CURVE NUOVE E MERAVIGLIOSE: I FRATTALI

CURVE NUOVE E MERAVIGLIOSE: I FRATTALI
“Perché spesso la geometria viene descritta come fredda e arida? Un motivo è la sua
incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa o di un
albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e
gli argini non sono regolari, nemmeno la luce viaggia secondo una linea retta... La natura
non rivela semplicemente un grado più alto ma un livello del tutto diverso di complessità.”
Benoit B. Mandelbrot
DALLA GEOMETRIA DI EUCLIDE AI FRATTALI
Descrivere la realtà fisica che circonda l’uomo fu uno dei primi
problemi formali che il genere umano si pose. A questo proposito
già nelle prime civiltà organizzate quale quella Egizia e AssiroBabilonese fu necessario introdurre strumenti matematici al fine di
gestire confini ed estensioni di proprietà o di calcolare con buona
approssimazione lo spostamento di un corpo celeste. La disciplina
che si deve ringraziare per l’aver fornito questi strumenti acquistò
tuttavia solo con la civiltà greca il nome con la quale la
conosciamo: geometria, letteralmente misurazione della terra.
Con i greci si attuò inoltre un ordinamento di teoremi, una generalizzazione delle proprietà
a tutte le figure e soprattutto la stesura di assiomi fondamentali da parte di Euclide.
Tuttavia, ciò che da un lato portò un certo ordine da un punto di vista conoscitivo causò
invece un’astrazione della disciplina, esiliandola, in un certo senso, in un mondo perfetto
incorruttibile diverso dal nostro. La stessa concezione della geometria come disciplina
arida, priva di ogni contatto con il mondo reale è dunque da ricondursi proprio a Euclide: la
sua geometria era un universo astratto privo di collegamenti con la realtà quotidiana.
Questo il primo stallo nella storia della geometria. Il fascino che
questa disciplina esercitava sugli studiosi andava ben oltre la
possibilità di applicazione di questa ai problemi del quotidiano. Nel
mondo della sensibilità, della corruttibilità e del disordine le figure
geometriche sono entità assai rare.
Ma l’avvento di Aristotele permise alla geometria di riscattarsi. Se era
vero che la geometria fosse difficilmente applicabile nel nostro mondo
sublunare, caratterizzato dalla corruttibilità, ciò non valeva per il
mondo lunare, perfetto e incorruttibile, il cui
elemento era l’etere, anch’esso incorruttibile e
perfetto. Ipotizzando un cosmo con tali caratteristiche fu possibile
applicare la geometria per calcolare e studiare i moti dei corpi
celesti, restituendo alla geometria l’alto compito di spiegare il
mondo, anche se non era il nostro!
Fino al ‘600 la geometria restò immutata e incorrotta come il
mondo che affermava di poter spiegare, ma a causa, o forse
grazie, al particolare clima filosofico – culturale e a menti
particolarmente brillanti e capaci, per la geometria, come per la
Chiesa, fu necessaria una ‘’riforma’’. Insoddisfatti delle tesi
aristoteliche, uomini come Galileo Galilei e Giovanni Keplero
dimostrarono attraverso i loro studi la falsità dei dogmi degli aristotelici, portando avanti la
tesi di un universo omogeneo, e quindi anch’esso corruttibile, il cui centro non era la Terra
ma il sole. Questi uomini con il loro operato non spodestarono tuttavia la geometria dal
cosmo, ma ne legittimarono la capacità di spiegarne i moti, che se non erano più circolari
erano ellittici. Niente come la seguente frase presa da Il saggiatore di
Galileo Galilei può far intendere meglio la stima che questi scienziati
nutrivano nella geometria:
"La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l'universo, ma
non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e
conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua
matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure
geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un
oscuro labirinto.”
Ma la vera rivoluzione geometrica fu portata dal filosofo francese Cartesio. Egli infatti rese
possibile far coincidere il mondo di Euclide con la realtà che ci circonda, facendo ritornare,
se mi è concesso dirlo, la geometria sulla Terra. Con la divisione dello spazio mediante gli
assi cartesiani, 3 rette perpendicolari fra loro, fu possibile individuare punti di un qualsiasi
oggetto mediante 3 coordinate. Ora lo spazio era concepito mediante numeri astratti; tale
concezione è alla base della scienza moderna.
Non passò mezzo secolo che Isaac Newton e il barone Gottfried von Leibniz definirono
separatamente i principi del calcolo differenziale. Con il calcolo differenziale passando per
la fisica e l'economia, tutto si basa sull'assunto che vuole ogni curva composta da un
numero infinito di segmenti, Leibnitz in particolare affermò che tutte le curve sono
costituite da segmenti infinitamente piccoli detti tangenti. Ogni curva quindi se ingrandita
risulta essere simile ad una retta. Questa osservazione introdusse il concetto di auto –
similarità, proprietà fondamentale dei frattali… ma procediamo con ordine.
Da sinistra: Cartesio; Newton; Leibniz
’’Gli autori più moderni, come i più antichi, lottano per subordinare i fenomeni della Natura
alle leggi della matematica.’’ (Isaac Newton)
La maggior parte dei matematici del XIX secolo era convinta che non vi fosse più nulla da
scoprire. Essi erano orgogliosi del loro dominio su tutto ciò che era strano ed irregolare,
indicando semplicemente linee curve come rette piegate. Tuttavia, verso la fine del XIX
secolo, nel 1875, il matematico tedesco Carl Weierstrass descrisse una curva con
caratteristiche decisamente strane, considerate addirittura patologiche e sgradevoli dai
suoi colleghi in quanto mettevano in discussione i concetti di distanza, di area, di spazio e
di dimensione. Altri, come il tedesco Georg Cantor e il polacco Waclaw Sierpinski,
ottennero linee e figure geometriche di cui non si riusciva a calcolare la lunghezza e l'area
e nel 1890 l'italiano Giuseppe Peano dimostrò che una curva continua priva di superficie
può riempire una regione dello spazio. In un periodo di assoluta certezza i frattali diedero
vita a nuovi dubbi! I frattali furono classificati come ‘’mostri’’ e senza nome attesero
qualcuno che potesse comprenderli. Quest’uomo fu Benoit B. Mandelbrot (nelle figure, da
sinista: Weierstrass, Cantor, Sierpinki, Peano
Mandelbrot affascinato dai ‘’mostri’’ matematici cominciò a studiarli,
setacciando tutta la ‘’galleria di mostri’’ che era venuta a formarsi nei
decenni precedenti. Per la comprensione di queste curve e figure si
avvalse di numerosi strume quali la nozione di dimensione di Felix
Hausdorff, grazie alla quale gli fu possibile spiegare alcuni
comportamenti bizzarri, introducendo il concetto di dimensione
frattale. La ricerca di Mandelbrot non si risolse tuttavia soltanto
nell’individuare le proprietà ma anche l’applicabilità delle strane
figure nel quotidiano. Una prima possibilità gli fu offerta nel 1958
quando gli fu proposto di lavorare su un progetto che studiava i
sistemi per l'eliminazione del rumore che disturbava le
trasmissioni digitali. Il risultato del grafico rilevato fu
sorprendente:
le
interferenze
comparivano
iterativamente secondo uno schema ben preciso,
autosimile che ricordava per certi versi il pulviscolo di
Cantor…un frattale!
Successivamente durante lo studio dell’andamento
dei prezzi del cotone, Mandelbrot riscontrò un’
incredibile somiglianza tra l’andamento avvenuto su
scale temporali diverse (annuo, mensile, settimanale),
tale da rendere assai difficile poterli distinguere.
L’economia era soggetta all’autosimiglianza!
Nel 1968 Mandelbrot aveva cominciato a studiare gli
schemi ricorrenti nelle fluttuazioni del livello del Nilo,
