1 Errata corrige p. 9 esercizio 5. Modificare testo dell`esercizio come

1
Errata corrige
◦ p. 9 esercizio 5. Modificare testo dell’esercizio come segue:
Dati una retta r e un punto P , esistono infiniti piani per P paralleli a r: si tratta
dei piani che contengono la retta s per P che è parallela a r. Per parametrizzare
tali piani, si fissi nel piano per P perpendicolare a s la circonferenza Γ con
centro in P e raggio 1. A ogni punto Q della circonferenza si associ il piano
H che contiene Q e la retta s. Si mostri che in questo modo si ottiene una
corrispondenza 2 a 1 fra la circonferenza Γ e l’insieme dei piani per P paralleli
a r.
◦ p. 10 riga 5 del secondo paragrafo: misurare
◦ p. 67 esercizio 42.c: sostituire dalla circonferenza con da una semicirconferenza:
I piani del fascio sono parametrizzati da una semicirconferenza √
di raggio uno nel
piano (λ, µ) (suggerimento: dividere l’equazione del fascio per λ2 + µ2 ).
◦ p. 91 riga -4: meno
◦ p. 107 La soluzione dell’esercizio 2.b è errata, correggere come segue
b) Sistemiamo la prima colonna: sommiamo alla seconda riga il triplo della
prima, sottraiamo alla terza il doppio della prima e sottraiamo alla quarta riga
il triplo della prima:
IIR → IIR + 3IR
IIIR → IIIR − 2IR
IVR → IVR − 3IR

1 2
0 2

0 −2
0 4
1
−1
1
0

0
3
3
9 
;
−3 −12
3
−8
procediamo con la seconda colonna, sommiamo alla terza riga la seconda e
sottraiamo alla quarta il doppio della seconda:
IIIR → IIIR + IIR
IVR → IVR − 2IIR

1
0

0
0
2
2
0
0
1
0
−1 3
0
0
2 −3

3
9 
;
−3 
−26
scambiamo infine la terza e quarta riga:
IVR → IIIR
IIIR → IVR

1
0

0
0
2
2
0
0
1
0
−1 3
2 −3
0
0
◦ p. 117 Risposta 23.b il sistema non ha soluzioni

3
9 
.
−26
−3
2
◦ p. 117 esercizio 24.a correggere la risposta: Per scrivere le soluzioni in forma
vettoriale sostituiamo la variabile libera x5 con un parametro t. Troviamo

 
 

x1 = 2 + t

2
1



−1

2
x2 = 2 − t
 
 

 
x=
x3 = 1 − 2t
1 + t −2 .




 0
0

x4 = 0



0
1
x = t
5
◦ p. 117 cancellare esercizio 24 b (coincide col 25)
◦ p. 118 esercizio 25 correggere la risposta:
Posto t1 := x4 , t2 := x5 e t3 := x6 , la soluzione è

 
 
 

x1 = −9t1 + t2 + 13t3
13
1
−9



x2 = 5t1 + t2 − 5t3

−5
 5
1


 
 
 
x = 2t + t − 4t
1
−4
 2
3
1
2
3





x = t1   + t2   + t3 
 0 .
0
1

x
=
t
4
1









 0
1
 0


x
=
t
5
2


0
1
0

x6 = t3
◦ p. 134 Proposizione 5.2.a Il carattere tipografico delle matrici dev’essere in
grassetto (A cinque volte e B tre volte)
◦ p. 135 Ultima riga dell’esempio: ...dipendono da 3 parametri.
◦ p.183 Primo esempio: è necessario assumere che V abbia dimensione finita
◦ p. 201 esercizio 59: nella matrice aumentare lo spazio tra la prima e la seconda
colonna come nell’eserciziario
◦ p. 201 esercizio 61: modificare il testo (il suggerimento va lasciato)
Siano A e B due matrici per cui il prodotto AB è definito. Mostrare che
r(AB) ≤ r(A) (con uguaglianza se B è invertibile) e r(AB) ≤ r(B) (con uguaglianza se A è invertibile). In particolare, se si moltiplica una matrice a destra
o a sinistra per una matrice invertibile si ottiene una matrice di ugual rango.
◦ p. 202 esercizio 65 errata soluzione di γ: γ
[
◦ p. 211 Riduzione a scala della matrice P
riga





1 2 3 0
1 2
3 0
1
3 1 4 5
0 −5 −5 5
0





4 1 3 5 → 0 −7 −9 5 → 0
4 2 5 5
0 −6 −7 5
0
= 48/19.
]
Q : correggere come segue la prima
2
1
0
0


3
0
1
0
1 −1
→
0
−2 −2
−1 −1
0
2
1
0
0
3
2
1
0
◦ p. 233 Dimostrazione: Nella 3◦ uguaglianza c’è un v1 al posto di un v2.

0
1
=U
1
0
3
◦ p. 240 prima riga dell’equazione (5.3): sostituire v1 , . . . vn con b1 , . . . bn
◦ p. 246 (primo paragrafo) l’angolo α è definito come segue: se la retta r ha
equazione y = mx, allora α = artg(m) ∈ (−π/2, π/2] (quindi α = π/2 quando r
è l’asse y)
◦ p. 250 Proposizione 5.5 riga 4 dell’enunciato sostituire C2 con B1
◦ p. 253 esercizio 29b (sommatoria alla fine del suggerimento). L’indice della
sommatoria deve essere k (invece di i).
◦ p. 257 Esercizio 36 suggerimento: il rango è 1. La frase: Determinarne una base
del nucleo va spostata nel corpo dell’esercizio
◦ p. 258 esercizio 41: sostituire isomorfismo due volte come segue:
Inoltre, se M è iniettiva, allora r(M ◦ L) = r(L), e se L è suriettiva, allora
r(M ◦ L) = r(M).
◦ p. 264 alla fine del primo paragrafo aggiungere cf. osservazione all’inizio di p.
401
◦ p. 287 ci sono diversi errori di stampa, correggere come segue
Caso d = 3
=
=
=
=
1 x1 x21 1 x2 x22 = (sottraggo la prima riga alle altre)
1 x3 x23 1
x1
x21 0
x2 − x1
x22 − x21 = (Laplace rispetto alla prima colonna)
0
x3 − x1
x23 − x21 x2 − x1
x22 − x21 = (sottraggo alla seconda colonna la prima moltiplicata per x1 )
x3 − x1
x23 − x21 x2 − x1
x2 (x2 − x1 )
= (linearità nella prima e seconda riga)
x3 − x1
x3 (x3 − x1 )
1 x2 = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )
(x2 − x1 )(x3 − x1 ) 1 x3 4
Caso d = 4
1 x1 x21 x31 1 x2 x22 x32 1 x3 x23 x33 = (sottraggo la prima riga alle altre)
1 x4 x24 x34 1
x1
x21
x31 0
x2 − x1
x22 − x21
x32 − x31 = = (Laplace rispetto alla prima colonna)
2
2
x3 − x1
x3 − x1
x33 − x31 0
0
x4 − x1
x24 − x21
x34 − x31 x2 − x1
x22 − x21
x32 − x31 (sottraggo alla terza colonna la seconda
2
2
x3 − x1
x33 − x31 =
= x3 − x1
moltiplicata per x1 )
x4 − x1
x24 − x21
x34 − x31 x2 − x1
x22 − x21
x22 (x2 − x1 )
(sottraggo alla seconda colonna la prima
2
2
x3 − x1
x23 (x3 − x1 ) =
= x3 − x1
moltiplicata per x1 )
x4 − x1
x24 − x21
x24 (x4 − x1 )
x2 − x1
x2 (x2 − x1 )
x22 (x2 − x1 )
x
−
x
x
(x
−
x
)
x23 (x3 − x1 ) = (multilinearità nelle righe)
= 3
1
3 3
1
x4 − x1
x4 (x4 − x1 )
x24 (x4 − x1 )
= (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x4 − x1 ) det(V(x2 , x3 , x4 )) =
= (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x4 − x1 )(x3 − x2 )(x4 − x2 )(x4 − x3 ) =
∏
(xj − xi ).
1≤i<j≤4
◦ p. 266 esercizio 2 riga 1 del suggerimento: eliminare parentesi in t).
◦ p. 297 riga prima della formula per la derivata del determinante: regola analoga
alla regola di Lebniz
◦ p. 309 riga -2: al posto di B sostituire S−1 AS
◦ p. 323 riga 1: cosa significa che una matrice generica ha autovalori distinti?
2
significa che esiste un aperto denso U ⊆ Cn (nel caso n = 2, il complementare del
chiuso definito dall’equazione ∆ = 0) con la proprietà che una matrice A = [aij ]
ha autovalori distinti se il vettore di componenti aij appartiene a U .
◦ p. 327 Definizione 4.12: nella formula che definisce Jn (a) sostituire m con n.
Inoltre porre J1 (a) = [a].
◦ p. 331 riga 2 dopo la definizione 5.1: al posto di rispetta sostituire rappresenta
◦ p. 338 riga -5: mediante una matrice di passaggio
◦ p. 340: in questa pagina la notazione è contraddittoria: nella formula che definisce Jm (λ), l’indice in basso m denota l’orinde della matrice, mentre nella
successiva definizione 6.1 l’indice in basso in Jh serve semplicemente a elencare
i diversi blocchi della matrice.
5
