il quinto postulato di euclide, nuovo assioma della geometria ellittica

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I L Q U IN TO PO STU LATO D I EU CLID E , N U O V O ASSIO M A D E LL A GEO M ETR IA E LLITTICA
FR A N CO R U P EN I
IN TR O D U ZIO N E
Nella geometria di Euclide il Quinto Postulato Se due rette sono convergenti allora esse s’incontrano è vero esattamente
come il moderno Assioma delle Parallele P er un punto esterno ad
a d una retta data passa una e una sola retta parallela.
parallela
Nella geometria ellittica vale l’Assioma di Riemann N on esistono
esisto no rette parallele,
parallele ovvero tutte le rette si incontrano;
il Quinto Postulato Q , pertanto, è banalmente vero. Eppure non pochi matematici rigettano questa palese verità,
in primis quelli che sostengono l’equivalenza logica tra Q e l’Assioma delle Parallele il quale, invece, è
palesemente falso nella geometria ellittica.
Con riferimento a particolari sistemi assiomatici, in queste pagine si dimostrerà che:
– Q non è logicamente equivalente all’Assioma delle Parallele;
– Q è logicamente equivalente all’assioma P er un punto esterno ad
a d una retta data passa al più una retta parallela;
parallela
– Q è addirittura logicamente equivalente all’Assioma di Riemann.
Dopo ventitré secoli il Quinto Postulato di Euclide fa ancora discutere di sé e fa valere le sue ragioni: si ribella,
sfratta l’abusivo Assioma delle Parallele, pesta i piedi per confermare la sua verità nella geometria ellittica, in cui
si impone come nuovo assioma, rimpiazzando quello di Riemann.
*
*
*
Il Quinto Postulato ed altri importanti enunciati saranno espressi nel linguaggio della Logica dei Predicati,
applicato allo studio delle relazioni tra esistenza ed unicità degli enti matematici ed alla teoria geometrica delle
parallele. Se il lettore cercherà nel testo qualche rappresentazione grafica del problema della parallela (quante sono
le rette parallele che si possono condurre per un punto P esterno ad una retta r?) non la troverà per la semplice
ragione che di rette parallele ce ne possono essere una, nessuna o più d’una, a seconda che ci si collochi nella
geometria euclidea, ellittica o iperbolica. Troverà, invece, i geroglifici della Logica Predicativa, che, meglio di
qualsivoglia disegno, riescono a cogliere le relazioni logiche tra i diversi enunciati geometrici collegati col
Quinto Postulato.
Per una migliore comprensione del testo si consiglia l’utilizzo di B R E V E G U ID A ALL A L ETTU R A da integrare
con N O ZIO N I D I LO GICA PR ED ICATIV A in coda al testo. Lo SCH E M A RIA SSU N TIVO D E G LI E N U N CIA TI
contiene gli enunciati geometrici significativi del testo. Il lettore potrà trascurare le parti scritte a caratteri
tipografici più piccoli (dimostrazioni dei teoremi e note a piè di pagina) in quanto non essenziali ai fini della
comprensione del testo. Per completamenti e approfondimenti teorici si rinvia alla B IB LIO G R A FIA .
R IN GR AZIAM EN TI
Un affettuoso ringraziamento a Sergio Keller e a Dario Russo, che con pazienza e costanza hanno accompagnato
questo lavoro, dalle prime discussioni alla ricerca dei testi originali, nonché alla redazione definitiva.
Ringrazio il prof. Gino Tironi che mi ha trasmesso la passione per la Logica e mi ha manifestato, anche in questa
occasione, una fiducia amichevole ed incondizionata.
Franco Rupeni
IN TR O D U ZIO N E
B R EV E G U ID A ALL A L ETTU R A
Due rette sono parallele se non si incontrano e sono coortogonali se hanno una perpendicolare comune.
Esprimiamo in linguaggio predicativo alcune formule ed enunciati geometrici. Ad esempio, per affermare che:
- la retta x passante per il punto P esterno alla retta r è parallela a r, si scrive x è parallela oppure p x
- la retta x passante per il punto P esterno alla retta r è coortogonale a r, si scrive x è coortogonale oppure πx
- la retta x coincide con la retta y, si scrive la formula x=y
- la retta x è diversa dalla retta y, si scrive x≠y, abbreviazione di ¬(x=y)
- la retta x passante per il punto P non è parallela alla retta r, si scrive ¬p x
- tutte le rette x passanti per il punto P non sono parallele alla retta r, si scrive ∀x¬p x
- esiste almeno una retta x passante per il punto P parallela alla retta r, si scrive ∃xp x
- non esiste alcuna retta x passante per il punto P parallela alla retta r, si scrive ¬∃xp x
- per tutte le rette x, se vale πx allora vale p x, si scrive ∀x(π
πx→p x)
- per tutte le rette x , se non vale πx allora non vale p x, si scrive ∀x(¬π
πx→¬p x)
- esiste una retta x per cui vale p x e non vale πx, si scrive ∃x(p x∧¬π
πx)
I due V A LORI D I V E RITÀ sono V vero, F falso.
I due QU AN TIFICATORI ∀, ∃ agiscono sulle variabili x,y…
QUANTIFICATORE UNIVERSALE ∀ (per tutti): ∀xA è V se per tutti gli x A è V .
QUANTIFICATORE ESISTENZIALE ∃ (esiste): ∃xA è V se esiste un x per cui A è V .
I cinque CON N ETTIV I ∧, ∨, →, ↔, ¬ agiscono sugli enunciati A,B e formano enunciati:
CONGIUNZIONE ∧ (e): A∧B è V se A, B sono entrambi V , altrimenti è F .
DISGIUNZIONE ∨ (o): A∨B è F se A, B sono entrambi F , altrimenti è V .
IMPLICAZIONE → (se…allora…): A→B è F se A è V e B è F , altrimenti è V .
BIIMPLICAZIONE ↔ (se e solo se): A↔B è V se A e B sono entrambi F o entrambi V , altrimenti è F .
NEGAZIONE ¬ (non): ¬A è F se A è V , altrimenti è V .
SCH E M A RIA SSU N TIV O D E G LI E N U N CIA TI
NOM E
U
¬U
U / J POSTULATO IPERBOLICO
E / PROPOSIZIONE 31
¬E
E /R
R ASSIOMA DI RIEMANN
UE
¬U
UE
POSTULATO I
A POSTULATO II
¬A
A /C
POSTULATO III
POSTULATO IV
PROPOSIZIONE 28
Q POSTULATO V
¬Q
Q / ¬29
29
PROPOSIZIONE 29
L LEMMA
FO R M A LO GICA
∀x∀y(p x∧p y→x=y)
∃x∃y(p x∧p y∧x≠y)
∃xp x
¬∃xp x
E ∧U
U
¬E
E ∨¬U
U
Incidenza
O rdinamento lineare
O rdinamento ciclico
Congruenza segm enti ed angoli
Congruenza angoli retti
∀x(π
πx→p x)
∀x(¬π
πx→¬p x)
∃x(p x∧¬π
πx)
∀x(p x→π
πx)
∀x(π
πx→¬p x)
SIGN IFICATO
Se x e y sono parallele
parallel e allora x coincide con y
Esistono due rette parallele distinte
Esiste una parallela
Non esiste alcuna parallela
La parallela esiste ed è unica
La parallela non esiste o non è unica
Esiste una retta passante per due punti
La retta prolungabile non ritorna su se stessa
La retta prolungabile ritorna su se stessa
Esiste il cerchio di centro e raggio prefissati
Tutti gli angoli retti sono uguali
Se x è coortogonale allora x è parallela
Se x non è coortogonale allora x non è parallela
Esiste una parallela non coortogonale
Se x è parallela allora x è coortogonale
Se x è coortogonale allora x non è parallela
A / B significa A, B equivalenti || ⇔D F significa equivalenza per definizione
⇔L significa equivalenza sintattica per la legge logica L || ⇔T significa equivalenza per il teorema T
Le parentesi quadre rinviano ai PARAGRAFI, alle LEGGI LOGICHE, alla BIBLIOGRAFIA e alle NOTE:
[2.3
2.3]
L 5 ] significa LEGGE LOGICA 5 , [44 , p.12] significa LIBRO 4 PAGINA 12
2.3 significa PARAGRAFO 2 , punto 3 ; [L
II
I L Q U IN TO PO STU LATO D I EU CLID E , N U O V O ASSIO M A D E LL A GEO M ETR IA E LLITTICA
0. PROLOG O
E sistenza E e unicità U di un ente m atem atico
0 .1 Esprimeremo nel linguaggio della Logica dei Predicati l’esistenza e l’unicità di un ente1
matematico soddisfacente una certa proprietà p x mediante i due enunciati E di esistenza ∃xp x
(esiste almeno un elemento x per cui vale p x) e U di unicità ∀x∀y(p x∧p y→x=y) (se due
elementi arbitrari soddisfano una data proprietà allora essi sono identici).
TE O R E M A 1
U significa che la proprietà p x è soddisfatta da al più
un elemento, ovvero p x vale per un solo elemento o per nessun elem ento.
ento
D im .:. La negazione dell’unicità U , cioè ¬∀x∀y(p x∧p y→x=y), è equivalente all’enunciato
∃x∃y(p x∧p y∧x≠y)2 il quale afferma l’esistenza di almeno due elementi distinti per cui vale p x.
Quindi per L 1 , legge logica della doppia negazione, l’enunciato di unicità U significa che la
proprietà p x sussiste al più per un elemento.
ESISTENZA E
UNICITÀ U
La proprietà p x vale per alm eno un elemento
La proprietà p x vale per al più un elemento
TE O R E M A 2 Per p x vale E o vale U , cioè la disgiunzione E ∨U
U è sempre vera.
D im .:
. Per p x sono possibili soltanto tre casi: (0) non c’è alcun x per cui vale p x; (1) c’è un solo x
per cui vale p x; (2) c’è più di un x per cui vale p x. Nel caso (0) E è falso e U è vero; nel caso (1) E
è vero e U è vero; nel caso (2) E è vero e U è falso. Pertanto, la disgiunzione E ∨U
U è sempre vera.
0 . 2 Per esprimere la congiunzione di esistenza e unicità E ∧U
U i matematici hanno coniato il
“quantificatore” ∃! con significato di esiste ed è unico ∃!xp x ⇔D F ∃xp x∧∀x∀y(p x∧p y→x=y).
Dato che “p x vale per almeno un elemento” e “p x vale per al più un elemento”, la
congiunzione di esistenza e unicità E ∧U
U significa che “p x vale per uno e un solo elemento”.
U E ⇔D F E ∧U
U
ESISTENZA E UNICITÀ
La proprietà p x vale per uno e un solo elemento
0 . 3 Come vedremo, i due enunciati U E , U vengono spesso confusi a causa dell’ambiguità di
significato del termine unicità, che secondo il senso comune significa U E e implica quindi che
l’ente in questione esiste, mentre secondo la logica significa U e non implica quindi che l’ente
in questione esiste.3
SCHEMA DI RIEPILOGO DEGLI ENUNCIATI E , ¬E
E , U , ¬U
U
E
¬E
E
U
¬U
U
∃xp x
¬∃xp x
esiste almeno un x per cui vale p x
non esiste x per cui vale p x
esiste al più un elemento per cui vale p x
esistono almeno due elementi distinti per cui vale p x
1 Qui e nel seguito l’enunciato ∃xp x esprime l’esistenza di un ente x che soddisfa una prefissata proprietà p x. Non si parlerà
mai dell’esistenza assoluta di x, che è uno pseudopredicato [14
14,
14 p.140], ma di esistenza relativa rispetto alla proprietà p x.
2 Sussiste infatti la seguente catena di equivalenze sintattiche [2.3
2.3]:
2.3 ¬∀x∀y(p x∧p y→x=y)) ⇔L 16 ∃x¬∀y(p x∧p y→x=y)) ⇔L 16
∃x∃y¬(p x∧p y→x=y)) ⇔L 9 ∃x∃y(p x∧p y∧x≠y), dove x≠y è abbreviazione di ¬x=y.
3 In [16
16,
16 pp. 301-302] l’Autore distingue tra i due significati di unicità, riservando U E alla matematica e U alla logica: «…un
postulato che afferma l’unicità della parallela afferma implicitamente anche la sua esistenza (anche se questa viene garantita
da qualche altra parte) cosicché, venuta meno l’esistenza, cade a maggior ragione la questione dell’unicità».Inoltre, in nota
precisa: «Dal punto di vista puramente logico, la non esistenza di rette parallele (ossia l’ASSIOMA di RIEMANN) implica
l’unicità della parallela: infatti, quest’ultima ha la forma: “se le rette a e b sono parallele alla retta r, allora a e b coincidono”
e, in assenza di rette parallele, è una proposizione vera, in quanto è un condizionale con antecedente falso.» [NOTA 31]
0 . 4 L’unicità U si può anche porre sotto forma di condizionale ipotetico E →U
U:
TE O R E M A 3
Se un elemento x per cui vale p x esiste allora esso è unico
U ⇔ E →U
U
D im .: U ⇔L3 (¬E
E ∧E
E )∨U
U ⇔L12 (¬E
E ∨U
U )∧(E
E ∨U
U ) ⇔T 2 ¬E
E ∨U
U ⇔L8 E →U
U
Nelle diverse teorie matematiche gli enunciati di esistenza e unicità si possono o assumere
come assiomi o dedurre come teoremi: nelle teorie algebriche, ad esempio, l’esistenza di un
elemento neutro è un assioma dal quale deriva il teorema della sua unicità, mentre nella
geometria euclidea piana è l’esistenza della retta parallela a una retta data passante per un
punto fuori di essa ad essere un teorema e la sua unicità un postulato.
0.5 Nel seguito il termine in corsivo parallela abbrevierà l’espressione “retta parallela a una
retta r arbitraria passante per un punto P arbitrario fuori di essa” e gli enunciati E , U
esprimeranno l’esistenza e l’unicità della parallela.
parallela L’arbitrarietà della retta r e del punto
esterno P resta assicurata dal PRINCIPIO DI OMOGENEITÀ DEL PIANO, secondo il quale ciò che
vale in una sua parte vale in ogni sua parte. A partire dal capoverso 3.4 il segno di predicato
p x esprimerà definitivamente la proprietà “x è parallela”.
parallela
G li enunciati geom etrici E , U , U E e il Q uinto Postulato Q
0 . 6 La definizione di Euclide di RETTE PARALLELE – due rette complanari prive di punti
comuni – esclude la possibilità che una retta sia parallela a se stessa. Nel LIBRO I degli
4
ELEMENTI, sulla base dei primi quattro POSTULATI, egli cercò verosimilmente di dimostrare il
QUINTO POSTULATO (logicamente equivalente all’unicità U [6.1
6.1]),
ma riuscì soltanto a
6.1
dimostrare l’esistenza E . Ciononostante la trasposizione attualmente più accreditata e diffusa
del QUINTO POSTULATO della geometria euclidea piana è l’enunciato U E che esprime invece, in
modo congiunto, l’esistenza e l’unicità, ossia la congiunzione E ∧U
U :5
UE
Per un punto esterno a una retta esiste ed è unica la retta parallela alla retta data
0 . 7 Euclide con la PROPOSIZIONE 31 del LIBRO I degli ELEMENTI dimostra il teorema E di
esistenza di (almeno) una parallela ma non fa affatto menzione della sua unicità. Il più famoso
postulato euclideo continua però a venir trasposto come congiunzione della PROPOSIZIONE 31 e
di un enunciato di unicità che Euclide non ha mai espresso. Perché?
Ecco la versione originale del POSTULATO V:6
4 POSTULATO I SIA ST A TO R IC H IE STO D I CO N D U R R E U N A L IN E A R E TTA D A O G N I PU N TO A O G N I PU N TO . POSTULATO II E D I PR O L U N G A R E
SE N Z A SO L U Z IO N E D I CO N TIN U IT À U N A R E TTA L IM ITA TA IN < L IN E A > R E T TA . POSTULATO III E C H E C O N O G N I CE N TR O E IN TE R V A L L O SIA
TR A CCIA TO U N CE R C H IO . POSTULATO IV E CH E TU T TI G L I A N G O L I R E TTI SIA N O U G U A L I TR A L O R O . I POSTULATI III e IV assicurano la
validità del PRINCIPIO DI OMOGENEITÀ DEL PIANO [0.5
0.5].