citate anche dalla Bibbia. I risultati ottenuti risultavano
sul grafico nuovamente una curva frattale. Mandelbrot
aveva messo alla luce l’importanza dei frattali e il loro
ruolo decisivo al fine di comprendere il mondo nella sua irregolarità, l’economia nella sua
complessità e le nuove tecnologie in sviluppo.
APPLICAZIONI ATTUALI DELLA TEORIA DEI FRATTALI
Grazie alle ricerche del prof. Mandelbrot nonché alla fiducia da lui riposta nei frattali, al
giorno d’oggi i frattali sono largamente utilizzati nei più svariati campi. Ciò non fu tuttavia
un’ impresa facile: le sue tesi e in particolare la sua prima opera ‘’Les Objets Fractales’’
edizione del 1975 furono inizialmente fortemente criticate dai suoi colleghi matematici, che
non solo si dimostrarono particolarmente scettici, ma lo accusarono addirittura di fare
fantascienza. Ma il tempo ha fatto il suo corso e quei matematici si sono dovuti ricredere.
Se la geometria classica non aveva gli strumenti per descrivere la natura, perché troppo
caotica e disordinata, grazie ai frattali oggi è possibile creare paesaggi naturali, montagne,
eruzioni e galassie, la cui disposizione è frattale, ripetendo un semplice motivo un elevato
numero di volte su scale diverse sino ad ottenere una figura complessa. Cosa sarebbe il
cinema oggi, tanto caratterizzato dagli effetti speciali, senza i frattali?
Nel 1978 furono progettate presso la ‘’Boing aircraft’’ in Seattle aerovetture sperimentali.
Loren Carpenter, allora un giovane ricercatore informatico, fu incaricato di creare
attraverso la computer grafica un imaging dei progetti. Ma a Carpenter l’aereo non
bastava: voleva uno sfondo, in particolare un paesaggio montuoso. Generare una
montagna era tuttavia impensabile per la tecnologia di allora, un’ impresa impossibile.
Questo fino al 1978, quando Carpenter venne a contatto con l’opera di un matematico non
particolarmente famoso: Mandelbrot. La lettura fu illuminante: invece di creare ogni
increspatura singolarmente prese un paesaggio composto da 4 grandi triangoli, poi si
divise ciascuno di questi in 4 più piccoli e questi a loro volta in altri 4. L’applicare infinite
volte la stessa funzione per ogni immagine ottenuta,in matematica è detta iterazione.
Questo concetto sta alla base della geometria frattale. Ma torniamo a Carpenter: il risultato
fu sorprendente. Nessuno aveva mai prodotto immagini simili, una nuova frontiera
dell’animazione digitale! Poco dopo il suo successo, Carpenter fu chiamato presso il set
cinematografico di Star Trek II: L'ira di Khan, per generare questa volta non una
montagna, bensì un intero pianeta: ‘’Meraviglie senza fine saltano fuori da semplici regole,
se queste sono ripetute all'infinito”
Come in grafica risulta assai più semplice ripetere un motivo iniziale un alto numero di
volte su scale diverse, anche gli esseri viventi, noi inclusi, applicano questo stratagemma,
seppur inconsciamente, nel costruire il proprio corpo. In particolare in medicina si sta
sfruttando questa proprietà al fine di individuare anomalie e cancri: laddove lo schema
utilizzato si presenti diverso e meno efficace di quello generale si è capaci di individuare o
prevenire mali. Lo stesso principio applicato alle piante permette invece ai ricercatori di
stimare con buona approssimazione la quantità di alberi in una foresta misurando le
distanze dei rama di uno soltanto, senza la necessità di contarne uno ad uno.
Non vi siete mai chiesti come mai le antenne dei primi cellulari siano sparite? Nathan
Coen è colui che dev’esse ringraziato per questo salto in termini di praticità e non solo.
Negli anni ’90 Coen aveva un Hobby: la radio. Gestiva una frequenza amatoriale ma
l’antenna che aveva posto nel suo terrazzo non era apprezzata dai suoi coinquilini. Gli
capitò di prendere parte ad una lezione del prof. Mandelbrot durante la quale,tra i frattali
trattati, ci fu ‘’il fiocco di Koch’’, che colpì a tal punto Coen da fargli progettare un’antenna
che presentava la stessa forma. Sorprendentemente l’antenna non solo risultava molto più
compatta ma riusciva a captare un numero ben più alto di frequenze: un’ antenna per
essere efficace e funzionale doveva esse frattale!
FRATTALI FAMOSI
Saranno qui di seguito presentati alcune dei più celebri frattali nonché una guida su come
costruirli.
Polvere di Cantor
Si prenda un segmento di lunghezza l. Si tenga presente che questo segmento come tale,
benché sia caratterizzato da una lunghezza finita, ha cardinalità (quantità di punti
contenuti in esso) infinita. Lo si divida ora in 3 segmenti di lunghezza l/3 ciascuno. Si
elimini quello centrale. La cardinalità resta infinita.
Si iteri questo procedimento per i 2 segmenti formatisi, e così per ciascun segmento che
andrà a formasi in seguito ad ogni passaggio.
Triangolo di Sierpinki
Si prenda un triangolo equilatero ABC e si uniscano i punti medi di ciascun lato. Si
otterranno 4 triangoli simili. Si elimini quello centrale.
Si proceda nello stesso modo per ciascun triangolo generato, e si iteri questo processo in
ogni passaggio seguente ad ogni triangolo neo–generato.
Curva di Koch
Si prenda un segmento di lunghezza l e lo si divida in 3 segmenti rispettivamente lunghi
l/3. Si rimuova il segmento centrale e al suo posto si costruisca un triangolo equilatero
privo di base di lato l/3.
Si iteri tale procedimento per ciascun lato-segmento formato.
Fiocco di neve di Koch
Si disegni un triangolo equilatero di lato l e si divida
ciascun lato in 3 segmenti lunghi rispettivamente l/3.
Si proceda per ciascun lato similmente a ‘’La curva
di Koch’’.
PROPRIETA’ DEI FRATTALI
Dopo aver introdotto storia, applicazioni e costruzione di un frattale è bene illustrare
ordinatamente le proprietà cui queste bizzarre curve o figure godono:
1.
2.
3.
4.
Autosimilarità;
Perimetro (lunghezza) nulla o infinita;
Area nulla o finita;
Dimensione frazionaria (frattale)
Autosimilarità
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso
motivo su scala sempre più ridotta. Questa la definizione più intuitiva di frattale che
evidenzia nell’immediato l’importanza dell’autosimilarità, ossia la proprietà di una figura di
essere esattamente o approssimativamente simile a una sua parte (il tutto ha la stessa
forma di una o più delle sue parti). Lo schema su modello frattale risulta efficace in natura
e per questo continuamente adottato! Tra i più evidenti frattali che troviamo in natura
abbiamo la selce e il cavolo romano ma anche le ramificazioni dei polmoni e dei bronchi,
le arterie e vene coronarie o il cuore(come nelle immagini qui riportate)
Perimetro nullo
Dimostriamo
la
seguente
proprietà
prendendo in esame la polvere di Cantor.
Andiamo a costruire come illustrato in
precedenza la figura frattale e calcoliamo la
parte sottratta alla figura fino all’n-esimo
passaggio, con n tendente ad infinito.
1. Si divide il segmento lungo 1 in 3
parti congruenti e si sottrae il
segmento centrale; la parte sottratta
1
sarà pari
3
2. Poi si divide ciascun segmento lungo 1/3 in 3 segmenti uguali e si sottrae il
1
1 1 1 2
segmento centrale di questi; la parte sottratta totale sarà pari a  2      
3
3 3 3 9
3. In seguito si divide ciascun segmento lungo 1/9 in 3 segmenti uguali e si sottrae il
segmento centrale di questi; la parte sottratta totale sarà pari a
1 2
1 1 1 2 4
  4     
3 9
3  9  3 9 27
4. Si ha di fronte la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione
q=2/3 e primo termine a=1/3. Ricordando che la formula generale che mi permette
di calcolare la somma dei primi n termini a progressione geometrica è data da
n
1 qn
Sn   aq k  a
otteniamo:
1 q
k 0
n
2
1  
k
n
n
1 2 4
8
1  2 4 8
1 2
1
3

