PDF - Dipartimento di Fisica

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Università degli studi di Genova
Facoltà di Scienze Matematiche,
Fisiche e Naturali
Tesi di Dottorato di Ricerca in Fisica
Misura della sezione d’urto
della reazione 14N(p,γ)15O ad energie
di interesse astrofisico
Candidato:
Dott. Alberto Lemut
Relatore:
Dott. Paolo Prati
Relatore Esterno:
Chia.mo Prof. Roberto Bonetti
Coordinatore:
Chia.mo Prof. Andrea Levi
XVII Ciclo Dottorato, Anno Accademico 2004
Genova, 15 Aprile 2005
Alla mia famiglia
Indice
Introduzione
xxi
1 Reazioni termonucleari
1.1 Cenni sulle osservabili stellari . . . . . . . . . . . .
1.2 Cenni sulla vita di una stella . . . . . . . . . . . . .
1.3 Cenni sulla catena p-p . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Cenni sul ciclo CNO . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Cinematica di reazioni a due corpi . . . . . . . . . .
1.5.1 Sistema del laboratorio . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Cinematica del fotone . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Sistema del centro di massa . . . . . . . . .
1.6 Energia nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Tasso di reazione nelle stelle . . . . . . . . . . . . .
1.8 Reazioni non risonanti indotte da particelle cariche
1.9 Picco di Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Reazioni attraverso risonanze strette e isolate . . .
1.11 Reazioni attraverso risonanze larghe e isolate . . . .
1.12 Risonanze sottosoglia . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Motivazioni per lo studio della 14 N(p,γ)15 O
2.1 Considerazioni introduttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gli ammassi globulari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Formazione delle stelle di carbonio . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 I neutrini solari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Meccanismo di reazione e rassegna della letteratura scientifica
39
39
40
42
43
46
3 Progetto di misura 14 N(p,γ)15 O
3.1 Considerazioni generali . . . .
3.2 Tipi di bersaglio . . . . . . . .
3.2.1 Bersaglio solido . . . .
3.2.2 Bersaglio gassoso . . .
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vi
INDICE
3.3
3.4
3.5
3.6
Tipi di rivelatore . . . .
Il fondo . . . . . . . . .
Scelte operate . . . . . .
Tasso di reazione atteso
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4 Apparato Sperimentale
4.1 Descrizione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Acceleratore LUNA II 400 kV . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Calibrazione dell’energia del fascio . . . . . . .
4.3 Bersaglio gassoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Sistema di pompaggio differenziale . . . . . . .
4.3.2 Studio del profilo longitudinale di pressione . . .
4.3.3 Studio del profilo longitudinale di temperatura .
4.3.4 Profilo di densità senza fascio . . . . . . . . . .
4.3.5 Studio dell’effetto di riscaldamento . . . . . . .
4.3.5.1 Il metodo di misura . . . . . . . . . .
4.3.5.2 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . .
4.3.5.3 Risultati ottenuti . . . . . . . . . . . .
4.4 Calorimetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Controllo LABVIEW . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Studio della calibrazione . . . . . . . . . . . . .
4.5 Rivelatore BGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Studio dell’efficienza di rivelazione . . . . . . . .
4.5.1.1 Il metodo di misura e risultati ottenuti
4.5.2 Studio del fondo naturale . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Studio preliminare del fondo indotto dal fascio .
4.5.3.1 Metodo di misura . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Sistema di acquisizione dati . . . . . . . . . . .
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. 121
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. 123
. 126
. 128
. 130
5 Codice di simulazione LUNA
5.1 Considerazioni generali . . . . . .
5.2 Perdita di energia media . . . . .
5.3 Straggling energetico ed angolare
5.4 Metodo di estrazione . . . . . . .
5.5 Calcolo degli integrali . . . . . . .
5.6 Risultati del codice . . . . . . . .
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6 Risultati finali
139
6.1 Definizione della sezione d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Definizione dell’energia efficace di interazione . . . . . . . . . . 141
INDICE
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.2.1 Il metodo iterativo . . . . . . . .
6.2.2 Altre definizioni . . . . . . . . . .
6.2.3 Considerazioni generali . . . . . .
Misura dei conteggi . . . . . . . . . . . .
Misura della carica . R. . . . . . . . . . .
z
Calcolo dell’integrale zif ρ(z)η(z)dz . . .
Calcolo dell’energia efficace di interazione
Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conseguenze astrofisiche . . . . . . . . .
Misura del fattore ωγres . . . . . . . . .
6.9.1 Il metodo approssimato . . . . . .
6.9.2 Il metodo integrale . . . . . . . .
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Eef f
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164
166
167
170
Conclusioni
176
Bibliografia
179
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
Rappresentazione dell’abbondanza universale degli elementi in
funzione del numero di massa atomica normalizzata al valore
106 del silicio [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Hertzsprung-Russell (H-R). La maggior parte
delle stelle, incluso il sole, sono raggruppate in una striscia
detta sequenza principale. L¯ indica la luminosità del sole [1].
Rappresentazione del diagramma massa luminosità per le stelle della sequenza principale [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione grafica della legge di Hubble [1]. . . . . . . .
Rappresentazione delle fasi evolutive della teoria del big bang
[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione delle fasi della vita di una stella [1]. . . . . .
Schema delle reazioni della catena p-p [1]. . . . . . . . . . . .
Schema delle reazioni della ciclo CN [1]. . . . . . . . . . . . .
Confronto tra la produzione di energia del ciclo CN e della
catena p-p in una stella in funzione della sua temperatura centrale. L’andamento delle curve riflette la diversità delle sezioni
d’urto, che sono legate alle diverse barriere coulombiane. Per
temperature oltre 20 ×106 (K) il ciclo CN inizia a predominare
rapidamente [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema del biciclo CNO [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema del triciclo CNO [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione schematica della cinematica delle reazioni di
tipo A(B,C)D nel riferimento del laboratorio. . . . . . . . . . .
Rappresentazione schematica della cinematica delle reazioni di
tipo A(B,C)D nel riferimento del centro di massa. . . . . . . .
Energia di legame per nucleone ∆E
in funzione del numero di
A
massa atomica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann per un gas a temperatura
T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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19
22
x
ELENCO DELLE FIGURE
1.16 Rappresentazione della combinazione della forza coulombiana
e nucleare. Un proiettile con energia minore alla barriera coulombiana Ec classicamente non può penetrare all’interno del
nucleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.17 Illustrazione del meccanismo di reazione del tipo A(x,γ)B [1],
in cui il canale entrante A+x giunge direttamente nel nucleo
finale composito B stato attraverso l’emissione di un γ. Questo
tipo di processo viene detto di cattura diretta [1]. . . . . . . . 26
1.18 Andamento della fattore astrofisico e della sezione d’urto in
funzione dell’energia. Si noti la forte tendenza a descrescere della sezione d’urto al descrere dell’energia. Diversamente il fattore astrofisico varia molto lentamente in funzione
dell’energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.19 Rappresentazione dell’andamento della distribuzione di MaxwellBoltzmann, del termine dovuto all’effetto tunnel attraverso la
barriera coulombiana e del loro prodotto. Il risultato di tale
sovrapposizione è che solo una regione ristretta, detta picco
di Gamow, contribuisce significativamente al calcolo del tasso di reazione per reazioni nucleari non risonanti indotte da
particelle cariche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.20 Rappresentazione del meccanismo di reazione risonante del tipo A(x,γ)B [1], in cui il canale entrante A+x giunge forma
uno stato eccitato del nucleo composito poi decadere un uno
livello sottostante [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.21 Rappresentazione schematica della collisione di un nucleo proiettile su uno bersaglio caratterizzata da un parametro di impatto b. Nella parte sottostante è illustrato le diverse aree
associate ai diversi valori del numero quantico l nel canale di
ingresso [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.22 Rappresentazione schematica degli integrandi dell’equazione
1.70. La regione che contribuisce significativamente al tasso
di reazione coincide con il picco della risonanza [1]. . . . . . . 36
1.23 Rappresentazione schematica dei livelli di un nucleo nel caso
uno stato eccitato sia troco poco al di sotto della soglia della
reazione [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1
Rappresentazione schematica del diagramma H-R per un ammasso globulare [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ELENCO DELLE FIGURE
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4.1
4.2
4.3
xi
Rappresentazione della dipendenza della luminosità al turn
off dall’età dell’ammasso glubulare [2]. La linea a tratto continuo si ottiene adottando i valori della sezione d’urto della
14
N(p,γ)15 O misurati da U.Schröder et al. (1987) [3]. La linea a punteggiata è ottenuta assumendo un tasso di reazione
5 volte superiore a quello di U.Schröder et al. mentra la linea
tratteggiata è ottenuta assumendolo 5 volte inferiore. . . . . .
Rappresentazione schematica della struttura di una stella AGB.
Spettro dei neutrini atteso secondo il modello solare standard.
Rappresentazione schematica dei livelli del nucleo 15 O rilevanti
per la reazione 14 N(p,γ)15 O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura tratta dall’articolo di C.Angulo and P.Descouvemont
[4] in cui sono mostrati i dati della transizione diretta allo
stato fondamentale misurati da U.Schröder et al. [3], a cui sono sovrapposti i fit ottenuti U.Schröder et al. e da C.Angulo
and P.Descouvemont [4] (nella legenda sono denominati “Present R-matrix”). Si noti la discrepanza tra le due diverse
estrapolazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura tratta dall’articolo di C.Angulo and P.Descouvemont
[4] in cui sono mostrati i valori del fattore astrofisico misurato
da vari autori a cui sono sovrapposti i fit R-Matrix di C.Angulo
and P.Descouvemont [4] (denominati “Present R-matrix”). . .
Andamento atteso della sezione d’urto della 14 N(p,γ)15 O. . .
Schema di un tipico apparato sperimentale per la misura di
sezione d’urto di reazioni termonucleari. . . . . . . . . . . .
Confronto tra il tasso di fondo misurato in superficie e underground col rivelatore BGO adottato. . . . . . . . . . . . . .
Andamento della variazione della sezione d’urto in funzione
dell’energia nominale dei protoni nel laboratorio. Si noti il
disturbo prodotto dalla risonza a 278 keV. . . . . . . . . . .
Andamento del tasso di reazione atteso in funzione dell’energia
del fascio nel laboratorio, alla pressione di 1 mbar e corrente
di 200 µA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
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. 61
. 64
. 65
Schema dell’apparato sperimentale per lo studio della 14 N(p,γ)15 O. 68
Schema del sistema di pompaggio differenziale. . . . . . . . . . 71
Rappresentazione schematica della camera di interazione appositamente disegnata per la misura del profilo di pressione
assiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
xii
ELENCO DELLE FIGURE
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
Andamento della pressione alla flange P1 e P2 del tubo antistante la camera di interazione in funzione della pressione
della camera di interazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della pressione alla flange T1, T2, T3 e T4 della
camera di interazione in funzione della pressione della camera
di interazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della pressione in funzione della coordinata z della
camera di interazione. Il significato delle linee verticali ed
orizzonatali è chiarito nel testo. . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della temperatura in funzione della posizione all’interno della camera di interazione. . . . . . . . . . . . . .
Andamento del parametro B in funzione della pressione della
camera di interazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento del parametro S in funzione della pressione della
Andamento del parametro A in funzione della pressione della
Andamento della temperatura interpolato dalle curve 4.7 in
alcuni punti significativi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della densità del gas in funzione della coordinata
z della camera di interazione. Il significato delle linee verticali
ed orizzonatali è chiarito nel testo. . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione schematica della camera di interazione e del
rivelatore NaI impiegati per la misura del profilo di densità col
fascio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scansioni della risonanza misurate nella posizione -5 cm. . .
Scansioni della risonanza misurate nella posizione 1 cm. . . .
Scansioni della risonanza misurate nella posizione 3 cm. . . .
Andamento del fattore di correzione hbeam in funzione della
potenza dissipata per unità di lunghezza. Il significato delle
curve è chiarito nel testo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
potenza dissipata per unità di lunghezza. Il significato delle
curve è chiarito nel testo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
posizione lungo l’asse z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della densità lungo l’asse z in funzione di diversi
valori della pressione della corrente del fascio. . . . . . . . .
. 74
. 74
. 76
. 79
. 79
. 80
. 80
. 82
. 82
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84
86
86
87
87
88
. 92
. 92
. 94
. 94
ELENCO DELLE FIGURE
4.23 Rappresentazione schematica di un calorimetro per la misura della potenza termica di stop sviluppata da un fascio di
particelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.24 Rappresentazione della camera di interazione per la calibrazione quando viene impiegata per la calibrazione del calorimetro. 98
4.25 Risultati di una serie di misure di calibrazione del calorimetro. 99
4.26 Rappresentazione schematica della struttura del rivelatore BGO.101
4.27 Rappresentazione di un cristallo del rivelatore BGO. . . . . . . 101
4.28 Schema dell’apparato sperimentale per la misura dell’efficienza
del rivelatore BGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.29 Confronto tra l’andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione della posizione lungo l’asse z (mostrato in figura 4.28)
calcolato col codice Monte-Carlo e misurato con la sorgente di
137
Cs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.30 Confronto tra l’andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione della posizione lungo l’asse z (mostrato in figura 4.28)
calcolato col codice Monte-Carlo adottando lo spessore del tubo di alluminio interno di 1.3 mm e misurato con la sorgente
di 137 Cs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.31 Spettro somma del fondo naturale (tempo di 37.5 giorni) misurato nei laboratori sotterranei confrontato con quello in superficie (in rosso, tempo di misura 0.73 giorni) con lo stesso
rivelatore. Nella misura in superficie il rivelatore BGO era
schermato con 10 cm di Pb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.32 Andamento del tasso di conteggio del fondo naturale in funzione del limite inferiore della regione di interesse. . . . . . . . 108
4.33 Andamento cronologico del tasso di fondo per diverse regioni di interesse. Le linee tratteeggiate rappresentano il valor
medio delle misure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.34 Spettro somma del fondo misurato nel laboratorio sotterraneo normalizzato al tempo di misura espanso nell’intervallo
4-18 MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.35 Spettro di fondo misurato in superficie col rivelatore BGO
utilizzato nell’esperimento. La misura è durata 0.73 giorni ed
il rivelatore era schermato con 10 cm di Pb. . . . . . . . . . . 111
4.36 Rappresentazione schematica dell’apparato sperimentale per
lo studio del fondo indotto dal fascio. . . . . . . . . . . . . . . 112
4.37 Spettro misurato col rivelatore HPGe all’energia di 199.9 keV
senza gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
senza gas, espanso nell’intervallo 4 - 9 MeV. . . . . . . . . . . 114
xiii
xiv
ELENCO DELLE FIGURE
con 1 mbar di N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
con 1 mbar di N2 , espanso nell’intervallo 4 - 9 MeV. . . . . .
4.41 Andamento del tasso di conteggio in funzione del limite inferiore della ROI per tre diversi algoritmi di selezione degli
eventi, descritti nel testo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.42 Andamento dell’efficienza totale per i tre algoritmi di selezione
degli in funzione del limite inferiore della regione di interesse.
4.43 Andamento del rapporto efficienza fondo per i algoritmi di selezione degli eventi in funzione del limite inferiore della regione
di interesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
. 116
. 116
. 118
. 120
. 120
Andamento dello stopping power in funzione dell’energia dei
protoni nel laboratorio nell’intervallo 10 - 400 keV [5] (equazione 5.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Andamento del poter frenante di SRIM in funzione dell’energia
dei protoni nel laboratorio [6]. La curva che interpola i dati è
quella data dall’equazione 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Andamento dello scarto dei punti sperimentali dalla curva che
interpola i dati data dall’equazione 5.2 [6]. Il valor medio dello
scarto è 2.9%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Rappresentazione schematica della geometria e dei materiali
passivi inseriti nel codice di simulazione per lo studio della
14
N(p,γ)15 O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Spettro sperimentale della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia
rilasciata su tutti i cristalli di BGO nella regione di interesse
tra 5 e 8 MeV, all’energia di 237.9 keV ed alla pressione di
2.0 mb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata su tutti i cristalli di BGO nella regione di interesse tra
5 e 8 MeV, all’energia di 237.9 keV ed alla pressione di 2.0 mb. 132
Spettro sperimentale della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia
rilasciata su tutti i cristalli di BGO, all’energia nel laboratorio
di 237.9 keV ed alla pressione di 2 mb. . . . . . . . . . . . . . 133
Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata su tutti i cristalli di BGO, all’energia di 237.9 keV ed
alla pressione di 2 mb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia efficace di interazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
ELENCO DELLE FIGURE
5.10 Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia
efficace di interazione in funzione della coordinata di interazione zint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’efficienza
di rivelazione puntuale in funzione della coordinata di interazione zint . Si noti la “valle” tra -11 e -7 cm determinata dall’assorbimento dei fotoni da parte del collimatore A1 (figura
5.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O del prodotto
P (z)η(z) in funzione della coordinata di interazione zint . . .
5.13 Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata al calorimetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14 Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O del fattore di
Gamow in funzione della coordinata di interazione zint . . . .
5.15 Andamento del profilo di pressione adoperato nel codice si
simulazione Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16 Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O della coordinata
di interazione zint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
xv
. 134
. 135
. 135
. 136
. 136
. 137
. 137
Andamento del fattore ∆σ
(equazione 6.23) in funzione dell’eσ
nergia dei protoni nel laboratorio per la definizione dell’energia efficace espressa dall’equazione 6.27 e per tre pressioni. Le
linee tratteggiate orizzontali rappresentano la soglia di ± 1 %.
(equazione 6.23) in funzione dell’eAndamento del fattore ∆σ
σ
nergia dei protoni nel laboratorio per la definizione dell’energia efficace espressa dall’equazione 6.28 e per tre pressioni. Le
linee tratteggiate orizzontali rappresentano la soglia di ± 1 %.
Schema dei livelli del nucleo di 15 O rilevanti per la reazione
14
N(p,γ)15 O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O. Si noti come a
causa dell’effetto somma nel rivelatore BGO il segnale sia
“concentrato” nel picco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spettro del fondo naturale sottoterra (tempo di misura 37.5 giorni) e in superficie schermato con 10 cm di Pb (tempo di misura
0.73 giorni). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione del limite
inferiore della ROI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento del rapporto efficienza tasso di conteggio del fondo
in funzione del limite inferiore della ROI. . . . . . . . . . . . .
144
146
148
150
150
151
151
xvi
ELENCO DELLE FIGURE
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
Andamento cronologico del tasso di conteggio del fondo naturale nella regione di interesse 6500-8000 keV. La linea rossa
orizzontale a tratto continuo rappresenta il valor medio, mentre le linee rosse tratteggiate rappresentano l’errore a lilvello
di 1σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spettro totale della misura a 70 keV, energia limite esplorata in questo esperimento (Q = 927±7 C, t = 49.12 giorni)
confrontato con il fondo naturale sottoterra ed in superficie
schermato con 10 cm di Pb. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spettro totale della misura a 90 keV (Q = 141±3 C, t =
6.90 giorni) confrontato con il fondo naturale sottoterra ed
in superficie schermato con 10 cm di Pb. . . . . . . . . . . .
Spettro della reazione 14 N(p,γ)15 O misurato alle’energia di
196 keV (Q = 14.33±0.16 C, t = 0.57 giorni). . . . . . . . .
Confronto tra uno spettro normalizzato alla carica della reazione 14 N(p,γ)15 O misurato all’energia di 196 keV espanso nella
regione 5-8 MeV (blu) (Q = 14.33±0.16 C, t = 0.57 giorni) con uno misurato con il gas inerte alla medesima energia
(rosso) (Q = 6.04±0.07 C, t = 0.24 giorni). . . . . . . . . . .
Andamento della temperatura centrale di una stella in funzione dell’energia dei proietilli della reazione 14 N(p,γ)15 O. La
curva verde continua invidua la temperatura centrale del picco
di Gamow in funzione dell’energia. I segmenti verdi orizzontali rappresentano l’estensione dei picchi di Gamow di alcuni
tipi di stelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della sezione d’urto misurato in questo esperimento. Le incertezze di tipo accidentale e sistematico sono
sommate in quadratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento del fattore astrofisico misurato in questo esperimento. Le incertezze di tipo accidentale e sistematico sono
sommate in quadratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori di sezione d’urto misurati dalla collaborazione LUNA
in questo esperimento e per mezzo del bersaglio solido. Ai dati
è sovrapposta una interpolazione data dall’equazione 6.56. .
Valori di fattore astrofisico misurati in questo esperimento e
da altri autori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronto tra il fattore astrofisico misurato in questo esperimento e precedenti dati in letteratura. L’intervallo energetico
è ristretto a quello ricoperto dal presente lavoro e si nota l’ottimo accordo con i dati misurati dalla collaborazione LUNA
con il bersaglio solido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 152
. 154
. 154
. 155
. 155
. 159
. 160
. 160
. 162
. 162
. 164
ELENCO DELLE FIGURE
6.19 Fattore astrofisico in funzione dell’energia dell’energia efficace
misurato alle pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar. . . . . . . . . . .
6.20 Fattore astrofisico in funzione dell’energia efficace ottenuto
sottraendo il fondo indotto dal fascio a diverse pressioni del
gas inerte. Non è possibile osservare alcun effetto poiché i
punti al più differiscono di 0.2 %. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.21 (a) Rappresentazion schematica del bersaglio. (b) Sezione
d’urto di Breit-Wigner normalizzata al valore alla risonanza.
(c) Andamento del rapporto Y (E0 /Ymax (∞) in funzione del’energia del fascio. (d) Andamento del rapporto Y (∆E)/Ymax (∞)
in funzione del rapporto ∆E/Γ. Figura tratta da [1]. . . . . .
6.22 Scansioni della risonanza effettuate con il rivelatore BGO alle
pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar. Le linee verticali tratteggiate
indicano le energie a cui sono stati associati i rispettivi massimi
della yield. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.23 Confronto tra la sezione d’urto di Breit-Wigner in funzione
dell’energia in cui si tiene conto della dipendenza energetica
delle ampiezze parziali (in rosso) e quella in cui la si trascura
(in blu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.24 Confronto tra la sezione d’urto di Breit-Wigner esatta (in rosso) ed approssimata (in blu) ristretto all’intervallo di energie
in cui i proiettili attraversano il bersaglio. . . . . . . . . . . .
6.25 Andamento dell’efficienza di rivelazione η determinato col codice Montecarlo. Si noti la valle tra -11 e -7 cm dovuta
all’assorbimento dei fotoni da parte del collimatore di ottone. .
xvii
165
165
172
173
174
174
175
Elenco delle tabelle
1.1
1.2
Energia di legame ed energia di legame per nucleone di alcuni
nuclei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Energia E0 del picco di Gamow, semiampiezza ∆/2 del picco di
Gamow e valore massimo dell’integrando dell’equazione 1.51
di un campione significativo di reazioni alla temperatura di
15×106 K (temperatura del sole). . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1
Ciascuna riga contiene il valore della derivata logaritmica di un
certo tipo di flusso di neurtini rispetto al parametro indicato
nella colonna. Per esempio si ha che ∂ ln Φpp /∂ ln S1,1 = 0.14. I
fattori astrofisici S1,1 , S3,3 and S3,4 sono riferiti rispettivamente
alle reazioni p(p,e+ ν)d, 3 He(3 He,2p)4 He, 3 He(4 He,γ)7 Be della
catena p-p; mentre il fattore astrofisico S1,14 indica quello della
reazione 14 N(p,γ)15 O del ciclo CNO. Z/X indica il rapporto
tra le abbondanze isotopiche degli elementi pesanti e quello
dell’idrogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1
Valori nominali di progetto degli stadi del sistema di pompaggio differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori dei coefficienti a e b delle interpolazioni lineari della
pressione alle porte in funzione della pressione in camera di
interazione (figure 4.4 e 4.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori dei coefficienti B, S e A delle curve 4.7 che interpolano
i dati del profilo di temperatura di figura 4.7. . . . . . . . .
Valori dei coefficienti a e b delle interpolazioni lineari dei paramteri B, S e A in funzione della pressione in camera di
interazione (4.8, 4.9 e 4.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbinamento scelto tra corrente e pressione per effettuare le
misure dell’effetto di ricaldamento in ciascuna delle cinque
posizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
4.3
4.4
4.5
. 72
. 75
. 78
. 78
. 85
xx
ELENCO DELLE TABELLE
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
6.1
6.2
6.3
6.4
Valori dei coefficenti a del best fit lineare vincolato del fattore
di correzione hbeam in funzione della posizione. . . . . . . . .
Valori dei coefficenti a e b best fit lineare vincolato e libero di
tutte le serie del fattore di correzione hbeam . I valori non sono
stati arrotondati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori dell’efficienza misurata e previsti dal Monte-Carlo in
funzione della posizione lungo l’asse z, e valori dello scarto
assoloto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parametri della sorgente impiegata per le misure di efficienza
del rivelatore BGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori dell’efficienza misurata e previsti dal Monte-Carlo con
lo spessore del tubo di alluminio interno di 1.3 mm in funzione
della posizione lungo l’asse z, e valori dello scarto assoloto. .
Tasso di conteggio del fondo naturale in diverse regioni di
intersse nell’intervallo di energie di 5 - 8 MeV. . . . . . . . .
Righe identificate negli spettri mostrati nelle figure 4.37 e 4.38,
all’energia nominale del fascio di protoni di 199.9 keV, senza
gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Righe identificate negli spettri mostrati nelle figure 4.39 e
4.40, all’energia di 199.8 keV con 1 mbar di N2 . Sono riporate le righe attese e appena distinguibili (a.d.) e quelle non
distinguibili (n.d.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 91
. 93
. 102
. 104
. 106
. 109
. 115
. 117
Valori sperimentali dell’energia efficace di interazione, della
sezione d’urto e del fattore astrofisico coi rispettivi errori accidentali e sistematici ottenuti in questo esperimento. Tutti gli
errori sono espressi ad 1σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Valori del fattore ωγres determinati con il metodo approssimato.169
Valori del fattore ωγres determinati con il metodo integrale. . . 170
Valori del fattore ωγres ottenuti da altri autori. . . . . . . . . . 170
Introduzione
Gli essere umani hanno sempre osservato il cielo meravigliati dalla bellezze
delle stelle. All’inizio del secolo scorso agli astronomi comiciarono a studiare, in modo sistematico, le caratteristiche fisiche dei corpi celesti, osservando
proprietà generali, anche se le ragioni di queste non erano chiaramente comprese. Il tentativo di spiegare le osservazioni portò alla nascita dell’astrofisica,
unione della fisica e dell’astronomia, disciplina che si occupa di proporre e
studiare soluzioni alle osservazioni astronomiche applicando le teorie e leggi
della fisica alla moltitudine dei corpi celesti. I concetti oggi ritenuti alla base della natura e dell’evoluzione delle stelle provengono dalla scoperta delle
reazioni termonucleari, che provvedono a a regolare la grande quantità di
energia emessa dalle stelle nel corso della loro vita. Questa scoperta portò
a formulare una chiara teoria dell’evoluzione stellare e della nucleosintesi
degli elementi, che ha poi ricevuto diverse conferme sperimentali. Uno dei
principali metodi di verifica dei modelli di evoluzione stellare consiste nella
previsione dei tassi di produzione di energia e di sintesi degli elementi riconducibli allo studio delle velocità di reazione all’interno delle stelle e quindi
ai valori delle sezioni d’urto delle reazioni nucleari coinvolte. Le ricerche in
questo campo sono indirizzate a riprodurre in laboratorio le condizioni a cui
avvengono le reazioni nucleari nelle stelle. Alle tipiche temperature del plasma stellare corrispondono energie delle particelle anche molto basse. Nel
caso di reazioni tra nuclei nudi, a causa della repulsione coulombiana, la probabilità di interazione descresce esponenzialmente al diminuire dell’energia e
quindi, fino a poco tempo addietro, gli studi sperimentali di sezione d’urto si
arrestavano ad energie sempre troppo elevate rispetto a quelle tipiche delle
fusioni nel plasma stellare. Si è quindi fatto ricorso a procedure di estrapolazione verso le energie di interesse astrofisico introducendo cosı̀ incertezze in
alcuni casi difficilmente quantificabili.
Il progredire delle tecniche sperimentali ha tuttavia permesso di avvicinarsi
sempre di più alle energie proprie delle fusioni stellari. Significativi progressi
in questa direzione sono stati compiuti nell’ambito del progetto LUNA (Laboratory for Underground Nuclear Astrophysics), con la misura delle reazioni
xxii
Introduzione
3
He(3 He,2p)4 He, 3 He(d,p)4 He e d(p,γ)3 He alle bassissime energie di interesse
astrofisico.
