Geometria iperbolica Geometria ellittica

Quinto postulato
“Se due linee rette si incontrano in un piano con un’altra retta, e la somma degli angoli interni da
uno stesso lato di questa è minore di due angoli retti, allora le due rette, se vengono prolungate
a sufficienza, si incontrano dalla parte in cui la somma degli angoli è minore di due angoli retti.”
Riformulazione
“Per un punto non giacente su una retta passa, nel loro piano, una sola parallela ad essa”
Quesito sulla verità
Il Postulato delle parallele non è ‘evidentemente vero‘ (come gli altri quattro), infatti non rimanda
ad alcuna costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano.
Critiche al quinto postulato
Nei primi decenni del XIX secolo, il fallimento di tutti i tentativi effettuati per dimostrare il V postulato aveva convinto i
matematici della sua indimostrabilità.
È da questo momento che inizia a farsi strada l'idea di costruire altre geometrie che facciano a meno del V postulato.
Nascono così i primi modelli di geometria non euclidea quali per esempio la geometria iperbolica o la geometria ellittica.
ellittica
Geometria iperbolica
È ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto
postulato iperbolico:
“data una retta e un qualunque punto non sulla retta, esistono
almeno due rette distinte che passano per il punto e sono parallele
alla retta data"
Geometria ellittica
Non vale il quinto postulato di Euclide e lo sostituisce
con il postulato della geometria ellittica:
“dato un punto e una retta non passante per esso, non
esiste alcuna retta per il punto dato e parallela alla
retta data”
La geodetica è la generalizzazione della linea retta dello spazio euclideo
per gli "spazi curvi". Il tipo di geodetica dipende dal tipo di "spazio curvo"
considerato.
La geodetica è definita solitamente come una curva che è localmente il
percorso più breve tra due punti.
Ad esempio, su una superficie sferica, sono geodetiche le circonferenze
massime. Tra queste vi sono l'equatore e i meridiani.
Invece i paralleli (tranne l’equatore) non sono geodetiche.
Hanno collaborato: