Ragionamenti probabilistici contro trappole logiche

Pigreco-Day 14 marzo 2014
Matematica e Incertezza
Imparare a conoscere i possibili errori che si commettono in situazioni di incertezza
per evitare di fare scelte sbagliate e dare giudizi errati.
Pasquini Ilaria 5a sez. A
Melchiorre Simone 5a sez. C
Liceo Scientifico “G. Galilei” Lanciano
TEORIA DELLA PROBABILITA’
CONDIZIONALE
ESEMPIO 1)
A = UN UOMO E’ MALATO DI MENTE
B = UN UOMO CREDE CHE SUA MOGLIE GLI LEGGA NEL PENSIERO
P(A|B)= PROBABILITA’ CHE SE
P(B|A)= PROBABILITA’ CHE SE
UN UOMO CREDE CHE SUA MOGLIE GLI
LEGGA NEL PENSIERO, EGLI SIA MALATO
DI MENTE
UN UOMO E’ MALATO DI MENTE, EGLI
CREDA CHE SUA MOGLIE GLI LEGGA NEL
PENSIERO
ESEMPIO 2 )
A = IL FIDANZATO MENTE SULLE SUE ATTIVITA’ SERALI
B = IL FIDANZATO HA UNA RELAZIONE EXTRACONIUGALE
P(A|B)= PROBABILITA’ CHE SE
P(B|A)= PROBABILITA’ CHE SE
UN FIDANZATO HA UNA RELAZIONE, EGLI
MENTA SULLE SUE ATTIVITA’ SERALI
UN FIDANZATO MENTE SULLE SUE
ATTIVITA’ SERALI, EGLI ABBIA UNA
RELAZIONE
RAGIONAMENTO DELLA FIDANZATA la probabilità che il mio fidanzato menta sulle sue
attività serali è più alta se ha una relazione extraconiugale, quindi IL MIO FIDANZATO HA
UNA RELAZIONE EXTRACONIUGALE
HA CONFUSO LE DUE PROBABILITA’ !!
come cambia la probabilità
di un evento se è preceduto
da condizioni
1) Problema delle figlie
MA come
CONDIZIONE
UNA E’
FEMMINA
1
3
2) Problema della bambina di nome Rebecca
= Rebecca
MA come
CONDIZIONE
UNA SI CHIAMA
REBECCA
1
2
3) Test per l’HIV e errori medici
Lei è risultato positivo al test dell’HIV, ha 9990 possibilità su
10000 di morire entro 10 anni.
!
Il medico NON sta riferendo una STATISTICA
errata, MA ciò che sta riferendo NON è
CONSONO alla SITUAZIONE
10 su 10000 sono i campioni di sangue positivi al test dell’HIV che in realtà non
sono affetti da HIV.
Il medico sta facendo CONFUSIONE
A : Non sono realmente sieropositivo
B : Sono positivo ai test
P(A|B) ≠ P(B|A)
-Analizziamo la situazione
1) Definiamo lo spazio campionario
-Uomini bianchi eterosessuali
2) Individuiamo le 4 categorie in cui può essere diviso lo spazio campionario
a. Positivi al test e sieropositivi (veri positivi)
b. Positivi al test e non sieropositivi (falsi positivi)
c. Negativi al test e sieropositivi (falsi negativi)
d. Negativi al test e non sieropositivi (veri negativi)
3) In un gruppo di 10000 persone nel 1989
a. 1 su 10000 è sieropositivo e positivi al test
b. 10 su 10000 (della slide precedente) falsi positivi
c. 0 su 10000 falsi negativi
d. 9989 su 10000 sono sani
Tra tutti i coloro risultati positivi al test(10+1=11 su 10000) solo 1 su 11 è realmente
affetto dall’HIV.
Il dottore non avrebbe dovuto dire che il paziente aveva 9990 possibilità di morire su 10000 ma
avrebbe dovuto dire che anche se positivo al test aveva 10 possibilità su 11 di essere comunque
sano
Per valutare la validità di un test dobbiamo considerare la reale incidenza della malattia
NB. In un test il tasso di falsi positivi è costante
In un gruppo sociale troviamo:
1) MASCHI BIANCHI
ETEROSESSUALI
2) MASCHI BIANCHI
OMOSESSUALI
1/10000 vero positivo
10/10000 falsi positivi
100/10000 vero positivo
10/10000 falsi positivi
1 su 11 possibilità
di essere malati
10 su 11 possibilità
di essere malati
4) Bayes in tribunale
La probabilità che i due bambini siano morti di
SIDS è 1 su 73milioni, dunque lei è accusata di
duplice omicidio
!
Si presenta un’altra volta un errore di
INVERSIONE.
L’avvocato sta facendo confusione
A: bambini affetti da SIDS
B: bambini morti
P(A|B) ≠ P(B|A)
Qualche anno dopo… la ROYAL STATISTICAL SOCIETY affermò che la sentenza non era basata su
dati statistici esatti infatti:
-la PROBABILITA’ che 2 fratelli (e non due estranei) muoiano di SIDS è più alta di 1 su
73 milioni
-tale probabilità risulta essere 9 volte superiore a quella che 2 fratelli siano stati uccisi
dalla madre
5) Torniamo all’inizio
Applichiamo il TEOREMA DI BAYES per risolvere il problema di MONTY HALL
-consideriamo i 3 scenari possibili se il giocatore non cambiasse e quelli se egli cambiasse ogni
volta
Scegli una porta
Scegli una porta
con la capra
Scegli una porta
con la capra
Scegli una porta
con la macchina
non
cambi
cambi
non
cambi
cambi
non
cambi
cambi
Vinci la
capra
Vinci
l’auto
Vinci la
capra
Vinci
l’auto
Vinci
l’auto
Vinci la
capra
1
3
2
POSSIBILITA’ DI VINCITA
3
SE
NON CONSIDERIAMO LE PREMESSE
50 e 50…?
Dopo che il conduttore apre una porta
rimangono solo 2 porte dunque ho
apparentemente il 50% di probabilità
di vincere
SE
CONSIDERIAMO LE PREMESSE
- il conduttore fa scegliere una porta
- Il conduttore apre una porta perdente
- il conduttore offre il cambio della porta
Dopo che il conduttore apre una porta
perdente rimangono solo 2 porte e se
cambio, le probabilità di vincita sono
del 66%.
Spunti e informazioni tratti
da: Leonard Mlodinov,
“La Passeggiata dell’Ubriaco –
Le leggi scientifiche del caso,”