Scopo della presenta ricerca è stata la misura diretta della sezione d’urto
totale della reazione 14 N(p,γ)15 O, appartenente al ciclo CNO, nell’intervallo
energetico di 70.08-228.01 keV, all’interno del picco di Gamow delle giganti
rosse. Misure precedenti di questa reazione si sono solo avvicinate alla regione energetica di interesse, producendo risultati contrastanti e lasciando
ampio spazio alle tecniche di estrapolazione, particolarmente difficili per la
complessità delle risonanze della reazione 14 N(p,γ)15 O. Per la prima volta,
con le misure qui descritte, è stato esplorato un nuovo limite energetico, riducendo l’intervallo di estrapolazione e producendo dati di ottima precisione.
Questo lavoro di tesi si articola in sei capitoli, il primo dedicato alla reazioni termonucleari nelle stelle, il secondo alle motivazioni per lo studio della
14
N(p,γ)15 O, il terzo alla descrizione del progetto di misura, il quarto alla
descrizione delll’apparato sperimentale del progetto LUNA e alle misure di
caratterizzazione compiute, il quinto al codice di simulazione impiegato, il
sesto all’analisi dei dati raccolti e dei risultati ottenuti.
Capitolo 1
Reazioni termonucleari
In questo capitolo si discute il ruolo delle reazioni termonucleari nelle stelle. Le prime quattro sezioni sono dedicate ad una breve introduzione alle
osservabili stellari, alle fasi evolutive di una stella, alla catena p-p al ciclo
CNO. Questi ultimi oggi sono ritenuti le sequenze di reazioni alla base dei
meccanismi di produzione di energia nelle stelle come il sole. Nelle sezioni
quinta e sesta si discute brevemente le proprietà cinematiche delle reazioni
nucleari a due corpi. Nella settima sezione si mostrano in dettaglio le attuali
procedure di calcolo per la determinazione del tasso di reazione nucleare nelle stelle e nella ottava si calcola la sezione d’urto per reazioni non risonanti
indotte da particelle cariche a bassa energia. Successivamente si determina
l’espressione analitica del tasso di reazione nelle stelle nel caso particolare
di reazioni non risonanti indotte da particelle cariche, definendo la regione
energetica del picco di Gamow che porta il maggior contributo al tasso di
reazione. Nelle sezioni decima e undicesima sono brevemente introdotte le
proprietà delle reazioni risonanti.
1.1
Cenni sulle osservabili stellari
L’osservazione sistematica su larga scala dei corpi celesti e la comparazione
delle loro proprietà fisiche portò gli studiosi a pensare che vi fossero delle
leggi fisiche ben definite per descriverne le regolarità.
I primi studi si concentrarono sulle due osservabili stellari caratterizzanti la
radiazione elettromagnetica emessa: la quantità di radiazione ed il colore,
cioè la distribuzione energetica alle varie lunghezze d’onda. Nella maggior
parte dei casi tale distribuzione energetica non si discosta sensibilmente da
quella attesa per un corpo nero e quindi si può associare ad ogni stella una
temperatura superficiale. Le stelle mostrano una grande varietà di tempera-
2
Figura 1.1: Rappresentazione dell’abbondanza universale degli elementi in
funzione del numero di massa atomica normalizzata al valore 106 del silicio
[1].
ture tipicamente contenute tra 3000 K e 30000 K [7]. Più difficile è invece
valutare la luminosità intrinseca di una stella, cioè l’energia totale emessa,
a partire da quella osservata, poiché è necessario misurare la distanza dal
punto di osservazione alla sorgente1 .
Altri studi si concentrarono sull’osservazione dell’abbondanza degli elementi
nelle stelle e fu scoperto che in molti casi essa è la stessa e per questo è detta
abbondanza cosmica o universale2 .
In figura 1.1 è rappresentata l’abbondanza universale in funzione del numero
di massa atomica. L’abbondanza è normalizzata in modo tale che quella del
silicio sia 106 . Si noti che il rapporto tra l’elemento più abbondante (H) e
quello più raro vale 1012 . Risulta evidente l’esistensa di un vuoto tra He e C
(Li Be e B poco abbondanti) e una lenta descrescita nella regione tra C e O
fino al Ca con poi una valle allo Sc, seguita dal picco del Fe. L’abbondanza
1
Oggi i metodi diretti (quali la parallasse trigonometrica) consentono di valutare con
precisione la distanza dei soli oggetti più vicini al nostro sistema solare.
2
Oggi è noto che questo è vero per la maggioranza dei corpi e per il gas interstellare.
Tuttavia esistono classi di stelle per cui vi sono diversificazioni
1.1 Cenni sulle osservabili stellari
Figura 1.2: Diagramma di Hertzsprung-Russell (H-R). La maggior parte
delle stelle, incluso il sole, sono raggruppate in una striscia detta sequenza
principale. L¯ indica la luminosità del sole [1].
degli elementi ha un enorme influenza sullo studio dell’origine degli elementi
e sullo sviluppo dell’astrofisica nucleare.
Nei loro studi Hertzsprung e Russell [8] compararono la temperaratura superficiale e la luminosità (relativa a quella del sole L¯ ). Questo fatto portò
ad una importante scoperta concernente la relazione tra queste due quantità.
In figura 1.2 è rappresentato il diagramma di Hertzsprung-Russel (H-R). Si
noti che la maggior parte delle stelle, compreso il sole, è raggruppata in una
striscia, detta sequenza principale. I dati rappresentati nel diagramma H-R
sono molto importanti perchè essi sono proprietà fisiche misurabili. Quindi
possono essere usati per verificare le predizioni dei modelli di evoluzione stellare.
Dallo studio del moto dei sistemi binari si è ottenuta una conoscenza accurata della massa delle singole stelle. Confrontando le masse e le luminosità
di quelle stelle fu scoperto che le stelle più massive della sequenza principale
sono anche le più luminose. Inoltre fu scoperto che per il 90% delle stelle
massa e luminosità sono legate da una relazione del tipo L ∝ M 3.5 .
Oggi si ritiene che questo non sia un fatto accidentale ma un risultato dovuto
3
4
Figura 1.3: Rappresentazione del diagramma massa luminosità per le stelle
della sequenza principale [1].
alle leggi che governano la struttura interna di una stella.
In figura 1.3 è rappresentato il diagramma massa luminosità per le stelle della
sequenza principale. Si noti l’evidenza del legame tra le due proprietà fisiche.
Gli spettri delle stelle sono generati dagli elementi chimici superficiali. Ognuno di essi emette una serie di righe caratteristiche le cui lunghezze d’onda
sono ben conosciute. A causa dell’effetto Doppler, quando una galassia o una
stella si allontano da un osservatore, tali lunghezze d’onda aumentano. Per
le righe nel visibile ciò appare come uno spostamento verso il rosso. Questa
variazione, detta appunto spostamento verso il rosso (redshift), permette di
misurare la velocità di allontanamento. Tutti gli spettri ottici di galassie
lontane mostrano lo spostamento verso il rosso, nonostante tale effetto sia
piccolo. Fu cosı̀ scoperto che tutti i corpi seguono un moto di espansione
ordinato. Comparando la velocità di allontanamento con la distanza, fu trovato un risultato sorprendente: la velocità di allontanamento è proporzionale
alla distanza tramite una costante, H, detta costante di Hubble.
In figura 1.4 è riportata la rappresentazione grafica della legge di Hubble.
Nel 1965 i radio astronomi Penzias e Wilson scoprirono un’altra importatante proprietà: la radiazione di fondo universale. Tale radiazione è molto
simile a quella di un corpo nero alla temperatura di 2.76 K e appare bagnare
isotropicamente ogni corpo. Una radiazione di questo tipo non può essere
1.2 Cenni sulla vita di una stella
Figura 1.4: Rappresentazione grafica della legge di Hubble [1].
generata da nessun corpo celeste conosciuto.
Questa caratteristica, insieme alla legge di Hubble e insieme a molte altre, è
tra i pilastri fondamentali per la teoria del big bang [1] secondo la quale l’universo è stato originato da una esplosione primordiale a cui si sono succedute
varie ere. Tale modello nasce dall’unione delle conoscenze in vari settori della
fisica per poter spiegare tutte le proprietà fisiche attualmente misurabili.
In figura 1.5 sono rappresentate schematicamente le fasi evolutive della teoria
del big bang.
Nel seguito verranno approfonditi solamente gli aspetti astrofisici più direttamente connessi all’argomento di questa tesi.
1.2
Cenni sulla vita di una stella
Le reazioni termonucleari attualmente costituiscono la chiave di interpretazione del tasso di produzione di energia e della nucleosintesi degli elementi
nelle stelle. Infatti l’energia termica e gravitazionale da sole non sono sufficenti a rendere conto dell’enorme quantità di energia liberata da una stella nel
corso della sua vita. Oggi si ritiene che una stella sia il risultato della condensazione del gas interstellare, principalmente composto di elio e di idrogeno,
sotto l’azione della forza gravitazionale. Come risultato della condensazione
5
6
Figura 1.5: Rappresentazione delle fasi evolutive della teoria del big bang [1].
parte dell’energia gravitazionale si converte in energia termica e conseguentemente aumenta la temperatura del condensato. Quando la temperatura e
la densità centrale raggiungono un valore sufficentemente elevato cominciano
ad attivarsi le reazioni termonucleari che consumano gli elementi più facilmente innescabili, quali l’idrogeno. L’energia prodotta dalle reazioni nucleari
produce una pressione termica in opposizione alla pressione gravitazionale e
stabilizza la stella che viene a cosı́ a trovarsi in uno stato di equilibrio che perdura, senza grandi cambiamenti della temperatura, finchè non viene esaurito
l’elemento particolare coinvolto. Dopodiché la stella incomincia nuovamente
a contrarsi convertendo l’energia gravitazionale in energia termica, fino a che
la temperatura e la densità non diventano tali da poter attivare la successiva
reazione nucleare più facilmente attivabile. L’esame delle abbondanze degli
elementi e considerazioni di natura fisica riguardanti la possibilità di innescare o meno particolari reazioni nucleari, portò a postulare la possibilità che
una certa serie di reazioni nucleari di nucleosintesi avrebbe potuto svolgersi
[1]. I processi attualmente ritenuti fondamentali per l’interpretazione di tali
meccanismi sono i seguenti:
1. Combustione dell’idrogeno (conversione dell’idrogeno in elio);
2. Combustione dell’elio (conversione dell’elio in carbonio, ossigeno, etc.);
1.3 Cenni sulla catena p-p
Figura 1.6: Rappresentazione delle fasi della vita di una stella [1].
3. Combustione dell’ossigeno, dell carbonio e del neon (produzione degli
elementi con numero atomico compreso 16 e 28);
4. Combustione del silicio (produzione degli elementi con numero atomico
compreso tra 28 e 60);
5. I processi s, r e p (produzione degli elementi con numero atomico
superiore a 60);
6. Il processo l (produzione degli elementi leggeri D, Li, Be e B).
In figura 1.6 sono rappresentate le varie fasi della vita di una stella. Di
questi processi saranno discussi successivamente in maggior dettaglio solo
quelli riguardanti la combustione dell’idrogeno attraverso la catena p-p e il
ciclo CNO, poichè coinvolti in questo lavoro di tesi.
1.3
Cenni sulla catena p-p
Fin dai primi studi di fisica nucleare è apparso chiaro come nei nuclei fosse immagazzinata una grande quantità di energia. Per questa ragione gli
7
8
astrofisici incominciarono a sospettare che nelle stelle dovessero avvenire reazioni nucleari per poter spiegare l’enorme quantità di energia irradiata. Questo sospetto, insieme alla scoperta dell’effetto tunnel, portarono Atkinson e
Houtermans nel 1929 alla prima trattazione teorica dell’argomento. Essi conclusero, sulla base dei dati disponibili all’epoca, che alla temperatura stellare
del sole solo l’idrogeno poteva essere coinvolto in reazioni di fusione. Successivamente i lavori di von Weizsäcker, Bethe e Critchfield a cavallo degli anni
1937-1939, misero in evidenza che due serie di reazioni potevano convertire
idrogeno in elio sufficentemente bene da poter spiegare la luminosità delle
stelle. La prima serie è la catena p-p la seconda è il ciclo CNO. Il ciclo CNO
si differenzia dalla catena p-p per il fatto che utilizza la presenza di quantità
anche minime di C, N ed O come catalizzatori, per sintetizzare un nucleo di
elio a partire da quattrro nuclei di idrogeno. È evidente che per strutture
stellari di prima generazione il ciclo CNO non può intervenire per mancanza
di nuclei pesanti.
Viceversa nelle stelle quali il sole l’abbondanza degli elementi pesanti è sufficente a far ritenere che il ciclo CNO possa essere attivato. Questo fatto non
significa che la catena p-p cessi di essere attiva, anzi nelle stelle come il sole
è ritenuta il meccanismo di produzione di energia più efficente. Il Ciclo CNO
verrà approfondito nella prossima sezione.
Oggi è noto che per produrre un nucleo di elio a partire da protoni dovrebbe
poter avvenire una reazione del tipo:
4p →4 He + 2e+ + 2ν
Q = 26.72 MeV
(1.1)
La probabilità che questa reazione avvenga realmente è praticamente nulla.
L’intero meccanismo per generare un nucleo di elio avviene tramite una serie
di reazioni a due corpi il cui effettivo risultato è quello della 1.1. L’insieme
completo di tutte le reazioni a due corpi che costituiscono la catena p-p è
descritto nello schema in figura 1.7. La catena p-p si suddivide in due rami
distinti dal canale di combustione di 3 He e, successivamente, uno di essi si
divide ulterioemente in altri due distinti dal canale di combustione di 7 Be.
Complessivamente si hanno tre rami il cui Qef f è calcolato sottraendo al Q
di reazione (26.72 MeV) l’energia portata via dai neutrini, calcolata secondo
la teoria del modello standard. La probabilità di ogni canale di reazione è
calcolata in base a modelli nucleari e astrofisici [1].
Indipendemente dalle diramazioni, la reazione all’inizio della catena p-p è:
p(p, e+ ν)d
(1.2)
La reazione 1.2 è governata dalla forza debole, la cui intensità è di gran lunga
inferiore a quella delle forze nucleari, e quindi la sezione d’urto non è misurabile direttamente, alle energie di interesse astrofisico, e viene determinata
1.3 Cenni sulla catena p-p
9
Figura 1.7: Schema delle reazioni della catena p-p [1].
solo per via teorica. Di fatto la produzione di 4 He è governata dal tasso
della reazione 1.2. La reazione successiva brucia il deuterio sintetizzato dalla
p(p,e+ ν)d per produrre 3 He:
d(p, γ)3 He
(1.3)
A differenza della precedente essa è caratterizzata da una sezione d’urto
relativamente elevata [9, 10] 3 . In generale si noti che il deuterio potrebbe
essere consumato anche in altri modi. Il fatto che venga seguito un canale
di reazione od un altro dipende fortemente dalle condizioni in cui avviene
la reazione ed in particolar modo dalla abbondanza di altri tipi di nuclei e
dalla temperatura e densità della stella. Per questa ragione in una stella
all’inizio della sua vita (protostella) la reazione più efficente è certamente la
d(p,γ)3 He.
La combustione di 3 He può procedere attraverso due rami distinti. Il primo
attraverso la combustione diretta di due nuclei di 3 He attraverso la reazione
3
Questa reazione è stata misurata per la prima volta nell’intera regione del picco di
Gamow dalla collaborazione LUNA [9]. Essa è stata oggetto di studio della tesi di laurea
dell’autore del presente lavoro di ricerca [10].
10
[11, 12]4 :
3
He(3 He, 2p)4 He
(1.4)
Il secondo attraverso la reazione 3 He(4 He,γ)7 Be per la quale nella stella deve
essere già presente una quantità sufficente di 4 He (prodotto dal primo ramo
della catena p-p oppure proveniente dal big bang o da altro materiale stellare)
5
:
3
He(α, γ)7 Be
(1.5)
La catena si divide poi nuovamente in due rami (figura 1.7) a seconda del
metodo di combustione del 7 Be. Queste due catene sono molto importanti
per la questione dei neutrini solari. L’osservazione dei neutrini ha una grande
importanza per i dettagli concernenti la struttura del sole poichè di tutte le
particelle prodotte esse sono le uniche a raggiungere la superficie esterna del
sole e poi la terra.
1.4
Cenni sul ciclo CNO
Poiché le stelle di prima generazione sono prevalentemente formate da idrogeno, in esse la produzione di energia è dominata dalla fusione diretta di protoni
in elio attraverso la catena p-p. Molte delle stelle attualmente presenti nel cosmo sono stelle di seconda o terza generazione. Queste sono formate non solo
da idrogeno ma anche da elementi più pesanti sintetizzati in stelle massive di
prima generazione, e poi espulsi nello spazio durante la fase finale esplosiva.
In stelle più massive del sole si hanno densità e temperature più alte prima di
raggiungere l’equilibrio idrostatico [1]. In queste stelle è possibile che la produzione di energia possa avvenire attraverso la fusione di protoni con nuclei
più pesanti dell’elio, attraverso un’altra catena di reazioni. Le reazioni favorite saranno quelle che coinvolgono i nuclei leggeri con la più bassa barriera
coulombiana e con la maggiore abbondanza. Gli elementi che soddiffano tali
requisiti sono C e N. Si noti che Gli elementi tra He e 12 C, pur soddisfando il
requisito di una bassa barriera coulombiana (Li, Be e B), sono estremamente
rari. Il meccanismo oggi ritenuto alla base di questo processo che coinvolge
C e N è stato originalmente proposto da Bethe nel 1939. Questo meccanismo
è detto ciclo CN ed è rappresentato in figura 1.8. La sequenza delle reazioni
è la seguente:
12
C(p, γ)13 N(e+ ν)13 C(p, γ)14 N(p, γ)15 O(e+ ν)15 N(p, α)12 C
(1.6)
4
Questa reazione è stata misurata per la prima volta nell’intera regione del picco di
Gamow dalla collaborazione LUNA [11, 12]
5
Questa reazione è attualmente in studio da parte della collaborazione LUNA.
1.4 Cenni sul ciclo CNO
11
Figura 1.8: Schema delle reazioni della ciclo CN [1].
Come nel caso della catena p-p il risultato finale è la conversione di quattro
protoni in elio:
4p →4 He + 2e+ + 2ν
Q = 26.72 MeV
(1.7)
Poichè i due neutrini coinvolti nei due decadimenti β hanno energia relativamente bassa, tutta l’energia prodotta viene “trattenuta” all’interno della
stella. Il punto centrale del processo CN è che esso è un ciclo: comincia con
la fusione di 12 C con un protone e termina sintetizzando un nucleo di He e
uno di 12 C. Quindi il 12 C è di fatto un catalizzatore e può essere “riutilizzato più volte”. Questo fatto è molto importante poichè nelle stelle non vi
è molto carbonio in rapporto all’idrogeno, e quindi il 12 C non si esaurisce,
come accadrebbe nel caso di una ordinaria reazione di fusione, e il processo
di catalizzazione può continuare. Si noti che lo stesso si può dire anche per
gli altri isotopi coinvolti di N ed O.
Se all’inizio sono disponibili solo nuclei di 12 C, il ciclo CN produrrà elementi
più pesanti. Tuttavia il numero totale di nuovi elementi pesanti generati
non potrà superare quello originale di nuclei di 12 C. Analogamente a quanto
accade nel caso della catena p-p, il tasso di produzione di energia del ciclo
CN è governato dalla reazione più lenta.
Poichè gli isotopi di N hanno la barriera coulombiana più alta sono le reazioni
12
Figura 1.9: Confronto tra la produzione di energia del ciclo CN e della catena
p-p in una stella in funzione della sua temperatura centrale. L’andamento
delle curve riflette la diversità delle sezioni d’urto, che sono legate alle diverse
barriere coulombiane. Per temperature oltre 20 ×106 (K) il ciclo CN inizia
a predominare rapidamente [1].
che coinvolgono 14 N e 15 N ad essere quelle con la sezione d’urto più bassa6 .
La reazione 15 N(p,α)12 C è governata dalla forza nucleare e quindi è più veloce della reazione 14 N(p,γ)15 O che è governata essenzialmente dalla forza
eletromagnetica.
A partire dal 1950 sono stati concentrati molti sforzi per misurare le sezioni
d’urto delle reazioni coinvolete nel ciclo CN, in particolare sulla 14 N(p,γ)15 O.
Tuttavia a quei tempi si credeva che il ciclo CN fosse la primaria fonte di
energia per le stelle come il sole. Questo fatto si è dimostrato falso per questo
tipo di stelle. Infatti la massa risulta insufficente a produrre una temperatura
centrale abbastanza elevata da rendere efficiente il ciclo CN. In figura 1.9 è
mostrato l’andamento della produzione energetica del ciclo CN e della catena
p-p in funzione della temperatura centrale di una stella. Come è illustrato
nella figura 1.9, la generazione di energia del ciclo CN diventa più efficente
al crescere della temperatura interna della stella. L’andamento delle curve
6
Si noti che il nucleo di 13 N non è coinvolto in alcuna reazione. Esso è instabile e una
volta sintetizzato decade β.
1.4 Cenni sul ciclo CNO
13
Figura 1.10: Schema del biciclo CNO [1].
riflette quello della sezione d’urto delle reazioni coinvolte nei due meccanismi.
Il ciclo CN, come proposto nella versione originale da Bethe nel 1939, trascura la perdita degli isotopi catalizzatori per mezzo di altre reazioni. Tenendo
in conto che può avvenire la reazione 15 N(p,γ)16 O, è stato scoperto che si può
svolgere un effetivo ciclo parallelo di reazioni:
16
O(p, γ)17 F(e+ ν)17 O(p, γ)14 N
(1.8)
In figura 1.10 è riportato lo schema effettivo della serie di reazioni che prende
il nome di biciclo CNO. Nel ramo parallelo al ciclo CN sono coinvolti isotopi
di O e F. Il peso nella produzione di energia di quest’ultima catena di reazioni rispetto a quelle del ciclo CN dipende dall’importanza delle due reazioni
che a partire dal medesimo nucleo 15 N determinano quale ramo del ciclo si
sta percorrendo: 15 N(p,α)12 C oppure 15 N(p,γ)16 O. Analogamente a quanto
discusso precedentemente la reazione meno importante è la 15 N(p,γ)16 O poiché governata essenzialmente dalla forza elettromagnetica. Quindi il tasso di
produzione di energia del biciclo CNO è effettivamente covernato dal ciclo
CN poichè la reazione 15 N(p,α)12 C è più veloce di un fattore circa 103 volte
[1].
Successivamente è stato scoperto che anche il biciclo CNO non era completo
[1] e in figura 1.11 è mostrato il triciclo CNO. Infatti bisogna tenere conto
delle eventuali perdite di isotopi di 17 O, sintetizzati nel secondo ramo del bi-
14
Figura 1.11: Schema del triciclo CNO [1].
ciclo CNO, attraverso la reazione 17 O(p,γ)18 F. Anche in questo caso valgono
ragionamenti analoghi per determinare l’importanza relativa del terzo ramo
rispetto al secondo.
L’importanza di aver esteso il ciclo CN al triciclo CNO risiede nel fatto che
esso può generare isotopi più pesanti, anche se il tasso di produzione energetica ne è governato essenzialmente dal primo ramo, ossia il ciclo CN. Tale
fatto è di vitale importanza nella nucleosintesi degli elementi per giustificare
l’abbondanza isotopica nelle stelle.
Nel proseguimento verranno descritte le caratteristiche generali delle reazioni
termonucleari e successivamente le attuali procedure per la determinazione
dei tassi di reazione nelle stelle.
1.5
Cinematica di reazioni a due corpi
Ai fini di questo lavoro di ricerca ed in generale nel campo specifico dell’astrofisica nucleare intervengono solo reazioni nucleari a due corpi nello stato
iniziale e due corpi nello stato finale. Quindi in questo lavoro vengono tralasciati gli altri casi. Inoltre, sempre in questo campo e in questo lavoro, la
cinematica delle reazioni è sempre classica perchè le energie cinetiche in gioco
sono di gran lunga inferiori alle masse dei nuclei più leggeri convolti quali i
protoni (Emax ' 400 keV ¿ Mp c2 ' 938 MeV). Tuttavia inizialmente verrà
introdotto il formalismo relativistico e poi si passerà al limite classico.
Si assuma di studiare la generica reazione a due corpi del tipo A(B,C)D.
1.5 Cinematica di reazioni a due corpi
15
Applicando la legge di conservazione del quadrimpulso relativistico Pµ si ha:
PµA + PµB = PµC + PµD
(1.9)
Nell’equazione 1.9 Pµ è definito come (E,~pc) dove E è l’energia totale del
nucleo e p~ è il vettore tridimensionale ordinario della quantita di moto (si
è adottata la definizione della metrica relativistica gµν tale che l’invariante
relativistico Pµ P µ = −M c2 ). Uguagliando la prima componente (quella dell’energia) e quelle spaziali e introducendo la definizione di energia cinetica
T come la differenza tra la sua energia totale E e l’energia a riposo M c2 ,
T = E − M c2 , l’equazione 1.9 diviene il sistema di equazioni:
TA + T B = T C + T D − Q n
p~A + p~B = p~C + p~D
(1.10)
(1.11)
Dove la quantità Qn , detta Q-valore della reazione in studio, è definita come
la differenze delle masse dei nuclei nello stato iniziale e nello stato finale (le
proprietà di questa quantità sono approfondite nella sezione 1.6 a pagina 18):
Qn = (MA + MB − MC − MD )c2
1.5.1
(1.12)
Sistema del laboratorio
Nella maggioranza dei casi di interesse pratico si desidera conoscere l’energia
di una delle particelle nello stato finale, quella che verrà rivelata, nel sistema
del laboratorio. Passando al limite classico l’energia cinetica di un nucleo T
p2
. Assumendo il nucleo A sia inizialmente fermo, nel sistema
diviene pari a 2M
del laboratorio, e che si voglia rivelare la particella C si ha (figura 1.12):
p2B
p2
p2
= C + D − Qn
2MB
2MC 2MD
p~B = p~C + p~D
(1.13)
(1.14)
Dall’equazione 1.14, portando a primo membro il vettore della quantità di
moto della particella C e quadrando si ottiene il modulo quadro della quantità
di moto della particella D:
p2D = p2B − 2pB pC cos(θ) + p2C
(1.15)
Dove θ è l’angolo tra i vettori quantità di moto delle particelle B e C. Inserendo l’equazione 1.15 nell’equazione 1.13, e risolvendo quest’ultima in funzione
della quantità di moto della particella C si ha:
¶
¶
µ
µ
pB cos(θ)
1
1
1
1
1
1
2
pC −
p2B − Qn = 0 (1.16)
+
pC −
−
2 MC MD
MD
2 MB MD
16
C Pµ
B
A
θ
Pµ
D
Pµ
Figura 1.12: Rappresentazione schematica della cinematica delle reazioni di
tipo A(B,C)D nel riferimento del laboratorio.
La cinematica esatta si ottiene risolvendo l’equazione di secondo grado contenuta nella relazione 1.16, noti la quantità di moto della particella proiettile
pB e l’angolo θ a cui si osserva la particella C. Tale soluzione non viene qui
proposta in quanto ai fini del proseguimento non interessa la soluzione generale, ma la soluzione nel caso particolare la particella C sia un fotone. Le
considerazioni di questo caso sono discusse nel prossimo paragrafo.
Se il Q-valore è negativo bisogna che l’energia del nucleo proiettile sia sufficentemente alta per poter innescare la reazione.
1.5.2
Cinematica del fotone
Nel caso particolare di reazioni di tipo A(B,γ)D il sistema di equazioni 1.10
e 1.11, nel limite classico nel sistema del laboratorio, assumendo il nucleo A
inizialmente fermo, diviene:
p2B
p2
= E γ + D − Qn
2MB
2MD
Eγ
vb + p~D
p~B =
c
(1.17)
(1.18)
Dove vb è il versore della quantità di moto del fotone, il cui modulo è pari a Ecγ .
In modo del tutto simile a quanto visto nel paragrafo precedente, risolvendo
l’equazione 1.18 in funzione di p~D e quadrando si ottiene:
µ ¶2
Eγ
Eγ
2
2
pD = pB − 2pB
cos(θ) +
(1.19)
c
c
1.5 Cinematica di reazioni a due corpi
17
Dove θ è l’angolo tra i vettori quantità di moto delle particelle B e il fotone.