0.5 Il POSTULATO I esprime una condizione di semplice esistenza, tuttavia
l’uso che ne fa Euclide ammette implicitamente l’unicità: E siste ed è unica la retta passante per due punti distinti. Il suo
corollario Due rette si incontrano al più in un punto è l’enunciato di unicità Se il punto di incontro di due rette esiste allora
esso è unico. Naturalmente queste formulazioni in termini di esistenza e unicità riguardano il linguaggio della matematica
moderna, dato che Euclide negli ELEMENTI abbozzò il concetto di esistenza (in genere coincidente con quello di costruibilità)
e non accennò a quello di unicità [4.5
4.5]:
4.5 verosimilmente Euclide riteneva che la costruibilità degli enti geometrici mediante
“riga e compasso” ne assicurasse non solo l’esistenza, ma anche l’unicità.
5 Fino al PARAGRAFO 9 eviteremo le espressioni Assioma / Postulato di Playfair e Assioma / Postulato delle Parallele perché
con esse i diversi autori intendono sia U E che U . La letteratura a riguardo versa in uno stato confusione assoluta: nelle prime
tre edizioni dei Fondamenti della Geometria di David Hilbert l’Assioma delle Parallele è U E , nella quarta e successive è U .
L’importante questione sarà discussa e approfondita al PARAGRAFO 9 .
6 Il POSTULATO V, il POSTULATO II [1.5
1.5]
3.1;
1.5 e le PROPOSIZIONI [3.1
3.1 4.1;
4.1 4.3]
4.3 si riferiscono al LIBRO I degli ELEMENTI di Euclide e
sono ricavati da [11 , pp.781-825]: ciascuno di essi è seguito da una versione conforme alla terminologia geometrica corrente.
2
IL Q U IN TO PO STU LATO D I EU CLID E , N U O V O ASSIO M A D E LL A GEO M ETR IA E LLITTICA
Q (SIA STA TO RICH IE STO ) CH E , QU A LO RA U N A RE TTA CH E IN CID E SU D U E R E TTE FA CCIA M IN O RI D I D U E
RE TTI G LI A N G OLI A LL ’ IN TE RN O E D A LLA STE SSA PA RTE , LE D U E RE TTE PROL U N G A T E ILLIM ITA TA M E N TE
IN CID A N O D A LLA PA RTE IN CU I SO N O G LI A N G OLI M IN O RI D I D U E RE TTI
Q
SE DUE RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE FORMANO DA UNA PARTE DUE ANGOLI
CONIUGATI INTERNI CON SOMMA MINORE DI UN ANGOLO PIATTO ALLORA ESSE SI INCONTRANO
7
DALLA STESSA PARTE
A dispetto della complessità della formulazione, il postulato esprime il fatto intuitivo che due
rette convergenti nel semipiano di una trasversale devono incontrarsi nello stesso semipiano.
Perché allora si sostituisce Q con U E ? Formuliamo due ipotesi possibili:
1) U E sembra “più evidente” di Q e gli è logicamente equivalente nella geometria euclidea;8
2) U E sembra didatticamente efficace perché, rimpiazzato da ¬U
U E , permette di definire
facilmente le due geometrie non-euclidee ellittica e iperbolica:
¬U
UE
Per un punto esterno ad una retta
(a) non passa alcuna retta parallela o (b) passa più di una retta parallela
(a) definisce la geometria ellittica
(b) definisce la geometria iperbolica
Questo è senz’altro l’approccio più diffuso all’introduzione delle geometrie non-euclidee
perché la negazione di U E le fornisce entrambe in un’unica soluzione. In realtà, questa
presentazione semplificata è assolutamente fuorviante in quanto induce l’idea errata – e molto
diffusa – che nella geometria ellittica Q sia falso.
0 . 8 Si scopre invece, immediatamente, l’esatto contrario: dato che nella geometria ellittica
tutte le rette si incontrano, Q è banalmente verificato anche dalle due rette in esso nominate.
Una situazione drammatica: nella geometria ellittica U E è falso e il suo “logicamente
equivalente” Q è vero.
Il quinto postulato Q è vero nella geometria ellittica
0 . 9 U , a differenza di U E , afferma che c’è una sola parallela oppure nessuna parallela.
parallela
U
Per un punto esterno a una retta data passa al più una retta parallela.
S e una parallela esiste allora essa è unica
Pertanto ¬U
U fornisce, a differenza di ¬U
U E , la sola geometria iperbolica.
¬U
U
Per un punto esterno a una retta data passano alm eno due rette parallele
La negazione di U definisce la sola geometria iperbolica
I due enunciati U E ,U
U (analogamente alle rispettive negazioni ¬U
U E , ¬U
U ) hanno dunque
significati differenti: al PARAGRAFO 6 mostreremo che entrambi sono “logicamente
equivalenti” al QUINTO POSTULATO Q ma con accezioni diverse. Dal momento che la storia
degli enunciati Q , U , E , U E ricopre un arco temporale ampio, nei paragrafi 1 e 9 si farà
riferimento al periodo delle origini e dello sviluppo delle geometrie non euclidee.
7 In [15
15,
15 p.434] l’Autore evidenzia che la condizione “dalla stessa parte” è superflua: se le due rette convergenti si
incontrassero dalla parte opposta, nella geometria assoluta [1.1
1.1]
1.1 (e quindi anche nelle geometrie euclidea e iperbolica)
verrebbe contraddetta la PROPOSIZIONE 16 In un qualunque triangolo un angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno
non adiacente. La precisazione “dalla stessa parte” è superflua anche nella geometria ellittica dove c’è una parte sola a causa
del teorema Il piano ellittico non è diviso da una retta in due semipiani. [16
16,
16 p.268], mentre risulta necessaria ed essenziale
allorché Q , assunto come assioma della geometria ellittica, introduce sulla retta chiusa l’ordinamento circolare [5.2
5.2].
5.2
8 L’evidenza coinvolge soltanto aspetti psicologici, mentre per enunciati logicamente equivalenti intendiamo due enunciati
che dimostrano gli stessi teoremi. La fondamentale nozione viene definita ed approfondita al PARAGRAFO 2 .
3
1. CE N N I STORICI
STORI CI A L QU IN TO POSTU LA TO Q . SISTE M I A SSIOM A TIC I E M OD E LLI .
1 . 1 Il problema di sostituire Q con un enunciato logicamente equivalente è strettamente
correlato con i tentativi di dimostrazione di Q , fondati su quelle PROPOSIZIONI del LIBRO I degli
ELEMENTI, che Euclide ha dimostrato senza usare Q e che costituiscono la cosiddetta
GEOMETRIA ASSOLUTA (PROPOSIZIONI 1 - 28 e PROPOSIZIONE 31).
31
1 . 2 La base assiomatica della geometria assoluta è il sistema di assiomi Γass costituito dai
primi quattro POSTULATI e dalle ASSUNZIONI IMPLICITE9 fatte da Euclide. Gli studiosi
generalmente concordano nel congetturare che già Euclide, ispirandosi al principio
aristotelico di fondare la conoscenza su postulati “evidenti di per sé”, avesse tentato la
dimostrazione del “poco evidente” Q , rinviandone l’utilizzo alla PROPOSIZIONE 2 9 . A partire
però dalla PROPOSIZIONE 29 Euclide assunse definitivamente Q , segnando così “ufficialmente”
la nascita della GEOMETRIA EUCLIDEA. La base assiomatica della geometria euclidea è quindi
il sistema Γeucl=Γ
Γass+Q
Q , costituito dai cinque POSTULATI e dalle ASSUNZIONI IMPLICITE.
1 . 3 I tentativi di provare Q nella geometria assoluta erano spesso basati sulla reductio ad
absurdum: insieme con Γass si assumeva anche ¬Q
Q (oppure il “logicamente equivalente” ¬U
U,
[6.1
6.1;
6.1 L7])
L7 con l’aspettativa di ottenere una contraddizione. Già nel 1763, dopo l’analisi di
innumerevoli tentativi di dimostrazione, Klügel congetturò l’indimostrabilità di Q rispetto a
Γass, aprendo così la strada agli studi successivi di Nikolaj Lobačevskij (1792-1856) e di Jànos
Bolyai (1802-1860): simultaneamente e indipendentemente, essi assunsero insieme con Γass
l’ASSIOMA IPERBOLICO J Per un arbitrario punto esterno a una retta arbitraria passano almeno
due rette parallele alla retta data 10 e formularono un’originale teoria geometrica che nel
1871 Felix Klein chiamò GEOMETRIA IPERBOLICA. Beltrami (1868), Klein (1871) e Poincaré
(1882) costruirono dei modelli [11 . 7 ] di questa nuova geometria, i quali da un lato decretarono
l’indimostrabilità [2.4
2.4]
2.5
2.4 e l’indipendenza [2.
2. 5 ] di Q rispetto a Γass, dall’altro, essendo modelli
del piano iperbolico nel piano euclideo, mostrarono la consistenza relativa della geometria
iperbolica piana rispetto alla geometria euclidea piana (“la prima è consistente se la seconda è
consistente”). La base assiomatica della geometria iperbolica è perciò il sistema Γiper=Γ
Γass+JJ ,
costituito dai POSTULATI I, II, III, IV, dall’ASSIOMA IPERBOLICO e dalle ASSUNZIONI IMPLICITE.
La sola geometria non euclidea definita dalla negazione di Q è la geometria iperbolica
1 . 4 Nel 1854 Bernhard Riemann (1826-1866) mostrò che la sostituzione di Q con ¬Q
Q non era
l’unico modo per trasformare in modo coerente la geometria euclidea e, a riprova, concepì la
geometria ellittica, caratterizzata dall’ASSIOMA di RIEMANN R equivalente a ¬E
E.
R / ¬E
E
Per il punto P esterno alla retta r non passa alcuna retta parallela a r
Non esiste alcuna parallela
1 . 5 Dal POSTULATO II attraverso le PROPOSIZIONI 16,
3.2]
16 17,
17 27,
27 31 discende E [3.2
3.2 e quindi il
sistema Γass+R
R è inconsistente (da esso è derivabile la contraddizione R ∧E
E ). La base
9 Già Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) aveva evidenziato come Euclide avesse usato, oltre ai primi quattro
postulati [NOTA 4], numerose “assunzioni implicite”, ben evidenziate in [17
17,
17 pp.28-29; pp.205-206] ed esplicitate in un
rigoroso sistema assiomatico, nel 1899, da David Hilbert in Grundlagen der Geometrie (I fondamenti della geometria),
costituito da ben 20 assiomi distribuiti in 5 gruppi di assiomi di incidenza, di ordinamento, di congruenza tra segmenti ed
angoli, di parallelismo, di continuità [16
16,
16 pp.122-133]. Nel seguito, quando i postulati euclidei risultano eccessivamente
compatti e contengono più di una proprietà, citeremo gli assiomi di Hilbert utilizzati.
10. L’enunciato ¬U
U E siste una retta ed esiste un punto esterno ad essa tali che per il punto passano almeno due rette parallele
alla retta data è logicamente equivalente in Γass [2.1
2.1]
17,
2.1 all’assioma iperbolico J [17
17 p.23]: questa equivalenza è conseguenza
degli assiomi di congruenza che assicurano la validità del principio di omogeneità del piano [0.5
0.5].
0.5 Pertanto, J si può
esprimere con ¬U
U e, per il TE OREM A FON D A M E N TA LE di equivalenza logica in Γ tra Q , U [1.5
1.5;
Q.
1.5 6.1],
6.1 anche con ¬Q
4
assiomatica della geometria ellittica è invece Γell=Γ
Γ+R
R ,, in cui Γ è il sistema ottenuto da Γass
escludendo il POSTULATO II.
Ecco la versione originale del POSTULATO II:
A (SIA STA TO RICH IE STO ) D I PROLU N G A RE SE N Z A SOLU Z ION E
< LIN E A > RE TTA .
A UN SEGMENTO SI PUÒ ESTENDERE INDEFINITAMENTE. 11
D I CON TIN U ITÀ U N A RE TTA LIM ITA TA IN
1.6 A sta a significare che Euclide concepisce la retta come una linea aperta, illimitata da
ambo le parti, che non ritorna su se stessa. Che la retta euclidea debba essere pensata aperta si
evince chiaramente dall’uso che Euclide fa del POSTULATO II nella dimostrazione della
PROPOSIZIONE 16,
16 dove prolunga il segmento BE fino a raddoppiarlo nel segmento BZ: se
Euclide considerasse la retta ottenuta come una linea chiusa, il punto Z potrebbe coincidere
con B e quindi la dimostrazione non sarebbe corretta. Nel seguito faremo riferimento anche al
concetto di retta chiusa, definibile come un segmento prolungabile indefinitamente che ritorna
su se stesso.
I punti della retta aperta sono disposti secondo l’ordinamento lineare, mentre i punti della
retta chiusa sono disposti secondo l’ordinamento circolare.12
A /¬CC La retta è una linea continua aperta
C /¬A
A La retta è una linea continua chiusa
Q è il “primo” teorema di Γell in quanto è immediato corollario di R , [00 . 8 ]. Questa banale verità
ci consentirà di esprimere R mediante Q [5.2
5.2]
5.2 e di proporre così, per la geometria ellittica, un
nuovo e più razionale fondamento assiomatico.
Sistem i assiom atici e m odelli
1 . 7 La nozione precisa di modello di una teoria assiomatica è stata definita dal logico polacco
Alfred Tarski (1901-1983) solo dopo il 1930. In realtà, i matematici utilizzavano già da alcuni
decenni una nozione intuitiva di modello, secondo la quale per modello di un sistema di
assiomi geometrici Σ si intende uno “spazio geometrico” in cui, secondo una certa
interpretazione dei termini punto, retta, angolo…, tutti gli enunciati di Σ sono veri. Un
modello dei cinque postulati di Euclide è la geometria del piano, nella quale gli enunciati del
sistema assiomatico Γeucl=Γ
Γass+Q
Q sono veri nell’ordinaria interpretazione dei termini punto,
retta, angolo,... Un modello euclideo del sistema assiomatico Γell=Γ
Γ+R
R . è la geometria della
superficie di una sfera euclidea di centro O e raggio r, nella quale il termine punto significa
una coppia <P, P’> di punti antipodali (cioè allineati con O), il termine retta significa una
circonferenza di raggio r, il termine angolo significa l’angolo delle rette tangenti alla sfera nel
punto di intersezione delle due rette e giacenti nei piani da esse individuati… In questo
modello del piano ellittico, che chiameremo MODELLO DI RIEMANN, tutte le rette sono chiuse
(non sussiste A ) e incidenti (non esistono rette parallele). I modelli di Beltrami, Klein e
Poincaré sono invece modelli euclidei della geometria iperbolica Γiper=Γ
Γ+JJ .
11 Mentre la formulazione euclidea del quinto postulato è chiara, quella del secondo crea qualche problema interpretativo,
tant’è che ne esistono versioni e interpretazioni diverse: la traduzione e l’interpretazione qui proposte si trovano
rispettivamente in [11 , p.781] e in [17
17,
12,
17 p.15], mentre in [12
12 pp.54-55] l’Autore traduce «POSTULATO 2 [È possibile] prolungare
illimitatamente una retta finita in una linea retta» e interpreta «È possibile prolungare, da entrambi i lati, una linea retta finita
di una quantità maggiore di qualunque lunghezza assegnata».
12 I concetti di linea aperta e linea chiusa restano espressi adeguatamente dalle due definizioni di ordine lineare e circolare.
In [16
16,
16 p.124] l’Autore presenta, nell’ambito dell’assiomatica hilbertiana, l’ASSIOMA II.3 «Dati tre punti distinti qualsiasi di
una retta, ve ne è al più uno che sta fra gli altri due. L’assioma garantisce che la retta è una linea aperta, cioè che il tipo di
ordine dei punti di una retta è lineare e non circolare (come accade su una linea chiusa quale una circonferenza in cui, dati tre
punti distinti, ciascuno sta tra gli altri due)» e in [16
16,
16 pp.259-261] assegna la definizione di ordinamento circolare.