2
Sn   
  .......   1   
 ....           1   
2
3 9 27 81
3  3 9 27
3
 k 0 3  3 
3
1
3
Se facciamo il limite per n che tende ad infinito, si ottiene che la parte sottratta sarà:
  2 n 
lim 1      1
n  
  3  
Di conseguenza il perimetro della polvere si
Cantor, calcolata come lunghezza iniziale, pari
a 1, meno la somma delle parti sottratte, pari a
1, sarà pari a 0
Perimetro=1-1=0
Perimetro infinito
Dimostriamo l’essere infinito della lunghezza di un frattale
utilizzando la curva di Koch: andiamo a calcolare la
lunghezza della curva ottenuta a seguito dell’n-esima
iterazione e poi determiniamo il suo valore con n tendente
a infinito. Verificheremo che tale perimetro è infinito.
1. Si ha un segmento lungo 1 e lo si divide in 3 parti
congruenti. Si sostituisce il segmento centrale con 2
segmenti consecutivi della medesima lunghezza del
segmento tolto; la lunghezza della curva sarà
1 4
4  
3 3
2. Si ha ora una curva formata da 4 segmenti lunghi 1/3. Si divide ciascun segmento
in 3 parti congruenti e tolto il segmento centrale di ciascuno di essi lo si sostituisce
con 2 segmenti della medesima lunghezza del segmento tolto che è pari a 1/9; la
 1  16
lunghezza della curva sarà 4  4    
9 9
3. Se ha ora una curva formata da 16 segmenti lunghi 1/9. Si divide ciascun segmento
in 3 parti congruenti e tolto il segmento centrale di ciascuno di essi lo si sostituisca
con 2 segmenti della medesima lunghezza del segmento tolto che è pari a 1/27; la
 1  64
lunghezza della curva sarà 16  4    
 27  27
4. Si può notare che siamo di fronte ad una progressione geometrica di ragione q=4/3
e avente il primo termine a=1. Il termine generale della progressione, che
rappresenta la lunghezza della curva di Koch alla n-esima iterazione, è dato da
n
4
Pn    con n  0
3
5. Se facciamo il limite per n che tende ad infinito, si ottiene che la lunghezza della
linea frattale:
n
4
lim    
n   3
 