Inserendo l’equazione 1.19 nell’equazione 1.17 e risolvendo quest’ultima in
funzione dell’energia del fotone Eγ , si ha:
³ ´2
Eγ
µ
¶
Eγ
cos(θ)
p
c
1
1
1
B
c
Eγ =
p2B +
−
−
+ Qn
(1.20)
2 MB MD
MD
2MD
In prima approssimazione MA +MB ' MD (le proprietà delle masse dei nuclei
sono esposte nella sezione 1.6 a pagina 18), tenendo conto della definizione
p2
dell’energia cinetica classica 2M
, e quindi l’equazione 1.20 diviene:
Eγ =
MA
EB +
(MA + MB )
pB Ecγ
³
Eγ
c
´2
cos(θ)
−
+ Qn
MD
2MD
(1.21)
Si noti che il primo termine a secondo membro dell’equazione 1.21 è l’energia
donata dal proiettile nel centro di massa anche se l’energia Eγ è espressa nel
sistema del laboratorio. Il secondo termine a secondo membro dell’equazione
1.21 è effettivamente un’effetto Doppler, infatti:
pB Ecγ cos(θ)
MB v B
MB
vB
=
Eγ cos(θ) '
Eγ cos(θ)
MD
MD c
(MA + MB ) c
(1.22)
Il terzo termine a secondo membro dell’equazione 1.21 rappresenta l’energia
portata via dal rinculo del nucleo D e il quarto termine , Qn , il guadagno
(o l’assorbimento) di energia (necessario per innescare) la reazione. In forma
simbolica spesso l’equazione 1.21 viene espressa nel seguente modo:
Eγ = Qn + EB cm + ∆Doppler − ∆Recoil
(1.23)
Si noti che in generale i termini Doppler e di rinculo sono piccoli, ed il loro
effetto è apprezzabile solo con rivelatori ad alta risoluzione enrgetica.
1.5.3
Sistema del centro di massa
Dalle equazioni 1.10 e 1.11, sempre nel limite classico si può determinare
l’energia di soglia di una reazione. Infatti passando al sistema del centro di
massa si ha che p~A + p~B = 0 e che p~C + p~D = 0. Da cui si ottiene che p~A
= −~pB = −~pin e p~C = −~pD = −~pf in (figura 1.13). E quindi il sistema di
equazioni 1.10 e 1.11 si riduce alla sola equazione:
2
Pf2in
Pin
=
− Qn
2µA,B
2µC,D
(1.24)
18
C Pµ
A
θ
Pµ
Pµ
B
D
Pµ
Figura 1.13: Rappresentazione schematica della cinematica delle reazioni di
tipo A(B,C)D nel riferimento del centro di massa.
MD
MB
e µC,D = MMCC+M
). Dalla precedenDove µ è la massa ridotta (µA,B = MMAA+M
B
D
te equazione si ricava l’energia minima (classica) affinchè una reazione possa
avvenire. Infatti dall’equazione 1.24 si ottiene che l’energia a disposizione
nello stato finale è data da:
2
Pf2in
Pin
=
+ Qn
(1.25)
2µC,D
2µA,B
L’energia totale mimina del canale di ingresso (nel centro di massa) la si
ottiene quando l’energia cinetica totale (nel centro di massa) dei nuclei nello
stato finale è nulla:
Emin = −Qn
(1.26)
Da questa equazione risulta evidente che se il Q-valore è positivo il canale
di reazione è sempre aperto. Nella prossima sezione si discutono le proprietà
del Q-valore di una reazione nucleare.
1.6
Energia nucleare
Oggi è ben noto che la massa Mn di un nucleo composto da Z protoni, aventi
ciascuno di massa MP , e da N neutroni, aventi ciascuno massa MN , non è
esattamente la somma delle masse dei suoi componenti ma bensı̀ :
Mn = ZMP + N MN − ∆Mn
(1.27)
La quantità ∆Mn è detta difetto di massa ed è equivalente ad una energia
pari a ∆E = ∆Mn c2 . Quest’ultima è l’energia rilasciata durante la formazione del nucleo a partire dai suoi costituenti elementari, protoni e neutroni
1.6 Energia nucleare
Figura 1.14: Energia di legame per nucleone
massa atomica A.
19
∆E
A
in funzione del numero di
(ai fini di questa tesi la struttura a quark dei nucleoni non interviene), ed è
prodotta a spese della massa totale del nucleo composto. Allo stesso modo
∆E rappresenta l’energia necessaria per separare il nucleo nei suoi nucleoni
costituenti ed è detta quindi energia di legame del nucleo. In figura 1.14 è
rappresentata l’energia di legame per nucleone, ∆E
, in funzione del numero
A
di massa atomico A. Si noti che il più alto valore per l’energia di legame per
nucleone si trova tra i nuclei vicini al ferro, mentre quelli più leggeri e più pesanti sono meno legati. Come conseguenza delle differenti energie di legame,
si può produrre energia nucleare sia combinando nuclei leggeri (fusione) sia
rompendo nuclei pesanti in nuclei più leggeri (fissione). In tabella 1.1 sono
riportati i valori dell’energia di legame e dell’energia di legame per nucleone
per un campione rappresentativo di nuclei. Nelle stelle gli elementi leggeri
quali idrogeno (1 H) e elio (4 He) sono di gran lunga i più abbondanti, e quindi è il processo di fusione di questi elementi che predomina nella produzione
di energia. In questo contesto la produzione di energia e degli elementi più
pesanti procede via via attraverso una serie di reazioni nucleari fino a che
tutti gli elementi più leggeri sono convertiti in ferro.
Nel caso di reazioni nucleari a due corpi di tipo A(B,C)D, inserendo l’equazione 1.27 nella definizione 1.12 del Qn di reazione, tenendo conto che
20
Nucleo
D
4
He
12
C
16
O
40
Ca
56
Fe
238
U
2
Energia Totale
di legame
∆E MeV
2.22
28.30
92.16
127.62
342.05
492.26
1801.70
Energia di legame
per Nucleone
∆E
M eV
A
1.11
7.07
7.68
7.98
8.55
8.79
7.57
Tabella 1.1: Energia di legame ed energia di legame per nucleone di alcuni
nuclei.
ZA + ZB = ZC + ZB e che NA + NB = NC + NB , si ottiene che:
Qn = (∆MC + ∆MD − ∆MA − ∆MB )c2
(1.28)
Si ricordi che se il Qn di reazione è positivo vi è una produzione netta di
energia viceversa bisogna fornire un minimo di energia pari a Qn per innescare
la reazione. Chiaramente il processo di fusione degli elementi nelle stelle ha
Qn positivo.
Solitamente sono tabulate le masse atomiche di un elemento e dei suoi isotopi.
In questo caso il Qa di reazione in funzione delle masse atomiche è definito:
Qa = (MA,a + MB,a − MC,a − MD,a )c2
(1.29)
I Q di reazione in funzione della massa atomica Qa e della massa nucleare
Qn sono legati dalla realazione:
Qa = Qn + me c2 (ZA + ZB − ZC − ZD ) + Be (ZA ) + Be (ZB ) − Be (ZC ) − Be (ZD )
(1.30)
Il secondo termine si annulla per via della conservazione della carica elettrica
e quindi Qa differisce da Qn solo per la differenza tra le energie di legame
degli elettroni del canale di ingresso e del canale di uscita.
Qa = Qn + ∆Be
(1.31)
Solitamente il termine ∆Be è trascurabile.
1.7
Tasso di reazione nelle stelle
Per semplicità si consideri un gas stellare formato solamente da due tipi
di nuclei tra i quali è possibile che avvenga una reazione nucleare del tipo
1.7 Tasso di reazione nelle stelle
A(B,C)D. Siano ρA e ρB il numero di tali nuclei per unità di volume. Sia
σ(v) la sezione d’urto per la particolare reazione in funzione della velocitá
relativa v. È necessario adoperare la velocità relativa (o l’energia nel centro
di massa, sono quantità dipendenti) perchè in questo caso entrambi i tipi
di nuclei possono essere considerati allo stesso tempo proiettili e bersagli.
Il tasso della reazione nucleare per unitá tempo e di volume è dato dalla
relazione:
r = ρA ρB vσ(v)
(1.32)
In un gas stellare, come in qualunque gas, le velocità dei nuclei e la velocità relativa possono variare su un intervallo molto ampio, e possono essere
descritti mediante una appropriata funzione di densità di probabilità, normalizzata come si conviene usualmente. Normalmente i gas stellari non sono
degeneri, i nuclei non si muovono di moto relativistico e sono in equilibrio
termodinamico per cui si puó adoperare la distribuzione delle velocità di
Maxwell-Boltzmann [1]. Per le reazioni nucleari particolari del tipo A(B,C)D
nelle stelle bisogna considerare due distribuzioni φ(vA ) e φ(vB ), una per ogni
tipo di nucleo nel canale di ingresso.
¶
µ
³ m ´ 32
mA vA2
A
2
φ(vA ) = 4πvA
(1.33)
exp −
2πkT
2kT
¶
µ
³ m ´ 32
mB vB2
B
2
(1.34)
φ(vB ) = 4πvB
exp −
2πkT
2kT
Tenendo conto delle due distribuzioni di velocità si integra l’equazione 1.32
e si ottiene l’espressione per il tasso medio di reazione in cui compare anche
la velocità relativa v:
Z ∞Z ∞
φ(vA )φ(vB )σ(v)vdvA dvB
(1.35)
r = ρ A ρB
0
0
Le variabili vA vB e v sono legate, per questa ragione conviene passare alle
variabili v velocità relativa e V velocità del centro di massa con le usuali
mB
relazioni cinematiche. Introducendo la massa ridotta µ = mmAA+m
e la massa
b
totale M = mA + mB le distribuzioni di velocità divengono:
µ
¶
³ µ ´ 32
µv 2
2
φ(v) = 4πv
exp −
(1.36)
2πkT
2kT
µ
¶ 32
µ
¶
M
MV 2
2
φ(V ) = 4πV
exp −
(1.37)
2πkT
2kT
Inserendo le distribuzioni in funzione della velocità relativa e del centro di
massa, il doppio integrale si fattorizza in due integrali indipendenti e il tasso
21
22
Figura 1.15: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann per un gas a temperatura
T.
medio di reazione diviene:
Z
Z ∞
r = ρ A ρB
φ(V )dV
0
∞
φ(v)σ(v)vdvi = ρA ρB σ(v)v
(1.38)
0
Nela caso particolare in cui si consideri una reazione tra nuclei identici l’equazione 1.38 deve essere corretta dividendo per due, e quindi si ha l’espressione
piú generale:
ρA ρB
r=
σ(v)v
(1.39)
1 + δAB
Inserendo esplicitamente la distribuzione della velocità relativa nell’equazione
1.38 e passando all’energia nel centro di massa che è legata alla velocità
relativa dalla relazione Ecm = 21 µv 2 :
ρA ρB
r=
1 + δAB
µ
8
πµ
¶ 21
1
3
(kT ) 2
Z
∞
0
µ
Ecm
σ(Ecm )Ecm exp −
kT
¶
dEcm
(1.40)
L’equazione 1.40 caratterizza il tasso di reazione ad una data temperatura
T . Essa è centrale per la stima del tasso di produzione di energia, della
nucleosintesi degli elementi e della scala dei tempi per le stelle. In figura
1.7 è rappresentato l’andamento della distribuzione di Maxwell-Boltzmann in
funzione dell’energia per un gas a temperatura T . La distribuzione raggiunge
il massimo ad una energia E = kT .
23
Figura 1.16: Rappresentazione della combinazione della forza coulombiana
e nucleare. Un proiettile con energia minore alla barriera coulombiana Ec
classicamente non può penetrare all’interno del nucleo.
1.8
Reazioni non risonanti indotte da particelle cariche
In un gas protostellare gli elementi più abbondanti sono idrogeno ed elio,
prodotti dal big bang [1]. Non appena la nuvola gassosa comincia a contrarsi
sotto l’effetto della forza gravitazionale, la temperatura centrale raggiunge
un valore tale da poter innescare le reazioni tra nuclei di idrogeno. Poiché le
fusioni nucleari hanno Q di reazione positivo ci si potrebbe aspettare che esse
possano essere innescate anche a temperature basse (e quindi basse velocità
relative). In realtà sono necessarie temperature alte, dell’ordine di 107 K,
poiché i nuclei sono carichi positivamente e si respingono tra di loro con
una forza proporzionale alla carica elettrica del nucleo. In questo schema il
potenziale di interazione è quello di Coulomb da una distanza infinita fino
ad una distanza pari alla somma dei raggi nucleari, e per distanze inferiori
deve essere combinato con il potenziale di interazione della forza nucleare:
ZA ZB e 2
VC (r) =
r
r ≥ RA + RB
(1.41)
In figura 1.16 è rappresentato l’andamento della combinazione della forza coulombiana e nucleare. L’area in ombra rappresenta il potenziale coulombiano
che inibisce le reazioni nucleari. Classicamente nessuna reazione potrebbe
24
avvenire se l’energia del proiettile fosse inferiore alla barriere coulombiana
EC . Quantisticamente vi è una probabilità finita, anche se piccola, che il
proiettile attraversi la barriera coulumbiana per effetto tunnel. Quest’ultimo
è di fondamentale importanza nei processi stellari. In meccanica quantistica
il modulo quadro |ψ(r)|2 della funzione d’onda di un sistema rappresenta la
probabilità di trovare il sistema in una determinata posizione r. La probabilità che un proiettile incidente penetri la barriera coulombiana è data dal
rapporto tra la probabilità che sia penetrato |ψ(Rn )|2 (Rn = RA + RB ) e
quella che abbia raggiunto il punto in cui classicamente ritornerebbe indietro
|ψ(Rc )|2 :
|ψ(Rn )|2
P =
(1.42)
|ψ(Rc )|2
Risolvendo l’equazione di Schrödinger per il potenziale coulombiano (in coordinata relativa) si ottiene l’espressione esplicita per tale probabilità in funzione dell’energia Ecm nel centro di massa:
!#
"
¶ 12 Ã
µ
1
arctan(Rc /Rn − 1) 2
Rn
2µ
(1.43)
(Ec − Ecm )
−
P = exp −2Rc
1
~2
Rc
(Rc /Rn − 1) 2
La probabilità cosı̀ calcolata è circa unitaria per energie prossime a quella
della barriere coulombiana e decresce rapidamente al diminuire dell’energia
al di sotto della barriera. Per energie Ecm molto piccole rispetto all’energia
della barriera coulombiana Ec , per le quali la distanza del punto di ritorno
classico Rc è molto grande rispetto al raggio nucleare Rn l’equazione 1.43
puó essere sostituita con una espressione approssimata più semplice:
µ
¶
r
√ ZA ZB e 2
µ
P = exp − 2π
(1.44)
~
Ecm
L’espressione per la probabilità definita dall’equazione 1.44 è detta fattore
di Gamow. Solitamente si usa adoperare per la probabilità l’espressione
numerica seguente, in cui l’energia nel centro di massa è espressa in keV e
la massa (ridotta) in unità di massa atomica:
¶
µ
r
µ
(1.45)
P = exp −31.29ZA ZB
Ecm
Poiché la probabilitá di attraversare la barriera coulombiana decresce esponenzialmente per reazioni non risonanti indotte da particelle cariche la sezione
d’urto σ(Ecm ) deve essere proporzionale al fattore di Gamow:
µ
¶
r
√ ZA ZB e 2
µ
(1.46)
σ(Ecm ) ∝ exp − 2π
~
Ecm
25
Inoltre la sezione d’urto deve essere proporzionale all’area geometrica determinata dalla lunghezza d’onda λ di de Broglie7 :
σ(Ecm ) ∝ πλ2
(1.47)
La lunghezza d’onda di de Broglie, nel riferimento del centro di massa per
una reazione del tipo A(B,C)D, risulta:
λ= √
~
2µEcm
(1.48)
Unendo le equazioni 1.46 e 1.47 tenendo conto della 1.48 si perviene al
risultato:
µ
¶
r
√ ZA ZB e 2
1
µ
σ∝
exp − 2π
(1.49)
Ecm
~
Ecm
Sia il fattore di Gamow che il termine contenente la lunghezza d’onda di de
Broglie sono effetti dipendenti dall’energia ma non effetti nucleari puri. Il
primo è dovuto alla forza di repulsione coulombiana il secondo è un effetto
della meccanica quantistica. Per questa ragione l’equazione 1.49 viene completata introducendo un fattore S(Ecm ), detto fattore astrofisico S, definito
dalla seguente equazione, contenente solamente gli effetti dovuti alla forza
nucleare pura:
µ
¶
r
√ ZA ZB e 2
µ
1
exp − 2π
σ=
S(Ecm )
Ecm
~
Ecm
(1.50)
Per reazioni nucleari non risonanti il fattore atrofisico S(Ecm ) varia poco, diversamente dalla σ(Ecm ), in funzione dell’energia. Per questa caratteristica il
fattore astrofisico S(Ecm ) è molto utile nell’estrapolazione della sezione d’urto ad energie di interesse astrofisico. In figura 1.17 è illustrato il meccanismo
di una reazione di cattura del tipo A(x,γ)B, in cui il canale entrante A+x
giunge direttamente nel nucleo composito finale B attraverso l’emissione di
un γ. Questo tipo di processo viene detto di cattura diretta e solitamente
può avvenire a tutte le energie del proiettile x. In figura 1.18 sono rappresentati gli andamenti del fattore astrofisico e della sezione d’urto in funzione
dell’energia per reazioni non risonanti indotte da particelle cariche.
7
Il simbolo λ adoperato per indicare la lunghezza d’onda di de Broglie è improprio
poichè usualmente viene indicato col simbolo “lambda tagliato”, il quale non è supportato
dal pacchetto LATEX con cui viene sviluppata questa tesi. Il lettore tenga conto di questa
variazione di notazione anche nel seguito
26
Figura 1.17: Illustrazione del meccanismo di reazione del tipo A(x,γ)B [1], in
cui il canale entrante A+x giunge direttamente nel nucleo finale composito
B stato attraverso l’emissione di un γ. Questo tipo di processo viene detto
di cattura diretta [1].
1.9 Picco di Gamow
27
Figura 1.18: Andamento della fattore astrofisico e della sezione d’urto in
funzione dell’energia. Si noti la forte tendenza a descrescere della sezione
d’urto al descrere dell’energia. Diversamente il fattore astrofisico varia molto
lentamente in funzione dell’energia.
1.9
Picco di Gamow
Combinando insieme le equazioni 1.40 e 1.50 si perviene all’espressione per
il tasso di reazione nelle stelle per reazioni nucleari non risonanti indotte
da particelle cariche costituenti gas classici descritti dalla distribuzione di
Maxwell-Boltzmann.
Ã
!
r
µ ¶ 12
Z ∞
Ecm
ρA ρB
8
1
EG
S(Ecm ) exp −
dEcm
r=
−
3
1 + δAB πµ
kT
Ecm
(kT ) 2 0
(1.51)
La quantità EG deriva dal termine esponenziale del fattore di Gamow ed è
detta energia di Gamov.
p
√ ZA ZB e 2 √
1
√
EG = 2π
µ = 31.29ZA ZB µ ( keV 2 )
~
(1.52)
Poiché per reazioni non risonanti S(Ecm ) varia poco in funzione dell’energia, il risultato dell’integrazione dell’equazione 1.51 dipende principalmente
dai termini esponenziali. Il termine dovuto alla penetrazione della barriera
coulombiana tende a divenire molto piccolo al descrescere dell’energia. Il termine dovuto alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann è massimo all’energia
28
Figura 1.19: Rappresentazione dell’andamento della distribuzione di
Maxwell-Boltzmann, del termine dovuto all’effetto tunnel attraverso la barriera coulombiana e del loro prodotto. Il risultato di tale sovrapposizione è
che solo una regione ristretta, detta picco di Gamow, contribuisce significativamente al calcolo del tasso di reazione per reazioni nucleari non risonanti
indotte da particelle cariche.
E = kT e tende a divenire piccolo ad alta energia. Il prodotto di questi dà
luogo ad una funzione dell’energia avente un picco ad una energia E0 normalmente molto più grande di kT . Tale picco è detto picco di Gamow. In
figura 1.19 sono illustrati gli andamenti schematici dei due termini integrandi
dell’equazione 1.51 ed il loro prodotto che origina il picco di Gamow, regione
che porta il massimo contributo al tasso di reazione. Quindi per una data
temperatura della stella, le reazioni nucleari hanno luogo sostanzialmente in
una finestra di energia ristretta attorno ad E0 . Per questa ragione è quasi
sempre possibile per reazioni nucleari non risonanti indotte da particelle cariche considerare il fattore astrofisico costante nell’integrale (S(E) = S(E 0 )).
Calcolando la derivata prima dell’integrando sotto questa ipotesi, si trova
1.9 Picco di Gamow
29
l’energia E0 per cui esso è massimo:
E0 =
µ√
EG kT
2
¶ 23
1
= 1.22 × 10−4 (ZA2 ZB2 µT 2 ) 3
( keV)
(1.53)
L’energia E0 può essere interpretata come l’energia media efficace a cui avvengono le fusioni termonucleari in una stella ad una data temperatura. Per
questa ragione diviene molto importante conoscere accuratamente la sezione
d’urto, o il fattore astrofisico, nella regione del picco di Gamow per poter
procedere alla valutazione dei tassi di reazione, di produzione di energia e di
nucleosintesi. Inserendo il valore di E0 nell’integrando dell’equazione 1.51 si
ottiene il valore massimo del medesimo.
µ
¶
3E0
Imax = exp −
(1.54)
kT
Poichè nell’ipotesi che il fattore astrofisico costante sia costante nella regione
del picco di Gamow l’esponenziale dell’equazione 1.51 può essere approssimato con una gaussiana si può stimare la larghezza del picco.
Ã
!
" µ
r
¶2 #
Ecm
EG
Ecm − E0
exp −
−
' Imax exp −
(1.55)
kT
Ecm
∆/2
Con questa approssimazione la larghezza effettiva ∆ della regione del picco di Gamow la cui altezza è superiore a 1/e × Imax si ricava imponendo
l’annullamento della derivata seconda8 .
1
4 p
E0 kT ) = 0.749 × 10−5 (ZA2 ZB2 µT 5 ) 6
∆= √
3
( keV)
(1.56)
Nella tabella 1.2 sono riportati alcuni valori di E0 della semiampiezza ∆/2
e di Imax per un campione significativo di reazioni in un gas stellare alla
temperatura di 15×106 K (temperatura del sole). Da questi esempi si evince
che l’energia del picco di Gamow aumenta all’aumentare dell’altezza della
barriera coulombiana. Si noti che il tasso di reazione della reazione p+p non
è determinato unicamente dal picco di Gamow ma anche dall’intensità della
forza debole che la governa. Nonostante il tasso di reazione sia proporzionale
al valore massimo dell’integrando dell’equazione 1.51 Imax , esso dipende fortemente dalla barriera coulombiana. Per questa ragione anche se in un gas
8
Nel caso della gaussiana l’annullamento della derivata prima fornisce la posizione del
massimo. Imponendo l’annullamento della derivata seconda si trovano i punti di flesso tra
i quali è compresa la regione la cui altezza è superiore a 1/e l’altezza del massimo.
30
Reazione
p+p
p+D
p+14 N
α+12 C
16
O+16 O
E0
keV
5.9
6.5
26.5
56
237
∆/2
keV
3.2
3.3
6.8
9.8
20.2
Imax
1.1×10−6
3.4×10−7
1.8×10−27
3.0×10−57
6.2×10−239
Tabella 1.2: Energia E0 del picco di Gamow, semiampiezza ∆/2 del picco di
Gamow e valore massimo dell’integrando dell’equazione 1.51 di un campione
significativo di reazioni alla temperatura di 15×106 K (temperatura del sole).
stellare sono presenti contemporaneamente diverse specie di nuclei, verranno
innescate piú facilmente le reazioni che hanno la più bassa barriera coulombiana. Questo fatto rende conto della ragione per cui nella vita di una stella
si alternano fasi di produzione di energia, quando puó essere innescata una
reazione, a fasi di contrazione, quando l’elemento conbustibile viene esaurito
e le condizioni non permettono l’attivazione di un’altra reazione immediatamente. Questi passi sono ben definiti e la loro esistenza dipende fortemente
dall’ampiezza della barriera coulombiana. La maggiore difficoltà negli studi
di astrofisica nucleare risiede nel fatto che il maggior contributo al tasso di
reazione proviene dalla regione del picco di Gamow E = E0 ± ∆/2, che solitamente si trova ad energie troppo basse per misure dirette di sezione d’urto
o equivalentemente del fattore astrofisico. La soluzione ordinaria a questo
problema è quella di misurare il fattore astrofisico su un ampio intervallo di
energie fino alla piú bassa possibile e poi, con l’ausilio di argomentazioni teoriche, di estrapolarne il valore nella regione del picco di Gamow. Naturalmente
questa procedura non è immune da incertezze metodologiche.
1.10
Reazioni attraverso risonanze strette e
isolate
Oltre al meccanismo di reazione non risonante discusso nella sezione 1.8 esiste
un processo di cattura in cui si forma uno stato eccitato del nucleo composito
nel canale di ingresso il quale poi decade in uno degli stati sottostanti. In
figura 1.20 è illustrato lo schema di tale processo per una reazione del tipo
A(x,γ)B. Questo tipo di processo accade quando l’energia totale nel sistema del centro di massa del canale entrante Q + Eres è pari all’energia Ei
di un livello eccitato del nucleo composito. In realtà questa condizione non
31
Figura 1.20: Rappresentazione del meccanismo di reazione risonante del tipo
A(x,γ)B [1], in cui il canale entrante A+x giunge forma uno stato eccitato
del nucleo composito poi decadere un uno livello sottostante [1].
32
deve essere soddifatta in modo esatto. Infatti in meccanica quantistica ogni
stato è caratterizzato non solo da una auto-energia E è anche da una “autoindeterminazione” ∆E. Quest’ultima rappresenta lo “sparpagliamento” in
energia nell’intorno dell’autovalore E.
Naturalmente affinché si possa formare lo stato eccitato devono essere soddisfatte la regole di selezione di conservazione del momento angolare e della
parità (reazione tipo A(B,C)D):
~
J~ = ~sA + ~sB + L
(1.57)
π(j) = π(sA ) × π(sB ) × (−1)
l
(1.58)
~ è il momento
Dove ~sA e ~sB sono gli spin dei nuclei nel canale di ingresso e L
angolare orbitale relativo e l il suo numero quantico. J~ è il momento angolare totale dello stato eccitato e j il suo numero quantico. Dall’equazione
1.57, qui riportata in forma vettoriale (e operatoriale), per mezzo delle regole
di accoppiamento dei numero quantici di spin (disugualianze triangolari) e
dall’equazione 1.58 della conservazione della parità, si ottengono le regole di
selezione. Nel caso particolare in cui la reazione sia del tipo A(x,γ)B, in cui
lo stato eccitato formato decada attraverso l’emissione di un γ, la sezione
d’urto è proporzionale al prodotto di due elementi di matrice:
σγ ∝ | < EF |Hγ |Eres > || < Eres |Hf |A + x > |
(1.59)
Dove l’operatore Hf descrive la formazione dello stato eccitato Eres , e l’altro
elemento di matrice il successivo decadimento ad uno stato sottostante. Poichè questo tipo di processo coinvolge due elementi di matrice esso è usalmente
detto “a due passi”. Infatti ognuno dei due elementi di matrice rappresenta
la probabilità di compiere uno dei “due passi”. Solitamente gli elementi di
matrice vengono indicati col simbolo Γi e vengono chiamati ampiezze parziali. Nel seguito verrà illustrato un metodo per la derivazione della sezione
d’urto nel caso di risonanze strette e isolate. Tale derivazione non è rigorosa per cui si rimanda al testo di Blatt e Weisskopf [13] (anche [14]). La
derivazione corretta si ottiene dall’applicazione della teoria di matrice R per
reazioni nucleari nel caso di approssimazione di singolo livello come esposta
nell’articolo originale di A.Lane and R.Thomas del 1958 [15].
Nella sezione 1.8, è stata introdotta la quantità πλ2 . Essa rappresenta un
termine geometrico per la sezione d’urto. Eccetto termini statistici, essa è il
massimo valore che la sezione d’urto può raggiungere. Il momento angolare
orbitale può essere espresso in termini della lunghezza d’onda λ, infatti:
L = bp = b
~
λ
(1.60)
1.10 Reazioni attraverso risonanze strette e isolate
33
Figura 1.21: Rappresentazione schematica della collisione di un nucleo proiettile su uno bersaglio caratterizzata da un parametro di impatto b. Nella
parte sottostante è illustrato le diverse aree associate ai diversi valori del
numero quantico l nel canale di ingresso [1].
Dove b è il parametro di impatto. Nel limite semiclassico il momento angolare
orbitale è quantizzato e vale:
L = ~l
(1.61)
Combinando le due equazioni precedenti si trova che nel limite semiclassico
il parametro di impatto deve valere:
b = lλ
(1.62)
In figura 1.21 è rappresentata la collisione di un nucleo su uno bersaglio e
le aree associate ai diversi valori del numero quantico del momento angolare
orbitale l. L’area di ciascuna zona rappresenta il massimo valore della sezione
d’urto, se tutte le particelle vengono assorbite. Il valore massimo della sezione
d’urto fissato il valore del numero quantico l è quindi dato dall’area compresa
34
tra due cerchi concentrici vicini e quindi si ha:
σl
max
= πb2l+1 − πb2l = (2l + 1)πλ2
(1.63)
Il termine (2l+1) non indica il fatto che la sezione d’urto è favorita al crescere
del valore del numero quantico l ma è un fattore statistico dovuto al fatto che
vi sono (2l + 1) possibili valori della componente Lz associate allo stesso l. Se
nella trattazione precedente si include anche lo spin della particella proiettile
(sB ) e del bersaglio (sA ), si ha che il termine (2l + 1) è sosituito dal termine
più generale:
2J + 1
(1 + δAB )
(1.64)
ω=
(2sA + 1)(2sB + 1)
Dove J è il momento angolare dello stato eccitato nel nucleo composito.
