indicare per lo svolgimento del lavoro: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17
(Terne possibili per il triangolo rettangolo: 3,4,5 / 6, 8, 10 / 5, 12, 13 / 8, 15, 17 / 9, 12, 15)





I cerini vengono utilizzati come unità;
Con l’aiuto delle righe vengono allineati sul foglio di cartoncino, per costruire i lati;
La squadra viene utilizzata per misurare l’angolo retto, che sarà formato dai due lati piccoli;
I triangoli devono essere “chiusi”; non devono rimanere triangoli aperti o lati sporgenti;
Una volta ottenuto il triangolo sarà incollato sul foglio di cartoncino e contrassegnato con i tre
numeri della terna; da una parte del cartoncino si incolleranno i triangoli rettangoli, dall’altra i
triangoli non rettangoli.
Studenti migranti
L’insegnante:
 Fornirà loro, qualche giorno prima dell’inizio dell’attività, le schede di supporto linguistico 1 e 2 (allegato 5);
 Terrà conto delle loro peculiari necessità nella formazione dei gruppi di lavoro;
 Verificherà, prima dell’inizio dell’attività, che essi abbiano preso visione del materiale fornito;
 Chiederà esplicitamente ai compagni di gruppo di assicurarsi che essi seguano tutte le fasi del lavoro in
classe.
Gli studenti:
 Avranno cura di studiare il materiale appositamente predisposto;
 Seguiranno se possibile le istruzioni dell’insegnante e le indicazioni del gruppo;
 Prenderanno appunti durante il lavoro.
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Contenuto: Le terne Pitagoriche
Attività 2 – formalizzare i risultati
Strategia: Discussione in classe
Tempo:1 ora
Materiale necessario: nessuno
Svolgimento:
L’attività 1 permette di verificare praticamente che la costruzione di un triangolo rettangolo avviene solo in
alcuni casi specifici. I diversi gruppi hanno lavorato componendo le terne in modo casuale, ma i risultati a
cui sono giunti sono gli stessi:
1) solo specifiche terne di numeri, chiamate terne pitagoriche, permettono di costruire triangoli con
un angolo retto;
2) alcune tra queste terne si ottengono da altre per moltiplicazione dei tre numeri per lo stesso
fattore.
Il risultato 2) si intravede appena, perché le terne pitagoriche ottenute non sono tante. È necessario allora
approfondire la ricerca per verificare se questa regola determini lo stesso risultato su un più ampio
numero di casi. Allora la si potrà generalizzare.
Studenti migranti
L’insegnante:
 ha già fornito agli studenti la scheda 2, contenente gli elementi essenziali del lavoro e parti da completare.
Gli studenti:
 Seguiranno nei limiti del possibile la discussione in classe;
 Non copieranno dalla lavagna, ma lavoreranno sulla scheda 2.
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Contenuto: terne pitagoriche primitive e
derivate
Strategia:
Attività 3:Costruzione di triangoli rettangoli su
carta millimetrata
Tempo: 2 ore
Materiale necessario: carta millimetrata, squadra e/o riga
Svolgimento:
Questa attività prende spunto dalle precedenti. Si parte dal presupposto che gli alunni notino la presenza
di terne pitagoriche formate da numeri multipli dei tre numeri di un’altra terna.
Formuleremo dunque una ipotesi: data una terna pitagorica, posso ottenerne altre moltiplicando per lo
stesso fattore i tre numeri. Agli alunni viene richiesto di verificarle l’ipotesi, costruendo su carta
millimetrata nuovi triangoli rettangoli, partendo dalle terne pitagoriche già individuate. Essi dovranno
moltiplicare per lo stesso fattore i numeri delle terne che già conoscono (3,4,5 / 6, 8, 10 / 5, 12, 13 / 8, 15,
17, / 9, 12, 15) e verificare che i triangoli ottenuti siano effettivamente triangoli rettangoli. L’uso del mm
come unità di misura permetterà loro di ottenere un certo numero di triangoli, via via più grandi, senza
uscire dal foglio.
Studenti migranti
L’insegnante:
 Fornirà agli studenti la scheda 3, contenente semplici istruzioni per lo svolgimento del lavoro, ed una tabella
nella quale riportare le osservazioni;
 Chiederà esplicitamente ad alcuni compagni di seguirli nelle prime fasi del lavoro;
 Seguirà lo svolgimento del lavoro in classe assicurandosi che gli studenti procedano senza difficoltà.
Gli studenti:
 Seguiranno se possibile le istruzioni dell’insegnante e le indicazioni dei compagni;
 Svolgeranno il lavoro al pari dei compagni, attivandosi per superare eventuali difficoltà;
 Compileranno la scheda predisposta.
5
Contenuto: terne pitagoriche primitive e
derivate
Strategia: Discussione in classe
Attività 4: formalizzare i risultati
Tempo: 1 ora
Materiale necessario: nessuno
Svolgimento:
La discussione in classe permette di formalizzare i risultati ottenuti:
1) se moltiplico i tre numeri di una terna pitagorica per lo stesso fattore, ottengo ancora una
terna pitagorica, detta terna pitagorica derivata;
2) Se divido i tre numeri di una terna pitagorica per lo stesso divisore ottengo ancora una
terna pitagorica; se in seguito a divisioni successive ottengo una terna pitagorica formata
da tre numeri primi tra loro, la terna si dirà primitiva.
Studenti migranti
L’insegnante:
 ha già fornito agli studenti la scheda 3, contenente gli elementi essenziali del lavoro e parti da completare.
Gli studenti:
 Seguiranno nei limiti del possibile la discussione in classe;
 Non copieranno dalla lavagna, ma lavoreranno sulla scheda 3.
