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Economia Politica a.a. 2015-2016 - Prof. Andrea Imperia
Nota didattica 1: l'operatore di sommatoria
Consideriamo una generica matrice quadrata n x n (composta cioè da n righe ed n
colonne):
x 1 1 ... x 1 2 ... x 1 i ... x 1 n
x 2 1 ... x 2 2 ... x 2 i ... x 2 n
... ...... ...... ... ...... ...
x i 1 ... xi 2 ... x i i ... xi n
... ...... ...... ... ...... ...
x n 1 ... x n 2 ... x n i ... x n n
Il generico elemento di tale matrice, appartenente alla riga i-esima e alla colonna j-esima
si indica con il simbolo: x i j . Il primo dei due pedici indica la riga cui appartiene
l'elemento, mentre il secondo ne indica la colonna.
Supponiamo di voler sommare gli elementi della riga i-esima e di voler esprimere tale
somma in forma compatta attraverso l'operatore di sommatoria.
Osserviamo che gli elementi da sommare sono in numero n; essi hanno in comune il
primo dei due pedici, che indica appunto l'appartenenza alla riga i-esima, mentre il
secondo pedice assume tutti i valori interi tra 1 ed n (un numero naturale maggiore di 1),
ad indicare le diverse colonne della matrice cui appartengono gli elementi della riga iesima:
x i 1 ... x i 2 ... x i i ... x i n
Scriviamo ora
n
∑ xi j
j=1
Tale simbolo si legge ''sommatoria per j che va da 1 ad n degli x i j '' .
Verifichiamo che esso esprima effettivamente la somma di tutti gli elementi della riga iesima. Come abbiamo detto, il pedice j deve assumere tutti i valori interi compresi tra 1 ed
n. Quando j assume il valore 1 x i j diventa x i 1 , quando j assume il valore 2 x i j
diventa x i 2 e così via. Quando j assume l'ultimo valore, pari ad n, x i j diventa x i n .
Dunque possiamo scrivere:
n
∑ xi j =x i 1+ xi 2+...+ xi n
j=1
Analogamente, la somma degli elementi della matrice che appartengono alla colonna iesima può essere espressa in forma compatta nel modo seguente:
n
∑ x j i=x 1 i+ x 2 i+...+ x n i
j=1