Quindi si ha che la sezione d’urto massima deve valere:
σmax =
2J + 1
(1 + δAB )πλ2
(2sA + 1)(2sB + 1)
(1.65)
I fenomeni risonanti occorrono frequentemente in natura e sono descritti dalla serie di valori di alcuni dei parametri per cui il sistema ha la massima
funzione di risposta quando esso è stimolato dall’esterno. Uno di tali sistemi
è l’oscillatore smorzato stimolato da forza esterna. La funzione di risposta
è caratterizzata da una autofrequenza ω0 , da un fattore di smorzamento δ e
da un fattore di intensità f :
R(ω) =
f
(ω + ω0 )2 − (δ/2)2
(1.66)
Nel caso delle reazioni nucleari la funzione di risposta è la sezione d’urto in
funzione dell’energia. E quindi per analogia con l’oscillatore smorzato si ha:
σ(E) =
Γa Γb
(E − Eres )2 + (Γ/2)2
(1.67)
Dove Γi sono le ampiezze parziali e e Γ è la larghezza energetica totale della
risonanza. Quest’ultima è legata al tempo di vita media del livello eccitato del
nucleo composito attraverso il principio di indeterminazione di Heisember Γτ
= ~. La larghezza totale Γ è datta dalla somma su tutti le possibili ampiezze
parziali Γi :
X
Γ = Γ a + Γb + . . . =
Γi
(1.68)
i
Combinando le equazioni 1.65 e 1.67 si perviene alla formula di Breit-Wigner
per una risonanza di “singolo livello” [13, 14]:
σ(E) =
Γa Γb
2J + 1
(1 + δAB )
πλ2
(2sA + 1)(2sB + 1)
(E − Eres )2 + (Γ/2)2
(1.69)
1.10 Reazioni attraverso risonanze strette e isolate
35
Si noti che in generale le ampiezze parziali Γi dipendono dall’energia, e cosı̀
anche la larghezza totale Γ e tutte le energie sono espresse nel sistema del
centro di massa. La formula di Breit-Wigner è valida solo per risonanze isolate, cioè per quei casi in cui la separazione dei livelli è di gran lunga superiore
alla larghezza totale. Inoltre essa è valida solo per risonanze strette, ossia
quelle per cui la larghezza totale è molto piccola rispetto all’energia Eres di
risonanza.
Il risultato qui illustrato della formula di Breit-Wigner differisce da quello derivato correttamente in [13] (anche [14]) per il fatto che il termine
(E − Eres ) dell’equazione 1.69 deve essere sostituito con quello più generale (E − Eres − ∆(E)). La quantià ∆(E) è la correzione di Lane e Thomas
[15], e rappresenta lo spostamento tra l’effettiva energia a cui è osservata la
risonanza e quella a cui è posizionata lo stato eccitato del nucleo composito.
Combinando le equazioni 1.69 e 1.40, tenendo conto che la distribuzione di
Maxwell-Boltzmann E exp(−E/kT ), varia poco nel caso di risonanza stretta,
si ottiene il tasso di reazione nelle stelle (nel caso di reazioni risonanti):
ρA ρB
r=
1 + δAB
µ
8
πµ
¶ 21
1
µ
Eres
−
3 Eres exp
kT
(kT ) 2
¶Z
∞
σBW (Ecm )dEcm (1.70)
0
Sempre nel caso di risonanza stretta nell’integrale a secondo membro della precedente equazione si può trascurare la dipendenza energetica di λ, le
ampiezze Γi e la larghezza Γ :
Z
∞
σBW (Ecm )dEcm =
0
πλ2res ωΓa Γb
Z
∞
0
1
(E − Eres )2 + (Γ/2)2
(1.71)
L’integrale a secondo membro, per mezzo di un cambio di variabile, diviene
un integrale noto, la cui primitiva è la funzione arcotangente e quindi la
precedente espressione vale:
Z
∞
0
σBW (Ecm )dEcm = 2π 2 λ2res ω
Γa Γb
Γ
(1.72)
In figura 1.22 è sono illustrati schematiamente gli integrandi dell’equazione
1.70 nel caso di una risonanza stretta. Si noti che in questo caso la regione
che contribuisce significativamente al tasso di reazione coincide con il picco
della risonanza. Per questo motivo risulta chiaro che non ha senso definire
una regione energetica per il picco di Gamow come è stata definita nella
sezione 1.9.
36
Figura 1.22: Rappresentazione schematica degli integrandi dell’equazione
1.70. La regione che contribuisce significativamente al tasso di reazione
coincide con il picco della risonanza [1].
1.11
Reazioni attraverso risonanze larghe e
isolate
Una risonanza caratterizzata dal fatto che il rapporto tra la larghezza totale e l’energia di risonaza Γ/Eres è superiore al 10%, è detta una risonanza
larga. In questo caso la sezione d’urto si estende su un intervallo di energie
piu largo rispetto al caso di una risonanza stretta, e per valutare il tasso di
reazione nelle stelle attraverso l’equazione 1.70 bisogna tenere conto esplicitamente della dipendenza energetica della sezione d’urto. Infatti le ampiezze
Γ che compaiono nella sezione d’urto di Breit-Wigner dipendono dall’energia
(equazione 1.69). Poiché solitamente le ampiezze Γ sono misurate alla risonanza, si usa esprimerne il loro valore in rapporto a quello alla risonanza, per
cui la formula di Breit-Wigner 1.69 diviene:
σ(E) = ωγres
Γa (E) Γb (E)
Γres
πλ2 (E)
Γa res Γb res (E − Eres )2 + (Γ(E)/2)2
(1.73)
1.12 Risonanze sottosoglia
37
Per alleggerire la notazione è stato introdotto il fattore ωγres , quantità molto
usuale in fisica nucleare, definito come:
ωγres =
Γa res Γb res
2J + 1
(1 + δAB )
(2sA + 1)(2sB + 1)
Γres
(1.74)
Per determinare effettivamente l’andamento della sezione d’urto bisogna conoscere la dipendenza energetica delle ampiezze parziali Γ. La derivazione
rigorosa della dipendenza energetica si trova sul testo di Blatt e Weisskopf [13] (anche [14]). Nel caso il nucleo composito decada emettendo una
particella carica si ha:
s
2~ 2E
Γl (E) =
Pl (E, Rn )θl2
(1.75)
Rn
µ
Dove l è il numero quantico del momento angolare orbitale, Rn il raggio del
nucleo composito, Pl (E, Rn ) il fattore di penetrazione e θl2 è l’ampiezza parziale ridotta. Per energie molto inferiori a quella della barriera Coulombiana
si ha [13, 14]:
·
µ
¶¸
Pl (E, Rn )
~2
= exp −2l(l + 1)
(1.76)
P0 (E, Rn )
2µZA ZB e2 Rn
Dove P0 (E, Rn ) è il fattore di Gamow definito dall’equazione 1.44 nella sezione 1.8.
Invece nel caso il nucleo composito decada emettendo fotone si ha:
ΓL = αL Eγ2L+1
(1.77)
Dove L si riferisce alla multipolarità della radiazione emessa, e αL è una
costante per ogni valore di L.
1.12
Risonanze sottosoglia
Si consideri un nucleo che abbia uno stato eccitato Ei poco di sotto della soglia della reazione Qn . Tale situazione è illustrata schematicamente in figura
1.23. Chiaramente il canale entrante non può formare uno livello con queste
proprietà del nucleo composito. Infatti l’energia di risonanza Eres è negativa
Ei − QN . Tuttavia come già introdotto nella sezione 1.10 ad ogni stato caratterizzato da una certa energia E è associata uno sparpagliamento della stessa
∆. Ed è propro questo fatto unito all’esistenza finita della larghezza totale Γ
della risonanza che può incrementare il valore della sezione d’urto nei pressi
38
Figura 1.23: Rappresentazione schematica dei livelli di un nucleo nel caso
uno stato eccitato sia troco poco al di sotto della soglia della reazione [1].
della soglia della reazione. Infatti come mostrato in figura 1.23 è possibile
che una parte significativa della coda della sezione d’urto Breit-Wigner di un
livello sotto-soglia possa contribuire alla sezione d’urto totale, aumentandone
il valore dove ci si potrebbe aspettare un andamento più dolce. Questo è il
caso della 14 N(p,γ)15 O in cui la presenza di uno stato sottosoglia complica la
procedura di estrapolazione della sezione d’urto alle energie più basse.
In generale le risonanze sottosoglia caratterizzate da bassi valori del momento angolare e grandi valori delle ampiezze parziali, possono giocare un ruolo
cruciale nella produzione energetica nelle stelle.
Capitolo 2
Motivazioni per lo studio della
14N(p,γ)15O
Questo capitolo è dedicato all’esposizione dei motivi per lo studio della
14
N(p,γ)15 O. Nella prima sezione sono esposte alcune considerazioni a carattere generale che riprendono argomentazioni esposte nel primo capitolo.
Nella seconda sezione si discute il ruolo della 14 N(p,γ)15 O per gli ammassi
globulari e nella terza quello per la formazione delle stelle di carbonio. Nella quarta sezione si discute brevemente l’importanza della 14 N(p,γ)15 O per
la previsione dei flussi di neutrini solari. Il capitolo termina introducendo
brevemente il meccanismo di reazione ed esponendo una rassegna dei lavori
sperimentali della 14 N(p,γ)15 O considerati più rilevanti.
2.1
Considerazioni introduttive
Come già introdotto nelle sezioni 1.3 e 1.4 la combustione dell’idrogeno può
avvenire attraverso due serie di reazioni, una nota come catena p-p (figura 1.7
a pagina 9) e l’altra come ciclo CNO (figura 1.11 a pagina 14). In entrambe
le serie di reazioni vengono convertiti quattro protoni in un nucleo di He:
4p →4 He + 2e+ + 2ν
Q = 26.72 MeV
(2.1)
Quale dei due meccanismi di reazione domini la produzione di energia dipende
dall’abbondanza relativa dei nuclei coinvolti e dalla temperatura della stella
(figura 1.9 a pagina 12). Si noti che il ciclo CNO, poichè utilizza i nuclei di C,
N ed O come catalizzatori è attivo solo in stelle di seconda o terza generazione
ove sono presenti tali nuclei. Inoltre il ciclo CNO è predominante in stelle la
cui temperatura centrale è più alta. Ad esempio nelle giganti rosse i valori
tipici della temperatura centrale variano da 20 a 80×106 K.
40
14
N(p,γ)15 O
Figura 2.1: Rappresentazione schematica del diagramma H-R per un
ammasso globulare [1].
Il ciclo CNO è governato dalla reazione 14 N(p,γ)15 O poichè essa ha la sezione
d’urto più bassa tra tutte le reazioni che lo compongono (sezione 1.4).
2.2
Gli ammassi globulari
Gli ammassi globulari sono le stelle più vecchie nell’universo e in pratica la
loro età coincide con il tempo trascorso dall’epoca in cui hanno cominciato a
formarsi le prime stelle. Questo fatto fornisce un dato indipendente per vincolare i modelli di evoluzione cosmologica. Inoltre lo sparpagliamento della
distribuzione delle età degli ammassi globulari fornisce un indicatore per la
scala dei tempi di formazione dell’alone della nostra galassia [16].
Tra i vari metodi impiegati per datare le stelle degli ammassi globulari quello
più ampiamente adottato è basato sulla misura della luminosità al turn off,
cioè la luminosità nel momento in cui una stella, nel corso della sua evoluzione, si distacca dalla sequenza principale (figura 2.1). Questa tecnica di
datazione richiede una conoscenza precisa della distanza dell’ammasso globulare, dell’assorbimento della luce lungo il cammino di osservazione, e la
2.2 Gli ammassi globulari
Figura 2.2: Rappresentazione della dipendenza della luminosità al turn off
dall’età dell’ammasso glubulare [2]. La linea a tratto continuo si ottiene adottando i valori della sezione d’urto della 14 N(p,γ)15 O misurati da U.Schröder
et al. (1987) [3]. La linea a punteggiata è ottenuta assumendo un tasso
di reazione 5 volte superiore a quello di U.Schröder et al. mentra la linea
tratteggiata è ottenuta assumendolo 5 volte inferiore.
composizione chimica della stella. La determinazione di questi parametri è
materia degli astronomi. Inoltre è necessaria una relazione teorica tra il valore della luminosità al turn off e l’età dell’ammasso. Quest’ultima dipende
dalla conoscenza dei processi fisici che governano la produzione di energia
(sezioni d’urto delle reazioni nucleari coinvolte) e del meccanismo di trasporto di trasporto (opacità) della stessa all’interno della stella. In pratica questa
legge viene determinata per mezzo dei codici di evoluzione stellare.
In figura 2.2 è illustrata la dipendenza della luminosità al turn off dall’età
dell’ammasso globulare ottenuta da O.Straniero et al. [2]. Come si evince
dalla figura 2.2, il valore della luminosità al turn off dipende sensibilmente
dal tasso di reazione della 14 N(p,γ)15 O.
Le stelle della sequenza principale attualmente osservate negli ammassi globulari hanno massa inferiore a quella del sole. Come nel caso del sole queste
stelle consumano H al loro interno, principalmente attraverso la catena p-p.
Tuttavia verso la fine della loro vita, quando la massa diventa inferiore allo
0.1 della massa del sole, l’energia nucleare prodotta dalla catena p-p diventa
insufficiente a constrastare la forza gravitazionale e la stella comicia a contrarsi. La temperatura e densità centrale aumentano fino a quando il ciclo
41
42
14
N(p,γ)15 O
External Surface
H Rich Envelope
H Shell
He Shell
C−O
Core
Figura 2.3: Rappresentazione schematica della struttura di una stella AGB.
CNO diventa efficiente per la combustione di H. Quindi “l’allontanamento”
dalla sequenza principale (turn off ) è governato dalla reazione più lenta del
ciclo CNO: 14 N(p,γ)15 O [16].
Il valore della luminosità al turn off dipende dalla 14 N(p,γ)15 O, mentre il tempo di vita della stella dipende dal tasso della reazione p(p,e+ ν)d, governato
dalla forza debole.
2.3
Formazione delle stelle di carbonio
Le stelle di massa piccola evolvono attraverso la combustione dell’idrogeno
e dell’elio fino ad entrare nella fase finale della loro vita nella branca delle
giganti rosse (Asymptotic Giant Branch, AGB) [17]. In questa fase terminale hanno luogo la maggior parte dei processi rilevanti per l’evoluzione della
nucleosintesi galattica. Queste stelle sono costituite da un core di elettroni
degeneri, nuclei di C ed O e due gusci sovrapposti che bruciano rispettivamente idrogeno ed elio. In figura 2.3 è rappresentata schematicamente la
struttura di una stella AGB. Poichè in queste stelle il tasso di produzione
energetica per unità di massa del guscio di He è più elevato rispetto a quello
di H, la regione tra i due gusci può divenire instabile [17]. Infatti si possono
avere fenomeni “esplosivi” (detti flash) che stimolano la convezione del plasma stellare. Quando avvengono questi fenomeni, in una prima fase si ha che
nella regione che separa il guscio di H da quello di He aumentano i fenomeni convettivi, per via della elevata differenza di produzione energetica, alla
quale corrispondono diverse velocità laminari [17]. Quando si ha il fenomeno
esplosivo lo strato di He sottostante prima si espande rapidamente e poi si
ritira perché ha perso parte della sua energia. Questo fenomeno può ripe-
2.4 I neutrini solari
tersi ciclicamente in questa fase della vita di una stella e gli strati coinvolti
dalle esplosioni del guscio di elio diventano parte integrante di uno strato
di rimescolamento convettivo, in cui sono miscelati diversi tipi di isotopi. Il
materiale della regione tra i gusci può essere eiettato fino anche a raggiungere
la superficie della stella. Attraverso questo meccanismo si forma uno strato
intermedio tra i gusci ricco di H e di nuclei di C provenienti rispettivamente
dal guscio di idrogeno e di elio. Attraverso la ripetizione ciclica di questi
processi, si ha che una stella gigante inizialmente ricca di O può evolvere in
una stella di C, il cui rapporto tra C ed O è maggiore dell’unità [17].
Tuttavia gia più di venti anni fa è stato concluso da J.Iben [18] che i parametri teorici predetti dai modelli di evoluzione stellare e quelli osservati per
le stelle di C sono in disaccordo [18]. Infatti, allora, i modelli prevedevano la
formazione stelle di carbonio con grandi valori delle masse del nucleo di C ed
O, ai quali corrispondevano grandi luminosità. Ma le osservazioni mostravano che tali stelle avevano luminosità più basse. Inoltre i modelli stellari che
studiavano stelle di massa piccola non erano in grado di riprodurre l’efficienza necessaria per il processo convettivo sopra descritto.
Il primo disaccordo è stato risolto nel 1993 quando A.Boothroyd et al. [19]
hanno concluso che lo strato delle stelle massive AGB, quello coinvolto nel
fenomeno convettivo, è dominato dalla produzione energetica del ciclo CNO,
anche se in parte miscelato con il guscio di H.
Il disaccordo tra i modelli delle stelle di piccola massa è stato discusso in
alcuni lavori recenti [20]. In particolare si devono ancora raffinare i modelli
che per descrivere i fenomeni esplosivi e le condizioni al contorno delle fasi
convettive. Infatti una piccola percentuale di rimescolamento esponenziale
nella regione convettiva può aumentare l’efficienza del processo fino a giustificare le luminosità osservate [17].
Recentemente Herwig et al. hanno mostrato come il tasso di reazione della
reazione 14 N(p,γ)15 O abbia un effetto significativo sul processo convettivoesplosivo, e quindi sulla formazione di stelle di carbonio [16, 17].
2.4
I neutrini solari
La conoscenza della struttura interna di una stella è limitata dal fatto che le
osservazioni sperimentali non possono addentrarsi oltra la sua superficie. La
radiazione che viene generata attraverso le reazioni nucleari nel cuore di una
stella, percorre solo una breve distanza nella stessa, prima di essere convertita in energia termica, la quale poi diffonde fino alla superficie esterna. Le sole
informazioni provenienti dal centro di una stella che raggiungono la superficie terrestre sono trasportate dai neutrini prodotti dai processi di cattura
43
44
14
N(p,γ)15 O
Figura 2.4: Spettro dei neutrini atteso secondo il modello solare standard.
elettronica e di decadimento β, poiché interagiscono solo attraverso la forza
debole. La rivelazione dei neutrini provenienti dal sole, che a causa della
vicinanza alla terra è la stella meglio conosciuta, fornisce la possibilità di verificare le predizioni dei modelli stellari e i processi nucleari che li governano.
Per la gran parte degli esperimenti rivolti alla rivelazione dei neutrini solari è
necessario conoscere lo spettro atteso degli stessi. In figura 2.4 è riportato lo
spettro atteso dei neutrini solari secondo il modello solare standard. Si noti
che mentre il flusso totale di neutrini solari atteso è sostanzialmente indipendente dal modello predittivo adottato, eccetto per l’assunzione che le reazioni
nucleari siano la fonte di energia, la distribuzione energetica dei neutrini dipende sensibilmente dal modello solare adottato e dal modello elettrodebole
(oscillazione dei neutrini). In accordo con il modello solare standard (Standard Solar Model, SSM) il 98.5 % dell’energia prodotta nel sole deriva dalla
catena p-p e il restante 1.5 % dal ciclo CNO. In figura 2.4 si notino gli spettri continui dei neutrini prodotti dai decadimento dei nuclei di 15 O e 13 N,
le cui intensità dipendono dal tasso di reazione del ciclo CNO, ossia dalla
14
N(p,γ)15 O.
2.4 I neutrini solari
Flusso
Φpp
Φpep
Φhep
Φ7 Be
Φ8 B
Φ13 N
Φ15 O
Φ17 F
S1,1
+0.14
-0.017
-0.08
-0.977
-2.59
-2.53
-2.93
-2.94
S3,3
+0.33
+0.05
-0.45
-0.43
-0.40
+0.02
+0.02
+0.02
45
S3,4
-0.06
-0.09
-0.08
+0.86
+0.81
-0.05
-0.05
-0.05
S1,14
-0.02
-0.02
-0.01
-0.00
+0.01
+0.85
+1.00
+0.01
L¯
+0.73
+0.87
+0.12
+3.4
+6.76
+5.16
+5.94
+6.25
R¯
+0.01
+0.21
-0.09
+0.22
+0.48
+0.28
+0.49
+0.37
Z/X
-0.08
-0.17
-0.22
+0.58
+1.27
+1.86
+2.03
+2.09
Età
-0.07
+0.00
-0.11
+0.69
+1.28
+1.01
+1.27
+1.29
Tabella 2.1: Ciascuna riga contiene il valore della derivata logaritmica di un
certo tipo di flusso di neurtini rispetto al parametro indicato nella colonna.
Per esempio si ha che ∂ ln Φpp /∂ ln S1,1 = 0.14. I fattori astrofisici S1,1 , S3,3
and S3,4 sono riferiti rispettivamente alle reazioni p(p,e+ ν)d, 3 He(3 He,2p)4 He,
3
He(4 He,γ)7 Be della catena p-p; mentre il fattore astrofisico S1,14 indica quello della reazione 14 N(p,γ)15 O del ciclo CNO. Z/X indica il rapporto tra le
abbondanze isotopiche degli elementi pesanti e quello dell’idrogeno.
Per determinare come ciascuno dei singoli parametri inseriti nel modello solare influisca sui flussi attesi dei neutrini, J.Bahcall ha determinato le derivate
logaritmiche di tutti i flussi in funzione dei parametri di più significativi [21].
I valori delle derivate logaritmiche sono stati ottenuti variando un parametro
xi alla volta, di una piccola quantità, tipicamente il 10 %. Il modello solare
di riferimento era stato ottenuto in modo da riprodurre la luminosità e il
raggio del sole attuali. In pratica J.Bahcall ha usato la relazione:
αi,j =
ln[Φi /Φi (0)]
ln[xj /xj (0)]
(2.2)
Dove Φi è il flusso di neutrini attesi da una certa reazione o decadimento, e
xj è il parametro del modello solare. Le quantità riferite a 0 sono quelle del
modello solare di riferimento adottato. In tabella 2.1 sono riportati i valori
delle derivate logaritmiche αi,j . A partire dall’equazione 2.2 e dai valori delle
derivate logaritmiche in tabella 2.1 si ottengono le relazioni che legano i flussi
di neutrini attesi a ciascun parametro del modello solare standard. Per i flussi
attesi dei neutrini di 15 O e 13 N si ha:
0.02 −0.05 0.85 5.16 0.28
1.86
Φ13 N ∝ S−2.53
(Età)1.01
1,1 S3,3 S3,4 S1,14 L¯ R¯ (Z/X)
Φ15 O ∝
2.03
0.02 −0.05 1.00 5.94 0.49
(Età)1.27
S−2.93
1,1 S3,3 S3,4 S1,14 L¯ R¯ (Z/X)
(2.3)
(2.4)
Dall’equazione 2.4 si evince che il flusso di neutrini atteso dal decadimento
del nucleo di 15 O dipende linearmente dal fattore astrofisico della reazione
46
14
N(p,γ)15 O
14
N(p,γ)15 O. Quindi è necessaria una buona conoscenza della sezione d’urto
di questa reazione alle energie del picco di Gamow solare per determinare
precisamente il tasso di neutrini atteso dal ciclo CNO.
Si noti che i neutrini provenienti da 13 N e 15 O hanno energie simili a quelli
provenienti da 7 Be. Questo fatto diviene importante in vista di un esperimento come Borexino [22] (grande volume di scintillatore inorganico, situato
ai Laboratori Nazionali del Gran Sasso), che di prefigge di misurare il flusso
di neutrini del 7 Be. Infatti lo spettro atteso dei neutrini secondo il modello solare standard (figura 2.4) per energie inferiori a 1.8 MeV contiene una
componente importante proveniente dal ciclo CNO, fatta eccezione per il 7 Be:
ΦCNO
' 0.2
Φ7 Be
(2.5)
Quindi la conoscenza precisa dei neutrini provenienti dal ciclo CNO diviene molto importante per la valutazione corretta dei dati che l’esperimento
Borexino raccoglierà nei prossimi anni.
2.5
Meccanismo di reazione e rassegna della
letteratura scientifica
La reazione 14 N(p,γ)15 O è una reazione di cattura con Q = 7297 keV [23]
in cui sono presenti sia i meccanismi di cattura diretta sia quelli di cattura
risonante. Alle energie di interesse astrofisico si ritiene che l’andamento della
sezione d’urto sia dominato dalla risonanza sotto soglia a Eres = -507 keV
corrispondente allo stato Ei = 6793 keV (Jπ = 3/2+ ), mentre per energie
superiori a circa 200 keV è dominata dalla risonanza a Eres = 259 keV (Ei
= 7556 keV, Jπ = 1/2+ ). In figura 2.5 è rappresentato lo schema dei livelli
rilevanti nel nucleo 15 O per la reazione 14 N(p,γ)15 O. Ad energie più alte sono
presenti altre due risonanze Eres = 987 keV (Ei = 8284 keV, Jπ = 3/2+ )
Eres = 2187 keV (Ei = 9484 keV, Jπ = 3/2+ ). Si noti che il nucleo di 15 O
è instabile (tempo di vita media τ = 176.35 ± 0.23 s [23]) e decade β + nel
nucleo di 15 N (Qβ + = 2753 keV) .
Per la reazione 14 N(p,γ)15 O principalmente si hanno transizioni attraverso ai
livelli Ei 5.18, 6.18 e 6.79 MeV o allo stato fondamentale del nucleo di 15 O.
Per la grande importanza rivestita dalla reazione 14 N(p,γ)15 O essa è stata
misurata da molti gruppi durante gli ultimi cinquant’anni. A causa della
struttura complessa del nucleo di 15 O, per estrapolare l’andamento della sezione d’urto a bassa energia è necessario impiegare il metodo della matrice
R [15]. Per poter utilizzare questa tecnica devono essere considerati tutti i
canali di reazione, ossia i dati relativi a tutte le transizioni rilevanti ai livelli
E res
(keV)
Γ
(keV)
2187
200
987
259
Q
(keV)
7297 14
N+p
−507
Jπ
Ei
(keV)
9484
3/2+
8284
3/2+
7556
1/2+
7276
7/2+
3.6
1.2
6859
+
5/2
6793
3/2+
6176
3/2 −
5241
5183
5/2+
1/2+
0
15
O
1/2 −
T=1/2
β+
−2753
15
N
1/2 −
T=1/2
Figura 2.5: Rappresentazione schematica dei livelli del nucleo
per la reazione 14 N(p,γ)15 O.
15
O rilevanti
Ei nel nucleo composito di 15 O. Inoltre le misure si devono estendere su un
intervallo energetico sufficientemente ampio e per vincolare meglio le predizioni con la teoria della matrice R è necessario avere una buona conoscenza
dei parametri dello stato sottosoglia. Nel seguito vengono elencati i lavori
più significativi della letteratura pubblicati prima dell’inizio di questo studio e, successivamente, quelli pubblicati durante l’esperimento e dopo la sua
conclusione.
1. B.Duncan and J.Perry (1951) [24]: in questo lavoro sono esposti i risultati di una misura della sezione d’urto totale della reazione 14 N(p,γ)15 O
nell’intervallo di energie nel laboratorio da 250 - 2600 keV. Gli autori
hanno impiegato il metodo della misura di attività del decadimento
del nucleo di 15 O in 15 N. Nel lavoro non sono riportati dati di fattore
astrofisico ne tantomeno una tabella coi dati della sezione d’urto.
2. W.Lamb and R.Hester (1957) [25]: gli autori riportano i risultati di
47
48
14
N(p,γ)15 O
una misura della sezione d’urto totale della reazione 14 N(p,γ)15 O nell’intervallo di energie nel laboratorio da 100 a 135 keV. Anche in questo
caso è stato impiegato il metodo di misura dell’attivazione del nucleo
di 15 O. Non sono riportati dati di fattore astrofisico ne una tabella coi
dati della sezione d’urto. Tuttavia sono disponibili dati quotati dalla
collaborazione NACRE edotti da una figura di questo lavoro [26].
3. D.Hebbard and G.Bailey (1963) [27]: in questo lavoro sono esposti i
risultati di una misura della sezione d’urto della 14 N(p,γ)15 O per le
transizioni ai livelli 6.79, 6.18 e 5.18 MeV e allo stato fondamentale del
nucleo di 15 O nell’intervallo di energie nel laboratorio da 210 a 1070 keV.