Da notare la presenza di una lunghezza infinita
compresa fra 2 punti, cioè all’interno di un
“segmento finito”.
Area finita
Calcoliamo ora l’area di un frattale il cui perimetro è infinito quale il fiocco di Koch, ottenuto
unendo 3 curve di Koch.Verrebbe spontaneo ipotizzare un area anch’essa infinita; invece
tale area è finita: è pari a 8/5 dell’area del triangolo equilatero inizialmente considerato.
Indichiamo con S0 l’area del triangolo equilatero iniziale, avente lato l0.
1
1
1. Si formano 3 triangoli, ciascuno di lato pari a l1  l 0 e quindi di area S 0 ; per cui
3
9
1
1
l’area dei tre triangoli è pari: S1  3  S 0  S 0
9
3
1
1
2. Nella iterazione successiva si formano 3×4 triangoli di lato l 2  l1  l 0 e quindi di
3
9
4 1
 1
 12
1
area pari a 2 S 0 . Per cui l’area totale sarà pari a S 2  3  4   2 S 0   2 S 0   S 0
9 3
9
 9
9
1
1
3. Al passo successivo si formano 3×42 triangoli dilato pari a l3  l 2 
l 0 e quindi di
3
27
2
1
 1 
area pari a   S 0  3 S 0 ; l’area totale della figura così ottenuta sarà pari a
9
 27 
2
 1
 48
4 1
S3  3  4   3 S0   3 S0     S0
9
 9
9 3
Ci troviamo nuovamente di fronte ad una progressione geometrica, questa volta di
ragione q=4/9 calcolabile come rapporto tra due termini consecutivi della
progressione.
2
48
S0
3
S
4
q 3  9