5
1 . 8 Non entreremo nel dettaglio della descrizione dei diversi modelli perché, ai fini del nostro
discorso, è sufficiente conoscerne l’esistenza. Dato che per il TE OR E M A D I CO R RE TT E Z Z A un
teorema T è conseguenza logica degli assiomi di Σ (cioè T è vero in tutti i modelli di Σ), la
verifica di T in un modello specifico di Σ ha mero valore esemplificativo. L’esistenza di un
modello per Σ+¬TT dimostra invece che T non è conseguenza logica di Σ e pertanto, per il
TE O RE M A D I CO R RE TT E Z Z A , neppure teorema di Σ [2.4
2.4].
2.4 Se Σ è categorico (cioè ha un solo
modello di data cardinalità, a meno di isomorfismi), allora un modello di Σ è essenzialmente il
modello di Σ.
I sistem i assiom atici
ati ci della geom etria
etr ia
1 . 9 I cinque POSTULATI di Euclide [NOTA 4] e i moderni ASSIOMI costituiranno i diversi
sistemi assiomatici. I POSTULATI I, III, IV appartengono a tutti i sistemi assiomatici e
costituiscono quindi il sottosistema fondamentale Γ, mediante il quale al PARAGRAFO 5 sarà
definito il nuovo ed importante sistema assiomatico Γ+Q
Q.
Γ è il sistema costituito dai POSTULATI I, III, IV e dalle ASSUNZIONI IMPLICITE
In seguito adotteremo la seguente classificazione (la numerazione delle PROPOSIZIONI è quella
del LIBRO I degli ELEMENTI di Euclide):
SCHEMA RIASSUNTIVO DEI SISTEMI DI ASSIOMI DELLA GEOMETRIA
G E OM E TRIE
Assoluta
E uclidea
Iperbolica
E llittica
llittic a
SISTE M I A SSIOM A TICI
Γass=Γ
Γ+A
A
Γeucl=Γ
Γass+Q
Q
Γiper=Γ
Γass+JJ
Γell=Γ
Γ+R
R
POSTU LATI / A SSIOM I
Γ+ SECONDO POSTULATO A / ¬CC
Γass + QUINTO POSTULATO Q / ¬JJ
Γass + ASSIOMA IPERBOLICO J / ¬Q
Q
Γ+ ASSIOMA DI RIEMANN R / ¬E
E
TE ORE M I
PROPOSIZIONI 1
- 28,31
28 31
- 48
PROPOSIZIONI 1 - 28,31
28 31…
31
PROPOSIZIONI Q …
PROPOSIZIONI 1
Tutti i sistemi assiomatici considerati possiedono un modello; per il TE OR E M A D E L M OD E LLO
sono pertanto consistenti, ovvero da essi non sono derivabili contraddizioni.
Il sistema Γass è incompleto perché possiede il modello euclideo in cui è vero Q (e quindi ¬Q
Q
non è teorema di Γass [2.4
2.4])
Q (e quindi Q non è teorema
2.4 e il modello iperbolico in cui è vero ¬Q
di Γass [2.4
2.4]):
Γass+Q
Q , Γiper=Γ
Γass+¬Q
Q.
2.4 il sistema Γass si divarica nei due soprasistemi Γeucl=Γ
Il sistema Γeucl=Γ
Γass+Q
Q è completo perché tutti i suoi modelli soddisfano le stesse proprietà
[14
14,
17,
14 p.264] ed è anche categorico [17
17 pp.262,263].
Anche il sistema Γiper=Γ
Γass+¬Q
Q è completo e categorico [17
17,
17 p.31].
Il sistema Γ, sottosistema del sistema incompleto Γass, è a fortiori incompleto.
Ai paragrafi 5 , 6 , 7 dimostreremo significative equivalenze logiche tra i diversi enunciati in
soprasistemi di Γ. Diviene perciò necessaria la conoscenza preliminare della nozione
fondamentale di enunciati A ,B logicamente equivalenti in un sistema di assiomi Σ.
6
2. E QU IV A LE N Z A LOG ICA TRA E N U N CIA TI E IN D IPE N D E N Z A
2.1 D E FIN IZ IO N E Gli enunciati A ,B si dicono LOGICAMENTE EQUIVALENTI NEL SISTEMA DI
ASSIOMI Σ se e solo se B è teorema di Σ +A e A è teorema di Σ +B , cioè Σ +A ⊢B e Σ+B ⊢A
La definizione 2.1 equivale a una qualunque delle condizioni che seguono, cioè gli enunciati
A ,B sono logicamente equivalenti in Σ se e solo se:
1) Σ ⊢A→B
e Σ ⊢B →A
[TE ORE M A D I D E D U Z IO N E applicato a 2.1]
2.1
[L10
L10 applicato a 1)]
2) Σ ⊢A ↔B
3) Σ ⊢¬B →¬A e Σ ⊢¬A →¬B [L7
L7 applicato a 1)]
4) Σ+¬B ⊢¬A
e Σ+¬A ⊢¬B [TE O RE M A D I D E D U Z IO N E applicato a 3)]
5) Σ+A ⊢C
e Σ+B ⊢C
per ogni enunciato C
Dalla definizione 2.1 segue che se due enunciati sono logicamente equivalenti in Σ, lo sono
pure in un arbitrario soprasistema di Σ.
2.22 Da 2.1 , per il TE O RE M A D I COR RE TTE Z Z A , segue che A ,B assumono necessariamente lo stesso
2.
valore di verità in ogni modello di Σ, pertanto se A ,B non assumono lo stesso valore di verità
in un certo modello di Σ, essi non sono logicamente equivalenti in Σ.
Un caso particolare di equivalenza logica è l’equivalenza sintattica [11 1 , p.59].
2.3
2. 3 D E FIN IZ IO N E Gli enunciati A ,B sono SINTATTICAMENTE EQUIVALENTI se e solo se
A ,B sono logicamente equivalenti in un arbitrario sistema di assiomi Σ, cioè A ⊢B e B ⊢A
La definizione 2.3 equivale a una delle due condizioni seguenti, cioè gli enunciati A ,B sono
sintatticamente equivalenti se e solo se:
⊢A →B e ⊢B →A
oppure [L10
L10]
⊢A ↔B , cioè A ↔B è una legge logica
L10
Scriveremo A ⇔L B per dire che A ,B sono sintatticamente equivalenti per la legge logica L .
2.4 TE O R E M A A non è teorema di Σ se e solo se esiste un modello di Σ+¬A
D im .: Dato che A è teorema di Σ se e solo se Σ+¬A è inconsistente, risulta che A non è teorema di
Σ se e solo se Σ+¬A è consistente e, per il TE ORE M A D E L M OD E LLO , Σ+¬A è consistente se e solo se
Σ+¬A ammette un modello.
Se A non è teorema di Σ diremo anche che A è indimostrabile in Σ.
2.5
2. 5 D E FIN IZ IO N E Diremo che l’enunciato A è INDIPENDENTE rispetto
al sistema di assiomi Σ se e solo se A , ¬A non sono teoremi di Σ
Per il TE O R E M A 2.4
2.4 A è indipendente rispetto a Σ se e solo se esistono modelli di Σ+¬A , Σ+A .
2.6
2. 6 D E FIN IZ IO N E Diremo che gli enunciati A ,B sono RECIPROCAMENTE
INDIPENDENTI rispetto al sistema di assiomi Σ se e solo se B , ¬B non sono
teoremi di Σ+A e A , ¬A non sono teoremi di Σ+B
Gli enunciati A , B sono reciprocamente indipendenti rispetto a Σ se e solo se lo sono ¬A , ¬B .
2.7 Per il TE O R E M A 2.4
2. 4 gli enunciati A , B sono reciprocamente indipendenti rispetto a Σ se e
solo se esistono modelli di Σ+¬A +B , Σ+A +B , Σ+A +¬B .
7
3. LE PROPOSIZ ION I E U CLID
C LID E E 27, 28, Q , 29 E G LI E N U N CIA TI U , U E
3 . 1 Nel LIBRO I degli ELEMENTI di Euclide troviamo la DEFINIZIONE X XIII di rette parallele e
le PROPOSIZIONI 27,
27 2 8 , 29 strettamente collegate con Q .
DEFINIZIONE X XIII PA RALLE LE SO N O RE TTE CH E , E SSE N D O N E LLO STE SSO PIA N O E PROL U N G A TE
ILLIM ITA TA M E N TE D A L U N A E D A LL ’ A LTRA PA RTE , N É D A U N A N É D A LL ’ A LTRA P A RTE SI IN CO N TRA N O
TRA LO RO .
XXIII DUE RETTE COMPLANARI SI DICONO PARALLELE SE NON HANNO PUNTI IN COMUNE.
PROPOSIZIONE 27 QU A LO RA U N A RE TTA CH E IN CID E SU D U E RE TTE FA CCIA G LI A N G OLI A LTE RN I
IN TE RN I U G U A LI TR A LO RO , LE D U E R E TTE SA RA N N O PA RA LLE LE TRA LO RO .
27 SE DUE RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE FORMANO ANGOLI ALTERNI INTERNI UGUALI
ALLORA LE DUE RETTE SONO PARALLELE.
PROPOSIZIONE 28 QU A LO R A U N A RE TTA CH E IN CID E SU D U E RE TTE FA CCIA U N A N G OLO A LL ’ E STE R N O
U G U A LE A QU E LLO A LL ’ IN TE RN O E OPPOSTO E D A LLA STE SSA PA RTE O QU E LLI A LL ’ IN TE RN O E D A LLA
STE SSA PA RTE U G U A LI A D U E RE TTI , LE RE TTE SA R A N N O PA RA LLE LE TRA LO RO .
28 SE DUE RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE FORMANO ANGOLI CORRISPONDENTI UGUALI
OPPURE ANGOLI CONIUGATI INTERNI SUPPLEMENTARI (SOMMA UGUALE A 2R, CON R ANGOLO
RETTO) ALLORA LE DUE RETTE SONO PARALLELE.
PROPOSIZIONE 2 9 U N A RE TTA CH E IN CID E SU D U E R E TTE PA RA LLE LE FA SIA G LI A N G OLI A LTE R N I
U G U A LI T RA LO RO CH E QU E LL O A LL ’ E STE R N O U G U A LE A LL ’ IN TE R N O E OP POSTO CH E QU E LLI
A LL ’ IN TE RN O D A LLA STE SSA PA RTE U G U A LI A D U E RE TTI .
29 SE DUE RETTE SONO PARALLELE ALLORA FORMANO CON UNA TRASVERSALE ANGOLI ALTERNI
INTERNI UGUALI, ANGOLI CORRISPONDENTI UGUALI E ANGOLI CONIUGATI INTERNI UGUALI A 2R.
3 . 2 Le PROPOSIZIONI 2 7 , 2 8 si possono riguardare come un unico teorema (teorema diretto
delle parallele) dato che sono tra loro logicamente equivalenti in Γ le tre condizioni secondo
cui due rette tagliate da una trasversale formano (a) angoli alterni interni uguali, (b) angoli
corrispondenti uguali, (c) angoli coniugati interni supplementari. La PROPOSIZIONE 2 7 è
l’enunciato contronominale della PROPOSIZIONE 1 7 In un qualunque triangolo la somma di
due angoli è minore di 2R, la quale è conseguenza della PROPOSIZIONE 1 6 In un qualunque
triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente, la cui
dimostrazione si fonda su A [1.6
1.6];
1.6 perciò, a catena, da A segue la PROPOSIZIONE 16,
16 da cui
segue la PROPOSIZIONE 1 7 , da cui segue la PROPOSIZIONE 27,
27 da cui segue la PROPOSIZIONE 31,
31
che esprime E . In definitiva, dall’assunzione di A in Γ discende E , ovvero Euclide fonda la
nozione di parallelismo sulla base della nozione di retta aperta. L’importante questione verrà
discussa e approfondita nell’E PIL OG O .
3 . 3 In [18
18,
18 p.11] l’Autore afferma che «le PROPOSIZIONI 2 7 , 2 8 equivalgono all’esistenza delle
parallele»: si tratta di un’interpretazione forzata perché entrambe le proposizioni hanno forma
condizionale (“se due rette formano angoli… allora esse sono parallele”). Come già detto,
l’esistenza di rette parallele è provata appena alla PROPOSIZIONE 31,
31 dove Euclide, dopo aver
costruito due rette che soddisfano l’antecedente della PROPOSIZIONE 2 7 , dimostra che esse
sono parallele.
La PROPOSIZIONE 29 (teorema inverso delle parallele) è l’inversa della PROPOSIZIONE 28 e
viene provata da Euclide sulla base di Q , contronominale della 29.
29
8
Per stabilire in quali sistemi assiomatici le coppie di enunciati Q , U e Q , U E sono logicamente
equivalenti sarà utile esprimere gli enunciati euclidei 28,
28 Q , 29 e quelli non euclidei E , U , U E
nel linguaggio formale della Logica dei Predicati.
Form ulazione predicativa degli enunciati euclidei
eu clidei 28,
28 29,
29 Q
3 . 4 Dati una retta r, un punto P fuori di essa e una retta x passante per P, indichiamo con t una
trasversale passante per P, con α l’angolo interno di vertice A (intersezione di t con r), con βx
l’angolo coniugato interno di A di vertice P. Accanto al segno di predicato p x, che significa la
proprietà “la retta x passante per il punto P esterno alla retta r è parallela alla retta r”,
abbreviata da “x è parallela”
parallela [00 . 5 ], introduciamo il segno di predicato πx per significare la
nuova proprietà (c) “la retta x è tale che gli angoli α, βx sono supplementari, cioè α+βx è
congruente a due angoli retti (α+βx=2R)”. In [15
15,
15 p.434] l’Autore definisce coortogonali «due
rette che formano angoli retti con almeno una secante comune». In Γ si dimostra facilmente
che due rette sono coortogonali se e solo se, tagliate da una trasversale, soddisfano una della
tre proprietà (a), (b), (c) [3.2
3.2].
3.2 Il segno di predicato πx significa quindi la proprietà “la retta x
passante per il punto P esterno alla retta r è coortogonale alla retta r”, abbreviata da “x è
coortogonale”.
coortogonale
28, Q , 29
Le due formule atomiche p x, πx consentono di esprimere gli enunciati euclidei 28
mediante le seguenti formule chiuse (enunciati):
28
∀x(π
πx →p x)
Q
∀x(¬π
πx →¬p x)
29
∀x(p x→π
πx)
La forma logica dei tre enunciati conferma che le PROPOSIZIONI 28,
28 Q sono inverse, le
PROPOSIZIONI 28,
28 29 contrarie, le PROPOSIZIONI Q , 29 contronominali. 13
3.5 Essendo contronominali Q e 29 hanno la stessa negazione [L
L 9]
¬Q
Q / ¬29
29
∃x(p x∧¬π
πx)
che afferma “esiste una retta parallela non coortogonale”.
coortogonale
Form ulazione predicativa degli enunciati non euclidei E , R , U , U E
Gli enunciati E , R , U , U E si possono esprimere utilizzando la sola formula p x:
E ⇔D F ∃xp x
R ⇔D F ∀x¬p x
U ⇔D F ∀x∀y(p x∧p y→x=y) U E ⇔D F ∃xp x∧∀x∀y(p x∧p y→x=y)
U , U E si possono esprimere anche mediante gli enunciati E , U [00 . 2 ; 0 . 4 ]:
U E ⇔D F E ∧U
U
U ⇔T3 E →U
U
I due enunciati euclidei Q , 29 e quello non euclideo U sono condizionali, mentre U E è una
congiunzione; di conseguenza, le negazioni di Q , 29, U sono congiunzioni [L9
L9],
L9 mentre la
negazione di U E è una disgiunzione [L5
L5]:
L5 analogie e differenze che si ripercuotono sulle
definizioni delle diverse geometrie non euclidee derivanti dalle negazioni di Q , U , U E .
13 La traduzione in simboli predicativi della formulazione euclidea di Q è complessa. L’assunzione ¬π
πx in ∀x(¬π
πx→¬p x)
ammette che la retta x sia convergente in una delle due parti.
9
4 . LE PROPOSIZ ION I E U CLID E E 30, 31.