In questo esperimento sono stati rivelati direttamente i fotoni prodotti
dalla reazione e sono stati impiegati bersagli solidi. Nella pubblicazione
è riportato solo graficamente il fattore astrofisico ma non sono presenti
tabelle coi dati, neanche della sezione d’urto. Tuttavia sono disponibili
dati quotati dalla collaborazione NACRE edotti da una figura di questo
lavoro [26].
4. U.Schröder et al. (1987) [3]: in questo lavoro sono riportati i risultati
di una misura delle sezione d’urto per le transizioni a livelli 6.79, 6.18
e 5.18 MeV e allo stato fondamentale del nucleo di 15 O nell’intervallo
di energie nel laboratorio da 200 a 3600 keV. Sono riportati grafici
del fattore astrofisico per ciascuna transizione e i dati originali sono
disponibili nel lavoro di tesi di dottorato di U.Schröder [28]. Al di sotto
di 260 keV sono riportati solo limiti superiori al fattore astrofisico. Gli
autori hanno misurato direttamente i fotoni prodotti dalla reazioni sia
utilizzando bersagli solidi che bersagli di tipo gassoso. In pratica questa
è l’unica misura che ricopre un intervallo energetico sufficientemente
ampio della struttura delle risonanze del nucleo di 15 O (figura 2.5) da
poter essere impiegata nei fit R-matrix [15]. Inoltre per svariati anni, i
dati qui riportati sono stati considerati come i dati di riferimento per
determinare i tassi di reazione nelle stelle. La collaborazione NACRE
ha reso disponibile dati dal fattore astrofisico totale tratti dal lavoro di
U.Schröder et al. [26].
5. C.Angulo and P.Descouvemont (2001) [4]: gli autori di questo lavoro
hanno riconsiderato i dati di U.Schröder et al. [3] per mezzo della teoria della matrice R [15]. Essi hanno ottenuto che il fattore astrofisico
estrapolato all’energia zero per la transizione diretta allo stato fonda+0.13
mentale Sgs (0) vale 0.08−0.06
keV barn mentre U.Schröder et al. [3]
avevano trovato Sgs (0) = 1.55 ± 0.34 keV barn. In figura 2.6, tratta
dal lavoro di C.Angulo and P.Descouvemont [4], sono riportati i dati
Figura 2.6: Figura tratta dall’articolo di C.Angulo and P.Descouvemont [4]
in cui sono mostrati i dati della transizione diretta allo stato fondamentale misurati da U.Schröder et al. [3], a cui sono sovrapposti i fit ottenuti
U.Schröder et al. e da C.Angulo and P.Descouvemont [4] (nella legenda sono
denominati “Present R-matrix”). Si noti la discrepanza tra le due diverse
estrapolazioni.
di U.Schröder et al. ed i loro fit, ed i fit con la teoria della matrice R
ottenuti da C.Angulo and P.Descouvemont [4] (nella legenda sono denominati “Present R-matrix”). Il fattore astrofisico totale all’energia zero
ottenuto da U.Schröder et al. [3] è Stot (0) = 3.20 ± 0.54 keV barn mentre quello ottenuto da C.Angulo and P.Descouvemont [4] vale Stot (0)
= 1.77 ± 0.20 keV barn. La discrepanza tra i due valori è dovuta alla
diversa stima del contributo della transizione diretta allo stato fondamentale. Infatti dai loro fit U.Schröder et al. hanno determinato il
valore dell’ampiezza dello stato sottosoglia Ei = 6793 keV Γγ = 6.3 eV
mentre C.Angulo and P.Descouvemont il valore sensibilmente più basso
di Γγ = 1.75 ± 0.60 eV. Si noti che un valore più basso dell’ampiezza
Γγ implica che il contributo della risonanza sottosoglia sia più piccolo.
6. P.Bertone et al. (2001) [29]: in questo lavoro gli autori hanno misurato
49
50
14
N(p,γ)15 O
la vita media dello stato sottosoglia della reazione 14 N(p,γ)15 O Ei =
6793 keV adoperando il metodo dell’attenuazione dello spostamento
Doppler. Essi hanno trovato che la vita media dello stato sotto soglia
+0.75
+0.34
vale 1.60−0.72
fs a cui corrisponde il valore della Γγ di 0.41−0.13
eV, più
piccolo rispetto a quello ottenuto da C.Angulo and P.Descouvemont
[4]. Qui non interassa descrivere i dettagli delle metologie delle misure
di tipo indiretto e pertanto saranno tralasciati anche nel seguito.
In sintesi negli ultimi cinquant’anni sono stati compiuti numerosi studi della
reazione 14 N(p,γ)15 O. Tuttavia solo lo studio di U.Schröder et al. si estende
su un intervallo energetico sufficientemente ampio della struttura delle risonanze del nucleo di 15 O, e su di questo si sono basate le estrapolazioni col
metodo della matrice R [15] dell’andamento del fattore astrofisico ad energia
zero. Molti lavori concernenti la compilazione dei tassi di reazioni astrofisici
hanno usato i dati di questi autori, tra cui quelli ottenuti dalla collaborazione NACRE (1999) [26]. La figura 2.7, tratta dal lavoro di C.Angulo and
P.Descouvemont (2001) [4], rappresenta la situazione sperimentale al 2001,
prima dell’inizio del presente studio. Si noti che la questione sollevata dal
lavoro di C.Angulo and P.Descouvemont (2001) [4], nel quale si prevedevano
tassi di reazione della 14 N(p,γ)15 O pari a circa la metà di quelli da U.Schröder
et al. e impiegati nelle compilazioni (quali ad enempio NACRE), necessitava
di una conferma sperimentale. I risultati di C.Angulo and P.Descouvemont
sono stati confermati indirettamente dal lavoro di P.Bertone et al. (2001)
[29], in cui si riportava la misura dell’ampiezza Γγ dello stato sottosoglia.
Nel prossimo capitolo sono esposte le motivazioni per cui la collaborazione
LUNA ha deciso di affrontare lo studio della 14 N(p,γ)15 O in due fasi, una
per mezzo di un rivelatore al germanio ad alta risoluzione unito all’utilizzo di bersagli solidi (misura delle singole cascate γ), e l’altra per mezzo di
rivelatore BGO summing cristal a grande angolo solido e bersaglio di tipo
gassoso. Quest’ultima è l’oggetto di questo lavoro. Nel seguito vengono i
lavori scientifici pubblicati durante lo svolgimento dell’esperimento (sia fase
solida che fase gassosa) e dopo la conclusione dello stesso.
1. R.Runkle et al. (2002) [30]: in questo lavoro gli autori riferiscono di
aver investigato la reazione 14 N(p,γ)15 O all’energia di Ep = 127 keV
alla ricerca di una risonanza che S.Nelson et al. sostengono di avere
osservato [31]. Gli autori concludono che non vi sono indicazioni per
l’esistenza di tale risonanza all’energia di 127 keV, essi determinano
comunque un limite superiore all’intensità della risonanza ωγ di 32 neV
(95 % C.L.). La questione descritta in questo lavoro ha preso il nome
di “risonanza fantasma”.
Figura 2.7: Figura tratta dall’articolo di C.Angulo and P.Descouvemont [4]
in cui sono mostrati i valori del fattore astrofisico misurato da vari autori
a cui sono sovrapposti i fit R-Matrix di C.Angulo and P.Descouvemont [4]
(denominati “Present R-matrix”).
2. P.Bertone et al. (2002) [32]: in questo lavoro gli autori determinano il
valore dei coefficienti di normalizzazione asintotica (ANC) per la reazione 14 N(p,γ)15 O, a partire da una misura della reazione di traferimento
14
N(3 He,d)15 O. I coefficenti ANC di questa reazione determinano i parametri degli stati del nucleo di 15 O rilevanti per una estrapolazione
di tipo R matrix del fattore astrofisico. In particolare di quello sottosoglia. I valori dei coefficenti di normalizzazione asintotica vengono
estratti dai dati sperimentali impiegando il modello ottico. Invece per
determinare le ampiezze parziali Γp degli stati rilevanti per i fit R matrix
viene impiegato il modello di singola particella (shell model ).
3. A.Mukhamedzhanov et al. (2003) [33]: anche in questo lavoro gli autori determinano i coefficienti di normalizzazioni asintotica (ANC) per la
reazione 14 N(p,γ)15 O, a partire da una misura della reazione di traferimento 14 N(3 He,d)15 O. Gli autori forniscono i valori da loro calcolati per
il fattore astrofisico totale della 14 N(p,γ)15 O nell’intervallo 1-243 keV.
51
52
14
N(p,γ)15 O
4. S.Nelson et al. (2003) [34]: in questo lavoro gli autori hanno studiato
la reazione 14 N(p,γ)15 O all’energia di 270 keV con un fascio di protoni
polarizzato, misurando la distribuzione angolare e l’analyzing power.
Gli autori concludono che vi sono transizioni γ che non sono state
considerate nelle precedenti estrapolazioni del fattore astrofisico a bassa
energia. Gli autori osservano che nel caso della transizione allo stato
eccitato Ei 6.18 MeV vi è anche un contributo M1, non solo E1 come
era ritenuto in precedenza [4]. Questo risultato influisce sul valore
del fattore astrofisico della transizione al 6.18 MeV che, secondo gli
autori, diviene S6.18 = 0.16 ± 0.06 keV barn mentre C.Angulo and
+0.01
P.Descouvemont [4] trovavano S6.18 = 0.06−0.02
keV barn. Inoltre gli
autori osservano il meccanismo M1 anche nella transizione allo stato
6.79 MeV. Gli autori stimano che questi fatti portano ad un incremento
di circa il 6 % del valore del fattore astrofisico estrapolato ad energia
zero.
5. K.Yamada et al. (2004) [35]: in questo lavoro gli autori hanno misurato, con il metodo Coulomb excitation, la vita media dello stato sottoglia
6.79 MeV della reazione 14 N(p,γ)15 O. Essi hanno trovato che il valore
+0.60
dell’ampiezza Γγ vale 0.95−0.95
eV.
6. A.Formicola et al. (2004) [36]: questo lavoro è la prima fase di studio
della 14 N(p,γ)15 O progettata dalla collaborazione LUNA.
In questo articolo si riporta la misura diretta della reazione 14 N(p,γ)15 O
nell’intervallo di energie da 140 a 400 keV effettuata per mezzo di un
rivelatore ad alta risoluzione e bersaglio solido, e sono riportate le transizioni ai livelli 6.79 MeV e allo stato fondamentale. Il valore del fattore
atrofisico totale ad energia zero è stato trovato pari a Stot (0) = 1.7 ±
0.1 ± 0.2 keV barn, in accordo con quello trovato da C.Angulo and
P.Descouvemont [4] (per mezzo di fit R-matrix ). Quindi è stato confermato, attraverso una misura diretta, che le estrapolazioni ottenuti
da U.Schröder et al. [3] sovrastimavano il fattore astrofisico circa di
un fattore 2. Il valore dell’ampiezza dello stato sottosoglia è stato determinato Γγ pari a 0.8 ± 0.4 eV. Nel fit R-matrix vengono inclusi i
dati di U.Schröder et al. [3] corretti per l’effetto somma. Infatti è stato
compreso che il valore del fattore astrofisico ottenuto da U.Schröder et
al. era determinato dal fatto che questi autori non avevano corretto i
risultati per l’effetto somma delle cascate allo stato fondamentale nel
rivelatore che presentava una efficienza relativamente alta (summing
in).
7. R.Runkle et al. (2005) [37]: in questo lavoro gli autori riporatano la
misura diretta del fattore astrofisco della 14 N(p,γ)15 O nell’intervallo
di energie da 155 a 524 keV, impiegando bersagli di tipo solido. Il
valore del fattore astrofisico ad energia zero risulta pari a 1.64 ± 0.07
± 0.15 keV barn. Sostanzialmente vengono confermati i risultati gia
ottenuti da A.Formicola et al..
In sintesi il lavoro di S.Nelson et al. (2003) [34] apre una questione circa
il modo di trattare le transizioni γ nelle estrapolazioni con il metodo della
matrice R. Il lavoro di K.Yamada et al. (2004) [35] conferma che il valore
dell’ampiezza Γγ è molto più basso rispetto a quello ottenuto da U.Schröder
et al. e quindi anche il tasso di reazione atteso. I lavori sperimentali di
A.Formicola et al. (2004) [36] e R.Runkle et al. (2004) [37] confermano il
fatto che il tasso di reazione è circa la metà di quello stimato in precedenza,
con importanti conseguenze astrofisiche [16, 17].
Nella regione di interesse del presente studio della 14 N(p,γ)15 O, cioè per energie inferiori alla risonanza a 259 keV nel centro di massa, ci si aspetta che
il fattore astrofisico sia dominato dalla cattura diretta allo stato 6.79 MeV,
con un piccolo contributo dovuto alla risonanza sottosoglia ad energia zero
(figura 2.7).
53
Capitolo 3
Progetto di misura 14N(p,γ)15O
Questo capitolo è dedicato alla descrizione del progetto della misura della
14
N(p,γ)15 O nell’ambito dell’esperimento LUNA. Nella prima sezione sono
descritti i problemi generali che si incontrano nella misura di reazioni nucleari di interesse astrofisico. Nella seconda si discutono le possibili scelte
del tipo bersaglio e nella terza quelle del tipo di rivelatore. Nella quarta
si espone il problema del fondo e si mostra l’enorme vantaggio offerto dai
Laboratori Nazionali del Gran Sasso. Nella quinta sezione vengono discusse
le scelte operate dalla collaborazione LUNA per lo studio della 14 N(p,γ)15 O.
Nell’ultima sezione si mostra il tasso di reazione atteso per questo studio.
3.1
Considerazioni generali
La principale difficoltà degli studi sperimentali di astrofisica nucleare deriva
dal fatto che la regione energetica che contribuisce effettivamente al tasso di
reazione nelle stelle (picco di Gamow), si trova nella maggioranza dei casi
ad energie troppo basse perché sia possibile la misura diretta della sezione
d’urto σ(E). Infatti a causa della barriera coulombiana, la σ(E) descresce
esponenzialmente al diminuire dell’energia (equazione 1.50) e la regione del
picco di Gamow si trova ad energie (tabella 1.2) per le quali la sezione d’urto
è estremamente piccola, dell’ordine del pb o meno. In figura 3.1 è riportato
l’andamento atteso della sezione d’urto della 14 N(p,γ)15 O. Inoltre, sempre a
causa delle piccolissime sezioni d’urto, è praticamente impossibile esplorare la
regione del picco di Gamow in un laboratorio posto sulla superficie terrestre
poichè il segnale di fondo dovuto ai raggi cosmici coprirebbe del tutto il
segnale della reazione in studio, senza contare l’eventuale presenza di fondo
indotto dal fascio.
In figura 3.2 è rappresentato lo schema di un tipico apparato sperimentale
56
Progetto di misura
10
Sezione d’urto σ(E) (barn)
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
14
N(p,γ)15 O
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
50
100
150
200
250
300
350
400
Energia Protoni nel Laboratorio (keV)
Figura 3.1: Andamento atteso della sezione d’urto della
14
N(p,γ)15 O.
per misure di sezione d’urto. In generale esso è composto da una sorgente
di ioni, un acceleratore, un sistema di trasporto del fascio, un bersaglio, un
sistema di rivelatori, l’elettronica per aquisire i segnali e un misuratore della
corrente del fascio.
Nel caso di bersaglio sottile (in cui sono trascurabili gli effetti di perdita di
energia), e di fascio monocromatico, si definisce la probabilità di interazione
per coppia di particelle (detta yield ) il rapporto tra il numero di particelle
rivelate e il numero di proiettili accelerati. Tale quantità è proporzionale alla
sezione d’urto:
Ndet
∆Y =
= ρA σ(E)η∆z
(3.1)
Nproj
Le quantità ρA è il numero di bersagli per unità di volume, η l’efficienza di
rivelazione e ∆z lo spessore del bersaglio. Nel caso di bersaglio esteso, per
cui gli effetti di perdita di energia non sono più trascurabili, la yield totale
si ottiene integrando l’equazione 3.1.
Z zf in
Ndet
ρA (z)σ(E(z))η(z)dz
(3.2)
=
Y =
Nproj
zin
3.1 Considerazioni generali
57
Figura 3.2: Schema di un tipico apparato sperimentale per la misura di
sezione d’urto di reazioni termonucleari.
Nell’equazione 3.2 si è assunto che tutte le quantità dipendano dalla coordinata z e l’integrale è esteso al bersaglio compreso nell’intervallo tra le coordinate zin zf in . L’effettiva energia di interazione E(z) dei proiettili nel punto
z è l’energia del proiettile entrante nel bersaglio diminuita della perdita di
energia.
E(z) = Ebeam −
Z
z
zin
dE
ρ(z)dz
d(ρx)
(3.3)
Poichè la sezione d’urto dipende fortemente dall’energia il bersaglio ideale,
per questo tipo di misure, dovrebbe essere tale da minimizzare gli effetti di
perdita di energia (idealmente nulla) per permettere di associare esattamente
alla sezione d’urto l’energia effettiva di interazione. Per la medesima ragione
il fascio di ioni ideale, dovrebbe essere perfettamente monocromatico.
A causa dei bassi tassi di reazione il fascio deve essere intenso e il sistema di
rivelazione dei prodotti molto efficiente (idealmente Ω = 4π).
In pratica è impossibile realizzare un bersaglio la cui perdita di energia sia
trascurabile e quindi si devono realizzare dei bersagli in modo tale che l’effetto
della perdita e della degradazione dell’energia siano noti. Inoltre le macchine
acceleratrici devono possedere una buona risoluzione enrgetica del fascio già
all’origine.
58
Progetto di misura
3.2
14
N(p,γ)15 O
Tipi di bersaglio
In pratica nella fisica nucleare sperimentale sono tradizionalmente impiegati
due tipi di bersaglio: solido e gassoso.
3.2.1
Bersaglio solido
Il principale vantaggio di quelli solidi è che essi sono spazialmente ben definiti
e quindi permettono anche di effettuare le misure di distribuzione angolare.
Tuttavia, questo tipo di bersaglio è soggetto a rapido deterioramento durante
l’esposizione al fascio, rendendone necessaria la sostituzione periodicamente.
Essi sono solitamente realizzati attraverso due tecniche: evaporazione o impiantazione dello ione bersaglio desiderato in un substrato molto sottile di
un materiale il più puro possibile. I bersagli realizzati con la prima tecnica
solitamente soffrono più facilmente della presenza di ioni contaminanti, che
una volta esposti al fascio, possono dare luogo a fondo indotto dallo stesso.
Nella seconda tecnica, grazie all’accurata selezione della specie ionica da impiantare questo problema è solitamente sensibilmente ridotto. Tuttavia in
entrambi i casi rimane il problema di determinare accuratamente il profilo di
densità, il quale cambia nel tempo durante l’esposizione al fascio. Per questa
ragione solitamente le misure con bersagli solidi vengono “normalizzate” alle
yield di risonanze note. Questo fatto naturalmente introduce degli ulteriori
errori sistematici dovuti alla normalizzazione.
3.2.2
Bersaglio gassoso
Il principale vantaggio dei bersagli gassosi è che essi sono molto stabili nel
tempo, la purezza è sempre sotto controllo, e la perdita di energia può essere
variata secondo i bisogni semplicemente variando la pressione del gas. Vi
sono due tipi di bersagli gassosi e sono:
• Con finestra di ingresso sottile: in questo caso il gas contenuto nella
camera di interazione è separato dal sistema da vuoto della linea di
trasporto del fascio da una finestra sottile di materiale solido, il cui
spessore tipico è di qualche µm. Tuttavia tale finestra è sottoposta a
rapido deterioramento durante l’esposizione al fascio, rendendone necessaria la sostituzione periodicamente. Inoltre, con questa tecnica, si
introducono degli ulteriori errori sistematici dovuti alla perdita e alla degradazione dell’energia del fascio durante l’attraversamento della
finestra.
3.3 Tipi di rivelatore
• Senza finestra di ingresso: in questo caso il gas entra di continuo nella
camera di interazione e fuoriesce dalla stessa per mezzo di una apertura
per poi venire aspirato dal sistema di pompaggio della linea di trasporto
del fascio. Nel caso si adoperino gas costosi viene abbinata la tecnica di
ricircolo del gas. Il principale vantaggio di questa tecnica è che non si
introducono errori sistematici dovuti alla degradazione energetica del
fascio nell’attraversamento della finestra. Per contro il progetto e la
realizzazione del sistema di pompaggio sono più costosi e sofisticati.
3.3
Tipi di rivelatore
In generale il progetto di un sistema di rivelatori ad alta efficienza può condizionare fortemente le scelte tecniche di tutto l’apparato di misura. Infatti
un sistema di rivelatori, di dimensioni ragionevoli in rapporto ai costi, la cui
geometria sia molto prossima a 4π, deve essere attraversato dal fascio e contenere al suo interno la camera di interazione. Per massimizzare l’efficienza è
quindi necessario che il sistema di rivelatori circondi strettamente la camera
e che il diametro del foro del fascio sia il più piccolo possibile.
Nel caso in studio si vogliono rivelare particelle γ, quindi il candidato rivelatore deve essere composto da elementi con Z alto per aumentare la probabilità
di assorbimento degli stessi. Inoltre il rivelatore ideale dovrebbe avere una
buona risoluzione energetica e il fondo intrinseco nullo. In pratica vi sono
due tipi di rivelatore con le caratteristiche richieste:
• Rivelatori al germanio: questi sono caratterizzati da un’ottima risoluzione energetica e quindi sono il tipo di rivelatore ideale per misurare
reazioni con diverse cascate γ. Tuttavia la loro efficienza intrinseca è
più bassa in rapporto a quelli di tipo scintillante e il loro costo è enormente superiore. In pratica risulta molto costoso realizzare un sistema
di rivelatori al germanio a 4π.
• Scintillatori inorganici: questi rivelatori sono caratterizzati da un’elevata efficienza intrinseca in rapporto a quelli al germanio. Tuttavia la
risoluzione energetica è molto povera ma il loro costo è relativamente
contenuto. Inoltre sono costruiti con geometrie con geometrie più flessibili. Solitamente si usano rivelatori allo NaI (ZI = 53) o BGO (ZBi
= 83). Il primo presenta una risoluzione energetica migliore (dipende
fortemente dal produttore) mentre il secondo presenta una efficienza
intrinseca più alta e la sezione d’urto per cattura dei neutroni termici è
più bassa in rapporto al NaI. Inoltre il BGO si presenta come un cristallo di pasta vetrosa e non è igroscopico come l’NaI. Questo ultimo fatto
59
60
Progetto di misura
14
N(p,γ)15 O
deve essere tenuto in considerazione di se si progetta un esperimento
“underground ”.
3.4
Il fondo
Un’aspetto molto importante, non solo nella scelta del rivelatore, è il problema della minimizzazione del fondo. In generale per quello che riguarda
esperimenti tradizionalmente operati sulla superficie terrestre, il fondo dei
rivelatori è essenzialmente dovuto ai raggi cosmici. Tuttavia, come già ampiamente discusso, nel caso di reazioni nucleari di interesse astrofisico il tasso
di reazione sperimentale atteso è molto piccolo, e alle energie di interesse di
gran lunga inferiore al fondo cosmico. Per questa ragione l’esperimento LUNA è situato sottoterra nei Laboratori Nazionali del Gran Sasso (LNGS)
(INFN), a 1400 m di profondità sotto il massiccio montuoso. Qui risulta che
ll fondo indotto dai µ è ridotto di 10−6 , il fondo n di 10−3 e il fondo γ di 10−1
volte rispetto a quello che si ha sulla superficie terrestre grazie allo schermo
naturale fornito dalla roccia. In figura 3.3 è riportato il confronto tra il fondo
misurato con il rivelatore BGO misurato in superficie e sottoterra. Come si
evince nella regione al di sopra di 5 MeV la riduzione è del tasso di conteggio
è di circa un fattore 104 . Considerazioni specifiche sulla natura dei fondi sono
esposte nelle sezione 4.5.2 e 4.5.3.
Si noti che fino ad oggi sono state misurate direttamente solo tre reazioni
nucleari di interesse astrofisico nel picco di Gamow e queste sono:
1. 3 He(3 He,2p)4 He [11],
2. 3 He(d,p)4 He [38],
3. d(p,γ)3 He [9, 10]1 .
Tali misure si sono svolte nell’ambito della collaborazione LUNA ai Laboratori Nazionali del Gran Sasso sotto terra.
3.5
Scelte operate
La collaborazione LUNA, nel passato, valutando attentamente i vantaggi
presentati dalla scelta di un bersaglio di tipo solido o gassoso, di un rivelatore
al germanio o di uno scintillatore inorganico, ha deciso di misurare la sezione
d’urto della 14 N(p,γ)15 O, con due approcci distinti e complementari:
1
Questa misura è stata oggetto del lavoro di tesi di laurea dell’autore del presente
scritto
Tasso di Conteggio per Canale (eventi/giorno)
3.5 Scelte operate
10
6
10
5
10
4
61
Fondo Naturale Sottoterra
Fondo Naturale in Superficie (Schermato)
10 3
10
2
10
1
10
-1
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000 18000
Energia (keV)
Figura 3.3: Confronto tra il tasso di fondo misurato in superficie e
underground col rivelatore BGO adottato.
• Bersaglio Solido e Rivelatore al Germanio: il principale vantaggio di
questo abbinamento è che possibile lo studio delle singole transizioni γ
e della distribuzione angolare. Tuttavia questa tecnica soffre molto dei
disturbi provocati dalla presenza del fondo naturale nel rivelatore e di
quello indotto dal fascio. Inoltre a causa della bassa efficienza (0.7 %)la
possibilità di esplorare le zona a bassa energia è limitata. Questa fase
sperimentale si è già conclusa raggiungendo l’energia minima di circa
120 keV nel centro di massa [36].
• Bersaglio Gassoso Senza Finestra di ingresso e Rivelatore BGO: i principali vantaggi di questo abbinamento sono l’elevata purezza e stabilità
del bersaglio nel tempo, con ridotte operazioni di manutenzione (importante nel caso di tempi di misura molto lunghi). Inoltre per via
dell’alto valore di efficienza (65 %)è possibile esplorare energie più basse. Tuttavia a causa della povera risoluzione non è possibile ottenere
informazione circa le singole transizioni γ. Questo aspetto tuttavia non
62
Progetto di misura
14
N(p,γ)15 O
è importante perché la geometria del rivelatore fa si che i singoli fotoni
emessi da ogni reazione si sommano e danno orgine ad un picco somma la cui area è direttamente proporzionale alla sezione d’urto totale
(summing crystal ). Questa seconda fase dell’esperimento è l’oggetto
del presente lavoro di ricerca.
3.6
Tasso di reazione atteso
Nel caso particolare si impieghi un bersaglio di tipo gassoso senza finestra
di ingresso (windowless gas target), la geometria del sistema di rivelazione
condiziona in modo importante la forma della camera di interazione e il
sistema di pompaggio del vuoto e quindi il profilo di pressione del bersaglio,
che è proporzionale alla densità dello stesso. Infatti, per pressioni dell’ordine
del mb e di temperature di 20/30 ◦ C circa, il numero di atomi bersaglio per
unità di volume ρA si ottiene dall’equazione di stato dei gas perfetti [1]. Nel
caso di molecole composite bisogna tenere conto del numero di atomi per
molecola ν:
P
ρA = ν
(3.4)
KT
Tenendo conto di eventuali gradienti di temperatura l’equazione 3.2 diviene:
Z zf
νP (z)
Ndet
=
σ(E(z))η(z)dz
(3.5)
Y =
Nproj
zi KT (z)
L’equazione 3.5 descrive analiticamente il legame (integrale) della yield con
la sezione d’urto, con i profili di pressione e temperatura e con l’efficienza
puntuale di rivelazione e mostra la loro l’importanza nella misura della sezione d’urto.
Dalla conoscenza sperimentale di queste quantità si ottiene la sezione d’urto.
Considerazioni più approfondite riguardo al calcolo della sezione d’urto (coinvolta nell’integrale dell’equazione 3.5) verrano sviluppate nel capitolo sesto
dedicato all’analisi dei dati.
A partire dall’equazione 3.5 è possibile valutare il tasso di reazione atteso per
l’esperimento, il quale è dato dal prodotto della yield per il flusso di particelle
proiettili incidenti per unità di tempo I:
r =Y ×I
(3.6)
Il numero di eventi attesi Nd nel tempo di misura tmis è Nd = r×tmis . Fissata
la statistica, si ha che il tempo di misura vale:
tmis =
Nd
Y ×I
(3.7)
3.6 Tasso di reazione atteso
Dato che le sezioni d’urto sono piccole, figura 3.1, per minimizzare i tempi di
misura e gli errori statistici, occorre massimizzre il tasso di reazione. Quindi
appare chiaro che bisogna massimizzare l’integrale della Y e l’intensità del
fascio I. In linea di principio si potrebbe pensare di operare con un bersaglio
gassoso la cui densità, e quindi la pressione, è molto alta. Tuttavia un tale
aumento porta ad avere un valore alto della perdita di energia ∆E all’interno
del bersaglio:
Z zf in
dE
ρ(z)dz
(3.8)
∆E = Ebeam − Ecal =
d(ρx)
zin
È chiaro che all’aumentare della perdita di energia ci si discosta dal caso ideale di bersaglio sottile. In pratica la massima perdita di energia tollerabile si
determina imponendo un limite di accettabilità sulla variazione della sezione
d’urto nell’intervallo di energie in cui i proiettili attraversano il bersaglio.