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Contenuto: Il Teorema di Pitagora
Attività 5 – dalle lunghezze alle superfici
Strategia: Discussione in classe ed attività in
gruppi
Tempo: 2 ore
Materiale necessario: quadrati
costruiti su carta millimetrata, con
lati rispettivamente di cm 3, 4, 5, 6,
8, 9, 10, 12, 13, 15, 17,18; forbice;
fogli di cartoncino 70x100;
colla;
squadra.
Svolgimento:
L’attività ha inizio con una riflessione dell’insegnante sulla terna pitagorica primitiva 3, 4, 5. Se
consideriamo i tre numeri, sappiamo che essi , presi come lunghezze dei lati di un triangolo, determinano
che il triangolo sia rettangolo. Se consideriamo invece i quadrati di lato 3, 4, 5 verifichiamo facilmente, con
una figura costruita all’uopo, che 32 + 42 = 52.
L’insegnante chiede a questo punto agli studenti di verificare se la relazione di uguaglianza può
essere estesa ad altre terne pitagoriche. Vengono forniti pertanto agli studenti i quadrati di cui
sopra, che essi dovranno utilizzare, suddivisi in gruppi di lavoro, per costruire triangoli rettangoli
da incollare sul cartoncino. Successivamente dovranno calcolare l’area in cm 2 di ciascuno dei
quadrati e verificare l’uguaglianza a2 + b2 = c2.
Lo scopo dell’attività è quello di far lavorare gli studenti con quadrati reali, e di offrire loro
l’opportunità concreta di “contare” i cm2 contenuti in ciascun quadrato.
Studenti migranti
L’insegnante:
 Fornirà loro, qualche giorno prima dell’inizio dell’attività, la scheda 4;
 Terrà conto delle loro peculiari necessità nella formazione dei gruppi di lavoro;
 Verificherà, prima dell’inizio dell’attività, che essi abbiano preso visione del materiale fornito;
 Chiederà esplicitamente ai compagni di gruppo di assicurarsi che essi seguano tutte le fasi del lavoro in
classe.
Gli studenti:
 Avranno cura di studiare prendere visione del materiale appositamente predisposto;
 Seguiranno se possibile le istruzioni dell’insegnante e le indicazioni del gruppo;
 Prenderanno appunti durante il lavoro.
Contenuto: Il Teorema di Pitagora
Attività 6 – calcolare un numero della terna
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Strategia: Lavoro in piccoli gruppi e
discussione in classe
pitagorica dati gli altri due
Tempo: 2 ore
Materiale necessario:
Svolgimento:
L’attività viene introdotta presentando un problema agli studenti e chiedendo loro di risolverlo sulla base
delle conoscenze/abilità acquisite.
Viene fornita a ciascun gruppo una terna pitagorica incompleta, mancante cioè del numero più grande. Si
chiede agli studenti di individuare il numero della terna e quindi di formalizzare un procedimento
risolutivo applicabile in situazioni analoghe.
L’insegnante seguirà il lavoro dei vari gruppi, concluso il quale si confronteranno e discuteranno i risultati
ottenuti.
Ancora, verrà fornita a ciascun gruppo una terna pitagorica incompleta, mancante stavolta del termine
minore, oppure del termine medio. Il lavoro procederà come nel caso precedente fino alla formalizzazione
dei risultati.
Studenti migranti
L’insegnante:
 Trascriverà alla lavagna il problema proposto, usando un linguaggio semplice ed assicurandosi che gli
studenti abbiano compreso la consegna.
 Chiederà esplicitamente ad alcuni compagni di seguirli nelle prime fasi del lavoro;
 Seguirà lo svolgimento del lavoro in classe assicurandosi che gli studenti procedano senza difficoltà.
Gli studenti:
 Seguiranno se possibile le istruzioni dell’insegnante e le indicazioni dei compagni;
 Svolgeranno il lavoro al pari dei compagni, attivandosi per superare eventuali difficoltà
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Contenuto: Il Teorema di Pitagora
Attività 7 – applicare le conoscenze e le abilità
acquisite nella risoluzione di problemi
Strategia: Lavoro individuale
Tempo: 4 ore
Materiale necessario: questionario “Guida alla risoluzione del problema di matematica”
Svolgimento:
L’attività prevede l’applicazione le conoscenze e le abilità acquisite nella risoluzione di problemi, anche
attraverso l’utilizzo del questionario allegato
Studenti migranti
L’insegnante:
 Trascriverà opportunamente i problemi proposti, usando un linguaggio semplice e comprensibile nella
trascrizione dei dati e si assicurerà che gli studenti abbiano compreso la consegna.
 Chiederà esplicitamente ad alcuni compagni di seguirli nel lavoro;
 Seguirà lo svolgimento del lavoro in classe assicurandosi che tutti procedano senza difficoltà.
Gli studenti:
 Svolgeranno il lavoro al pari dei compagni, attivandosi per superare eventuali difficoltà, ma non utilizzeranno
il questionario allegato.
6. VALUTAZIONE
 Rilevazione delle conoscenze/abilità acquisite (vedi allegato n° 1)
 Rilevazione del livello di competenze mostrato dagli alunni alla fine del percorso rispetto all’inizio del
percorso. Questo comporta la somministrazione di una scheda di valutazione prima dell’inizio dell’U.A., che
consenta di rilevare il livello dell’alunno relativamente alla competenza che si intende sviluppare attraverso il
percorso, da confrontare con il livello rilevato alla conclusione del percorso didattico.
La scheda di rilevazione da somministrare all’alunno è completata da una scheda per guidare la valutazione
da parte del docente (vedi allegato n° 2).
Numerazione allegati:
Allegato 1 verifica sommativa
Allegato 2: verifiche t0 e t1
Allegato 3: schede di supporto linguistico
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