31 . IN D IPE N D E N Z A TRA U , E
4 . 1 Il teorema seguente esprime un’importante proprietà del parallelismo.
PR O PO SIZ IO N E 30 LE PA RA LLE LE A LLA STE SSA RE TT A SO N O PA RA LLE LE TRA L OR O .
30 SE DUE RETTE SONO PARALLELE A UNA TERZA ALLORA ESSE SONO PARALLELE TRA LORO.
La dimostrazione di Euclide usa le PROPOSIZIONI 2 8 e 29,
29 cioè viene svolta in Γeucl; quella che
segue è svolta in Γ ed è legittimata dal TE ORE M A FO N D A M E N TA LE di equivalenza logica in Γ tra
Q , U [6.1
6.1]:
6.1
Γ U →30
30
D im .:
30→¬U
U : se esistono due rette parallele a una terza che non sono
. Per L7 basta dimostrare ¬30
30
parallele tra loro, esse si incontrano nel punto P e quindi per P passano due rette parallele alla
terza.
Si dimostra facilmente anche il teorema inverso della PROPOSIZIONE 30:
30
Γ 30→U
30 U
D im .:
U →¬30
30:
. Per L7 basta dimostrare ¬U
30 se per un punto P passano due rette parallele a una terza,
esse non sono parallele tra loro.14
Q U E SITO 1:
1 Euclide, con la dimostrazione della PROPOSIZIONE 30,
30 è giunto alla soglia della
dimostrazione di U : dato che la negazione di U implica banalmente la negazione della
PROPOSIZIONE 30,
30 per ottenere U dalla PROPOSIZIONE 30 gli sarebbe bastato applicare la legge
contronominale L 7,
7 a lui certamente ben nota dato che ne aveva appena fatto uso per ricavare
la PROPOSIZIONE 29 da Q . Perché non lo ha fatto?
4 . 2 Fino alla PROPOSIZIONE 28 Euclide usa esclusivamente i primi quattro POSTULATI ed
applica Q soltanto alla PROPOSIZIONE 29.
29 Usando Q sin dall’inizio avrebbe potuto provare più
agevolmente diversi teoremi: perché non lo ha fatto? 15 Accanto alla congettura, ampiamente
condivisa dagli studiosi, secondo cui Euclide avrebbe rinviato l’uso di Q con l’aspettativa di
riuscire a dimostrarlo, è interessante l’ipotesi avanzata in [18
18,
18 p.11], secondo cui l’obiettivo
fondamentale del LIBRO I degli ELEMENTI è provare l’esistenza di rette parallele
(PROPOSIZIONE 31)
31 senza coinvolgere Q . E in effetti gli enunciati Q , E sono reciprocamente
indipendenti rispetto a Γ [22 . 6 ; 4.9;
4.9 6.1].
6.1
4 . 3 Il teorema seguente conclude la GEOMETRIA ASSOLUTA.
PR O PO SIZ IO N E 3 1 CON D U R RE PE R IL P U N TO D A TO PA RA LLE LA A LLA RE TTA D A T A U N A LIN E A RE TTA .
31 PER UN PUNTO ESTERNO A UNA RETTA DATA PASSA (ALMENO) UNA PARALLELA.
D im .:
. Per costruire una parallela alla retta r per il punto esterno P è sufficiente condurre per P una
retta p perpendicolare a r e per P la retta π perpendicolare a p.16 Le rette r, π formano con la
trasversale p angoli coniugati interni con somma 2R (sono cioè coortogonali) e quindi – per la
PROPOSIZIONE 2 7 - la retta π passante per P è parallela a r.
Al fine di provare la fondamentale PROPOSIZIONE 31 nell’ambito di Γass=Γ
Γ+A
A , Euclide produce
una costruzione (fondata sulla congruenza degli angoli alterni interni formati da una
14 In [7.3
7.3]
7.3 verrà data la dimostrazione dell’equivalenza sintattica tra 30,
30 U .
15 Ad esempio la PROPOSIZIONE 32 La somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto implica banalmente la
PROPOSIZIONE 17 La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto. Per dimostrare la PROPOSIZIONE 32
Euclide usa Q , mentre la PROPOSIZIONE 17 fa parte della geometria assoluta.
16 Le PROPOSIZIONI 11 e 12 degli ELEMENTI consentono di condurre, a una retta data, rispettivamente una perpendicolare
passante per un punto su di essa e per un punto esterno: si tratta di due teoremi di esistenza nei quali Euclide, come altrove,
non pone alcun problema di unicità. Si noti che in Γass=Γ
Γ+A
A l’unicità sussiste per entrambe le PROPOSIZIONI, mentre in Γ
sussiste per la PROPOSIZIONE 11 e non per la PROPOSIZIONE 12:
12 nel MODELLO di RIEMANN [1.7
1.7]
1.7 la PROPOSIZIONE 12 non sussiste
perché per il polo <N,S>, punto esterno alla retta r (equatore), si possono condurre infinite perpendicolari a r (meridiani) e, di
conseguenza, infinite coortogonali le quali, pur essendo perpendicolari a una perpendicolare a r, sono a loro volta
perpendicolari a r: queste bizzarrie possono accadere in Γ, mentre in Γass la retta π è l’unica coortogonale.
coortogonale
10
trasversale arbitraria) che de facto costituisce una vera e propria dimostrazione di esistenza e
di unicità della retta coortogonale
coort ogonale π, cioè della retta x per cui vale πx. Euclide quindi,
applicando la PROPOSIZIONE 27,
27 prova che la retta π è parallela.
parallela A scanso di pericolosi
equivoci, occorre tuttavia precisare che Euclide dimostra de facto in Γass l’unicità della sola
retta coortogonale
coo rtogonale π e non quella della parallela.
parallela 17
29, inversa della PROPOSIZIONE 28,
Q U E SITO 2 : Euclide crea Q per provare la PROPOSIZIONE 29
28
ottenendo ∀x(π
πx↔p x)18 che esprime in Γeucl l’equivalenza tra le due proprietà di
coortogonalità πx e di parallelismo p x: la PROPOSIZIONE 31 prova l’esistenza e l’unicità della
retta coortogonale (la retta π), da cui segue, per la PROPOSIZIONE 28,
28 l’esistenza della parallela e,
per la PROPOSIZIONE 29,
29 la sua unicità. Come mai Euclide non si è accorto di aver dimostrato,
oltre a E , anche U ?
4 . 4 Nella dimostrazione della PROPOSIZIONE 32 Il triangolo ABΓ ha la somma degli angoli
interni uguale a 2R Euclide applica – per la prima volta – sia la PROPOSIZIONE 31 sia la
PROPOSIZIONE 29:
29 dopo aver condotto per il punto Γ, esterno alla retta AB, una retta ΓΕ
parallela alla retta AB, egli applica alle due rette parallele AB, ΓE e alla trasversale BΓ la
PROPOSIZIONE 29.
29 19 In effetti, la PROPOSIZIONE 31 e la PROPOSIZIONE 29,
29 applicate di seguito,
permettono di dimostrare la PROPOSIZIONE 32 e tutte le successive fino alla PROPOSIZIONE 48,
48
inversa del Teorema di Pitagora e conclusiva del LIBRO I degli ELEMENTI.
Q U E SITO 3 : Di rette parallele si parlava ben prima della stesura degli ELEMENTI: già
Aristotele, per dimostrare il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, cioè la
PROPOSIZIONE 32,
32 aveva tracciato per un vertice “la parallela ad un lato”, rifacendosi - secondo
Proclo - a una dimostrazione dei Pitagorici.20 Verosimilmente Euclide non poteva non essere a
conoscenza di questo procedimento, fondato sulle nozioni intuitive di esistenza e di unicità
della parallela,
parallela cioè su U E . Tuttavia nel LIBRO I degli ELEMENTI non ha mai postulato, mai
dimostrato e mai menzionato l’unicità U della parallela.
parallela Perché?
4 . 5 La nozione di unicità, così come la intendiamo oggi, verosimilmente non era patrimonio
della matematica greca: per questa ragione Euclide non parla mai di unicità [NOTA 4].
Nel LIBRO I degli ELEMENTI Euclide non menziona mai l’unicità della parallela
perché la formulazione di unicità non rientra nello stile espositivo degli ELEMENTI.
Ricordiamo che già nel POSTULATO I SIA STA TO RICH IE STO D I CON D U RRE U N A LIN E A RE TTA D A OG N I
PU N TO A OG N I P U N TO [NOTA 4] Euclide richiede solamente la costruibilità (e la conseguente
esistenza) della retta per due punti, e non si cura affatto – esattamente come per la retta
parallela - di esplicitarne l’unicità. Analogo discorso per la retta x che soddisfa πx della
D O M A N D A 2 e per la retta perpendicolare a una retta data passante per un punto [NOTA 16].
17 In [99 , p.1] l’Autore, verosimilmente sulla scorta delle prime tre edizioni dei Grundlagen der Geometrie di Hilbert,
interpreta la PROPOSIZIONE 31 come teorema di esistenza e unicità della parallela:
parallela «Per un punto dato si può tracciare una sola
retta parallela a una retta data [Prop.XXXI]». L’opera di Roberto Bonola risale al 1906, anno in cui Hilbert non aveva ancora
corretto il suo Assioma delle Parallele [9.2
9.2].
9.2 Verosimilmente Bonola venne a conoscenza dell’assioma hilbertiano nella forma
U E e l’autorevolezza del matematico italiano favorì, a sua volta, l’assunzione di U E al posto di Q .
18 La congiunzione di 28,
πx): ∀x(π
πx→p x)∧∀x(p x→πx) ⇔L18 ∀x((p x→πx)∧(π
πx→p x)) ⇔L10 ∀x(p x↔π
πx).
28 29 è ∀x(p x↔π
19 La traduzione di [11 , p.825] «Sia infatti stata condotta per il punto Γ parallela alla retta AB una <retta> ΓE» conferma che
Euclide non intendesse riferirsi all’unicità della parallela.
parallela
20 In [11 , pp.117-118] l’Autore sottolinea che l’espressione usata da Aristotele nella Metaphysica «indica, senza ambiguità, ed
anche in Aristotele, il condurre la parallela ad un lato […]. La dimostrazione del teorema della somma degli angoli interni è
quindi quella, attribuita da Proclo ai Pitagorici sulla base della autorità di Eudemo, che corrisponde alla figura seguente (i
dettagli della dimostrazione sono facili da ricostruire); essa è differente da quella euclidea ed ha il pregio di impiegare una
singola costruzione – come è implicito nel testo di Metaphysica – e di non dipendere dalla dimostrazione che un angolo
esterno è uguale alla somma dei due interni non adiacenti, come accade invece in Elementi I.32».
11
4 . 6 In [12
12,
12 p.104] l’Autore evidenzia che Euclide, procrastinato il più possibile l’uso di Q ,
colloca la PROPOSIZIONE 31,
31 dimostrata senza Q , dopo le PROPOSIZIONI 29,
29 30,
30 dimostrate
mediante Q : la PROPOSIZIONE 31,
31 quale ultimo teorema della geometria assoluta, avrebbe
dovuto occupare il posto della PROPOSIZIONE 29.
29 Euclide invece, pressato dall’urgenza di
provare il teorema inverso della PROPOSIZIONE 2 8 , crea la TEORIA DELLE PARALLELE fondata
su Q (logicamente equivalente in Γ all’unicità U [6.1
6.1]),
separando de facto l’unicità U
6.1
dall’esistenza E espressa nella PROPOSIZIONE 31.
31
4 . 7 Per TEORIA DELLE PARALLELE intenderemo gli enunciati euclidei che scaturiscono da Q e
che gli sono logicamente equivalenti in Γ, cioè Q e le PROPOSIZIONI 29,
7.3].
29 30 [7.3
7.3 Ricordiamo
ancora che la dimostrazione di Euclide della PROPOSIZIONE 30 [4.1
4.1]
4.1 si svolge in Γeucl dato che
viene usata la PROPOSIZIONE 28,
28 teorema della geometria assoluta.
4 . 8 In conclusione, per dare ordine alla confusa condizione in cui versava il problema delle
parallele, lamentata anche da Aristotele,21 Euclide intuisce che la costruzione della parallela –
usata, secondo Proclo, da Aristotele stesso [NOTA 20] – andava articolata in due fasi distinte:
il teorema diretto 28 e il teorema inverso 29.
29 Sviluppa perciò il problema scalando due nuovi
versanti teorici: la TEORIA DELLE PARALLELE e la GEOMETRIA ASSOLUTA. Ovviamente non
intendiamo sostenere che Euclide fosse consapevole della valenza teorica e fondazionale delle
sue originali teorie, ci limitiamo semplicemente a rilevare che egli ha creato due teorie, le
quali de facto costituiscono i fondamenti del quadro teorico delle tre geometrie:
- la TEORIA DELLE PARALLELE, che ammette oltre al modello euclideo anche quello ellittico, in
cui sono vere la negazione di E ed U ;
- la GEOMETRIA ASSOLUTA, che ammette oltre al modello euclideo anche quello iperbolico, in
cui sono vere la negazione di U ed E .
4.99 La scoperta di modelli euclidei delle geometrie non euclidee permette di provare
4.
l’indipendenza reciproca degli enunciati U , implicito nella TEORIA DELLE PARALLELE, ed E ,
ultimo teorema della GEOMETRIA ASSOLUTA:
TE O R E M A 4
Gli enunciati E , U sono reciprocamente indipendenti rispetto a Γ
D im .: E , U sono reciprocamente indipendenti rispetto a Γ dato che gli enunciati ¬E
E ∧U
U , E ∧U
U,
E ∧¬U
U sono veri rispettivamente nei modelli della geometria ellittica, euclidea ed iperbolica [2.7
2.7].
2.7
21 In [11 , p.119-120] è citato il famoso passo di Aristotele degli Analytica priora: «[…] quando si cerca di dimostrare tramite
se stesso ciò che non è conosciuto di per se stesso, questo è petizione di principio [...]. È ciò che fanno coloro che intendono
tracciare le parallele: sfugge loro che stanno essi stessi assumendo ciò che non è possibile dimostrare non essendoci parallele.
Ne risulta quindi che quelli che deducono in questo modo affermano che ogni e qualsiasi cosa è se è: ma così tutto quanto
sarà conosciuto tramite se stesso; il che è impossibile». L’Autore commenta: «Un’interpretazione minimale dell’asserzione
aristotelica lo vede porre una questione di tipo esistenziale: ammettere la possibilità di costruire rette parallele non ha senso
se prima non si assume che esistano». Con la PROPOSIZIONE 31 Euclide verosimilmente intende rispondere al problema posto
da Aristotele.
12
5 . E QU IV A LE N Z A LOG ICA TRA R,, Q , TRA A , E E C, R. IN D IPE N D E N Z A TRA A , Q E C, Q
5 . 1 Il quinto postulato di Euclide Q e l’assioma di Riemann R caratterizzano le geometrie
euclidea ed ellittica. Eppure, in un certo sistema assiomatico tra Q , R sussiste un’importante e
sorprendente equivalenza logica: il fatto che Q sia conseguenza logica banale di R (“se tutte le
rette sono incidenti allora anche le rette convergenti sono incidenti”) suggerisce l’idea che i
due enunciati Q ,R
R possano essere logicamente equivalenti in un opportuno soprasistema di Γ.
5 . 2 L’idea è quella di individuare il sistema assiomatico in cui sussiste l’equivalenza logica
tra R / ∀x¬p x e Q / ∀x(¬π
πx→¬p x). Assumendo come assioma l’enunciato L / ∀x(π
πx→¬p x)
potremmo constatare la banale equivalenza sintattica tra Q ∧L
L , R : per ottenere tutte le rette
passanti per P citate in R basta considerare quelle citate nell’antecedente di Q insieme con
quelle citate nell’antecedente di L , con la conseguenza che Q ∧L
L , R dicono esattamente la
stessa cosa, cioè ∀x¬p x.22
Il seguente L E M M A , che dimostra L sulla base dell’enunciato C [1.6
1.6]
Q , consente
1.6 nel sistema Γ+Q
di ottenere invece tre equivalenze logiche significative, espresse dai TE ORE M I 5 , 6 , 7.