Qui si è deciso di adottare una soglia di circa 1 % e quindi il valore massimo
che la perdita di energia ∆E può assumere e di circa 13 keV. Tale condizione
è valida solo per energie inferiori a 250 keV nel laboratorio, e corrisponde
ad una pressione del gas di circa 1 mbar. In figura 3.4 è mostrato l’andamento della variazione della sezione d’urto in funzione dell’energia nominale
del fascio nel sistema del laboratorio nel caso la pressioni valgano 0.5, 1.0 e
2.0 mbar. Si noti, come all’aumentare della pressione, e quindi dello spessore
energetico del bersaglio, la variazione relativa della sezione d’urto aumenti.
Nel capitolo dedicato all’analisi dei dati verrà specificato in modo rigoroso
il criterio con cui si stabilisce la massima perdita di energia tollerabile per
avere una buona definizione dell’energia efficace di interazione e quindi sarà
chiaro il significato della figura 3.4.
Un altro vincolo sul valore massimo della pressione è legato alla buona definizione spaziale del bersaglio. Infatti il profilo di densità ideale è una funzione
rettangolare, in cui tutto il gas è contenuto uniformemente all’interno della
camera di interazione. Tuttavia in pratica ciò non è realizzabile con un windowless gas target e si ha un profilo di densità che varia con la cordinata z
dell’asse del fascio2 . Al crescere della pressione, aumentano il tasso delle reazioni rivelate che occorono al di fuori della camera di interazione. Inoltre al
diminuire dell’energia dei proiettili, poichè la sezione d’urto descresce più rapidamente, cio si evidenzia in modo più sensibile. In questo studio si è deciso
che il valore delle reazioni rivelate ma prodotte al di fuori della camera deve
essere inferiore a 1% all’energia minima di circa 80 keV, e ciò corrisponde ad
una pressione massima di circa 1 mbar. In figura 3.5 è illustrato l’andamento
2
Il sistema di pompaggio differenziale e i profili di densità sono approfonditi nel capitolo
quarto dedicato all’apparato sperimentale
63
64
Progetto di misura
14
N(p,γ)15 O
100
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
∆σ/σ (%)
80
60
40
20
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figura 3.4: Andamento della variazione della sezione d’urto in funzione dell’energia nominale dei protoni nel laboratorio. Si noti il disturbo prodotto
dalla risonza a 278 keV.
del tasso di reazione atteso in funzione dell’energia del fascio nel laboratorio,
nel caso in cui la pressione del bersaglio sia 1 mbar e la corrente del fascio
sia 200 µA.
Tasso di Reazione Atteso (eventi/day)
65
10
9
10 8
10 7
10 6
10 5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
10
-1
-2
50
100
150
200
250
300
350
400
Figura 3.5: Andamento del tasso di reazione atteso in funzione dell’energia
del fascio nel laboratorio, alla pressione di 1 mbar e corrente di 200 µA.
Capitolo 4
Apparato Sperimentale
Questo capitolo è dedicato alla descrizione dell’esperimento LUNA. Nella prima sezione viene fornita una descrizione generale dell’apparato sperimentale.
Nella seconda vengono brevemente introdotte le caratteristiche dell’acceleratore LUNAII da 400 kV adoperato per questo studio. Nella terza viene
descritto il bersaglio gassoso e tutte le misure di verifica compiute. Nella
quarta sezione viene descritto il calorimetro per la misura dell’intesità del
fascio e in particolare lo studio della calibrazione. Nell’ultima sezione viene
descritto il rivelatore BGO impiegato, e le misure di verifica del valore dell’efficienza di rivelazione. Inoltre vengono mostrate i risultati delle misure di
fondo naturale ed di uno studio preliminare del fondo indotto dal fascio.
4.1
Descrizione generale
Il progetto LUNA (Laboratory for Underground Nuclear Astrophysics) è nato
nel 1992 con lo scopo di misurare le sezioni d’urto di alcune reazioni termonucleari della catena p-p (3 He(3 He,2p)4 He [11, 39], d(p,γ)3 He [9, 10]) e del ciclo
CNO. Il laboratorio dispone di due acceleratori, uno da 50 kV (impiegato
negli studi precedenti) e uno da 400 kV, con caratteristiche ideali per studi
di astrofisica nucleare (alta intensità di corrente e alta risoluzione energetica
del fascio), collocati a circa 1500 m di profondità nei Laboratori Nazionali del Gran Sasso (INFN-LNGS). La roccia fornisce uno schermo naturale
corrispondente a 3600 m di acqua con una riduzione del flusso di muoni, di
neutroni e dei raggi γ di un fattore 106 , 103 e 10 rispettivamente.
Lo schermo offerto dalla montagna è enormemente più efficace rispetto a
qualsiasi altro sistema adoperato sulla superficie terrestre. Infatti solitamente si adoperano schermi passivi (tipicamente piombo) che riducono il fondo
γ proveniente dall’ambiente e dei raggi cosmici, che però, a loro volta, pro-
68
I3
P3
18/9/2003
P2
I1
P1
PT
IT
MKS Baratron 626A
IKR251
IMR265
IMR265
Analysing Magnet
Accelerator
Gate Valve
BGO Crystal
PM
A3
Third Stage
A2
Second Stage
A1
First Stage
PM
Target
Chamber
BGO Crystal
PM
Calorimeter
Gas
Inlet
PM
Accelerator Tube
Needle Valve
MKS 248A
TP2L
TP2M
TP2R
TV1000
TV1000
TV1000
Ruvac 2000
P Ruvac
TPR265
TP3
Pfeiffer
Ruvac 500
VT
P Turbo
TPR265
Ion Source
V3
V2
VV1
V1
Gas
Bottle
Ecodry L
Ecodry L
VV2
ACP 28
Gas Bottle
Xfig by Albe
Figura 4.1:
14
N(p,γ)15 O.
Schema dell’apparato sperimentale per lo studio della
ducono particelle secondarie intergendo con lo schermo.
La reazione 14 N(p,γ)15 O ha un ruolo importante nella catena CNO. Per lo
studio di questa reazione è stato installato il nuovo acceleratore LUNAII da
400 kV e progettato un nuovo rivelatore a grande angolo solido BGO e di
conseguenza il bersaglio gassoso e il calorimetro per la misura della corrente
del fascio. L’efficenza di rivelazione totale del nuovo rivelatore, uno scintillatore inorganico (BGO), con geometria prossima a 4π, è circa 65%.
Nella figura 4.1 è rappresentato lo schema dell’apparato dell’esperimento per
lo studio della 14 N(p,γ)15 O. Il rivelatore, che ha la forma di un cilindro cavo, è attraversato da un foro per il fascio il cui diametro è di 60 mm. Tale
diametro è il risultato di un compromesso tra la ricerca di alta efficenza di
rivelazione (che richiederebbe che tale diametro sia il più piccolo possibile),
di buona definizione spaziale del bersaglio gassoso (che richiederebbe un foro
largo e la presenza di un collimatore stretto e molto corto all’ingresso della
camera) e la dimensione del calorimetro (la minima è limitata dalle dimensioni dei componenti elettrici.) La camera di interazione (bersaglio gassoso),
per lo studio della 14 N(p,γ)15 O, è posizionata al centro del rivelatore BGO
(figura 4.1). Poichè la spazio a disposizione è poco, il calorimetro e la camera
di interazione sono disegnati in modo particolare per cui risulta impossibile misurare direttamente la pressione in camera di interazione. Per questa
ragione la testa di misura del vuoto è situata esternamente al rivelatore ed
è collegata alla camera di interazione per mezzo di un tubo di rame di lunghezza 300 mm e di diametro 6 mm. Il calorimetro in pratica realizza la
parete che chiude la camera dal lato opposto al foro di ingresso del fascio.
4.2 Acceleratore LUNA II 400 kV
Il diametro del disco che ferma il fascio è di poco inferiore a quello interno
della camera e lascia una fessura a forma di corona circolare per far fluire il
gas, N2 , che costituisce il bersaglio.
Nel seguito saranno descritte le caratteristiche peculiari di tutti i componenti
dell’apparato sperimentale e tutte le misure di verifica compiute.
4.2
Acceleratore LUNA II 400 kV
L’acceleratore LUNAII da 400 kV è una macchina lineare di tipo elettrostatico costruita appositamente per soddisfare le particolari necessità della
collaborazione LUNA dalla High Voltage Engineering Europa Netherlands.
Esso è contenuto all’interno di una tanica di acciaio riempita con una miscela gassosa isolante di N2 e CO2 alla pressione di 20 bar. L’alta tensione è
prodotta da un generatore di tipo Cockroft-Walton capace di sostenere 1 mA
alla tensione massima di 400 kV. L’alta tensione del terminale è filtrata da
un’apposito circuito RC posto all’uscita del generatore di alta tensione e viene stabilizzata per mezzo di un sistema a feedbak attivo.
La sorgente di ioni è di tipo radio frequenza (RF) ed è in grado di produrre
sia fasci di protoni che di particelle alfa. Quando la sorgente viene utilizzata
con idrogeno essa è in grado di produrre un fascio di protoni all’estrattore di
1 mA composto al 75% da H+ . Invece quando la sorgente utilizza elio essa è
in grado di produrre un fascio di 0.5 mA di He+ . La sorgente ha un periodo
di vita media di circa 40 giorni, dopo i quali deve essere sostituita. La sorgente è montata direttamente sulla testa del tubo di accelerazione e gli ioni
vengono estratti da un’elettrodo, posto all’interno del tubo, detto estrattore,
alimentato da una tensione variabile comunque compresa nell’alta tensione
di tutto il terminale. Il tubo di accelerazione è provvisto di un sistema manuale per la cortocircuitazione degli anelli di accelerazione, per ottimizzare
la trasmissione del fascio, nel caso si operi a tensioni più basse di 400 kV.
4.2.1
Calibrazione dell’energia del fascio
Al termine dell’installazione alla fine del 2001 la collaborazione LUNA ha
compiuto delle misure di prova per testare la conformità della macchina alla
caratteristiche richieste. In particolare sono state compiute delle misure per
la calibrazione energetica della macchina, misurando le energie dei γ prodotti
da alcune reazioni, principalmente la 13 C(p,γ)14 N, per mezzo di un rivelatore
al Ge ad alta risoluzione [40]. Infatti le energie dei fotoni sono legati a quelle
delle particelle incidenti da (la cinematica del fotone è stata introdotta nella
69
70
sezione 1.5 a pagina 14, ed è descritta dall’equazione 1.23 a pagina 17):
Eγ = Q + Ep cm − ∆Erecoil + ∆EDoppler
(4.1)
Dove ∆Erecoil e ∆EDoppler sono rispettivamente le correzioni dovuto al rinculo
del nello stato finale e all’effetto Doppler. Inoltre la calibrazione è stata
verificata anche per mezzo di risonanze note nelle reazioni 23 Na(pγ)24 Mg,
26
Mg(pγ)27 Al e 25 Mg(pγ)26 Al. Da queste misure si è ottenuta la calibrazione
della macchina [40]:
Ebeam = (0.9933 ± 0.0002) × (T V + P V ) − (0.41 ± 0.05) kV
(4.2)
Dove T V e P V sono rispettivamente la tensione di terminale e di probe forniti dagli indicatori della macchina, ed Ebeam è l’energia del fascio estratto dal
magnete di analisi. Inoltre da queste misure è stato possibile determinare
la risoluzione energetica della macchina alla quale si attribuisce una indeterminazione di tipo accidentale di 100 eV e di tipo sistematico di 300 eV
(dovuto essenzialmente all’errore del Q della reazione 13 C(p,γ)14 N) all’energia del fascio [40]. La stabilità della macchina è stata misurata ponendo il
fascio all’energia di una risonanza nota per un lungo periodo, registrandone
le variazioni. Si è cosı̀ ottenuta che l’energia del fascio oscilla di ±5 eV ogni
ora [40].
4.3
Bersaglio gassoso
L’impiego di un bersaglio di tipo gassoso si rivela vantaggioso nel caso si
vogliano misurare sezioni d’urto che variano fortemente con l’energia. Infatti
le particelle del fascio devono perdere la minima energia possibile (idelamente
nulla) affiché si possa attribuire al valore misurato di sezione d’urto l’energia
esatta a cui avvengono effettivamente le interazioni. Poichè la perdita di
energia per unità di lunghezza e densità dE/d(ρx) per energie molto basse è
proporzionale a 1/E (sezione 5.2 a pagina 122), in pratica sono irrealizzabili
bersagli di tipo solido che abbiano una perdita di energia ∆E estremamente
bassa. Per questa ragione conviene un bersaglio gassoso senza finestra di
ingresso sottile. Inoltre l’impiego di un bersoglio gassoso è molto vantaggioso
perché si può ridurre lo “spessore energetico” ∆E del bersaglio semplicemente
variando la pressione del gas.
A titolo di esempio si consideri un fascio di protoni di 100 keV incidente
su un bersaglio solido di Mylar (un composto di H,C ed O). La distanza
di penetrazione (range) in questo caso vale circa 4 µm. Il minimo spessore
disponibile commercialmente di questo materiale è di circa 1.5 µm e la perdita
4.3 Bersaglio gassoso
71
P3
P2
PT
P1
18/9/2003
MKS Baratron 626A
IKR251
IMR265
IMR265
Accelerator
Gate Valve
A3
Third Stage
A2
Second Stage
A1
First Stage
Target
Chamber
Calorimeter
Gas
Inlet
Needle Valve
MKS 248A
TP2L
TP2M
TP2R
TV1000
TV1000
TV1000
Ruvac 2000
P Ruvac
TPR265
TP3
Pfeiffer
Ruvac 500
VT
P Turbo
TPR265
V3
V2
VV1
V1
Gas
Bottle
Ecodry L
Ecodry L
VV2
ACP 28
Gas Bottle
Xfig by Albe
Figura 4.2: Schema del sistema di pompaggio differenziale.
di energia è in ogni caso troppo elevata.
Inoltre adoperando un bersaglio gassoso si ha un maggiore controllo della
purezza e della stabilità. Quest’ultimo argomento diventa importante nello
studio di sezioni d’urto piccole dove i tempi di misura sono lunghi e i fasci di
particelle intensi. Per questo motivo l’impiego di quelli solidi non è indicato
poiché essi sono soggetti a rapido deterioramento e quindi vanno sostituiti
periodicamente.
4.3.1
Sistema di pompaggio differenziale
Per lo studio della 14 N(p,γ)15 O la collaborazione LUNA ha realizzato un
bersaglio gassoso con un sistema di pompaggio differenziale senza finestra di
ingresso (windowless gas target, figura 4.2). La linea del fascio è suddivisa in
stadi, separati da collimatori con diversa impedenza di flusso, per ottenere
il contenimento del gas bersaglio nella sola regione della camera di interazione. Naturalmente il caso ideale in cui il gas sia concentrato nella sola
camera di interazione è impossibile da realizzarsi e quindi si parla di profilo
di pressione la cui importanza è fondamentale per una corretta previsione ed
interpretazione dei dati sperimentali. In figura 4.2 è rappresentato lo schema
del sistema di pompaggio differenziale. La linea del fascio dell’acceleratore
LUNA è divisa in tre stadi diversi. Il bersaglio gassoso è separato dal primo stadio di pompaggio da un collimatore di 7 mm di diametro (A1). Un
collimatore da 8 mm di diametro separa il primo stadio dal secondo (A2) ed
72
Stadio
Camera di interazione
Primo stadio
Secondo stadio
Terzo stadio
Pressione
mbar
0.5 - 2.0
10−3
10−6
10−7
Tabella 4.1: Valori nominali di progetto degli stadi del sistema di pompaggio
differenziale
infine un collimatore da 25 mm di diametro (A3) separa il secondo stadio
dal terzo. In tabella 4.1 sono riportati i valori nominali di progetto della
pressione negli stadi del sistema di pompaggio differenziale.
4.3.2
Studio del profilo longitudinale di pressione
Nel paragrafo precedente è stato accennato a quanto sia importante conoscere il profilo di pressione per la previsione e per l’interpretazione dei dati
sperimentali. Infatti dalla pressione si ricava il numero di atomi bersaglio per
unità di volume all’interno della camera, quantità importante per il calcolo
della sezione d’urto:
νP (z)
(4.3)
ρ(z) =
kT
Poichè la misura della pressione nella camera di interazione avviene per mezzo di un tubo di rame sottile (lunghezza 300 mm, diametro 6 mm) sono state
effettuate delle misure di pressione per verificare che non vi fosse una apprezzabile variazione di pressione lungo il condotto. Inoltre la pressione nella
camera dovrebbe essere uniforme idelamente, e quindi sono state effettuate
una serie misure per verificare o meno la presenza di gradienti.
Poichè il profilo di pressione tra il primo stadio di pompaggio e la camera di
interazione è critico per valutare il tasso di reazione al di fuori della camera,
sono state effettuate misure della pressione nella zona che precede il collimatore della camera di interazione.
Queste indagini sono state realizzate con una camera di prova rappresentata
schematicamente in figura 4.3 identica a quella che viene usualmente montata
all’interno del rivelatore. Si noti che la camera mostrata in figura 4.3 ha una
geometria particolare. Infatti la camera di interazione vera e propria è lunga
100 mm e il suo centro coincide con quello del rivelatore BGO. Tra la camera
collimatore (A1) vi è un restringimento lungo 20 mm del dimetro di 15 mm,
realizzato per isolare elettricamente la camera dal resto della linea da vuoto
73
MKS Baratron 626A
Teflon Insulator
First
Pumping
Stage
T1
P1
A1
Brass
Pipe
170 mm
T3
T4
Target
Chamber
40 mm 20
mm
−11
T2
−7 −5
60 mm
P2
Calorimeter
100 mm
0
5
Chamber Axis (cm)
Figura 4.3: Rappresentazione schematica della camera di interazione
appositamente disegnata per la misura del profilo di pressione assiale.
per la calibrazione del calorimetro (sezione 4.4). Infine vi è il collimatore
vero e proprio lungo 40 mm e di diametro 7 mm.
Per compiere le misure di verifica sono state adoperate due teste di misura,
con fondo scala di 10 mb, accurate all’0.25% (valore nominale del costrutore). I misuratori sono stati confrontati tra di loro e calibrati prima di
ogni misurazione. Come testa di riferimento è stata scelta quella MKS, che
viene impiegata normalmente per la misura della pressione nella camera di
interazione. I risultati di queste indagini a diverse pressioni della camera di
interazione (0.5, 1.0 e 2.0 mbar) hanno mostrato l’esistenza di gradienti nella
camera di interazione, dovuti alla particolare geometria del progetto, e hanno
mostrato che la misura della pressione a valle del tubo di rame è affidabile
(entro 0.5%).
In figura 4.4 è riportato l’andamento della pressione misurata alle due flange
P1 e P2 (figura 4.3) applicate al tubo antistante la camera di interazione in
funzione della pressione della stessa.
In figura 4.5 è riportato l’andamento della pressione misurata alle flange T1,
T2, T3 e T4 (figura 4.3 nella camera di interazione in funzione della pressione della camera di interazione. I dati mostrati nelle figure 4.4 e 4.5 sono
interpolati linearmente:
Pport = a × Ptarget + b
(4.4)
In tabella 4.2 sono riportati i valori dei coefficienti a e b delle interpolazioni
lineari mostrate nelle figure 4.4 e 4.5. Normalmente la misurazione della pressione nella camera avviene per mezzo di una testa MKS, di tipo capacitivo,
74
Pressione alle Porte del Tubo (Calorimetro on)
0.1
P1
P2
Pressione Porta (mbar)
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Pressione Camera di Interazione (mbar)
Figura 4.4: Andamento della pressione alla flange P1 e P2 del tubo antistante la camera di interazione in funzione della pressione della camera di
interazione.
Pressione della Porte della Camera (Calorimeter on)
Pressione Porta (mbar)
2.5
T1
T2
T3
T4
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 4.5: Andamento della pressione alla flange T1, T2, T3 e T4 della
camera di interazione in funzione della pressione della camera di interazione.
Porta
P2
P1
T1
T2
T3
T4
75
a
0.02741
0.03000
1.0165
1.0088
1.0066
0.9979
±
±
±
±
±
±
0.00013
0.00014
0.0010
0.0010
0.0010
0.0011
b
mbar
-0.00307 ± 0.00010
-0.00328 ± 0.00011
-0.0255 ± 0.0005
-0.0672 ± 0.0004
-0.0718 ± 0.0004
-0.0406 ± 0.0005
Tabella 4.2: Valori dei coefficienti a e b delle interpolazioni lineari della pressione alle porte in funzione della pressione in camera di interazione (figure
4.4 e 4.5).
accurata allo 0.25%. Durante le misure, anche della reazione, la pressione
nella camera viene mantenuta costante (entro 0.5%) dall’unità di controllo
MKS che dispone di un sistema di controllo a feedback che agisce regolando
il flusso del gas attraverso una valvola elettromeccanica.
Gli errori sistematici dovuti alla calibrazione dei sensori, alle interpolazioni
lineari dei valori di pressione sono trascurabili rispetto alla sensibilità degli
strumenti di misura. Quindi si assume che l’errore sul valore della pressione
sia solo quello di tipo accidentale di 0.25% dovuto al sensore di misura.
I risultati di queste misure, mostrati nel loro insieme in figura 4.6 sono inseriti nel codice Monte Carlo che cosı̀ tiene conto del profilo di pressione
reale (nella figura la camera di interazione è posizionata tra le coordinate -5
e 5 cm).
Il codice di simulazione utilizza i valori del profilo di pressione che si ottengono a partire dalle interpolazioni lineari mostrate nelle figure 4.4 e 4.5 i cui
coefficenti sono riportati in tabella 4.2.
In figura 4.6 le linee verticali viola rappresentano i punti per cui si è dovuto
ricorrere all’uso di estrapolazioni per determinare il valore della pressione.
Infatti non è possibile applicare le porte ausiliare in determinate posizioni
della camera per ragioni costruttive:
• La prima linea verticale viola da sinistra, posizione -11 cm (inizio del
collimatore): il valore di pressione è ottenuto estrapolando linearmente
l’andamento delle pressioni alle flange P1 e P2.
• La seconda linea da sinistra, posizione -7 cm (fine del collimatore):
il valore di pressione è ottenuto interpolando linearmente l’andamento
delle pressioni alla posizione -11 cm e posizione 0 cm (pressione nominale bersaglio), adottando la seguente legge per l’impedenza dei condotti
76
Profilo di Pressione Senza Fascio (Calorimetro on)
2.5
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
Pressione (mbar)
2
Camera di Interazione
1.5
1
0.5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 4.6: Andamento della pressione in funzione della coordinata z della
camera di interazione. Il significato delle linee verticali ed orizzonatali è
chiarito nel testo.
del collimatore e per lo svasamento lungo 2 cm prima della camera di
interazione:
l
(4.5)
Z∝ 3
d
Dove l è la lunghezza del condotto e d il suo diametro. Tale assunzione è
ragionevole ma non tecnicamente esatta. Infatti esistono leggi generali
che regolano l’impedenza di un condotto ma queste valgono solo quando
la lunghezza l è maggiore di dieci volte il diametro del condotto d (in
generale dipendono anche dal regime di pressione e dal flusso del gas).
Quindi si è adottato il seguente andamento per la pressione nel punto
a -7 cm:
Z2cm P−11cm + Zcoll P−5cm
P7cm =
(4.6)
Z2cm + Zcol
• Terza linea da sinistra: il valore è ottenuto assumendo che la pressione
sia pari a quella della flangia T4.
77
In figura 4.6 le linee orizzontali azzurre rappresentano il bersaglio ideale uniforme alla pressione (nominale) misurata nella posizione a -5 cm. In figura
4.6 le linea verticale azzurra tratteggiata rappresenta il punto in cui viene
misurata la pressione nominale nella camera di interazione per mezzo di un
misuratore MKS (accuratezza 0.25%).
Si noti che i presenti risultati non variano se il calorimetro è acceso o spento
al contrario dei risultati mostrati nella prossima sezione.
4.3.3
Studio del profilo longitudinale di temperatura
La densità del bersaglio è una quantità molto importante per il calcolo della
sezione d’urto e nell’equazione di stato dei gas perfetti 4.3, che la lega alla
pressione di un gas, compare anche la temperatura dello stesso. Per la misura dell’intensità del fascio in questo esperimento è impiegato un calorimetro
(descritto nella sezione 4.4) il quale “chiude” la camera di interazione dal
lato opposto all’ingresso del fascio (figura 4.3). Tale lato del calorimetro è
posto alla temperatura di 70 C◦ ed è quindi ragionevole domandarsi se ciò
possa avere o meno degli effetti sulla temperatura del gas.
Per questa ragione sono state avviate una serie di indagini per stabilire con
precisione la temperatura del gas e la presenza di eventuali gradienti della
stessa. Per compiere queste misure è stato usato un sensore di tipo PT100
speciale a bassissima capacità termica, montato su una flangia apposita che
ne permettesse l’inserimento nella camera di interazione modificata già adoperata per i profili di pressione (figura 4.3). La misura di temperatura con
questo sensore speciale è precisa a 0.1 C◦ .
Si noti che un sensore di tipo tradizionale avrebbe la capacità termica più
alta rispetto a quella del gas (in questo caso rareffatto) e quindi misurebbe
solamente la propria temperatura. In figura 4.7 sono riportati i risultati di
una serie di indagini, compiute a tre diverse pressioni della camera di interazione (0.5, 1.0 e 2.0 mbar), in cui il calorimetro era acceso e alla temperatura
di lavoro di 70 C◦ . I dati mostrati in figura 4.7 sono ben descritti dalla curva:
T (z) = B + SeAZ
(4.7)
In tabella 4.3 sono riportati i parametri delle curve 4.7 che interpolano i dati
in figura 4.7. L’andamento delle curve 4.7 è compatibile con la soluzione dell’equazione di diffusione del calore unidimensionale nel caso stazionario con
sorgente anch’essa stazionaria e posizionata in un punto (avendo trascurato
gli effetti di convezione ed irraggiamento):
ρcp
∂T
∂2T
= k 2 + S(x0 ) = 0
∂t
∂x
(4.8)
78
Pressione
mbar
0.5
1.0
2.0
B
K
301.06 ± 0.11
300.80 ± 0.12
301.07 ± 0.15
S
K
3.11 ± 0.11
4.08 ± 0.14
5.64 ± 0.16
A
cm−1
0.342 ± 0.008
0.298 ± 0.007
0.237 ± 0.006
Tabella 4.3: Valori dei coefficienti B, S e A delle curve 4.7 che interpolano i
dati del profilo di temperatura di figura 4.7.
Parametro
B
S
A
a
b
0.00 ± 0.11 (K/mbar)
300.98 ± 0.12 (K)
1.69 ± 0.15 (K/mbar)
2.29 ± 0.15 (K)
−1
−1
- 0.068 ± 0.006 (mbar cm ) 0.377 ± 0.009 (cm−1 )
Tabella 4.4: Valori dei coefficienti a e b delle interpolazioni lineari dei paramteri B, S e A in funzione della pressione in camera di interazione (4.8, 4.9 e
4.10).
Dove ρ è la densità, cp la capacità termica a pressione costante per unità di
densità e k il coefficente di diffusione del calore. Inoltre sono state effettuate
alcune misurazioni a calorimetro spento senza osservare alcun gradiente nella
temperatura. Nelle figure 4.8, 4.9 e 4.10 sono riporatati rispettivamente gli
andamenti dei parametri B,S ed A in funzione della pressione della camera
di interazione. Tali andamenti sono stati interpolati linearmente ed inseriti
nel codice per determinare il profilo di temperatura a pressioni diverse da
quelle a cui sono state effettuate le misure:
P arametro = a × P arametro + b
(4.9)
In tabella 4.4 sono riportati i valori dei coefficenti a e b delle interpolazioni
lineari dei paramtri B, S e A in funzione della pressione della camera di
interazione. Si noti che la variazione della temperatura dalla posizione al
calorimetro (z=5 cm) alla posizione all’inizio della camera (z=-5 cm) può
rendere conto di un’effetto di circa il 6% sulla densità (equazione 4.3).
Si assume che l’errore sul valore interpolato della temperatura dalle curve
T (z) descritte dall’equazione 4.7 sia dato dallo scarto medio relativo tra la
misura sperimentale e la curva interpolante S, definito da:
Ã N ¯
¯!
