Relazioni di equivalenza

Relazioni di equivalenza
Definizione A. Sia E un insieme non vuoto e sia R una relazione
binaria su E, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano
E  E ={(a,b) tali che a,b  E}
l’insieme delle coppie ordinate di elementi di E.
R si dice relazione di equivalenza su E se è riflessiva, simmetrica
e transitiva, cioè se valgono le seguenti proprietà:
1) proprietà riflessiva: ogni elemento di E è in relazione con se
stesso, cioè
 x  E (x, x )  R , (ovvero x R x );
2) proprietà simmetrica: l’ordine in cui si considerano elementi in
relazione è irrilevante, cioè
 x, y  E (x, y )  R  (y, x )  R ,
(ovvero x R y  y R x );
3) proprietà transitiva: se un elemento è in relazione con un secondo
elemento e quest’ultimo lo è con un terzo, allora il primo è in
relazione con il terzo, cioè
 x, y, z  E (x, y )  R  (y, z )  R  (x, z )  R,
ovvero (x R y  y R z )  x R z .
Esempio 1 Consideriamo nell’insieme dei numeri interi (anche detti
relativi) Z la seguente relazione R  Z  Z:
(p, q )  Z  Z (p, q )  R  2 divide (p  q ) (cioè “p  q è pari”).
 R è riflessiva: per ogni p  Z, si ha p – p  0, quindi 2 divide p  p,
cioè p R p.
 R è simmetrica: infatti, per ogni (p, q )  Z  Z, si ha
p R q  2|(p  q )  2|(q  p )  q R p.
 R è transitiva: infatti, per ogni (p, q, w)  Z  Z  Z, si ha
p R q  q R w  2|(p  q )  2|(q  w )  2|(p  w )  p R w.
Esempio 2 Sia f : E  E una applicazione. Si consideri la relazione
Rf  E  E definita da:
 (x, y )  E  E
x Rf y  f (x )  f (y ).
Si lascia allo studente il compito di verificare che Rf è una relazione
di equivalenza perché espressa in termini di uguaglianza, che è
chiaramente riflessiva, simmetrica e transitiva.
Rf prende il nome di relazione di equivalenza determinata dalla
applicazione f.
Definizione B. Sia R una relazione di equivalenza su un insieme E
non vuoto. Sia x un elemento di E.
Si dice classe di R-equivalenza di x l’insieme
clR (x )  [x ]R  { y  E | y R x }.
Abitualmente si omette l’indice R, se non vi è possibilità di equivoco.
Ovviamente, per ogni x  E, si ha [x ]  E.
Le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva garantiscono che due
classi di equivalenza o coincidono o sono disgiunte. Più
precisamente:
Proposizione.
y R x  [y ]  [x ]
Altrimenti [y ][x ] è l’insieme vuoto, ossia l’insieme che non
contiene alcun elemento.
In altre parole le classi di equivalenza determinano una partizione di
E, una famiglia di sottoinsiemi a due a due disgiunti la cui unione è
tutto E.
Dimostrazione della Proposizione:
Se y R x è vero (non importa se y  x oppure y  x), allora z  [y ]
 z R y, e dalla transitività di R segue che z R x, ovvero z  [x ]:
quindi [y ]  [x ]. Analogamente si ottiene [x ]  [y ] e dunque [y ] 
[x ].
Altrimenti, cioé se invece y R x non è vero, se ci fosse un elemento z
appartenente tanto a [x ] quanto a [y ], allora sarebbero vere tanto z
R x quanto z R y (e quindi per la proprietà simmetrica y R z) e infine
per la proprietà transitiva y R x. Assurdo. Quindi questo z non può
esistere : in altre parole [y ][x ] è l’insieme vuoto.
cvd
La seconda parte della dimostrazione è un esempio di dimostrazione
per assurdo, assumiamo che la nostra tesi non sia vera, e troviamo
attraverso ragionamenti corretti un assurdo. Visto che i
ragionamenti sono corretti, ad essere sbagliata deve essere
l’assunzione di falsità della tesi, e quindi la tesi deve essere vera.
Definizione C Data una relazione di equivalenza R su un insieme E
si dice insieme quoziente E/R l’insieme delle classi di equivalenza
[x ]R
Esempio 1 bis Nel caso dell’ Esempio 1, si ottengono solo due classi
di equivalenza [0] e [1], costituite rispettivamente dall’insieme dei
numeri pari e da quello dei numeri dispari. Quindi l’insieme
quoziente è un insieme con soli due elementi.
Esempio 2 bis Nel caso dell’Esempio 2, la classe determinata da un
elemento x  E è costituita da tutti gli y  E tali che f(x )  f(y ) cioè
[x ]  f -1(f(x )).
Esercizio. Sia f : R  R l’applicazione definita da f(x )  x2.
Si determini, per ogni x  R, la classe [x ], per la relazione di
equivalenza Rf.
Esercizio. Sia R  R  R la relazione definita da
(x, y )  R  R
x R y   k  Z tale che y x  2k .
R si chiama congruenza modulo 2, si scrive anche x  y (mod 2)
in luogo di x R y, e si legge “x è congruo y modulo 2”.
a) Provare che si tratta di una relazione di equivalenza;
b) determinare le classi di equivalenza [0], [] e [2];
c) costruire una funzione f da R/ in S1, la circonferenza di raggio 1
nel piano euclideo E2  R2 e una funzione g da S1 in R/ , con le
proprietà
- f(g(a))=a per ogni a in S1
- g(f(b))=b per ogni b in R/
Possiamo dedurne che R/ assomiglia a S1? In che senso?