7
LE M M A Γ+Q
Q ⊢CC →L
L
L / ∀x(π
πx→¬p x)
D im .: Sia P un punto esterno alla retta r: per la PROPOSIZIONE 1 2 [NOTA 16] per P passa almeno una
perpendicolare t a r che la incontra nel punto A, per cui risulta α=R. Si vuole provare che,
assumendo C in Γ Q , un’arbitraria retta x per cui vale πx (x è coortogonale ) incontra r. Se y è una
retta del fascio di centro P, per la TRICOTOMIA DEGLI ANGOLI è vera una e una sola delle tre
condizioni βy<R, βy>R, βy=R. Applicando Q , i punti di r si possono separare in due classi Y 1 , Y 2 : se
βy>R si ha Y 1 ={Y: ∠ APY<R dalla parte σ1}, se βy<R si ha Y 2 ={Y: ∠ APY<R dalla parte σ2}. Per Q
le due classi S 1 , S 2 sono non vuote e quindi esistono i punti R1, R2, appartenenti rispettivamente alle
classi S 1 , S 2 . Dato che la retta r è chiusa, i punti R1, R2 sono gli estremi di due segmenti, quello
contenente A e quello non contenente A: applicando l’ASSIOMA di CONTINUITÀ 23 al segmento non
contenente A si ottiene il punto X separatore delle classi S 1 , S 2 . La retta PX soddisfa, per Q e per la
tricotomia degli angoli, la condizione ∠ APX=R e quindi, per la PROPOSIZIONE 11 [NOTA 16], la
retta PX coincide con la retta coortogonale x, la quale – in conclusione - incontra la retta r nel punto
X, cioè ¬p x. Dall’arbitrarietà di x segue ∀x(π
πx→¬p x).
Tramite Q si riesce dunque a stabilire una corrispondenza biunivoca tra le rette del fascio di
centro il punto P e i punti della retta chiusa r [NOTA 25], mentre la precisazione euclidea in Q
“dalla stessa parte” [NOTA 7] consente di suddividere i punti della retta r nelle due classi S 1 , S 2 .
E quivalenza logica tra l’A
l’ A ssiom a di R iem ann R e d il Q uinto P ostulato di E uclide Q
5.33 Il L E M M A consente di provare l’importante TE OR E M A 6 .
5.
TE O R E M A 5 Gli enunciati R ,,, Q sono logicamente equivalenti in Γ+CC
Γ C R →Q
Q
D im .:
R Q , cioè Γ R →Q
Q , da cui Γ C R →Q
Q , con Γ C soprasistema di Γ.
. Da Γell Q segue Γ+R
Γ C Q →R
R
D im .:
. Si assumano C e Q . Per la TRICOTOMIA DEGLI ANGOLI applicata alla parte σ1, per un’arbitraria
retta x sussiste una e una sola delle tre eventualità: a) ασ1+βσ1x<2R, b) ασ1+βσ1x>2R, c) ασ1+βσ1x=2R.
Nel caso a) Q dice che la retta x incontra r dalla parte σ1; nel caso b) le rette x, r formano dalla
parte σ2 due angoli ασ2, βσ2x tali che ασ2+βσ2x<2R 24 e quindi, per Q , x incontra r nella parte σ2; nel
caso c) vale πx e quindi, per il L EM M A , x incontra r. Dall’arbitrarietà di x segue ∀x¬p x, che è R .
22 Ecco la dimostrazione: L ∧Q
Q ⇔D F ∀x(π
πx→¬p x)∧∀x(¬π
πx→¬p x) ⇔L18 ∀x((π
πx→¬p x)∧(¬π
πx→¬p x)) ⇔L11 ∀x¬p x ⇔D F R .
23 La continuità della retta è una nozione implicita degli ELEMENTI. In questo caso ci si riferisce all’ASSIOMA di CONTINUITÀ
nella forma di Dedekind formulato nel sistema assiomatico di Hilbert [16
16.
16 p.134].
24 In Γ sussiste il teorema Se una retta incontra un’altra retta, la somma degli angoli adiacenti che si determinano è uguale
σ1
σ2
σ1
σ2
σ1
σ1
σ2
σ2
a 2R, cioè α +α =2R e β x+β x=2R da cui α +β x+α +β x=4R. Pertanto ασ1+βσ1x>2R equivale a ασ2+βσ2x<2R.
13
TE O R E M A 6 Gli enunciati R , C ∧Q
Q sono logicamente equivalenti in Γ
Γ C ∧Q
Q →R
R
R deriva Γ+CC +Q
Q R da cui Γ+(CC ∧Q
Q R e quindi Γ C ∧Q
Q →R
R.
D im .:
. Da Γ+CC Q →R
Γ R →CC ∧Q
Q
A E [4.3
4.3]
E da cui deriva Γ ¬E
E →¬A
A , cioè (1) Γ R →CC ; ma risulta
4.3 discende Γ A →E
D im .:
. Da Γ+A
anche (2) Γ R →Q
Q [TE O R E M A 5 ] e quindi, applicando L15 a (1), (2), si conclude Γ R →CC ∧Q
Q.
5 . 4 I due sistemi assiomatici Γeucl=Γ
Γass+Q
Q e Γell=Γ
Γ+R
R ,, tradizionalmente assunti per definire le
geometrie euclidea ed ellittica, mostrano la biforcazione tra le due geometrie sulla questione
dell’esistenza della parallela:
parallela la negazione del teorema E di Γass è l’assioma R di Γell. Nella
geometria di Euclide l’esistenza delle parallele è dimostrata sulla base della nozione retta
aperta, in quella di Riemann la non esistenza di parallele viene assunta come assioma e non
viene dimostrata sulla base della nozione retta chiusa.
Nell’assiomatizzazione tradizionale, dunque, R è assioma e C e Q sono teoremi, nella nuova
assiomatizzazione C e Q sono assiomi e R teorema: un banale eppur fondamentale, come
vedremo, scambio di ruoli. I sistemi assiomatici delle due geometrie diventano così
Γeucl=Γ
Γ+Q
Q +A
A e Γell=Γ
Γ+Q
Q +CC , in cui il sottosistema incompleto Γ+Q
Q evidenzia la biforcazione
tra le due geometrie sulla questione della concezione della retta.
5.5 La PROPOSIZIONE 28 / ∀x(π
πx→p x) e l’enunciato L / ∀x(π
πx→¬p x) svolgono un ruolo
chiave nelle geometrie assoluta ed ellittica:
- ∀x(π
πx→p x), teorema di Γass=Γ
Γ+A
A , afferma che tutte le rette coortogonali sono parallele e,
visto che alla PROPOSIZIONE 31 Euclide dimostra che la retta π è coortogonale,
coortogonale ne consegue che
la retta π è parallela e quindi vale E ;
- ∀x(π
πx→¬p x), teorema di Γell=Γ
Γ+Q
Q +CC , afferma che tutte le rette coortogonali sono non
parallele e spiega perché nel MODELLO DI RIEMANN, qualora il punto esterno all’equatore sia il
polo <N,S>, le infinite rette coortogonali
coortogon ali [NOTA 16] sono non parallele.
parallele
Il sistem a assiom atico Γ+Q
Q
Q sussistono sia nella geometria euclidea che in
5 . 6 I teoremi del sistema assiomatico Γ+Q
quella ellittica. Oltre al fondamentale L E M M A , in Γ+Q
Q sussistono le significative equivalenze
logiche tra A ,E
E e tra le rispettive negazioni C ,R
R , [2.1
2.1,
2.1 punto 3)]:
TE O R E M A 7 Gli enunciati A , E e C , R sono logicamente equivalenti in Γ+Q
Q
D im .: Nella geometria assoluta Γass=Γ
Γ+A
A , l’enunciato E è un teorema, cioè Γ+A
A E , da cui si
ottiene Γ A →E
E , Γ ¬E
E →¬A
A , Γ R →CC . In Γ dunque l’apertura della retta implica l’esistenza
della parallela,
Q sussistono anche le
parallela la non esistenza della parallela ne implica la chiusura. In Γ+Q
implicazioni inverse: per il TE O R EM A 5 si ha Γ+CC Q →R
R da cui Γ+CC +Q
Q R , Γ+Q
Q C →R
R , Γ+Q
Q
¬RR →¬CC , Γ+QQ E →AA . Dato che Γ Q è soprasistema di Γ, in Γ Q sussiste l’equivalenza logica
tra A , E e le rispettive negazioni C , R ,.
In Γ+Q
Q accade dunque che la retta è aperta se e solo se esiste almeno una parallela (geometria
euclidea) e che la retta è chiusa se e solo se non esiste alcuna parallela (geometria ellittica). Nel
TE O RE M A 7 l’inverso di Γ ⊢A
A →E
E si fonda sull’assunzione Q (infatti Γ+Q
Q ⊢E
E →A
A ).
14
Indipendenza reciproca di A , Q e C , Q rispetto a Γ
2.6]
5 . 7 L’indipendenza reciproca [2.6
2.6 dei postulati euclidei A , Q rispetto al sistema Γ analogamente a quella degli enunciati non euclidei E , U [44 . 9 ] - schiude le porte non solo alla
geometria di Euclide ma anche, affermando il primo e negando il secondo, a quelle non
euclidee.
TE O R E M A 8 Gli enunciati A , Q sono reciprocamente indipendenti rispetto a Γ
D im .: A , Q sono reciprocamente indipendenti rispetto a Γ dato che gli enunciati ¬A
A ∧Q
Q , A ∧Q
Q , A ∧¬Q
Q
sono veri nei rispettivi modelli di Γ della geometria ellittica, euclidea e iperbolica [2.7
2.7].
2.7
5 . 8 L’indipendenza reciproca di C , Q rispetto al sistema Γ si fonda sull’esistenza dei modelli
delle geometrie euclidea ed ellittica, nonché su quella di un modello della geometria
iperbolica proiettiva in cui non sussistono né il secondo né il quinto postulato di Euclide: 25
TE O R E M A 9 Gli enunciati C , Q sono reciprocamente indipendenti rispetto a Γ
D im .: C , Q sono reciprocamente indipendenti rispetto a Γ dato che gli enunciati ¬CC ∧Q
Q , C ∧Q
Q , C ∧¬Q
Q
sono veri nei rispettivi modelli di Γ delle geometrie euclidea, ellittica e iperbolica proiettiva [2.7
2.7].
2.7
5.9 Se la retta è assiomatizzata aperta – cioè se si assume A - l’esistenza di un modello
iperbolico prova l’indipendenza e l’indimostrabilità di Q rispetto a Γass=Γ
Γ+A
A : è stato questo il
risultato storicamente importante scaturito dalla creazione dei modelli iperbolici [1.3
1.3].
1.3 Se
invece la retta è assiomatizzata chiusa – cioè se si assume C - l’esistenza di un modello
iperbolico proiettivo prova l’indipendenza e l’indimostrabilità di Q rispetto al sistema Γ+CC .
D a dove spunta la geom etria iperbolica
i perbolica proiettiva?
5.10
5.
10 Già sappiamo che l’enunciato ¬U
U E consente di introdurre le due geometrie non euclidee
sulla base dell’equivalenza ¬U
U E ⇔D F ¬(E
E ∧U
U ) ⇔L5 ¬E
E ∨¬U
U . L’enunciato ¬E
E ∨¬U
U asserisce la
non esistenza di alcuna parallela oppure l’esistenza di almeno due parallele.
parallele Da dove spunta
allora la quarta geometria, quella iperbolica proiettiva?
TE O R E M A 1 0
Gli enunciati ¬U
U E , ¬A
A ∨¬Q
Q sono logicamente equivalenti in Γ
D im .:¬U
E ∧U
U ) ⇔D F,TF ¬(¬R
R ∧Q
Q ) ⇔L5,L1 R ∨¬Q
Q ⇔T6 (Q
Q ∧¬A
A )∨¬Q
Q ⇔L12 (Q
Q ∨¬Q
Q )∧(¬A
A ∨¬Q
Q ) ⇔L2 ¬A
A ∨¬Q
Q
.: U E ⇔D F ¬(E
U è stato sostituito da Q per il T E O RE M A F ON D A M E N TA LE TF [6.1
6.1];
A ∨¬Q
Q sussiste
6.1 l’enunciato ¬A
in tutte e tre le geometrie ellittica, iperbolica e iperbolica proiettiva.
25 In [16
16,
16 p.115] l’Autore mette in evidenza il legame tra le geometrie non euclidee e la geometria proiettiva: «Vi è quindi
una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta r e le rette passanti per un punto non su r. Ne segue che l’ordinamento
dei punti di una retta r diviene di tipo ciclico, isomorfo a quello delle rette del fascio di rette per P (è come se il punto
improprio chiudesse la retta). […]. Il risultato principale è che la geometria proiettiva costituisce un sistema geometrico
all’interno del quale si possono poi introdurre diverse metriche e sviluppare tutte e tre le geometrie incontrate (euclidea,
iperbolica, ellittica)». È interessante porre in evidenza che la corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta r e il fascio di
rette per un punto esterno P trova la sua ragione fondante sul quinto postulato Q assunto in Γ+CC [LE M M A 5.2]
5.2 ed anche che
l’ordinamento di tipo ciclico, isomorfo a quello del fascio di centro P, della retta iperbolica proiettiva s trova, a sua volta, la
propria ragione fondante sul POSTULATO J , secondo cui le rette per P che formano un angolo minore dell’angolo di
parallelismo incontrano la retta s.
15
6 . E QU IV A LE N Z A LOG ICA T RA Q, U E TRA Q, U E
6.1 Dimostriamo, finalmente, il teorema fondamentale. 26
TE O R E M A F O N D A M E N TA LE Gli enunciati Q , U sono logicamente equivalenti in Γ
Γ Q →U
U
A.
D im .: Poniamoci in Γ e assumiamo Q . Per L2 risulta A ∨¬A
Assumendo A ci poniamo nella geometria euclidea Γ Q A dove vale la PROPOSIZIONE 31,
31 in cui
Euclide dimostra esistenza e unicità della retta x per cui vale πx, che è la retta coortogonale π.
Applicando la PROPOSIZIONE 28 / ∀x(π
πx→p x) si ottiene che π è parallela e applicando quindi la
PROPOSIZIONE 29 / ∀x(p x→π
πx) si ottiene che π è l’unica parallela,
parallela cioè vale U .
A , cioè C , ci poniamo in Γ Q ¬A
A . Per il TE ORE M A 5 Q ∧¬A
A è logicamente
Assumendo ¬A
equivalente a R in Γ e quindi non esiste alcuna parallela.
parallela In conclusione - per L2 - vale U .
Γ U →Q
Q
Poniamoci in Γ e assumiamo U : accade che (0) non passa alcuna parallela oppure (1) passa una e
una sola parallela.
parallela Nel caso (0) vale R ed essendo Γ R Q si ottiene Q .
Nel caso (1) proviamo la contronominale ¬Q
Q →¬U
U . L’enunciato ¬Q
Q [3.5
3.5]
3.5 significa che esiste una
retta parallela non coortogonale,
coortogonale chiamiamola x0: essa forma l’angolo βxo tale che α+βxo<2R. Si
consideri un angolo βx1 tale che α+βxo<α+βx1<2R: anche la retta x1 è parallela perché, se incontrasse
la retta r in X1, la retta x0, attraversando in P il triangolo APX1, dovrebbe incontrare per l’ASSIOMA
di PASCH 27 la retta r, contraddicendo il fatto che essa è parallela.
parallela Quindi x0, x1 sono due parallele
distinte, cioè risulta ∃x∃y(p x∧p y∧x≠y), che è ¬U
U . Quindi, per L 7 , U →Q
Q.
Il teorema seguente si riferisce ai sistemi Γell, Γeucl,. Γiper, soprasistemi di Γ.
TE O R E M A FO N D A M E N TA LE 1
Q , U sono logicamente equivalenti nei
sistemi di assiomi che esprimono le tre geometrie ellittica, euclidea, iperbolica.
6.2 I tre teoremi seguenti riguardano invece gli enunciati U , U E . Si ricordi che U E ⇔D F U ∧E
E.
TE O R E M A 1 1 U , U E sono logicamente equivalenti in Γass=Γ
Γ+A
A
Γass U ∧E
E →U
U D im .:
. Immediata per L 4 .
Γass U →U
U ∧E
E D im .:
E.