12
S2
9
S0
2
9
Se calcoliamo la somma Sn dei primi n termini della progressione e poi facciamo il
limite per n che tende a infinito, troveremo un’area finita:
2
2

1
4 1
1  4 4
4 1
Sn  S 0  S 0   S 0     S 0  .....  S 0  S 0 1      .........

3
9 3
3  9  9 
9 3

n
4
1  
n
1
1
9  4 
9

Sn  S 0  S 0 
 S 0  S 0  1    
4
3
3
5   9  
1
9
n

1
9   4  
1
9 8


lim S n  lim S 0  S 0  1       S 0  S 0   S 0
n  
n  
3
5   9   
3
5 5



Area nulla
Al fine di dimostrare l’area nulla di un frattale
è bene avvalersi del triangolo di Sierpinki;
ipotizzando che il triangolo iniziale abbia area
pari a 1, dimostriamo che la somma delle
parti sottratte è anch’essa pari a 1, ovvero
l’area iniziale.
1. Si divide il triangolo di area 1 in 4 parti
congruenti e si sottrae il triangolino
centrale; l’area della parte sottratta
sarà pari a1/4
2. Si divide ciascuno dei tre triangoli neri rimasti in 4 triangoli congruenti e si sottrae il
triangolo centrale; esso avrà un’area, uguale a quella dei tre triangolini neri rimasti,
pari a ¼ dell’area del triangolo da cui è stato tolto, cioè avrà un’area pari a 1/16.
1
1 1 3
L’area totale delle parti (bianche) sottratte è pari a  3     
4
 16  4 16
3. Si divide ora ciascun triangolo nero di area 1/16 in 4 triangoli congruenti e si sottrae
il triangolo centrale; esso avrà un’area, uguale a quella dei tre triangolini neri
rimasti, pari a ¼ dell’area del triangolo da cui è stato tolto, cioè avrà un’area pari a
1 1 1
  