◦ p. 342: ultima riga Osservazione dopo Definizione 6.3:manca un indice d:
wk = (T − λI)d−k wd
◦ p. 345 riga 2 L’esponente è sbagliato. Correggere cosı̀:
Sia d l’indice di v1 , cioè l’intero d tale che (T − λ1 I)d v = 0 e (T − λ1 I)d−1 v ̸= 0.
◦ p. 353 Teorema 6.13: eliminare le doppie parentesi tonde
◦ p. 359 esercizio 46: eliminare suggerimento
◦ p. 360 esercizio 64. Deve essere e > 0.
◦ p. 369 esercizio 1 riga 2: sostituire versori ortogonali a con versori diretti come
◦ p. 371: riga 4 dimostrazione: al posto di c − b sostituire v − c; riga -4: cioè un
multiplo scalare di b.
◦ p. 388 esercizio 21: sostituire il testo dell’esercizio come segue
Nel piano cartesiano, si considerino una rotazione L1 e una riflessione ortogonale
L2 , entrambe lineari. Mostrare che le trasformazioni L2 ◦ L1 e L1 ◦ L2 sono
entrambe delle riflessioni lineari. Calcolare il coefficiente angolare degli assi di
tali riflessioni in funzione dell’angolo di rotazione di L1 e del coefficiente angolare
dell’asse di L2 (fare il disegno).
◦ p. 393: righe -6 e -7 aggiungere una virgola nel prodotto scalare tra v e bk (3
volte).
◦ p. 404 esercizi 30: sostituire il testo come segue:
2
Sia V lo spazio delle funzioni continue
{ su [−1,
} 1] con la norma L . Sia H il sot2
tospazio di V generato dai polinomi 1, x, x . Trovare la proiezione ortogonale
di sin(πx) su H, e calcolare la distanza di sin(πx) da H.
◦ p. 404 esercizio 31: sostituire il testo come segue:
In R3 si consideri il prodotto scalare
⟨x, y⟩ = x1 y1 + 2x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 + 2x3 y3 .
Applicare l’algoritmo di Gram-Schmidt ai vettori della base canonica per ottenere una base di R3 ortogonale rispetto a questo nuovo prodotto scalare.
◦ p. 416 righe 3-4 del paragrafo 8: la radice quadrata della somma dei quadrati
◦ p. 421 formula (8.5) ricordare che perché la formula sia valida i bk devono
formare una base ortogonale di H. La formula non è valida se i bk non sono a
due a due ortogonali.
◦ p. 429 esercizio 55: alla retta r di equazione y = tg(α)x.
◦ p. 432: all’inizio del paragrafo 2 (teorema spettrale) è scritto che tutte le matrici
del paragrafo sono reali; questo va però ricordato negli enunciati. Quindi in
Proposizione 2.2, Prop 2.3, Corollario 2.5 e 2.6 scrivere matrice simmetrica reale
6
◦ : p. 440 esercizio 13. Correggere testo come segue:
Sia A una matrice diagonalizzabile e sia λ un autovalore di A. Mostrare che
λ2 è un autovalore di A2 e che l’autospazio di A2 relativo a λ2 coincide con
l’autospazio di A relativo a λ se −λ non è un autovalore di A, e con la somma
degli autospazi di A relativi a λ e −λ se −λ è un autovalore di A. Mostrare che
questo non è necessariamente vero per una matrice non diagonalizzabile.
◦ p. 443 all’esempio della differenziale secondo, va aggiunto l’esempio non meno
fondamentale della covarianza
◦ p. 451 Teorema 3.7 punto b): principali
◦ p. 460 Nella definizione della seconda forma fondamentale c’è un errore: occorre
che n sia un versore. Sostituire quindi n = v1 × v2 con
n=
v1 × v2
||v1 × v2 ||
◦ p. 461 Esercizio 18 duplica esercizio 17, correggere testo esercizio 18 come segue
Determinare un cambiamento di variabili che diagonalizzi la forma quadratica
dell’esercizio 17.
◦ p. 491 Teorema 7.5 riga 3: un polinomio di secondo grado nelle variabili
x1 , . . . , xn a coefficienti reali.
◦ quarta di copertina: professore associato di Geometria