. E è teorema di Γass e quindi, assumendo U , segue U ∧E
TE O R E M A 1 2
U , U E non sono logicamente equivalenti in Γell
D im .:. Nella geometria ellittica U è vero e U E è falso, pertanto U , U E non sono logicamente
equivalenti in Γell [2.
2.2
2. 2 ].
I sistemi Γeucl=Γ
Γass+Q
Q , Γiper=Γ
Γass+JJ sono soprasistemi di Γass.
TE O R E M A FO N D A M E N TA LE 2
U , U E sono logicamente equivalenti nei sistemi di
assiomi delle geometrie euclidea e iperbolica, ma non nel sistema della geometria ellittica.
26 Generalmente le dimostrazioni di equivalenza logica tra Quinto Postulato e Unicità della parallela sono proposte in Γass,
dove unicità significa U E , e vengono fondate sul teorema E : così accade in [17
17,
16,
17 pp.145-147]. In [16
16 pp.52-53], invece, unicità
significa U , ma non si specifica il sistema assiomatico e non si rileva la verità di Q nella geometria ellittica. Va da sé che
l’equivalenza logica in questione vada provata nel sistema fondamentale Γ, sottosistema dei sistemi Γell, Γass,, riconoscendo la
verità di Q nella geometria ellittica (vuoi come teorema di Γ+R
R vuoi come assioma di Γ+Q
Q +CC ). Nella dimostrazione proposta
giocano un ruolo essenziale L 2 applicata all’assioma A e l’equivalenza logica tra R , Q ∧CC in Γ.
27 L’ASSIOMA di PASCH Se una retta entra all’interno di un triangolo allora ne esce (ASSIOMA II.4 di Hilbert [16
16,
16 p.124])
dimostra il teorema Una semiretta che ha origine nel vertice di un triangolo e passa per un punto interno al triangolo
incontra il lato opposto a questo vertice. [16
16,
16 p.128]).
16
6 . 3 Il TE OR E M A F ON D A M E N TA LE 2 sussiste oltre che per U , U E anche per Q , U E , essendo U , Q ,
per il TE ORE M A F ON D A M E N TA LE 1 , logicamente equivalenti in tutte e tre le geometrie.
7 . E N U N CIA TI LOG ICA M E N TE E QU IV A LE N TI A Q
7 . 1 I due T E O RE M I F ON D A M E N TA LI 1, 2 hanno evidenziato due diverse forme di equivalenza
logica: nel primo Q , U sono logicamente equivalenti in sistemi di assiomi che esprimono le
geometrie euclidea, iperbolica ed ellittica; nel secondo U E , U (e quindi, per il primo teorema,
anche U E , Q ) sono logicamente equivalenti in sistemi di assiomi per le geometrie euclidea e
iperbolica, ma non in un sistema di assiomi per la geometria ellittica.
7 . 2 A questo punto la distinzione tra i due enunciati U , U E potrebbe sembrare pignola o
persino irrilevante, dato che essi sono logicamente equivalenti a Q sia nella geometria euclidea
che in quella iperbolica, e non lo sono soltanto in quella ellittica. In questo PARAGRAFO si
mostrerà che la suddetta distinzione teorica tra U , U E introduce nella classe degli enunciati
logicamente equivalenti a Q un’importante partizione in due sottoclassi U , U E , a conferma
della rilevanza della dicotomia euclidea: TEORIA DELLE PARALLELE | GEOMETRIA ASSOLUTA.
Naturalmente, considereremo soltanto alcuni tra gli enunciati più significativi.
La classe di enunciati U
7.3 Gli enunciati della classe
UNICITÀ U
U , rappresentata dall’enunciato U , sono i seguenti:
Per un punto esterno a una retta data passa al più una retta parallela.
S e una parallela esiste allora essa è unica.
PROPOSIZIONE 30:
30 SE due rette sono parallele a una terza A LL ORA
PLAYFAIR: SE due rette sono incidenti A LL ORA non sono parallele
PROCLO: SE una retta è tagliata da una trasversale A LL OR A ogni
sono parallele tra loro.
a una terza.
retta parallela alla retta data
è tagliata dalla trasversale.
POSTULATO Q : SE due rette tagliate da una trasversale formano dalla stessa parte due angoli
coniugati interni con somma minore di due retti A LL ORA si incontrano da quella stessa parte.
PROPOSIZIONE 29:
29 SE due rette sono parallele A LLO RA formano con una trasversale angoli
coniugati interni supplementari.
TE O R E M A 1 3 Tutti gli enunciati di U sono logicamente equivalenti a U in Γ
e quindi anche nei sistemi di assiomi che esprimono tutte e tre le geometrie..
D im .: Per provare l’equivalenza sintattica [2.3
2.3]
2.3 tra U , PROPOSIZIONE 30,
30 PLAYFAIR, PROCLO si pone:
aPP b ⇔D F la retta a è parallela alla retta b
Per esprimere l’unicità ∀x∀y(p x→(p y→x=y)) mediante il predicato aPP b traduciamo la formula
p x→(p y→x=y) contenente p x (le variabili x,y…denotano rette passanti per P) in una formula
contenente aPP b (le variabili a,b,c… denotano rette arbitrarie). Risulta:
p x→(p y→x=y) ⇔L 7 p x→(x≠y→¬p y) ⇔L 13 x≠y→(p x→¬p y) che significa Se due rette passanti per P
sono distinte e se la prima è parallela a una terza allora la seconda non è parallela alla terza
terza; traducendo
quindi x≠y in a≠b∧¬aPP b,28 p x in aPP c, ¬p y in ¬bPP c, la formula x≠y→(p x→¬p y) diviene
(a≠b∧¬aPP b)→(aPP c→¬bPP c), cioè [L
L 14]
14 (a≠b→(¬aPP b→(aPP c→¬bPP c)), da cui l’unicità:
UNICITÀ U
∀a∀b∀c(a≠b→(¬aPP b →(aPP c→¬bPP c))
Anche gli enunciati 30,
30 PLAYFAIR, PROCLO si possono formulare mediante il predicato binario aPP b:
le rette a,b in essi citate sono tra loro diverse, pertanto si deve assumere l’antecedente a≠b: 29
PROPOSIZIONE 30
∀a∀b∀c(a≠b→(aPP c∧bPP c→aPP b))
28 Due rette a,b sono incidenti se e solo se sono diverse e non sono parallele, cioè a≠b∧¬aPP b.
29 La definizione euclidea di rette parallele esclude che una retta a possa essere parallela a se stessa (cioè la formula aPP a è
falsa), pertanto l’omissione dell’antecedente a≠b renderebbe falsi gli enunciati U , 30,
30 PLAYFAIR e PROCLO in un’assegnazione
per cui per a=b, aPP c.
17
PLAYFAIR:
PROCLO
∀a∀b∀c(a≠b→(¬aPP b→¬(aPP c∧bPP c)))
∀a∀b∀c(a≠b→(¬aPP b→(aPP c→¬bPP c))
Applicando soltanto leggi logiche ai quattro enunciati predicativi U , 30,
30 PLAYFAIR, PROCLO, si
dimostra la loro equivalenza sintattica ponendoli nella forma:30
∀a∀b∀c(a≠b→(aPP c→(bPP c→aPP b)))
[⇔L14 ∀a∀b∀c(a≠b∧aPP c∧bPP c→aPP b)]
la cui negazione risulta [L9
L9,
L9 L16]
L16
¬U
U
∃a∃b∃c(a≠b∧aPP c∧bPP c∧¬aPP b)
che afferma E sistono tre rette tali che le prime due sono incidenti [a≠b∧¬aPP b] ed entrambe sono parallele
alla terza [aPP c∧bPP c]: il punto di incidenza P esiste ed è unico essendo a,b diverse e non parallele,
ed è esterno a c, essendo a,b diverse da c in quanto ad essa parallele. T1 assicura che la negazione
U restituisce i quattro enunciati U , PROPOSIZIONE 30,
di ¬U
30 PLAYFAIR, PROCLO, a conferma della
loro equivalenza sintattica.
In conclusione risulta: a) U , 30,
30 PLAYFAIR, PROCLO sintatticamente equivalenti; b) Q , 29
logicamente equivalenti in Γ [L7
L7];
L7 c) U , Q logicamente equivalenti in Γ (TE ORE M A FON D AM E N TA LE
[6.1
6.1]).
6.1 Ricordando che l’equivalenza sintattica implica l’equivalenza logica in un arbitrario sistema
di assiomi [2.
2.3
2. 3 ], si deduce l’equivalenza logica degli enunciati U , 30,
30 PLAYFAIR, PROCLO, Q , 29 nel
sistema assiomatico Γ.
7.4 Dal TE OR E M A 13 segue che tutti gli enunciati della classe U hanno lo stesso valore di
verità di U : veri nelle geometrie ellittica31 ed euclidea, falsi nella geometria iperbolica. Il
TE O RE M A 13 sussiste nel sistema Γ, rispetto al quale l’esistenza E è indipendente (i sistemi
Γ+E
E , Γ+¬E
E possiedono rispettivamente i modelli euclideo ed ellittico [2.
2.5
2. 5 ]); pertanto, in
un’ipotetica riscrittura del LIBRO I degli ELEMENTI, gli enunciati della classe U potrebbero
essere premessi alla PROPOSIZIONE 31,
31 ad integrazione della TEORIA DELLE PARALLELE.
La classe di enunciati U E
7 . 5 Alcuni degli enunciati della classe U E , rappresentata dall’enunciato U E , sono i seguenti:
UE
Per un punto esterno ad una retta esiste ed è unica la retta parallela alla retta data
una coppia di triangoli simili non congruenti.
un triangolo con somma angolare 2R.
un rettangolo.
una coppia di rette equidistanti.
un triangolo di area arbitrariamente grande.
un triangolo rettangolo in cui il teorema di Pitagora è vero.
un cerchio passante per tre punti non allineati.
Tutti gli enunciati di U E sono – come l’enunciato U E – falsi nelle due geometrie ellittica e
iperbolica, veri in quella euclidea. La dimostrazione del teorema che segue viene omessa.
E SISTE
E SISTE
E SISTE
E SISTE
E SISTE
E SISTE
E SISTE
TE O R E M A 14 Gli enunciati di U E sono logicamente equivalenti a U E in Γass e in
Γell e, di conseguenza, anche nei sistemi di assiomi di tutte e tre le geometrie.32
Tutti gli enunciati di U E – a differenza di quelli di U – presuppongono non solo l’unicità U
della parallela ma anche la sua esistenza E . In un’ipotetica riscrittura del LIBRO I degli
ELEMENTI potrebbero essere posposti alla PROPOSIZIONE 31.
31
30 A titolo di esempio, trasformiamo nella forma (1) la formula dell’UNICITÀ:
a≠b→(¬aPP b→(aPP c→¬bPP c)) ⇔L13 a≠b→(aPP c→(¬aPP b→¬bPP c)) ⇔L7 a≠b→(aPP c→(bPP c→aPP b)).
31 Nella geometria ellittica i condizionali U , 29,
29 30 hanno antecedente falso, mentre i condizionali
hanno conseguente vero.
32 Alcune dimostrazioni di equivalenza logica tra U E e gli enunciati di U E si trovano in [17
17,
17 cap. 6 ].
18
PLAYFAIR, PROCLO,
Q
19
8 . SCH E M I D I RIE PILOG O
8 .1 Gli schemi seguenti riassumono i valori di verità delle proposizioni di Euclide e degli
enunciati E , U , U E :V
V sta per V ero,, F per F also.
PR OPO SIZ ION I D I E U CL ID E
Proposizioni
28
Q
29
30
31
Espressione formale
∀x(π
πx→p x)
∀x(¬π
πx→¬p x)
∀x(p x→π
πx)
∀a∀b∀c(a≠b→(aPP c∧bPP c→aPP b))
∃xp x
G .euclidea
V
V
V
V
V
G .iperbolica
V
F
F
F
V
G .ellittica
.el littica
F
V
V
V
F
G LI E N U N CIA TI E , U , U E
E nunciati
E / 31
¬E
E /R
U / E →U
U
U E / E ∧U
U
¬U
U /J
¬U
U E / ¬E
E ∨¬U
U
Espressione formale
∃xp x
∀x¬p x
∃xp x∧∀x∀y(p x∧p y→x=y)
∀x¬p x∨∃x∃y(p x∧p y∧x≠y)
G .euclidea
V
F
V
V
F
F
G .iperbolica
V
F
F
F
V
V
G .ellittica
F
V
V
F
F
V
L’equivalenza logica degli enunciati U , Q , 29,
29 30 implica che in ciascuna delle tre geometrie
essi hanno identici valori di verità. U e U E hanno lo stesso valore di verità nelle geometrie
euclidea e iperbolica in quanto logicamente equivalenti in Γass; in Γell invece, dove hanno
valori di verità diversi, non sono logicamente equivalenti [2.2
2.2].
2.2
E sistenza E e unicità U
8 . 2 Esaminiamo le seguenti tavole di verità dei diversi connettivi ↔, →, ∨, ∧ che legano E , U
e le rispettive negazioni. Se indichiamo con n il numero di parallele,
parallele l’esistenza E significa n ≥1
(e quindi ¬E
E significa n=0)
U significa n>1).
n=0 e l’unicità U significa n ≤1 (e quindi ¬U
n>1 Resta
esclusa l’assegnazione E falso (n=0
n=0 ) e U falso (n>1
n>1)
n>1 per incompatibilità [TE O RE M A 2 ; 0 .1].
.1
E
V (n≥
(n ≥1)
V (n≥
(n ≥1)
F (n=0)
U
V (n≤
(n ≤1)
F (n>1)
V (n≤
(n ≤1)
N
n=1
n>1
n=0
TA V O L A ↔
G eom etrie
E ↔U
U /¬U
E
/ U ↔¬E
E uclidea
V
Iperbolica
F
E llittica
F
E ↔¬U
U / U ↔¬E
E
F
V
V
E , U convivono soltanto nella geometria euclidea, mentre confliggono in quelle non euclidee.
E
U
V (n≥
(n ≥1)
V (n≥
(n ≥1)
F (n=0)
V (n≤
(n ≤1)
F (n>1)
V (n≤
(n ≤1)
N
n=1
n>1
n=0
TA V O L A →,∨
D iretta
E →U
U
Contronominale
¬U
U →¬E
E
Filone M egarico
¬E
E ∨U
U
G . euclidea
V
G . iperbolica
F
G . ellittica
V
U →E
E
¬E
E →¬U
U
E ∨¬U
U
V
V
F
E →¬U
U
U →¬E
E
¬E
E ∨¬U
U
F
V
V
¬E
E →U
U
¬U
U →E
E
E ∨U
U
V
V
V
Lo schema descrive sia implicazioni (dirette e contronominali legate da L 7)
7 che disgiunzioni
ottenute dalle implicazioni mediante L 8.
U ⇔L8 ¬U
U →E
E ⇔L 7 ¬E
E →U
U è
8 La disgiunzione E ∨U
vera in tutte le interpretazioni ed esprime un legame necessario tra E ,U
U [TE ORE M A 2, 0 .1].
.1
E
V (n≥
(n ≥1)
V (n≥
(n ≥1)
F (n=0)
U
V (n≤
(n ≤1)
F (n>1)
V (n≤
(n ≤1)
N
n=1
n>1
n=0
TA V O L A ∧
G eom etrie E ∧¬U
U
E uclidea
F
Iperbolica
V
E llittica
F
¬E
E ∧U
U
F
F
V
E ∧U
U
V
F
F
¬E
E ∧¬U
U
F
F
F
La T A V O L A ∧ scambia i valori di verità della T A V O L A →,∨ [L6
L6]:
E ∧¬U
U è
L6 la congiunzione ¬E
sempre falsa [TE O RE M A 2, 0 .1]
.1 e ciascuna delle altre tre è vera in una sola delle tre geometrie.
20
9 . BRE V E STORIA D E G LI E N U N CIA TI U , U E
9 .1 L’ambiguità di significato del termine unicità, interpretabile sia come U E che come U
[00 . 3 ], si riflette direttamente sulla storia recente dei due enunciati, producendo confusioni e
sovrapposizioni di significato. Effettueremo un’indagine circoscritta all’origine dei due
enunciati, focalizzando l’analisi su due fondamentali ed emblematiche opere che racchiudono
l’Ottocento, il “secolo della geometria”: gli Elements of Geometry di John Playfair
(1748-1819) e i Grundlagen der Geometrie di David Hilbert (1862-1943).
