Michele Benzi Department of Mathematics and Computer Science

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Michele Benzi Department of Mathematics and Computer Science
Michele Benzi
Department of Mathematics and Computer Science
Emory University
Atlanta, Georgia, USA
[email protected]
http://www.mathcs.emory.edu/~benzi
PERRON, FROBENIUS AND GOOGLE
Il Teorema di Perron-Frobenius e` uno dei risultati piu` belli e piu` utili della teoria delle matrici.
Questo teorema afferma che il raggio spettrale di una matrice irriducible A a elementi non negativi
e` un autovalore semplice di A; inoltre, esiste un corrispondente autovettore le cui componenti sono
strettamente positive. Il Teorema di Perron-Frobenius e le sue generalizzazioni hanno trovato
numerose applicazioni nei campi piu` disparati, dalla teoria delle probabilita` (catene di Markov)
allo studio dei reattori nucleari, dall'economia (modello di Leontief) alla biomatematica (dinamica
delle popolazioni), all'analisi numerica, e via dicendo. Recentemente, la teoria di Perron-Frobenius
si e` dimostrata indispensabile nella formulazione e risoluzione del problema dell'ordinamento dei
documenti reperiti dal motore di ricerca "Google" in seguito all'ingresso di parole o frasi chiave da
parte di un utente. Posto che la grande maggioranza degli utenti non si spinge a prendere in esame
piu` dei primi 10 o 20 risultati restituiti da Google, e` chiaro che la questione del "ranking"
(ordinamento in ordine di rilevanza) dei documenti restituiti ha grande importanza pratica e notevoli
ripercussioni, anche di natura economica.
Lo scopo principale di questa conferenza (che dovrebbe essere accessibile a chiunque sia in
possesso delle nozioni di base di algebra lineare) e` di esporre i principali risultati della teoria delle
matrici non negative, utilizzando l'esempio di Google per illustrare alcuni dei concetti fondamentali.
Uno scopo secondario e` di far vedere come anche un'attivita` a prima vista abbastanza banale come
l'utilizzo di un motore di ricerca richieda, per essere effettuata in modo intelligente, una teoria
matematica di notevole potenza ed eleganza.