1 Sezione aurea La sezione aurea è un particolare rapporto tra due

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Sezione aurea
La sezione aurea è un particolare rapporto tra due grandezze che ha avuto grande importanza sia
nella matematica che nella storia dell'arte.
Definizione di sezione aurea
Consideriamo un segmento AB e un punto C all'interno del segmento.
C
A
B
AB
AC
AB
AC
=
, allora il rapporto
(o anche
) si dice sezione aurea.
AC
CB
AC
CB
Se si verifica che
Calcoliamo il valore di questo rapporto.
Indichiamo con a = AC e b = CB e quindi a + b = AB .
C
A
a
Allora dalla relazione
B
b
AB
AC
=
si ha
AC
CB
a + b
a
= .
a
b
a
. Per eliminare i denominatori nella
b
precedente relazione, moltiplichiamo a sinistra e a destra per ab.
a + b
a
ab
= ab
b(a + b) = a2
ab + b2 = a2
a
b
Il nostro obiettivo ora è quello di scoprire quanto vale
Per comodità cambiamo di
segno i termini dell'equazione
-a
2
+ ab + b
2
= 0
Poiché a noi interessa il valore di
a2
ab
b2
= 0
b2
b2
b2
Poniamo x =
a2 - ab - b2 = 0.
a
, dividiamo tutta la precedente relazione per b2. Otteniamo:
b
2
 a  -  a  - 1 = 0.
 
 
 b
 b
a
e, dalla precedente relazione, otteniamo l'equazione di 2° grado
b
x2 - x - 1 = 0.
2
Risolvendo l'equazione otteniamo x =
1 ±
1 + 4
1 ± 5
.
ossia x =
2
2
a
(ossia x) deve essere un numero positivo (in quanto è un rapporto tra due
b
lunghezze che sono ovviamente quantità positive), allora scartiamo la soluzione negativa e
abbiamo:
1 + 5
= 1.618033...
x =
2
Questo numero viene denotato con la lettera greca Φ (fi maiuscolo), quindi la sezione aurea è un
rapporto tra due lunghezze uguale al numero
1 + 5
= 1.618033...
Φ =
2
È IMPORTANTE TENER PRESENTE CHE QUESTO NUMERO È IRRAZIONALE, OSSIA NON PUÒ ESISTERE
NESSUNA FRAZIONE (INTESA COME RAPPORTO TRA DUE NUMERI INTERI) CHE POSSA GENERARE
QUESTO NUMERO.
RICORDIAMO ANCORA CHE UN NUMERO IRRAZIONALE È CARATTERIZZATO DAL FATTO CHE HA
INFINITE CIFRE DECIMALI E CHE QUESTE CIFRE SI SUSSEGUONO IN MANIERA SEMPRE DIVERSA. IN
ALTRE PAROLE, UN NUMERO IRRAZIONALE È UN NUMERO CON INFINITE CIFRE DECIMALI, MA NON
PERIODICO.
Questo numero ha tante proprietà matematiche, ma noi non ci dilungheremo ulteriormente.
Poiché il rapporto
Storia della sezione aurea
Il rapporto aureo fu definito nel VI secolo a.C. da un discepolo di Pitagora: IPPASO DI METAPONTO
che, anche mediante lo studio di questo rapporto pervenne alla scoperta dei numeri irrazionali. Egli
riuscì a dimostrare che sia questo numero e sia 2 sono numeri che non possono essere generati da
una frazione. Questa fu una scoperta rivoluzionaria per l'epoca, ma, la leggenda vuole che il suo
maestro Pitagora e i suoi compagni non furono affatto contenti della sua scoperta. Infatti Pitagora e
i suoi discepoli (detti pitagorici) avevano creato una filosofia che si fondava sul concetto di numero
(inteso come numero intero). Il motto dei pitagorici era "tutto è numero" ed essi credevano che tutto
l'universo potesse essere descritto mediante numeri interi o rapporti tra numeri interi (ossia
frazioni). Quando Ippaso di Metaponto dimostrò che sia il numero Φ che il numero 2 (generato
dal rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato) non potevano essere espressi mediante
frazioni, tutta la filosofia dei pitagorici cadde, perché si palesò il fatto che non tutto nell'universo
poteva essere espresso dal numero. Allora i pitagorici vollero tenere segreta questa scoperta, ma
Ippaso la divulgò e per questo egli fu considerato un traditore e affogato.