Nella prima edizione (1795) degli Elements of Geometry:
- alla pag. VII della PREFAZIONE John Playfair scrive «Un nuovo assioma è dunque introdotto al
posto dell’Assioma 12 di Euclide [Quinto Postulato], allo scopo di dimostrare più facilmente
alcune proprietà delle rette parallele»;
- alla pag. 7 Playfair enuncia, come ultimo della lista degli assiomi e unico tra virgolette,
l’ASSIOMA XI. «T w o straight lines cannot be draw n through the same point, parallel to the same straight line,
D ue rette non possono essere condotte per lo
w ithout coinciding w ith one another» «D
l o stesso punto, parallele alla
stessa retta, senza coincidere una con l’altra»
l’altra 33, cioè ¬∃x∃y(p x∧p y∧x≠y) equivalente alla ben nota
unicità ∀x∀y(p x∧p y→x=y);
- alle pagg. 30-31 Playfair, per dimostrare il TEOREMA 29,
29 e conclude «…pertanto
29 assume ¬29
sono state condotte per uno stesso punto G due rette parallele a CD non coincidenti una con l’altra,
U (e perciò afferma U ).
il che è impossibile»: ancora una volta Playfair afferma l’impossibilità di ¬U
Quindi dimostra Q come COROLLARIO;
- alla pag. 354 nelle NOTE, dopo aver enunciato Q , Playfair commenta: «Al posto di questa
proposizione che, per quanto vera, non è affatto autoevidente, ne è stata introdotta un’altra che
sembra più ovvia e più titolata ad essere annoverata come assioma: D ue rette non possono essere
c ondotte per lo stesso punto, parallele alla stessa retta, senza coincidere una con l’altra »; Playfair conferma
l’assunzione del suo ASSIOMA XI. al posto della proposizione “non autoevidente” Q .
Nella edizione del 1819 degli Elements of Geometry troviamo l’ASSIOMA XI. con una
formulazione diversa ma sintatticamente equivalente [7.3
7.3]:
7.3
- alla pag. 21 Playfair enuncia, come ultimo della lista degli assiomi e unico tra virgolette,
l’ASSIOMA XI. «T w o straight lines w hich intersect one another, cannot be both parallel to the sam e straight
line» «D
D ue rette che si intersecano una con l’altra, non possono essere parallele alla stessa retta».
retta Questo è
esattamente l’enunciato che abbiamo chiamato PLAYFAIR in [7.3
7.3],
7.3 sintatticamente equivalente a U .
Nell’edizione postuma degli Elements of Geometry (1835) “interamente rimodellata” da
James Ryan troviamo, con una numerazione diversa, l’ASSIOMA XI. dell’edizione del 1819, il
TEOREMA Q , seguito da un nuovo e speciale COROLLARIO, ovvero l’enunciato di unicità U :
- alla pag. 8, come ultimo della lista degli assiomi e unico tra virgolette, si legge l’ASSIOMA «D
D ue
rette che si intersecano una con l’altra, non possono essere parallela alla stessa retta»;
retta
- alla pag. 21 Q diviene un TEOREMA seguito dal COROLLARIO «Through a given point G , no more than
one line can be draw n parallel to a given line CD » «PP er un dato punto G , non può essere condotta più di una
retta parallela a una retta data CD », il quale esprime esattamente U .
Le edizioni degli Elements of Geometry del 1860 e del 1866 riportano sempre la versione
dell’ASSIOMA XI. dell’edizione del 1819, ma non ripropongono più il singolare COROLLARIO
espresso da James Ryan. Notiamo che esso è l’enunciato di unicità U , nella forma proposta
nel PROLOGO: per ovvie ragioni cronologiche non è attribuibile a Playfair (anche perché
nell’edizione del 1819, anno della morte di Playfair, il COROLLARIO non compare).
33 Qualcuno, verosimilmente, ha forzato l’interpretazione dell’ASSIOMA XI. nell’enunciato U E “Per un punto è possibile
condurre una sola parallela”, dando vita così al cosiddetto Postulato di Playfair. In realtà. l’ASSIOMA XI. significa “Per un
punto è possibile condurre al più una parallela”, il che coincide con l’enunciato U : come se la norma di monogamia, cioè di
unicità del consorte, dovesse implicare l’esistenza del consorte, ovvero lo status matrimoniale. Questi problemi interpretativi
sono assenti nella versione dell’edizione del 1819.
21
Nel 1885 Lewis Carroll (pseudonimo di Charles L. Dodgson, autore di Alice nel paese della
meraviglie) in [77 , p.45] cita ancora come «Assioma di Playfair» l’enunciato «Tw o intersectional
Lines cannot both be separational from the sam e Line» «D
D ue rette incidenti non possono essere parallele
alla stessa retta»,
retta ossia la versione dell’ASSIOMA XI. dell’edizione del 1819.
Le ricerche svolte indicano che nelle diverse edizioni degli Elements of Geometry non c’è
traccia dell’enunciato U E : concludiamo che l’unica denominazione verosimilmente corretta di
ASSIOMA DI PLAYFAIR è quella dell’ASSIOMA XI. (già espresso nella forma PLAYFAIR [7.3
7.3]),
7.3
formulato espressamente come tale e dichiarato equivalente a Q dallo stesso Playfair.
ASSIOMA DI PLAYFAIR
“ D ue rette che si intersecano una con l’altra,
l’alt ra, non possono essere parallele alla stessa retta”
rett a”
PLAYFAIR
SE due
rette sono incidenti A LLO RA non sono parallele
parall ele a una terza
9 . 2 Nelle prime tre edizioni (1899, 1903, 1909) dei Grundlagen der Geometrie al paragrafo
intitolato “&7 ASSIOMA DELLE PARALLELE” [88 , p.10] David Hilbert scrive (le varianti rispetto
alla quarta edizione sono sottolineate):
«L’Assioma delle Parallele ora suona: IV (Assioma di Euclide).
Sia a una retta qualunque e A un punto esterno ad a: allora c’è nel piano determinato da a e A
solo una retta b [nur eine], che passa per A e non incontra a; questa è detta la parallela ad a
passante per A».
Nella quarta edizione (1913) dei Grundlagen der Geometrie al paragrafo intitolato “&7
ASSIOMA DELLE PARALLELE” [10
10,
10 p.20] Hilbert scrive (le varianti rispetto alla terza edizione
sono sottolineate):
«L’Assioma delle Parallele ora suona: IV (Assioma di Euclide).
Sia a una retta qualunque e A un punto esterno ad a: allora c’è nel piano determinato da a e A al
più [höchstens] una retta, che passa per A e non incontra a.
Commento: Da quanto precede e dai fondamenti degli assiomi delle parallele noi sappiamo che c’è
una e una sola retta nel piano determinato da a e A, la quale passa per A e non incontra a; noi
chiamiamo questa la parallela ad a per A.»
Nelle prime tre edizioni (1899, 1903, 1909) Hilbert assume come A ssiom a delle Parallele o
A ssiom a di E uclide l’enunciato U E ed ingloba la definizione di retta parallela all’interno
dell’assioma, mentre nella quarta edizione (1913) e successive assume come A ssiom a delle
Parallele o A ssiom a di E uclide l’enunciato U e nel COMMENTO menziona il teorema di esistenza
di una retta che viene definita retta parallela.
9 . 3 All’enunciato U E qualcuno (chi?) ha attribuito il nome Postulato di Playfair , Hilbert invece
quello di A ssiom a delle Parallele e A ssiom a di E uclide.
uclide Un destino proprio bizzarro, perché nessuna
di queste denominazioni è davvero confacente: non solo Playfair non ha mai espresso U E e ha
invece assunto de facto l’ASSIOMA XI. sintatticamente equivalente a U [7.3], ma addirittura
Hilbert stesso nella quarta edizione dei Grundlagen der Geometrie si corregge e trasferisce da
U E a U le due suddette denominazioni.
9.4 Hilbert verosimilmente non ha fornito alcuna ragione della sua radicale e fondamentale
modifica, quasi a voler farla passare sotto silenzio: tra il 1909 e il 1913 verosimilmente
comprese che non è corretto chiamare U E Assioma di Euclide giacché esso incorpora il
teorema di esistenza dimostrato da Euclide stesso. Qualche precisazione da parte
dell’autorevole matematico avrebbe verosimilmente evitato l’incresciosa confusione creata o
quantomeno alimentata dall’ambiguità delle sue denominazioni, purtroppo tuttora persistente.
22
E PILOG O
L’enunciato U E e gli enunciati U , E
Lo schema seguente mostra origini e sviluppi della dicotomia euclidea:
G eom etria
prim a di E uclide
Teorie della
G eom etria di E uclide
Proposiz ioni
di Euclide
E nunciati
E quivalenti
Problema
delle
Parallele
Teoria delle Parallele
Q
U
G eom etria Assoluta
Proposizione 31
E
Casi
L ogici
¬E
E ∧U
U
G eom etrie
E ∧U
U
E uclidea
E ∧¬U
U
Iperbolica
E llittica
La prima sezione dello schema si riferisce genericamente allo status del problema delle
parallele antecedente Euclide: sin dall’epoca dei Pitagorici e fino ad Aristotele [NOTA 20] era
consuetudine tracciare “la” retta parallela,
parallela sebbene Aristotele stesso manifestasse dubbi
riguardo l’esistenza di rette parallele [NOTA 21].
La seconda sezione si riferisce a quanto de facto è contenuto negli ELEMENTI, dove Euclide,
anziché introdurre un postulato specifico (U
U E o qualcosa di simile) per giustificare la
correttezza della costruzione della parallela,
parallela affronta il problema sviluppando due distinte
teorie: da un lato la GEOMETRIA ASSOLUTA che dimostra il teorema diretto sulle parallele
(PROPOSIZIONI 27,28
27 28)
28 nonché l’esistenza della parallela (PROPOSIZIONE 31),
31 dall’altro la TEORIA
DELLE PARALLELE che, sulla base del quinto postulato Q , dimostra il teorema inverso delle
parallele (PROPOSIZIONE 29).
29 Quando nelle proposizioni successive (ad esempio, già alla
PROPOSIZIONE 32)
32 si trova nella necessità di tracciare rette parallele, Euclide applica
scrupolosamente prima la PROPOSIZIONE 31,
31 poi la PROPOSIZIONE 29,
29 evitando di tracciare
direttamente “la” parallela,
parallela come invece avevano fatto i Pitagorici ed Aristotele.
La seconda e terza sezione sono collegate dai seguenti fatti logico-matematici:
- il TE O RE M A FO N D A M E N TA LE 1 dimostra che Q , U sono logicamente equivalenti nei sistemi
assiomatici di tutte e tre le geometrie [6.
6.1
6. 1 ];
- il TE ORE M A F ON D A M E N TA L E 2 dimostra che Q , U E sono logicamente equivalenti nei sistemi
delle geometrie euclidea e iperbolica, ma non lo sono nella geometria ellittica [6.
6.2
6. 2 ].
La sostituzione di Q con U è corretta
La sostituzione di Q con U E non è corretta
L’indagine storica [9.2
9.2]
9.2 porta a congetturare che la responsabilità dell’introduzione di U E al
posto di Q sia da ascrivere ad Hilbert stesso il quale, tuttavia, nella quarta edizione (e
successive) dei Grundlagen der Geometrie si corregge e sostituisce U E con U .
Così come Hilbert ha riconosciuto e rettificato il proprio errore, altrettanto dovrebbero fare i
matematici, non solo per le ragioni di ordine logico sopra esposte, ma anche e soprattutto per
rendere giustizia storica all’Autore degli ELEMENTI. Euclide infatti, dopo aver provato il
teorema diretto delle parallele, verosimilmente intense soltanto provare il teorema inverso;
non riuscendoci, postulò Q : un’intuizione geniale perché de facto ha generato le dicotomie
euclidee TEOREMA DIRETTO 28 | TEOREMA INVERSO 29,
29 PROPOSIZIONE 31 | POSTULATO Q ,
GEOMETRIA ASSOLUTA | TEORIA DELLE PARALLELE, creando le premesse alla dicotomia
ESISTENZA E | UNICITÀ U , la cui indipendenza reciproca affiora negli ELEMENTI [18
18,
18 p.11].
La terza sezione mostra come la dicotomia teorica di Euclide rappresentata dai “moderni” U ,
E dischiude a sua volta nuove possibilità combinatorie per gli enunciati U , E : ciascuno dei tre
casi ammissibili U vero-E
E falso, U vero-E
E vero, U falso-E
E vero possiede un modello, a
conferma dell’effettiva indipendenza reciproca di U , E rispetto a Γ [4.9
4.9].
4.9
23
L’A ssiom a delle P arallele U E e l’A ssiom a di R iem ann R sono teorem i
Perché si continua a parlare di equivalenza logica tra Q , U E senza precisare il sistema
assiomatico di riferimento? Perché l’enunciato U E , congiunzione tra U ed E , non viene
scomposto nei due enunciati U , E , dove il primo è logicamente equivalente a Q nei sistemi
assiomatici di tutte e tre le geometrie e il secondo è il teorema conclusivo, quello “più
importante” della geometria assoluta degli ELEMENTI? Perché in Γell il postulato Q viene
sfrattato dall’assioma R , senza tener conto del fatto logico fondamentale che Q è un teorema e
che Q , congiunto con C , acquista il diritto di sostituire a pieno titolo R ?
La risposta è semplice: le facili scorciatoie teoriche, fondate sull’assunzione di assiomi non
indipendenti espressi dalla congiunzione di assiomi e teoremi, producono inevitabili
incongruenze nell’assetto di un quadro teorico complessivo. L’hilbertiano ASSIOMA DELLE
PARALLELE U E è formulato come U ∧E
E , congiunzione dei due enunciati U , E , e l’ASSIOMA di
RIEMANN R è stato riformulato come Q ∧L
L , congiunzione dei due enunciati Q , L : i due assiomi
mostrano identica forma logica perché entrambi sono la congiunzione dello stesso postulato Q
(U
U gli è logicamente equivalente in tutte e tre le geometrie) e di un teorema, rispettivamente E
nel sistema Γ+A
A e L nel sistema Γ+¬A
A +Q
Q . Ne consegue che i due ASSIOMI U E , R , sono
teoremi (e quindi enunciati non indipendenti) nelle rispettive teorie.
Soltanto l’indipendenza degli assiomi di una teoria, troppo spesso considerata una questione
marginale ed esclusivamente “estetica”, è in grado di garantire un quadro completo di risultati
significativi. Infatti, l’affrancamento del postulato Q dal vincolo di congiunzione negli
assiomi U E , R con i teoremi E , L (e quindi il suo ritorno alla condizione originaria di
postulato) ha originato il sistema fecondo Γ+Q
Q [5.
5.6
5. 6 ]. Come a suo tempo erano state ottenute le
geometrie euclidea e iperbolica completando la geometria assoluta Γ+A
A con Q e ¬Q
Q , così ora,
completando il nuovo sistema Γ+Q
Q con A e ¬A
A , ritroviamo le geometrie euclidea ed ellittica.
Il quadro assiom atico delle tre geom etrie
L’assiomatizzazione iperbolica è semplice: in Γeucl=Γ
Γass+Q
Q il postulato Q viene sostituito
dall’assioma iperbolico J [1.3
1.3],
Q nel piano omogeneo [00 .5],
1.3 equivalente a ¬Q
.5 per ottenere
Γiper=Γ
Γass+JJ .
L’assetto assiomatico tradizionale Γell=Γ
Γ+R
R della geometria ellittica si presenta invece, come
già visto [1.5
1.5],
1.5 problematico. L’artificiosità di tale assiomatizzazione deriva dall’idea
fuorviante che Q debba essere sostituito con R , come se dicessero cose affatto diverse. La
verità di Q nella geometria ellittica e l’equivalenza logica in Γ tra Q ∧¬A
A , R , [5.3
5.3,
5.3 TE O RE M A 6 ]
permettono invece di formulare il nuovo sistema Γell=Γ
Γ+Q
Q ∧¬A
A inserito nel QUADRO
ASSIOMATICO I, costruito sull’indipendenza reciproca dei postulati euclidei A , Q rispetto a Γ
[5.7
5.7,
5.7 TE O RE M A 8 ], armonioso nelle sue simmetrie e privo delle artificiosità legate all’assunzione
dei teoremi U E , R ,.
