La sezione aurea e i numeri di Fibonacci

Definizione della sezione aurea
Definizione: In un segmento AB, si fissi un punto
intermedio S che lo divida in parti diseguali. Le parti
sono dette in rapporto aureo se la parte più corta
è proporzionata alla più lunga allo stesso modo della
parte lunga rispetto all’intero segmento.
S suddivide AB in rapporto aureo se e soltanto se
M +m
M
=
m
M
,
d.h.
M
m
=1+
m
M
.
M
, ricaviamo φ = 1 + φ−1, vale a dire
m
2
φ = φ + 1. Quindi
Ponendo φ :=
√
φ=
1+ 5
≈ 1.6180 . . . .
2
Il numero reale φ (”la sezione aurea”) è la soluzione
positiva dell’equazione
x2 − x − 1 = 0
.
1
φ e la successione di Fibonacci
Linearizzazione di φn: vale
φ1
= 1φ
φ2
= 1φ + 1
φ3 = φ · φ2
= φ2
+φ
= 2φ + 1
φ4 = φ · φ3
= φ3
+ φ2
= 3φ + 2
φ5 = φ · φ4
= φ4
+ φ3
= 5φ + 3
φ6 = φ · φ5
...
= φ5
...
+ φ4
= 8φ + 5
...
φn = φ · φn−1 = φn−1 + φn−2 = Fnφ + Fn−1
.
Ogni riga è somma delle due precedenti.
In particolare,
F1 = 1 , F2 = 1 , Fn+1 = Fn + Fn−1 (n ≥ 2) .
Definizione: La successione (Fn)n≥1 è detta successione di Fibonacci. I suoi termini 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, ... sono i numeri di Fibonacci.
2
Un problema posto da Fibonacci
(Leonardo da Pisa,
ca. 1170-1250)
Considera il seguente modello per l’evoluzione di una
popolazione di conigli:
• all’inizio del primo mese la popolazione consiste di
un coppia (neonata) di conigli;
• una coppia è fertile dopo il termine del secondo
mese di vita;
• all’inizio di ogni mese una coppia fertile mette al
mondo un’altra coppia;
• i conigli non muoiono mai.
Allora, dopo n mesi la popolazione consiste di Fn coppie di conigli.
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La formula di Binet
√
1
1− 5
=
la seconda soluzione dell’equaφ
2
zione x2 − x − 1 = 0. Allora vale, come per φ,
Sia ρ := −
ρn = Fnρ + Fn−1
.
Quindi,
φn − ρn = (φ − ρ) Fn =
√
5 Fn
e si ottiene immediatamente il
Teorema (D. Bernoulli, J. Binet):
Fn =
φn − ρn
√
5
1
=√
5
√ !n
√ !n!
1+ 5
1− 5
.
−
2
2
Conseguenza: dato che |φ| > 1 e |ρ| < 1,
Fn+1
φn+1 − ρn+1
= lim
=φ .
lim
n
n
n→∞ Fn
n→∞
φ −ρ
In particolare, per n >> 0 vale
φ · Fn ≈ Fn+1 .
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