Intorno al 300 a.C., Euclide (considerato il padre della geometria), in un suo libro, parla della
sezione aurea e di come questo concetto sia legato alla geometria del pentagono regolare (e questa
probabilmente fu una scoperta ancora di Ippaso di Metaponto). In effetti si può dimostrare che,
dato un pentagono regolare, il rapporto tra la lunghezza di una
diagonale (ad es. AB) e quella di un suo lato (ad es. BC) sia
proprio la sezione aurea.
AB
In altre parole: Φ =
BC
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Per molti secoli il numero aureo cadde nel dimenticatoio, finché nel Rinascimento, nel 1509, il
famoso matematico LUCA PACIOLI pubblicò un libro, intitolato "DE DIVINA PROPORTIONE" corredato
di disegni di LEONARDO DA VINCI, che parlava del numero aureo (chiamato appunto "divina
proportione") e delle sue proprietà. Luca Pacioli usò l'aggettivo "divina" perché accostava questo
numero a Dio: così come Dio è inconoscibile dalla natura umana, così questo numero è
inconoscibile in tutta la sua interezza (in quanto, essendo un numero irrazionale, ha infinite cifre
decimali che si susseguono senza nessun ordine).
All'inizio del '600 (nel 1611), KEPLERO (l'astronomo e matematico che scoprì le leggi che regolano i
movimenti dei pianeti), scoprì una stretta relazione tra il numero aureo e la successione di
Fibonacci.
A questo punto facciamo un salto indietro e parliamo brevemente della successione di Fibonacci.
Leonardo da Pisa (1170-1250), più conosciuto come FIBONACCI (ossia figlio del mercante Bonacci),
fu un matematico molto importante nella storia della matematica, perché pubblicò un libro "Liber
abaci" con il quale si diffondevano in Europa le cifre indo-arabiche (ossia le cifre 0, 1, 2, 3,... che
usiamo tuttora). Nello stesso libro inventò una successione di numeri detta successione di Fibonacci
in cui ogni termine è la somma dei due precedenti:
0, 1, 1,
0+1=1
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
55,...
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
13+21=34
34+21=55
Questa successione aveva origine dal seguente problema:
<<Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno a partire da un'unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà
alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?>>
La soluzione di questo problema dà origine alla successione di Fibonacci.
Fibonacci non sapeva che questa successione era indissolubilmente legata alla sezione aurea, ma
all'inizio del '600 KEPLERO scoprì che il rapporto tra due termini consecutivi approssimava sempre
più precisamente il numero aureo. Infatti:
Numero aureo = 1.61803398874989...
0
1
1 / 1 = 1
2 / 1 = 2
3 / 2 = 1.5
5 / 3 = 1.66666666666667
8 / 5 = 1.6
13 / 8 = 1.625
21 / 13 = 1.61538461538462
34 / 21 = 1.61904761904762
55 / 34 = 1.61764705882353
89 / 55 = 1.61818181818182
144 / 89 = 1.61797752808989
233 / 144 = 1.61805555555556
377 / 233 = 1.61802575107296
610 / 377 = 1.61803713527851
987 / 610 = 1.61803278688525
1597 / 987 = 1.61803444782168
2584 / 1597 = 1.61803381340013
4181 / 2584 = 1.61803405572755
6765 / 4181 = 1.61803396316671
10946 / 6765 = 1.6180339985218
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Keplero scoprì questa stretta relazione tra la successione di Fibonacci e il numero aureo, ma non
cercò la motivazione e la dimostrazione fu fornita solamente nel '700.
Il numero aureo e l'arte
Il numero aureo ricorre frequentemente in storia dell'arte. Nelle arti figurative viene riscontrata la
presenza della sezione aurea specialmente sotto forma di rettangolo aureo, ossia un rettangolo in cui
il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore è Φ.
Le proporzioni della sezione aurea si trovano nelle dimensioni della piramide di Cheope. Ciò vuol
dire che, probabilmente, questo rapporto fosse noto fin dai tempi degli egizi.
Analoghe proporzioni si riscontrano ripetutamente anche nel Partenone di Atene.
In pittura questa proporzione viene usata moltissimo soprattutto nel Rinascimento e molto in
Leonardo da Vinci, per esempio in alcune sezioni della "Gioconda" o nell' "Ultima cena" o
nell' "Uomo Vitruviano": Leonardo stabilì che le proporzioni sono perfette quando l'ombelico
divide l'uomo in modo aureo.
Molto frequenti sono altri artisti che in epoche più recenti (19° e 20° secolo) hanno usato la sezione
aurea nelle loro opere e ciò vale sia per la pittura, sia per l'architettura e sia per la musica.