QUADRO ASSIOMATICO I
Γell=Γ
Γ+Q
Q +¬A
A
Γ+Q
Q
Γeucl=Γ
Γ+Q
Q +A
A
Γ
Γeucl =Γ
Γ+A
A +Q
Q
Γ+A
A
Γiper=Γ
Γ+A
A +¬Q
Q
24
Il quadro assiom atico delle quattro geom etrie
Il QUADRO ASSIOMATICO II, fondato invece sull’indipendenza reciproca rispetto a Γ sia di A , Q
[5.7
5.7;
A , Q [5.8
5.8,
5.7 TE O RE M A 8 ] sia di ¬A
5.8 TE O RE M A 9 ], esibisce i sistemi assiomatici di tutte e quattro
le geometrie [5.10
5.10;
5.10 T E O RE M A 10].
10
QUADRO ASSIOMATICO II
Γiperpro=Γ
Γ+¬A
A +¬Q
Q
Γ+¬A
A
Γell=Γ
Γ+¬A
A +Q
Q
Γ
Γiper =Γ
Γ+A
A +¬Q
Q
Γ+A
A
Γeucl=Γ
Γ+A
A +Q
Q
Il TE ORE M A FO N D A M E N TA LE : analisi di una dim ostrazione
Seppur applicato quotidianamente da studenti e professori di tutto il mondo, il teorema
fondamentale Il Q uinto Postulato
Post ulato di E uclide è logicam ente equivalente all’U nicità della parallela
presenta inevitabili difficoltà ed incongruenze dovute all’ambiguità di significato del termine
unicità (U
U E oppure U ) e all’omissione del sistema assiomatico di riferimento.
Nei manuali scolastici la dimostrazione va da sé in quanto, per ovvie ragioni didattiche, il
contesto è quello euclideo (l’unicità è U E e il sistema assiomatico è Γass). I problemi sorgono
quando unicità significa U ed il contesto deve comprendere sia la geometria euclidea che
quella ellittica (la dimostrazione deve svolgersi di necessità in un sottosistema di Γass e di Γell)..
Nel TE O RE M A FO N D A M E N TA L E [6.1
6.1]
U si
6.1 la dimostrazione dell’implicazione diretta Γ ⊢Q →U
svolge in Γ e si fonda sull’assunzione A ∨¬A
A : l’assunzione di A con Q porta nell’euclidea,
quella di ¬A
A con Q nell’ellittica dato che il nuovo assioma ¬A
A ∧Q
Q è logicamente equivalente in
Γ all’ASSIOMA di RIEMANN R [5.3
5.3,
5.3 TE O RE M A 6 ].
Analizziamo altre due possibili dimostrazioni di Γ ⊢Q →U
U fondate sull’assunzione ¬E
E ∨E
E:
l’ipotesi ¬E
E porta direttamente nell’ellittica (l’assunzione di Q è superflua perché Q è teorema
di ¬E
E ) e consente di concludere l’unicità U (nessuna parallela), ma l’ipotesi E non conduce
nell’assoluta, dove E è soltanto condizione necessaria (PROPOSIZIONE 31).
31 A questo punto:
1) l’assunzione di Q consente di applicare il TE O RE M A 7 (equivalenza logica tra E , A in Γ+Q
Q ):
se sussistono E e Q allora sussiste A e quindi ci troviamo nell’assoluta, nella quale Q dimostra
che la retta π è l’unica parallela;
parallela si noti però che il TE ORE M A 7 si fonda sul TE OR E M A 5 ,
perfettamente equivalente al TE OR E M A 6 ;
2) dal T E ORE M A 6 discende l’equivalenza logica in Γ tra ¬R
R , ¬(¬A
A ∧Q
Q ) [2.1
2.1,
2.1 punto 2)], cioè tra
E , A ∨¬Q
Q : da E si deduce A ∨¬Q
Q e, assumendo Q , si ottiene A e si entra nell’assoluta.
In tutte e tre le dimostrazioni proposte [6.1
6.1;
6.1 1); 2)] il TE O RE M A 6 - equivalenza logica tra
¬A
A ∧Q
Q , R in Γ - è condizione sufficiente per il TE O RE M A F ON D A M E N TA LE . È anche necessaria?
25
L’inossidabile Q
Il quinto postulato di Euclide si è mostrato generoso e ci ha offerto risultati interessanti:
riassomatizzazione dell’ellittica, dimostrazione del TE O RE M A FO N D A M E N TALE , ordinamento di
tipo ciclico sulla retta chiusa, teoremi di equivalenza logica in soprasistemi di Γ…. La portata
deduttiva di Q viene rimarcata in [12
12,
12 p.147]: «Nell’ambito della geometria euclidea […]
nessun postulato sostitutivo può essere logicamente antecedente al quinto postulato», ovvero
qualunque enunciato implichi Q ne è a sua volta implicato: esattamente quanto accade nel
sistema Γ+CC , dove R implica Q ma anche Q implica R .
Creato per provare in Γ+A
A il teorema inverso delle parallele, Q consente anche di invertire
importanti implicazioni, trasformandole in significative equivalenze logiche. Ad esempio, il
teorema “In Γ la retta è aperta solo se esiste almeno una parallela / la retta è chiusa se non
esiste alcuna parallela”
Q la retta è aperta se e solo se esiste
parallela è completato dal TE OR E M A 7 “In Γ+Q
almeno una parallela
paral lela / la retta è chiusa se e solo se non esiste alcuna parallela”:
parallela un risultato
importante che conduce alla dimostrazione del TE O RE M A F ON D A M E N TA LE .
Con l’auspicio di ritrovarlo, altrettanto vispo, tra qualche millennio, ci congediamo da un
plurimillenario Q ancora vitale ed inespugnabile, forte nel respingere nuovi tentativi di
dimostrazione, di modifica, di sostituzione e di semplificazione, fondati su enunciati più o
meno intuitivi, più o meno equivalenti.
26
N OZ ION I D I LOG ICA PRE D ICATIV A introducono la SIN TA SSI e la SE M AN TICA riferite al testo.
La SIN TASSI assegna le espressioni del linguaggio, costituite dall’A LFA BE TO e dalle FORM U LE .
Le
A LF AB ETO
- a,b,c,…, x,y,z… [variabili individuali];
- π [costante individuale];
- p x,π
πx [predicati unari o proprietà];
- x=y (predicato binario d’identità), aPP b [predicato binario];
- QUANTIFICATORI ∀ [universale], ∃ [esistenziale];
- CONNETTIVI ¬ [negazione], ∧ [congiunzione], ∨ [disgiunzione], → [implicazione], ↔ [biimplicazione];
- ( [parentesi aperta], ) [parentesi chiusa].
FO R M U LE
- p x,π
πx, x=y, aPP b [formule atomiche];
- Q vA [formule molecolari] con Q quantificatore, v variabile,, A formula ES.: ∀xp x, ∃xπ
πx,∀b(aPP b), ∀a∀b(aPP b).
- ¬A,A∧B ,A∨B ,A→B , A↔B [formule molecolari] con A,B formule: ES.: ¬p x∨¬∃xπ
πx, ∀x(pp x→π
πx), ∀a∀b(¬aPP b).
V AR IAB ILI LIB ER E IN U N A FO R M U LA
La variabile x è libera nella formula A se e solo se in A x non cade sotto il campo di azione di un quantificatore.
ESEMPI: in ¬p x la variabile x è libera, in ∀x¬p x la variabile x non è libera.
FO R M U LE APE R TE E FO R M U L E CH IU SE
Una formula è aperta se contiene almeno una variabile libera. ESEMPI: p x,π
πx,¬p x, ∀b(¬aPP b).
Un formula è chiusa se non contiene alcuna variabile libera: ESEMPI: ∃xp x∧∀x∀y(p x∧p y→x=y), ∀x(p x↔π
πx).
La chiusura universale di una formula A rispetto alla variabile libera x è la formula ∀xA. ESEMPIO: ∀x¬p x.
La chiusura universale di una formula A rispetto a tutte le variabili libere è una formula chiusa.
E N U N CIATI
Un enunciato è una formula chiusa.
SIST EM A D I EN U N CIATI
Un sistema di enunciati Σ è un insieme di enunciati, eventualmente ∅ [insieme vuoto].
S O TTO SIST EM A D I EN U N CIATI Σ’ è sottosistema di Σ se e solo se Σ’ è contenuto in Σ.
SO P R A SISTEM A D I EN U N CIATI Σ’ è soprasistema di Σ se e solo se Σ è sottosistema di Σ’ .
Σ+A denota Σ∪{A}, soprasistema di Σ.
D IM O STR A ZIO N E D I Σ
Una dimostrazione formale di Σ è una sequenza finita di formule tale che una formula appartiene a Σ o è ottenuta
dalle formule precedenti applicando una R egola di D eduzione. Le dimostrazioni del testo non sono formali.
T EO R EM A D I Σ
A è teorema di Σ se e solo se A è l’ultima formula di una dimostrazione di Σ (si scrive Σ A).
Se Σ è sottosistema di Σ’ allora ogni teorema di Σ è teorema di Σ’ .
L E G GI LO GICH E
A è legge logica se e solo se ∅ A (si scrive A).
A è legge logica se e solo se A è teorema in ogni Σ (e quindi anche per Σ=∅).
TEO R EM A D I D ED U ZIO N E :
Σ+A B se e solo se Σ A→B .
se Σ= ∅
A B se e solo se A→B .
A,B L O GICAM E N TE EQ U IV AL E N T I IN Σ se e solo se Σ+A B e Σ+B A.
A,B SIN TATTICAM E N TE EQ U IV AL EN TI se e solo se A→B e B →A.
A ⇔L B se e solo se A↔B (A↔B è la legge logica L ).
→
A IN D IPEN D EN TE D A Σ se e solo se non Σ A e non Σ ¬A.
A IN D IPEN D EN TE D A B IN Σ se e solo se non Σ B →A e non Σ B →¬A.
Σ CO N SISTE N TE se e solo se non Σ A∧¬A, per ogni A.
Σ CO M PL ETO se e solo se Σ A oppure Σ ¬A, per ogni A.
27
L E G GI LO GIC H E
L1: A↔¬¬A
L2: A∨¬A
L3: ¬(A∧¬A)
L4: A∧B →A
L 5 : ¬(A∧B )↔(¬A∨¬B )
L 6 : ¬(A∨B )↔(¬A∧¬B )
L7 : (A→B )↔(¬B →¬A)
L8 : (A→B )↔(¬A∨B )
L9: ¬(A→B )↔(A∧¬B )
L1 0 : :(A→B )∧(B →A)↔(A↔B )
L11:
L11 ((¬A→B )∧(A→B ))↔B
L12:
L12 ((A∧B )∨C)↔(A∨C)∧(B ∨C)
L1 3 : (A→(B →C)↔(B →(A→C))
L1 4 : (A∧B →C)↔(A→(B →C))
L1 5 : ((A→B )∧(A→C))↔(A→B ∧C)
L1 6 : ¬∀xA↔∃x¬A
L17 : ¬∃xA↔∀x¬A
L18 : (∀xA∧∀xB )↔∀x(A ∧B )
D E N O M IN A ZIO N E
D oppia negazione
Terzo escluso
N on contraddizione
Eliminazione ∧
D e M organ ∧
D e M organ ∨
Contronominale
Filone M egarico
N egazione dell’implicazione
D oppia implicazione
D istributiva di ∨rispetto a ∧
Scambio degli antecedenti
Esportazione-importazione degli antecedenti
D istributiva a destra di → rispetto a ∧
La SE M A N TICA assegna significato alle espressioni e i valori di verità V , F a formule ed enunciati.
IN T ER PR ET A ZIO N E I D E L LIN G U A G GIO
È un’assegnazione di significato a ogni espressione del linguaggio in una struttura D (insieme non vuoto dotato
di proprietà e di relazioni). ESEMPI: x,y denotano rette passanti per il punto P esterno alla retta r, p x significa “x è
parallela a r”, πx significa “x è coortogonale a r”; a,b,c denotano rette del piano, aPP c significa “a è parallela a c”.
Una formula A è V in I se la chiusura universale di A è V in I .
Se una formula A è un enunciato allora A è V o F in ogni I .
Una formula A è V A LID A se e solo se A è V in tutte le interpretazioni. Le L E G GI LO GICH E sono formule valide.
CO N N ETTIV I EN U N CIATIV I
CONGIUNZIONE ∧(e): A∧B è V se A, B sono entrambi V , altrimenti è F .
DISGIUNZIONE ∨ (o): A∨B è F se A, B sono entrambi F , altrimenti è V .
IMPLICAZIONE → (se…allora…): A→B è F se A è V e B è F , altrimenti è V .
BIIMPLICAZIONE ↔ (se e solo se): A↔B è V se A e B sono entrambi F o entrambi V , altrimenti è F .
NEGAZIONE ¬ (non): ¬A è F se A è V , altrimenti è V .
Q U A N TIFICATO R I
UNIVERSALE ∀: ∀xA significa “Per tutti gli x A è V .”
ESISTENZIALE ∃: ∃xA significa “Esiste (almeno) un x tale che A è V .”
CO N TR A D D IZIO N E
È una formula F in ogni interpretazione.
M O D E LLO D I Σ
È un’interpretazione I del linguaggio nella quale ogni formula di Σ è V .
Se Σ è sottosistema di Σ’ allora ogni modello di Σ’ è modello di Σ.
CO N SE GU EN Z A LO GICA
A è conseguenza logica di Σ se e solo se A è V in ogni modello di Σ (si scrive Σ A).
TEO R EM A D E L M O D E LLO
Σ è consistente se e solo se Σ ammette un modello.
TEO R EM A D I CO R R ETTE Z ZA
Se Σ A allora Σ A per ogni A, Σ.
se Σ= ∅
Se A allora A per ogni A, Σ.
TEO R EM A D I CO M P LET E Z ZA
Se Σ A allora Σ A per ogni A, Σ.
con Σ= ∅
Se A allora A per ogni A, Σ.
Σ SEM AN TICA M E N TE CO M PL ETO se e solo se Tutti i modelli di Σ soddisfano le stesse proprietà.
Σ CATE GO R ICO se e solo se Σ ha un solo modello di data cardinalità, a meno di isomorfismi.
28
BIBLIOG RAFIA
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geometria da un punto di vista elementare, Editrice LA SCUOLA, 1998
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Ellenistici, in Incontri Mediterranei N. 15, 2005, pp. 3-24
29
IN D ICE
IN TROD U Z ION E
BRE V E G U ID A A LLA LE T TU RA
SCH E M A RIA SSU N TIV O D E G LI E N U N CIA TI
0. PROLOG O
1. CE N N I STORICI
STORI CI A L QU IN TO POSTU LA TO Q . SISTE M I A SSIOM A TICI E M OD E LLI
2. E QU IV A LE N Z A LOG ICA TRA E N U N CIA TI E IN D IPE N D E N Z A
3. LE PROPOSIZ ION I E U CLID E E 27, 28, Q , 29 E G LI E N U N CIA TI U E U E
4 . LE PROPOSIZ ION I E U CLID E E 30, 31.
31 . IN D IPE N D E N Z A TRA U , E
5 . E QU IV A LE N Z A LOG ICA TRA Q,R , TRA A ,E E C,R. IN D IPE N D E N Z A TRA A ,Q E C,Q
6. E QU IV A LE N Z A LOG ICA T RA Q, U E TRA Q, U E
7 . E N U N C I A TI LOG ICA M E N TE E QU IV
I V A LE N TI A Q
8 . SCH E M I D I RIE PILOG O
9 . BRE V E STORIA D E G LI E N U N CIA TI U , U E
E PILOG O
N OZ ION I D I LOG ICA PRED ICA TIV A
BIBLIOG RA FIA
30

il quinto postulato di euclide, nuovo assioma della geometria ellittica

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