1 X ¯¯ Texp (zi ) − Tf it (zi ) ¯¯
S=
(4.10)
¯
N i=1 ¯
Tf it (zi )
79
Profilo di Temperatura Senza Fascio (Calorimeter on)
330
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
Temperatura (K)
325
320
315
310
305
300
-6
-4
-2
0
2
4
Asse Z (cm)
Figura 4.7: Andamento della temperatura in funzione della posizione
all’interno della camera di interazione.
Interpolazione Parametro B Senza Fascio (Calorimeter on)
302
301.8
Parametro B (K)
301.6
301.4
301.2
301
300.8
300.6
300.4
300.2
300
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Pressione Camera di interazione (mbar)
Figura 4.8: Andamento del parametro B in funzione della pressione della
camera di interazione.
80
Interpolazione Parametro S Senza Fascio (Calorimeter on)
7
6.5
Paramtero S (K)
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Figura 4.9: Andamento del parametro S in funzione della pressione della
Interpolazione Parametro A Senza Fascio (Calorimeter on)
0.4
0.38
-1
Parametro A (cm )
0.36
0.34
0.32
0.3
0.28
0.26
0.24
0.22
0.2
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
Figura 4.10: Andamento del parametro A in funzione della pressione della
L’errore relativo sul profilo di temperatura coincide con il valore di S di
0.5 %, ed è di tipo sistematico, in quanto gli errori di tipo accidentale sono
trascurabili (inferiori 0.04 %). In figura 4.11 è mostrato l’andamento della
temperatura interpolato, a partire dalle curve 4.7, in alcuni punti significativi
lungo l’asse z.
4.3.4
Profilo di densità senza fascio
Combinando i risultati ottenuti delle misure dei profili di pressione (paragrafo
4.3.2) e di temperatura (paragrafo 4.3.3) per mezzo dell’equazione 4.3 si
otteniene l’andamento del profilo di densità, senza fascio, il quale è mostrato
in figura 4.12 per tre valori della pressione (si è assunto che non vi sono
gradienti radiali di pressione). In figura 4.12 il significato del linee verticali
è identico a quello di figura 4.6 a pagina 76 (paragrafo 4.3.2). Per ognuna
delle serie di dati (0.5, 1.0 e 2.0 mbar) sono riportati quattro andamenti in
figura 4.12:
• Linea tratto e punto: rappresenta il profilo di densità ideale in cui la
temperatuta e la pressione sono costanti (T (z) = T (−5 cm) e P (z) =
P (−5 cm)).
• Linea punteggiata: rappresenta il profilo di densità che si avrebbe se la
pressione fosse costante (P (z) = P (−5 cm)) e la temperatura variasse
lungo l’asse del fascio secondo i valori misurati (paragrafo 4.3.3).
• Linea tratteggiata: rappresenta il profilo di densità che si avrebbe se la
temperatura fosse costante (T (z) = T (−5 cm)) e la pressione variasse
lungo l’asse del fascio secondo i valori misurati (paragrafo 4.3.2).
• Linea piena: rappresenta il profilo di densità che si ottiene combinando
i dati misurati per la pressione e temperatura.
Si noti che nel caso a 2.0 mbar, nella zona del calorimetro si ha uno scostamento dal caso di bersaglio ideale di circa 12%, mentre ad 1.0 mbar di circa
15% ed a 0.5 mbar di 20% rispettivamente. Da questo fatto si evince l’importanza dei risultati delle misure dei profili assiali di pressione e temperatura
per determinare l’andamento della densità senza fascio.
Si assume che l’errore sul valore della densità senza fascio sia di 0.25 % (accidentale) e 0.5 % (sistematico), in accordo con quanto esposto nelle sezioni
4.3.2 e 4.3.3.
81
82
Interpolazione Profilo di Temperatura (Calorimetro on)
325
322.5
Temperatura (K)
320
317.5
315
312.5
310
307.5
305
302.5
300
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 4.11: Andamento della temperatura interpolato dalle curve 4.7 in
alcuni punti significativi.
Profilo di Densità Senza Fascio (Calorimetro on)
10
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
Densità (10
16
3
nuclei/cm )
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 4.12: Andamento della densità del gas in funzione della coordinata z
della camera di interazione. Il significato delle linee verticali ed orizzonatali
è chiarito nel testo.
4.3.5
83
Studio dell’effetto di riscaldamento
Lo studio di reazioni nucleari di interesse astrofisico, dove sono in gioco sezioni
d’urto molto piccole, è facilitato impiegando fasci di particelle molto intensi.
Per la determinazione sia della sezione d’urto che dell’energia di interazione,
è necessario conoscere accuratamente il profilo di densità ma è ragionevole
chiedersi se quest’ultimo può essere o meno influenzato dalla presenza di un
fascio molto intenso. Infatti a causa della perdita di energia, il fascio cede al
bersaglio una potenza per unità di lunghezza proporzionale alla densità dello
stesso e all’intensità del flusso di particelle:
dW
dE
=
(E)ρI
dx
d(ρx)
(4.11)
Dove I è il valore della corrente del fascio di particelle, ρ la densità e dE/d(ρx)
è il potere frenante (verrà discusso nella sezione 5.2 a pagina 122). Nel
caso di bersagli gassosi, dove la capacità termica del bersaglio è ridotta, è
ragionevole anche aspettarsi un’aumento sensibile della temperatura e quindi
di una diminuzione della densità reale del bersaglio (equazione 4.3).
Questi effetti sono gia stati osservati da alcuni autori in letteratura [41, 42].
Lo studio compiuto da J.Gorres et al. nel 1980 [42] è stato eseguito proprio
per mezzo della reazione 14 N(p,γ)15 O con bersaglio di N2 gassoso. In tale
lavoro gli autori hanno concluso che la variazione relativa della densità è
una funzione lineare della potenza dissipata dal fascio per unità di lunghezza
dW/dx [42]. Inoltre essi hanno affermato che si hanno effetti oltre il 10% per
valori della potenza dissipata per unità di lunghezza pari a 200 mW/cm.
Tuttavia, a causa della diversa geometria del sistema da vuoto del bersaglio
gassoso e dei rivelatori impiegati da J.Gorres et al. da quelli di questo studio,
è ragionevole aspettarsi che le loro conclusioni, in termini di correzioni alla
densità, non siano applicabili anche a questo progetto di ricerca.
Per questa ragione sono state pianificate una serie di misure per determinare
il comportamento del profilo di densità in funzione dell’intensità del fascio.
4.3.5.1
Il metodo di misura
La densità del bersaglio è proporzionale alla perdita di energia dei proiettili
nello stesso e fissato un determinato punto zdet all’interno del bersaglio si ha:
Z zdet
dE
∆E(zdet ) = Ebeam − E(zdet ) =
(E(z))ρ(z)dz
(4.12)
d(ρx)
0
La reazione 14 N(p,γ)15 O ha una risonanza (ben nota) a Eres 278.1±0.4 keV
(nel laboratorio) [23], nell’intervallo di energie accessibili all’acceleratore LUNAII (50-400 kV). Quindi selezionando il valore dell’energia dal fascio E beam
84
MKS Baratron 626A
Teflon Insulator
First
Pumping
Stage
A1
Brass
Pipe
−11
100 mm
Target
Chamber
0
−7 −5
Lead
Shield
NaI
PM
Calorimeter
5
Lead
Shield
60 mm
170 mm
20
mm
Chamber Axis (cm)
70 mm
40
mm
Axis Movable
Lead Shielded
NaI Detector
Figura 4.13: Rappresentazione schematica della camera di interazione e del
rivelatore NaI impiegati per la misura del profilo di densità col fascio.
in modo che il picco della sezione d’urto sia “posizionato” nel punto zdet si
ha che E(zdet ) = Eres e dall’equazione 4.12, noto Ebeam (energia del fascio
all’uscita dell’acceleratore), si può ricavare la densità ρ. Il metodo di analisi
è approfondito nel prossimo paragrafo.
Lo schema dell’apparato sperimentale impiegato per questa misura è rappresentato in figura 4.13. Esso consiste di un rivelatore NaI di forma cilindrica,
lungo 1” e del diametro di 1”. Il rivelatore è circondato da uno schermo
di piombo il cui spessore della parte rivolta alla camera di interazione è di
70 mm. Il rivelatore “vede” la camera di interazione attraverso un foro, nel
piombo, il cui diametro è di 5 mm. Il rivelatore e il suo schermo sono montati
su una slitta graduata per poter essere spostati lungo un’asse longitudinale
parallelo a quello della camera di interazione. Questo meccanismo permette
di studiare il valore della densità in diversi punti della camera di interazione.
In pratica, per “posizionare” il picco della sezione d’urto al centro del cono
visto dal rivelatore (in una ben determinata posizione della slitta), si ricorre
alla tecnica della scansione della risonanza, in cui si varia a piccoli passi l’energia del fascio Ebeam e si osserva l’andamento della Yield (quantità definita
dall’equazione 3.2 a pagina 56) in funzione della stessa:
Y =
Ndet
Ndet
=q
Nbeam
Q
(4.13)
85
Pressione Nom.
mbar
0.5
1.0
1.0
1.0
2.0
2.0
Corrente Nom.
µA
300
100
200
300
200
300
Tabella 4.5: Abbinamento scelto tra corrente e pressione per effettuare le
misure dell’effetto di ricaldamento in ciascuna delle cinque posizioni.
Dove Ndet è il numero di γ rivelati e Nbeam il numero di particelle raccolte del
fascio, pari a Q/q. Q è la carica elettrica raccolta del fascio e q la carica dello
ione proiettile (in questo caso q = e perché trattasi di protoni). Determinando il massimo di tale curva si trova il valore di Ebeam per cui la risonanza è
effettivamente posta nel punto zdet al centro dell’asse del rivelatore.
Per compiere questa serie di indagini si è deciso di studiare l’andamento della
densità con il fascio in cinque punti diversi. In accordo con l’asse z mostrato
figura 4.13 le posizioni sono state denominate -5, -3, -1, 1 e 3 cm. L’indagine
è stata estesa su un’intervallo ragionevolmente ampio dei valori di potenza
dissipata per unità di lunghezza di interesse durante l’esperimento. Inoltre si
è deciso di ripetere la misura per diversi valori della pressione per evidenziare
la presenza di eventuali sistematici. Quindi per ciascuna delle 5 posizioni sopra elencate sono stati effettuate diverse scansioni della risonanza secondo la
strategia indicata in tabella 4.5. In totale sono state effettuate 30 scansioni
della risonanza.
Nelle figure 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 e 4.18 sono rappresentati rispettivamenti
i risultati delle scansioni della risonanza nelle posizioni -5, -3, -1, 1 e 3 cm
(figura 4.13). La carica elettrica in µC può essere espressa come:
[µC] = [µA] × [s] = [µA]
1
[d]
86400
(4.14)
Da cui si ha la relazione di equivalenza tra carica espressa in µC e µA × d:
[µA × d] =
1
[µC]
86400
(4.15)
Tale adozione semplifica la stima dei tassi di conteggio attesi, data una determinata Yield (Ndet /Q), una volta nota l’intensità del fascio espressa in
µA. Nelle figure 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 e 4.18 le linee verticali tratteggiate
86
Scansioni Risonanza Posizione -5 cm
500
0.5 mbar 300 µA
1.0 mbar 300 µA
1.0 mbar 200 µA
1.0 mbar 100 µA
2.0 mbar 300 µA
2.0 mbar 200 µA
Yield (eventi/(µA×day))
450
400
350
300
250
200
150
100
50
278
280
282
284
286
288
Energia del Fascio nel Laboratorio (keV)
Figura 4.14: Scansioni della risonanza misurate nella posizione -5 cm.
0.5 mbar 300 µA
1.0 mbar 300 µA
1.0 mbar 200 µA
1.0 mbar 100 µA
2.0 mbar 300 µA
2.0 mbar 200 µA
600
500
400
300
200
100
278
280
282
284
286
288
290
87
600
0.5 mbar 300 µA
1.0 mbar 300 µA
1.0 mbar 200 µA
1.0 mbar 100 µA
2.0 mbar 300 µA
2.0 mbar 200 µA
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
278
280
282
284
286
288
290
Scansioni Risonanza Posizione 1 cm
550
0.5 mbar 300 µA
1.0 mbar 300 µA
1.0 mbar 200 µA
1.0 mbar 100 µA
2.0 mbar 300 µA
2.0 mbar 200 µA
500
450
400
350
300
250
200
150
278
280
282
284
286
288
290
292
Figura 4.17: Scansioni della risonanza misurate nella posizione 1 cm.
88
Scansioni Risonanza Posizione 3 cm
500
0.5 mbar 300 µA
1.0 mbar 300 µA
1.0 mbar 200 µA
1.0 mbar 100 µA
2.0 mbar 200 µA
2.0 mbar 100 µA
450
400
350
300
250
200
150
278
280
282
284
286
288
290
292
294
296
Figura 4.18: Scansioni della risonanza misurate nella posizione 3 cm.
indicano a quale valore di energia del fascio a cui è stato associato il centroide della curva. Si consideri la figura 4.17: da questa risulta evidente che
all’aumentare della corrente il centroide della curva diminuisce ed anche il
suo massimo. La serie dei dati presi ad 1.0 mbar mostra molto bene questo
effetto il quale corrisponde ad una diminuzione della densità del gas dovuta
all’aumento della potenza dissipata dal fascio nello stesso. Osservando anche
le altre figure si nota che all’avanzare della posizione del rivelatore NaI verso
il calorimetro, questo effetto diventa sempre più evidente, perchè aumenta
la perdita di energia dei proiettili e quindi anche il valore assoluto della sua
“correzione” per l’effetto di riscaldamento.
4.3.5.2
Analisi dei dati
In pratica il valore del potere frenante che compare nell’equazione della perdita di energia 4.12 è in buona approssimazione costante (1.25%, nell’intorno
della risonaza a 278 keV, fino alla pressione di 2.0 mbar, sezione 5.2 a pagina 122) e quindi può essere portato fuori dall’integrale ottenendo quando la
89
risonanza è “centrata” di fronte al foro del rivelatore:
Z zdet
dE
∆E(zdet )res = Ebeam − Eres =
ρ(z)dz
d(ρx) 0
(4.16)
Nell’equazione 4.16 la perdita di energia risulta quindi legata all’integrale
della densità lungo l’asse fino al punto di rivelazione zdet .
Quando il fascio attraversa il bersaglio il valore della densità ρbeam sarà diverso da quello senza fascio ρ. Allora conviene introdurre un fattore correttivo,
hbeam , che in generale dipende dalla posizione z e dalla potenza dissipata per
unità di lunghezza dW/dx. Con questa notazione si ha che:
ρbeam (z) = hbeam (z)ρ(z)
(4.17)
In generale il fattore correttivo dipende dalla posizione z. Tuttavia, in prima
approssimazione, ci si aspetta, che nonostante la non uniformità della densità
senza fascio, il fattore correttivo hbeam sia indipendente dalla posizione zdet a
cui si effettuano le scansioni.
Infatti se si assume che sia valida la legge lineare trovata da J.Gorres et al.
[42] tra correzione e potenza dissipata per unità di lunghezza:
hbeam ∝
dE
dW
=
(E)ρI
dx
d(ρx)
(4.18)
Allora se si attende, per esempio, una correzione del 10% alla densità per
l’effetto di riscaldamento, una variazione della stessa per la disuniformità del
profilo senza fascio del 10% implica una correzione sistematica dell’ordine di
1% di hbeam . Quindi in prima approssimazione è lecito aspettarsi che il fattore
correttivo hbeam sia indipendente dalla posizione del rivelatore durante le
scansioni (hbeam (z) = hbeam ) e conviene introdurre una notazione più leggera
per la densità quando il fascio attraversa il bersaglio:
ρbeam (z) = hbeam (z)ρ(z) ' hbeam ρ(z) = hbeam ρf (z)
(4.19)
Nell’ultimo passaggio dell’equazione precedente è stato introdotto il profilo
di densità relativo ad un punto (arbitrario) del bersaglio f (z) che risulta
definito come:
ρ(z)
f (z) =
(4.20)
ρ
Il profilo di densità senza fascio non è uniforme (paragrafo 4.3.4) e introducendo il profilo normalizzato f (z) si tiene in considerazione questo fatto.
Quindi l’equazione 4.16 diviene:
Z zdet
dE
ρ
∆E(zdet )res = Ebeam − Eres = hbeam
f (z)dz
(4.21)
d(ρx) 0
90
Risolvendo l’equazione 4.21 si ottiene il valore della correzione alla densità
hbeam :
Ã
!
1 Ebeam − Eres
ρbeam
(4.22)
hbeam =
=
dE
ρ
ρ
∆zef f
d(ρx)
Nell’equazione 4.22 si è posto:
∆zef f =
ρbeam =
Z
zdet
f (z)dz
(4.23)
Ebeam − Eres
dE
∆zef f
d(ρx)
(4.24)
0
Per mezzo dell’equazione 4.22 si calcola il valore di densità per una data
scansione (cioè posizione, corrente e pressione), dopo aver calcolato il termine ∆zef f attraverso l’equazione 4.23. In pratica si è scelto di normalizzare il profilo relativo al punto in cui è situato il misuratore di pressione di
riferimento MKS (posizione -5 cm). Per cui si ha che:
ρ = ρ(−5 cm)
(4.25)
L’errore relativo sul fattore di correzione hbeam è dato da (avendo propagato
gli errori secondo le usuali regole):
v
u ¯ ¯2 ¯
¯2 ¯¯ σ dE ¯¯2 ¯
¯
u
¯
¯ σ∆zef f ¯2
¯
¯
¯
σ
σhbeam
σ
∆E(z
)
¯
ρ
d(ρx) ¯
res
det
t
¯ +¯
¯
(4.26)
= ¯¯ ¯¯ + ¯¯
¯ + ¯¯
¯ dE ¯
hbeam
ρ
∆E(zdet )res ¯
∆zef f ¯
d(ρx)
Sostanzialmente gli errori relativi sulla densità ρ (0.25 % (accidentale) e
0.5 % (sistematico)), sul potere frenante dE/d(ρx) (3.15 % (solo sistematico)) e sulla quantità ∆zef f (0.35 % (accidentale) e 0.7 % (sistematico))
rispettivamente sono trascurabili rispetto a quello della perdita di energia
dato da:
q
σE2 beam + σE2 res
σ∆E(zdet )res
=
(4.27)
∆E(zdet )res
Ebeam − Eres
Infatti all’energia Ebeam si associa un’errore di 0.1 keV (accidentale) e 0.3 keV
(sistematico) (sezione 4.2.1) e all’energia Eres un’errore di 0.4 keV (sistematico) [23]. Quindi l’errore sulla perdita di energia è di 0.1 keV (accidentale)
e 0.5 keV (sistematico) (valori sommanti in quadratura) e si ha che il suo
errore relativo varia da circa 7 % (accidentale) e 35 % (sistematico) (misura 0.5 mbar posizione -5 cm corrente 300 µA) a 0.7 % (accidentale) e 3.8%
(sistematico) (misura 2.0 mbar posizione 3 cm corrente 200 µA).
91
Posizione
cm
-5
-3
-1
1
3
a
cm/mW
-4.8×10−4
-4.3×10−4
-5.1×10−4
-5.9×10−4
-6.1×10−4
±
±
±
±
±
1.9×10−4
1.5×10−4
1.2×10−4
1.0×10−4
1.3×10−4
Tabella 4.6: Valori dei coefficenti a del best fit lineare vincolato del fattore
di correzione hbeam in funzione della posizione.
4.3.5.3
Risultati ottenuti
In figura 4.19 è mostrato l’andamento misurato del fattore di correzione hbeam
in funzione della potenza dissipata per unità di lunghezza. Dai dati si evince che entro gli errori il fattore correttivo non dipende dalla posizione. A
ciascuna serie di dati è stato sovrapposto il risultato di un best fit lineare:
hbeam = a ×
∆W
+b
∆x
(4.28)
In questa procedura è stato imposto che il valore dell’intercetta b sia unitario.
Questa imposizione riflette il fatto che a fascio spento il profilo di densità deve
essere ridursi a quello misurato senza fascio (paragrafo 4.3.4). In tabella 4.6
sono riportati i valori dei coefficenti a delle curve in figura 4.19. In figura
4.20 è riportato l’andamento misurato del fattore correttivo hbeam in funzione
della potenza dissipata. Ai dati sono sovrapposti due tipi di interpolazione:
• Curve in nero: la curva a tratto continuo in nero rappresenta il risultato di un best fit senza alcun tipo di vincolo ai dati di tutte le posizioni
contemporaneamente. Le curve tratteggiate in nero rappresentano l’errore sulla curva interpolante al livello di un σ per gli errori derivanti
dai parametri del fit.
• Curve in rosso: la curva a tratto continuo in rosso rappresenta il risultato di un best imponendo che il valore del parametro intercetta b sia
unitario. Le curve tratteggiate in rosso rappresentano l’errore sulla curva interpolante al livello di un σ per gli errori derivanti dai parametri
del fit.
Si assume che l’errore sull’interpolazione lineare delle due procedure di fit sia
dato dello scarto medio relativo tra misura sperimentale e curva interpolante
92
1.4
-5 cm
-3 cm
-1 cm
1 cm
3 cm
1.3
1.2
ρbeam/ρ
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0
50
100
150
200
250
300
350
400
∆W/∆x (mW/cm)
Figura 4.19: Andamento del fattore di correzione hbeam in funzione della
potenza dissipata per unità di lunghezza. Il significato delle curve è chiarito
nel testo.
1.4
-5 cm
-3 cm
-1 cm
1 cm
3 cm
1.3
1.2
ρbeam/ρ
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0
50
100
150
200
250
300
350
400
∆W/∆x (mW/cm)
potenza dissipata per unità di lunghezza. Il significato delle curve è chiarito
nel testo.
4.4 Calorimetro
Fit
Vincolato
Libero
93
a
cm/mW
-5.4×10−4 ± 0.7×10−4
-4.5×10−4 ± 1.5×10−4
b
1.0 ± 0.0
0.98 ±0.03
S
%
3.16
3.01
Tabella 4.7: Valori dei coefficenti a e b best fit lineare vincolato e libero di tutte le serie del fattore di correzione hbeam . I valori non sono stati
arrotondati.
S, definito da:
1
S=
N
Ã
¯
¯!
N ¯ i
i ¯
X
¯ hbeam exp − hbeam f it ((dW/dx) ) ¯
¯
¯
¯
¯
hbeam f it ((dW/dx)i )
(4.29)
i=1
In tabella 4.7 sono riportati i valori dei parameri di fit e dello scarto medio
relativo S ottenuti con le due procedure. In figura 4.21 è riportato l’andamento del fattore correttivo hbeam in funzione della posizione. In figura 4.22
è illustrato l’andamento della densità lungo l’asse z (per le pressioni di 0.5,
1.0 e 2.0 mbar) al variare della corrente del fascio.
4.4
Calorimetro
La misura accurata del numero di particelle incidenti per unità di tempo è
molto importante per il calcolo della sezione d’urto. Adoperando un bersaglio
di tipo gassoso è possibile che una frazione delle particelle del fascio (ioni
positivi a bassa energia) si neutralizzi. Pertanto è impossibile effettuare la
misura accuratamente adoperando il metodo classico della tazza di Faraday.
Nel caso in cui le particelle incidenti abbiano tutte la stessa energia (buona
risoluzione energetica dell’acceleratore LUNA) è possibile risalire al numero
di particelle incidenti per unità di tempo I dalla misura della potenza termica
di stop del fascio:
I=
Pbeam
Ecal
(4.30)
L’energia Ecal delle particelle del fascio è l’energia effettiva con cui esse incidono sul calorimetro, ed è inferiore all’energia del fascio entrante nella camera
di interazione per via della perdità di energia nel bersaglio gassoso.
94
1.4
0.5 mb 300 µA
1.0 mb 100 µA
1.0 mb 200 µA
1.0 mb 300 µA
2.0 mb 200 µA
2.0 mb 300 µA
1.3
1.2
ρbeam/ρ
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Asse Z (cm)
posizione lungo l’asse z.
Densità in Funzione dell’Intensità del Fascio
10
0 µA
100 µA
200 µA
300 µA
400 µA
500 µA
Densità (10
16
3
nuclei/cm )
9
8
7
6
2.0 mbar
5
4
1.0 mbar
3
2
0.5 mbar
1
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 4.22: Andamento della densità lungo l’asse z in funzione di diversi
valori della pressione della corrente del fascio.
4.4 Calorimetro
95
Beam
Stopper
Heat Conductor
Ion Beam
Hot
Side
Power
Resistances
Cold
Side
Liquid
Cooling
Heat Conductor
Thot
Tcold
Figura 4.23: Rappresentazione schematica di un calorimetro per la misura
della potenza termica di stop sviluppata da un fascio di particelle.
4.4.1
Principio di funzionamento
Il principio della misura della potenza del fascio è semplice e si basa sulla
leggi che regolano l’equilibrio termico dei corpi. In figura 4.23 è rappresentato
lo schema di un calorimetro per la misura della potenza termica di stop
sviluppata da un fascio di particelle. Un calorimetro può essere schematizzato
come composto da tre corpi in contatto termico tra loro ed in interazione con
l’ambiente circostante.
• Il beam stopper a cui è accoppiato un riscaldatore,
• Un corpo di materiale conduttore di calore,
• Un termostato.
Il termostato in pratica è costituito da un corpo la cui temperatura viene
mantenuta costante per mezzo di una macchina refrigerante esterna (figura
4.23).
Fissata la temperatura del beam-stopper ad un certo valore Thot , tramite il
riscaldatore controllato da un sistema a feedback, si ha che la potenza totale
fornita dall’esterno deve essere pari alla somma delle perdite:
Phot + Pbeam = Pcond + Pconv + Pirr
(4.31)
Da questa relazione si può ricavare l’espressione per la potenza del fascio
Pbeam una volta noti i vari contributi:
96
• Phot potenza fornita dal termoriscaldatore,
• Pcond potenza persa per conduzione,
• Pconv potenza persa per convezione,
• Pirr potenza persa per irraggiamento.
La misurazione della potenza fornita dal riscaldatore si può ottenere con
semplici misure elettriche di corrente e tensione, sia nel caso si tratti di transistors oppure di termoresistenze:
Phot = I∆V
(4.32)
Al contrario la misura delle perdite di potenza non è affatto banale, in quanto le perdite dipendono dalla temperatura e dall’interazione con l’ambiente
circostante:
Pirr = εSσ(T 4 − Ta4 )
Pconv = F ∆T
Pcond = H∆T
(4.33)
Per poter procedere alla valutazione quantitativa di questi termini occorre
misurare prima i coefficenti ε, S, F e H che appaiono nelle equazioni appena
viste. La misura diretta di queste quantità non è semplice. Lo stesso vale
nel caso si cerchi di fare una predizione teorica, ove occorre valutare formule
complesse con parametri da stimare mediante tabulazioni, col pericolo di
commettere errori anche grossolani. Analizzando invece la dipendenza delle
perdite in funzione della temperatura emerge il fatto che, una volta fissate le
temperature del sistema, le perdite assumono un valore ben definito, anche
se incognito.
Questo suggerisce di mettere il sistema in condizioni di operare a temperatura
costante, e di fare almeno due misure indipendenti.
Conviene fare una misura di Phot a Thot e Tcold costanti quando il fascio è
spento, in modo che il suo contributo sia nullo, e si ottiene:
no−beam
Phot
= Ptot
(4.34)
Il simbolo Ptot denota la somma delle perdite. Quindi effettuando la misura
con il fascio acceso, mantenendo sempre Thot e Tcold costanti e fissate ai valori
della precedente, si ha:
beam
Phot
+ Pbeam = Ptot
(4.35)
Sottraendo membro a membro le equazioni 4.34 e 4.35 il termnine Ptot si
elide, e riordinando i membri si ottiene la potenza del fascio:
no−beam
beam
Pbeam = Phot
− Phot
(4.36)
4.4 Calorimetro
Dobbiamo sottolinare che il risultato trovato, su cui si basa la tecnica di misura, vale solamente nel caso siano mantenenute costanti le temperature del
beam-stopper e del termostato durante tutti i run di misura compreso quello
a fascio spento. Inoltre anche la pressione del gas nella camera di interazione
deve essere la medesima poichè se essa varia può cambiare il contributo dovuto alla perdita per convezione. È molto importante misurare accuratamente
la potenza dissipata a fascio spento, detta potenza zero, e assicurarsi che
essa sia stabile anche per lunghi tempi. Considerazioni riguardo al metodo
di estrazione della potenza del fascio e della potenza zero saranno esposte nel
capitolo dell’analisi dei dati.
4.4.2
Controllo LABVIEW
Il sistema di controllo a feedback è realizzato per mezzo del software di programmazione grafica LABVIEW. Il sistema è composto da alcuni moduli di
acquisizione FIELD-POINT [43], uno dei quali misura le temperature (FPRTD-122) (lato freddo e lato caldo del calorimetro), uno le correnti e tensioni
(FP-Al-220)(del circuito di controllo del riscaldatore) e uno che genera il segnale di uscita in tensione per controllare l’alimentatore di potenza delle
termoresistenze (FP-AO-200). I moduli formano una catena e sono collegati
al computer via ethernet. L’interfaccia grafica dell’applicazione permette di
tenere sotto controllo in tempo reale i parametri principali del calorimetro e
la potenza dissipata dal riscaldatore. Inoltre tutti questi dati vengono salvati
in un file in modalità testo per poterli successivamente analizzare ed estrarre il valore della potenza del fascio oppure della potenza zero. La legge di
controllo del feedback è proporzionale-integrale-derivata (PID).