. L’area totale delle parti (bianche) sottratte è pari a
4  16  64
1 3
9
 1  1 3
  9    
4 16
 64  4 16 64
4. Si ha di fronte la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione
q=3/4e primo termine a=1/4. Calcoliamo la somma dei primi n termini della
progressione:
n
3
1  
k
n
1 3
9
1  3 9
1
4
 n 1 3
3

Sn   
 .......   1    ....       
 1  
3
4 16 64
4  4 16
4
 k 0 4  4 
4
1
4
Se facciamo il limite per n che tende ad infinito, si ottiene che la parte sottratta sarà:
  3 n 
lim 1      1
n  
  4  
Di conseguenza l’area, calcolata come area iniziale, pari a 1, meno la somma delle
parti sottratte, pari a 1, sarà pari a 0. Area  1  1  0
La dimensione frazionaria e la nozione di dimensione di Hausdorff
Altra caratteristica dei frattali, nonché spiegazione e/o risultato delle
caratteristiche precedentemente citate è quella di esistere in dimensioni
proprie. Prima di procedere è opportuno definire cosa si intende per
dimensione.
Generalizzando, si può affermare che la dimensione topologica di uno
spazio, equivale al numero di coordinate necessarie per identificare al
suo interno la posizione di un oggetto. Un punto, per essere individuato
all’interno di un punto, non necessita di coordinate;un punto per essere
individuato all’interno di un segmento ha bisogno di 1 coordinata
(ovvero la lunghezza), in una figura piana 2, in un solido 3… ed in un frattale?
Per poterlo definire bisogna definire la
dimensione di un oggetto attraverso la
nozione di dimensione di Hausdorff ovvero:
log( N )
d
log( S )
con d la dimensione di appartenenza, N il
numero di parti auto simili in cui l’oggetto
viene diviso, S il fattore di scala per cui
bisogna moltiplicare ciascuna delle parti per
sovrapporla al tutto.
Si prenda ad esempio un cubo e lo si divida
attraverso
l’intersezioni
di
3
piani
perpendicolari passanti per i punti medi
degli spigoli. La scala di riduzione S è
dunque 2 mentre il numero di parti in cui è
stato diviso N è 8. si calcoli d=log8/log2. Si
ottiene come risultato 3 che è la dimensione
di appartenenza di un cubo.
Si calcoli ora la dimensione di appartenenza de ‘’la polvere di Cantor’’: abbiamo 2
segmenti di lunghezza l/3 a una distanza l/3 tra di loro.
Da ciò N=2 e S=3 e d= log(2)/ log(3) =0.63093...
Verifichiamo eseguendo i calcoli che la dimensione a cui appartiene non è intera ma bensì
una dimensione frazionaria e pure irrazionale! Essendo i frattali figure porose , intermedie
tra 2 dimensioni,presentano la forma più simile alla dimensione superiore, ma
caratteristiche della minore. Da ciò è facile dedurre che il triangolo di Sierpinski si trovi tra
la 1 e la 2 dimensione, essendo più di una linea ma meno di una figura piana.
FRATTALI PLATONICI
Ogni solido platonico può essere trasformato in un frattale platonico, trasformando le sue
facce in frattali. Per ottenere un Triangolo di Sierpinki si prende un triangolo equilatero
ABC, si uniscono i punti medi di ciascun lato, ottenendo 4 triangoli simili, e poi si elimina
quello centrale; si procede nello stesso modo per ciascun triangolo generato, e si itera
questo processo ad ogni triangolo neo–generato. Allo stesso modo si può ottenere un
Tetraedro di Sierpinki, operando in un analogo modo nello spazio: si divide il tetraedro in
tetraedri simili, si rimuove quello centrale e si itera questo processo per ciascun teraedro
neo-generato.
La spugna di Menger (cubo frattale) non è altro che la trasposizione tridimensionale del
tappeto di Menger.
Si può procedere in modo analogo con gli altri solidi platonici, ottenendo ottaedri, icosaedri
e dodecaedri frattali (nelle immagini in successione).
GIOCO DEL “CAOS”
Vi proponiamo un ‘’divertente’’ modo di svagarsi con i frattali: si disegnino 3 punti non
allineati su un foglio e si assegnino a ciascuno di essi 2 numeri da 1 a 6. Ora si segni un
punto P interno al triangolo risultante. Si lanci un dado a sei facce e si segni i punto medio
tra il punto P e il vertice corrispondente al numero uscito. Si lanci nuovamente il dado e si
proceda similmente con il punto appena tracciato … Buon divertimento!