4.4.3
Studio della calibrazione
Le misure di calibrazione del calorimetro sono state eseguite sull’acceleratore
LUNAII 400 kV. Poichè nel vuoto non si verifica il fenomeno della neutralizzazione parziale del fascio, il metodo di misura di riferimento adoperato
per la calibrazione è quello della tazza di Faraday. Tuttavia il fascio induce la produzione di elettroni secondari nel calorimetro (beam stop). Si noti
che un elettrone che lascia il conduttore è equivalente al depositarsi di una
carica positiva. Per questa ragione la camera di interazione e il beam stop sono isolati elettricamente e le correnti raccolte separatamente sono sommate.
Inoltre all’interno dello svasamento, costituito da materiale isolante, che collega la camera al primo collimatore (A1) è inserito un anello che viene posto
a potenziale negativo (circa 300 V) rispetto alla camera (figura 4.24). Tale
potenziale genera un campo elettrico il cui scopo è di respingere gli elettroni
97
98
MKS Baratron 626A
Teflon Insulator
First
Pumping
Stage
40
mm
20
mm
A1
Brass
Pipe
−11
100 mm
Target
Chamber
−7 −5
0
Calorimeter
5
60 mm
170 mm
Chamber Axis (cm)
Secondary Electron
Suppressor Ring
High Precision
Current
Integrator
Figura 4.24: Rappresentazione della camera di interazione per la calibrazione
quando viene impiegata per la calibrazione del calorimetro.
che altrimenti potrebbero sfuggire attraverso il foro del collimatore. In figura
4.24 è rappresentato lo schema della camera di interazione e dei collegamenti
elettrici.
In pratica il calorimetro è reallizzato in modo tale da misurare la corrente del
fascio per via calorimetrica e per via elettrica simultaneamente, grazie agli
accorgimenti appena descritti. Essendo il calorimetro un misuratore di potenza termica si confronta la potenza Pbeam con quella ottenuta dalla misura
elettrica Pf c :
R tmis
i(t)dt
Pf c = 0
Ecal
(4.37)
tmis e
Rt
La quantità 0 mis i(t)dt è la carica elettrica totale raccolta. Tale quantità viene misurata per mezzo di un integratore digitale di corrente EG&G ORTEC,
la cui uscita in impulsi (un impulso vale 10−8 C) è collegata ad un contatore.
Il rapporto tra la carica raccolta e il tempo di misura per la carica degli ioni
è il numero medio di particelle incidenti per unità di tempo. Nel caso del
vuoto Ecal coincide con l’energia del fascio, poichè non si ha perdita di energia apprezzabile. In figura 4.25 è riportato il risultato di una serie di misure
di calibrazione. Si noti che la miglior retta che descrive i dati sperimentali
non ha coefficente angolare esattamente unitario:
Pf c = (0.95258 ± 0.00006) × Pbeam + (0.0654 ± 0.0010) (W )
(4.38)
I valori tipici della potenza zero sono di circa 133-136 W per 1.0 mbar di
N2 nella camera di interazione e di 139-142 W per 1 mbar di He. I valori
della potenza misurata con il fascio, che dipende dalla corrente e dall’energia,
4.4 Calorimetro
99
50
Faraday Cup Power (W)
45
40
35
30
25
20
15
10
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Calorimeter Power (W)
Figura 4.25: Risultati di una serie di misure di calibrazione del calorimetro.
variano da 40 a 110 W. Dallo studio delle misure di potenza zero, ripetute
alla medesima pressione in tempi diversi, si è osservato che la potenza zero
fluttua entro lo 0.5%, in un giorno, alle pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mb sia
nel caso di N2 che di He. La fluttuazione della potenza zero dipende dalla
somma di piccoli effetti casuali non controllabili. Normalmente si osserva la
stessa incertezza relativa anche alla misura di potenza col fascio (eccetto i
casi in cui l’intensità del fascio è instabile). L’errore sulla potenza del fascio
è dato da:
∆Pbeam
=
Pbeam
p
2
2
∆Pzero
+ ∆Prun
Pzero − Prun
∆Pzero
∆Prun
=
= 0.005
Pzero
Prun
(4.39)
Si noti che al diminuire dell’intensità del fascio la potenza misurata con esso
aumenta e quindi anche l’errore relativo. Tale errore è variato da circa 1 %
(misure alta energia) a 4 % (misura bassa energia).
100
4.5
Rivelatore BGO
Il rivelatore impiegato in questo esperimento è uno scintillatore inorganico
al germanato di bismuto (BGO), prodotto da SCIONIX. Il materiale attivo
del rivelatore pesa 83 kg netti (massa complessiva 93 kg) ed ha una densità
di 7.2 g/cm3 .
Il rivelatore appare esternamente come un cilindro cavo ed è costituito da sei
cristalli otticamente indipendenti di forma trepezoidale. La luce prodotta in
ciascuno di essi viene raccolta da una coppia di fotomoltiplicatori HAMAMATSU R1847-07 posti ai due estremi di ciascun cristallo. La somma della
luce raccolta in ciascuno dei sei segmenti permette di ricostruire lo spettro
energetico.
La risoluzione energetica del BGO è stata misurata per mezzo di sorgenti
γ 137 Cs (Eγ =662 keV) e di 22 Na (Eγ =1275 keV), trovando ripettivamente
17 % e 12 % [10]. Dagli spettri sperimentali della reazione 14 N(p,γ)15 O è
stata misurata la risoluzione, nell’intervallo di energia 6.5 - 8 MeV, trovando
che vale circa 8 %.
L’omogenità della risposta lungo l’asse longitudinale è stata misurata facendo scorrere una sorgente di 22 Na collimata e misurando in diverse posizioni il
valore del centroide del picco. La risposta è risultata uniforme entro il 2.9 %
[10].
Nelle figure 4.26 e 4.27 sono rappresentati schematicamente il rivelatore BGO
e un singolo cristallo dello stesso.
4.5.1
Studio dell’efficienza di rivelazione
L’efficienza di rivelazione non può essere misurata direttamente con fotoni di
6-8 MeV, ideali per lo studio della 14 N(p,γ)15 O, poichè non esistono isotopi
radiaoattivi che decadendo emettano γ a tali energie. Inoltre è importante conoscerne il l’andamento in funzione della coordinata z lungo l’asse del
rivelatore. Per questa ragione si deve ricorrere all’uso di un codice MonteCarlo per calcolare l’efficienza (descritto nel capitolo quinto). In ogni caso è
ragionevole verificare le predizioni del codice di simulazione anche con sorgenti a bassa energia; quindi sono state pianificate una serie di misure per
determinare l’andamento dell’efficienza lungo l’asse z del rivelatore.
4.5.1.1
Il metodo di misura e risultati ottenuti
L’attività di una sorgente diminuisce col tempo secondo la legge esponenziale
del decadimento radioattivo. Quindi si deve calcolare l’attività attuale della
sorgente tenendo conto dell’intervallo di tempo t trascorso dal momento in
101
Figura 4.26: Rappresentazione schematica della struttura del rivelatore
BGO.
70 mm
34.4 mm
280 mm
115.2 mm
Figura 4.27: Rappresentazione di un cristallo del rivelatore BGO.
102
Posizione
cm
-5.3
0.0
5.3
8.3
15.3
Efficienza
%
90.0 ± 1.4
92.1 ± 1.4
89.4 ± 1.4
84.2 ± 1.3
34.7 ± 0.5
Monte-Carlo
%
91.9 ± 1.3
94.1 ± 1.4
92.0 ± 1.3
86.4 ± 1.2
36.2 ± 0.5
Scarto
%
-1.9 ± 1.9
-2.0 ± 2.0
-2.6 ± 1.9
-2.2 ± 1.8
-1.5 ± 0.7
Tabella 4.8: Valori dell’efficienza misurata e previsti dal Monte-Carlo in
funzione della posizione lungo l’asse z, e valori dello scarto assoloto.
in cui l’attività è stata certificata:
A(t) = A0 e−t/τ
(4.40)
Ove τ è il tempo di vita media dell’isotopo radioattivo. In alcuni casi è noto
il tempo di dimezzamento τ1/2 dell’isotopo radioattivo e questo è legato al
tempo di vita media τ da:
τ1/2
(4.41)
τ=
ln 2
Nota l’attività A(t) al momento in cui si effettuano le misure, il numero di
eventi rivelato in certo tempo di misura ∆t è:
Ndet = ηA(t)∆tBratio
(4.42)
Dove Bratio è la probabilità di decadimento dell’isotopo nel particolare canale che si sta osservando. Risolvendo l’equazione precedente si trova che
l’efficienza vale:
Ndet
η=
(4.43)
A(t)∆tBratio
In tabella 4.8 sono riportati i valori dell’efficienza misurati in funzione della
posizione lungo l’asse z e i valori previsti dal codice Monte-Carlo. In tabella
4.9 sono riportati i parametri della sorgente radioattiva impiegata per le misure. In figura 4.28 è illustrato schematicamente l’apparato sperimentale per
la misura dell’efficienza del rivelatore BGO. In figura 4.29 è riportato il confronto tra l’andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione della posizione
lungo l’asse z (indicato in figura 4.28) calcolato con il codice Monte-Carlo e
quello misurato con la sorgente 137 Cs. L’errore sul valore dell’efficienze sperimentali è sostanzialmente quello sull’attività della sorgente pari a 1.5 % (misura ad altissima statistica). L’errore sul valore dell’efficienza calcolata dal
Monte-Carlo è tipicamente di 1.5 %. I valori previsti dal Monte-Carlo sovrastimano al massimo l’efficienza di circa 2 % e sono compatibili entro gli errori
103
280 mm
100 mm
PM
70 mm
PM
60 mm
BGO Crystal
PM
70 mm
Target Chamber
Axis Movable Radioactive Source
BGO Crystal
PM
Chamber
−14
−5
0
5
Axis (cm)
14
Figura 4.28: Schema dell’apparato sperimentale per la misura dell’efficienza
del rivelatore BGO.
100
Monte-Carlo
Esperimento
Efficienza (%)
80
Camera
Interazione
60
40
Rivelatore
BGO
20
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Asse Z (cm)
Figura 4.29: Confronto tra l’andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione della posizione lungo l’asse z (mostrato in figura 4.28) calcolato col
codice Monte-Carlo e misurato con la sorgente di 137 Cs.
104
Sorgente A0
kBq
137
Cs
4.58 ± 0.07 (17/7/1998)
A(t)
kBq
3.99 ± 0.06 (29/6/2004)
Bratio
%
85.1
Tabella 4.9: Parametri della sorgente impiegata per le misure di efficienza
del rivelatore BGO.
(tabella 4.8). A determinare le differenze tra i valori previsti dal Monte-Carlo
e quelli misurati concorrono un certo numero di fattori tra cui, la non perfetta
omogeneità dei materiali passivi e dei rivelatori e la non perfetta rispondenza alle dimensioni geometriche nominali fornite dal produttore. Si noti che
i cristalli sono rivestiti da uno strato di materiale riflettente per raccogliere
meglio la luce prodotta, di cui non sono forniti né spessore né composizione
chimica. Si ritiene ragionevolmente che tale strato sia molto sottile. Inoltre
alla lavorazione meccanica dei rivestimento metallico del rivelatore sono associate delle tolleranze di 0.5 mm. Il foro all’interno del “cestello” di acciao
inox che contiene il rivelatore, dove viene inserita la camera di interazione,
è realizzato per mezzo di un tubo di alluminio il cui spessore nominale di
0.8 mm (tolleranza +0.5 mm). Assumendo che lo strato di materiale riflettente sia di spessore trascurabile sono state effettute una serie di previsioni
con il Monte-Carlo aumentando il valore dello spessore del tubo di alluminio
interno entro la tolleranza. Dalla figura 4.30 si evince il buon accordo nel
caso lo spessore del tubo interno di alluminio sia aumentato di 0.5 mm. Si
noti che tale spessore non è determinabile sperimentalmente con precisione
per via della geometria di costruizione. In tabella 4.10 sono riportati i valori
dell’efficiena misurati con la sorgente di 137 Cs e quelli previsti dal MonteCarlo nel caso in cui lo spessore del tubo interno di alluminio del rivalatore
di 1.3 mm. Ai fini dell’analisi dei dati interessa il valore dell’efficienza per
fotoni di 6 - 8 MeV. Effettuando delle previsioni del codice Monte-Carlo per
la reazione 14 N(p,γ)15 O è stato determinato che l’aumento del valore dello
spessore del tubo interno di alluminio influisce al massimo dello 0.15 % sul
valore dell’efficienza, entro l’errore statistico di 0.75 %. Quindi è stato cautelativamente assunto che il valore dell’efficienza calcolata col Monte-Carlo
per i fotoni da 6 -8 MeV della reazione 14 N(p,γ)15 O abbia un errore sistematico di 1 %, determinato dal confronto delle previsioni del Monte-Carlo
con le misure effettuate con la sorgente 137 Cs (spessore del tubo di alluminio
aumentato a 1.3 mm).
4.5 Rivelatore BGO
Monte-Carlo
Esperimento
80
Efficienza (%)
105
Camera
Interazione
60
40
Rivelatore
BGO
20
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Asse Z (cm)
Figura 4.30: Confronto tra l’andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione della posizione lungo l’asse z (mostrato in figura 4.28) calcolato col
codice Monte-Carlo adottando lo spessore del tubo di alluminio interno di
1.3 mm e misurato con la sorgente di 137 Cs.
4.5.2
Studio del fondo naturale
Nel fondo dello spettro γ misurato col rivelatore BGO durante l’esperimento
si distinguono due componenti: il fondo indotto dal fascio e il fondo naturale
del laboratorio. La determinazione del numero di eventi rivelati è importante
per il calcolo della sezione d’urto e la sottrazione del fondo naturale diventa
critica nelle misure a bassa energia dove il fondo di laboratorio domina quello
indotto dal fascio.
Durante l’esperimento sono state effettuate diverse misure del fondo naturale
per un tempo complessivo pari a 37.5 giorni. In figura 4.31 è riportato lo
spettro somma di tutte le misure ed è confrontato con una misura di fondo in superficie, da cui si evince l’enorme vantaggio dello schermo naturale
dai Laboratori Nazionali del Gran Sasso. Nello spettro in figura 4.31 sono
chiaramente visibili le righe del 40 K a 1460 keV, del 214 Bi a 2204 keV e 208 Tl
106
Posizione
cm
-5.3
0.0
5.3
8.3
15.3
Efficienza
%
90.0 ± 1.4
92.1 ± 1.4
89.4 ± 1.4
84.2 ± 1.3
34.7 ± 0.5
Monte-Carlo
%
90.5 ± 1.3
93.1 ± 1.4
90.7 ± 1.3
85.5 ± 1.2
35.2 ± 0.5
Scarto
%
-0.5 ± 1.9
-1.0 ± 2.0
-1.3 ± 1.9
-1.3 ± 1.8
-0.5 ± 0.7
Tabella 4.10: Valori dell’efficienza misurata e previsti dal Monte-Carlo con lo
spessore del tubo di alluminio interno di 1.3 mm in funzione della posizione
lungo l’asse z, e valori dello scarto assoloto.
a 2614 keV. Inoltre sono appena visibili le righe 214 Bi a 609 keV e 214 Bi a
1120 keV. Come si nota dalla figura 4.31 al di sotto di circa 5 MeV il tasso
di conteggio del fondo aumenta rapidamente fino ad assumere, nelle regione
di energie inferiori a 3 MeV, valori simili a quelli che si hanno in superficie.
Quindi in pratica non è interessante studiare l’andamento del fondo al sotto di 5 MeV, dove il rapporte segnale rumore diminuisce rapidamente. Per
determinare il limite superiore della regione di interesse, per lo studio della
14
N(p,γ)15 O, è sufficiente, in prima approssimazione, valutare l’energia massima Eγmax a cui sono rivelabili i fotoni attesi dalla reazione, dall’equazione
della cinematica del fotone 1.23 si ha:
Eγ = Qn + Ep cm max + ∆Doppler − ∆Recoil + ∆Eres ' 8 MeV
(4.44)
Dove Qn è il Q-valore della 14 N(p,γ)15 O (7297 keV), Ecm max l’energia massima raggiungibile in questo esperimento e ∆Eres la risoluzione del rivelatore
a Q + Ecm max . Si noti che i termini dovuti all’effetto Doppler ∆Doppler e
di rinculo ∆Recoil sono dell’ordine di 0.8 % e quindi trascurabili, mentre il
termine dovuto alla risoluzione del rivelatore vale circa 8 % rispetto al Qn .
Per questa ragione è stato studiato il tasso di conteggio del fondo naturale
in un certo numero di regioni di interesse compreso nell’intervallo 5-8 MeV,
tenendo fisso il limite superiore a 8 MeV e variando quello inferiore da 5 a
7.25 MeV (tabella 4.11 e figura 4.32). Dalla figura 4.32 si evince che il tasso
di conteggio nella regione 5-8 MeV è uniforme (i dati scalano linearmente).
In figura 4.33 è riportato l’andamento del tasso di conteggio del fondo in
funzione di ciascuna singola misura per verificarne l’andamento nel tempo.
Le diverse serie rappresentano l’andamento per le diverse regioni di interesse:
dall’alto verso il basso diminuisce il limite inferiore della ROI. La figura 4.33
mostra che l’andamento del tasso di conteggio nel tempo è stato uniforme
entro gli errori. Le misure sono state effettute su un periodo di tempo che
4.5 Rivelatore BGO
10
6
10
5
10
4
107
10 3
10
2
10
1
10
-1
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000 18000
Energia (keV)
Figura 4.31: Spettro somma del fondo naturale (tempo di 37.5 giorni) misurato nei laboratori sotterranei confrontato con quello in superficie (in rosso, tempo di misura 0.73 giorni) con lo stesso rivelatore. Nella misura in
superficie il rivelatore BGO era schermato con 10 cm di Pb.
spazia da ottobre 2003 a giugno 2004 e sono riportate in ordine cronologico.
In figura 4.34 è riportato lo spettro somma totale normalizzato nell’intervallo
4-18 MeV e come si può notare al di sopra di 10 MeV il tasso di conteggio diventa estremamente ridotto ed in pratica coincide con quello atteso dei muoni
cosmici che attraversano il rivelatore (1 evento al giorno). Invece nella regione compresa tra 5 e 10 MeV lo spettro ha una struttura ben determinata
e riconducile a reazioni di tipo (n,γ) indotte dal flusso naturale dei neutroni
termici su isotopi di Fe (il rivelatore è racchiuso dentro un cilindro di acciaio
e con lo stesso materiale è stata costruita gran parte della linea da vuoto).
Di contro questa struttura non può essere generata da coincidenze casuali
tra fotoni delle righe naturali. Infatti il tasso di coincidenza casuale per due
particelle è dato da:
rrandom = r1 × r2 × ∆t
(4.45)
Tasso del Fondo (eventi/giorno)
108
45
40
35
30
25
20
15
10
5000 5250 5500 5750 6000 6250 6500 6750 7000 7250
Limite Inferiore Roi (keV)
Figura 4.32: Andamento del tasso di conteggio del fondo naturale in funzione
del limite inferiore della regione di interesse.
90
5000 - 8000 (keV)
5250 - 8000 (keV)
5500 - 8000 (keV)
5750 - 8000 (keV)
6000 - 8000 (keV)
80
70
60
6250 - 8000 (keV)
6500 - 8000 (keV)
6750 - 8000 (keV)
7000 - 8000 (keV)
7250 - 8000 (keV)
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Indice di Misurazione
Figura 4.33: Andamento cronologico del tasso di fondo per diverse regioni di
interesse. Le linee tratteeggiate rappresentano il valor medio delle misure.
109
ROI
keV
5000
5250
5500
5750
6000
6250
6500
6750
7000
7250
-
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
8000
Tasso di conteggio
Eventi per giorno
45.56 ± 1.10
40.34 ± 1.04
36.19 ± 0.98
33.05 ± 0.94
29.11 ± 0.88
24.85 ± 0.81
21.14 ± 0.75
17.18 ± 0.68
13.61 ± 0.60
9.51 ± 0.50
Tabella 4.11: Tasso di conteggio del fondo naturale in diverse regioni di
intersse nell’intervallo di energie di 5 - 8 MeV.
10
1
10
-1
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Energia (keV)
Figura 4.34: Spettro somma del fondo misurato nel laboratorio sotterraneo
normalizzato al tempo di misura espanso nell’intervallo 4-18 MeV.
110
Dove r1 e r1 sono i tassi conteggio delle due particelle in studio e ∆t è
l’intervallo di tempo in cui il sistema di acquisizione è attivo e registra i dati.
Nello spettro mostrato in figura 4.31 la riga più intensa è quella del 40 K a
1460 keV, ed ha un tasso di conteggio di circa 100 Hz. Il tempo di aquisizione
∆t è di 4 µs.
Se si pensasse di avere cinque coincidenze casuali tra γ prodotti dal 40 K, il
cui risultato sarebbe un deposito di energia di circa 7.3 MeV nel rivelatore,
allora il tasso di coincidenza sarebbe dell’ordine di 10−11 Hz. Per di più se si
considera che la misura è durata in totale circa 3.2×106 s, allora si dovrebbero
osservare nello spettro un numero di eventi pari a:
Ndet = rrandom × ∆tmis ' 10−11 × 3.2 × 106 = 3.2 × 10−5
eventi
(4.46)
Quindi appare chiaro che la struttura che si osserva nello spettro mostrato
in figura 4.31 non può essere originata da coincidenze casuali tra le righe del
fondo naturale.
Un ragionamento analogo può essere applicato anche alla riga del 208 Tl a
2614 keV (tasso di conteggio circa 10 Hz). Nel caso di una coincidenza tripla
si avrebbe un deposito di energia di circa 7.8 MeV e il tasso di conteggio
sarebbe pari a 1.6×10−8 . Quindi il numero di eventi atteso nello spettro
sarebbe:
Ndet ' 1.6 × 10−8 × 3.2 × 106 = 5.1 × 10−2
eventi
(4.47)
In figura 4.35 è riportato lo spettro di fondo misurato in superficie normalizzato al tempo di misura. A circa 80-90 MeV è osservabile la “gobba” dei raggi
cosmici ad alta energia. Infatti essendo lo spessore dei un singolo cristallo di
7 cm piccolo i muoni ad alta energia rilasciano in esso solo una frazione della
loro energia. In prima approssimazione la perdita di energia in un cristallo è
data da:
dE
∆Eµ '
(Eµ )ρBGO ∆xBGO ' 42 MeV
(4.48)
d(ρx)
Questo valore giustifica la “gobba” appena visibile a 40-50 MeV nello spettro.
Se si tiene conto che un muone che arriva dall’alto può attraversare due
cristalli allora si spiega anche il picco a circa 80-90 MeV.
4.5.3
Studio preliminare del fondo indotto dal fascio
Nel determinare il numero di eventi rivelati è necessario tenere conto del fondo
indotto dal fascio oltre a quello naturale. Si noti che in generale è ragionevole
attendersi fondo proveniente da reazioni parassite su nuclei leggeri per via
della bassa barriera coulombiana.
111
10 5
10 4
10
3
10 2
10
1
1
10
Energia (MeV)
10
2
Figura 4.35: Spettro di fondo misurato in superficie col rivelatore BGO utilizzato nell’esperimento. La misura è durata 0.73 giorni ed il rivelatore era
schermato con 10 cm di Pb.
112
MKS Baratron 626A
Teflon Insulator
A1
Brass
Pipe
−11
100 mm
Target
Chamber
−7 −5
0
Calorimeter
5
60 mm
First
Pumping
Stage
20
mm
13 mm
170 mm
40
mm
Chamber Axis (cm)
High
Purity
Germanium
Detector
Figura 4.36: Rappresentazione schematica dell’apparato sperimentale per lo
studio del fondo indotto dal fascio.
Per questa ragione, nella preparazione dell’esperimento, sono state pianificate
una serie di misure per studiare la presenza di reazioni parassite.
4.5.3.1
Metodo di misura
Per identificare le eventuali righe γ parassite presenti nello spettro è stato impiegato un rivelatore al Ge ad alta risoluzione. Infatti l’impiego del rivelatore
BGO non è indicato a causa della povera risoluzione energetica. In figura
4.36 è rappresentato lo schema dell’apparato sperimentale. Il rivelatore al Ge
utilizzato è di tipo p ad alta purezza (HPGe). La sua efficienza relativa è di
126 % rispetto ad un cristallo di NaI 3”×3” alla riga di 1.17 MeV del 60 Co.
La sua risoluzione alla riga 1.33 MeV del 60 Co è di circa 0.17 %. Il rivelatore
è stato posto in prossimità del centro del bersaglio, ad una distanza di 13 mm
dalla camera di interazione come mostrato in figura 4.36.
Lo scopo di questo studio è stato quello di identificare le eventuali righe
parassite presenti nello spettro, determinarne l’origine e misurarne la Yield.
Tuttavia riscalare il valore della Yield misurato con il rivelatore HPGe per
ottenerne uno atteso per il rivelatore BGO, non è un processo semplice. Infatti per poter calcolare l’efficienza di rivelazione con entrambi i rivelatori
occorre sapere con precisione dove sono localizzati gli ioni contaminanti e da
4.5 Rivelatore BGO
113
quanta “corrente” saranno bombardati (almeno in relativo). Queste informazioni sono note con precisione sufficiente solo per una stima indicativa.
Inizialmente sono state effettuate una serie di misure col fascio senza gas.
Nella prima serie di misure sono state osservate righe dovute a reazioni su
isotopi di C ed la cui origine è stata attruibuita a vapori di olio minerale
sprigionati dal lubrificante di una pompa da vuoto. Per questa ragione la
pompa è stata sostituita con una a secco e si è stabilito di usare un gas inerte
(He) in camera di interazione per ridurre il deposito di vapori trasportati dal
gas sui materiali bombardati dal fascio.
Entro i limiti del possibile, sono stati variati i rapporti delle correnti sull’ultimo collimatore A1 (figura 4.36) rispetto a quelli del bersaglio. In questo
modo è stato possibile valutare la localizzazione di alcune reazioni parassite.
Per identificare la presenza di contaminanti nel gas N2 che sarebbe stato
impiegato, sono state effettuate anche una serie di misure con azoto nel bersaglio, variando la pressione del gas.
La carica elettrica in µC può essere espressa come:
[µC] = [µA] × [s] = [µA]
1
[d]
86400
(4.49)
Da cui si ha la relazione di equivalenza tra carica espressa in µC e µA × d:
[µA × d] =
1
[µC]
86400
(4.50)
Tale adozione semplifica la stima dei tassi di conteggio attesi, data una determinata Yield (Ndet /Q), una volta nota l’intensità del fascio espressa in
µA.
Inizialmente per evidenziare la presenza di reazioni di tipo (p,γ) e (p,αγ) parassite sono state effettuate alcune misure col fascio senza gas nella camera
di interazione.
In figura 4.37 è riporatato uno spettro significativo misurato con rivelatore
HPGe all’energia di 199.9 keV senza gas e in figura 4.38 lo stesso spettro
espanso nella regione 4 - 9 MeV (carica Q 85269683.50 µC pari a 986.92
µA × d, tempo di misura 231404 s pari a 2.678 d).
In tabella 4.12 sono riportate le righe identificate negli spettri a 199.9 keV
senza gas mostrati nelle figure 4.37 e 4.38. Dall’analisi della misura a 199.9 keV
senza gas è stato possibile concludere che sostanzialmente la principale fonte
di fondo indotto dal fascio nella regione tra 4 e 9 MeV è dovuta alla reazione 13 C(p,γ)14 N (Q = 7993 keV). Si noti che la reazione 18 O(p,γ)19 F (Q
= 7994 keV) produce un piccolo disturbo anche se presenta una risonanza a
216 keV la cui intensità è tuttavia molto bassa. Si noti che negli spettri è stata identificata anche la presenza della reazione 12 C(p,γ)13 N (Q = 1943 keV),
Conteggi per Canale
114
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Energia (keV)
Figura 4.37: Spettro misurato col rivelatore HPGe all’energia di 199.9 keV
senza gas.
Conteggi per Canale
100
80
60
40
20
0
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Energia (keV)
senza gas, espanso nell’intervallo 4 - 9 MeV.
4.5 Rivelatore BGO
Energia
keV
4225
4438
4911
5104
5685
6702
7214
7724
8025
115
Reazione
18
Conteggi
O(p,γ)19 F dc → 3906
197.0±17.2
12
B(p,γ) C 4438 → gs
108.3±13.5
13
C(p,γ)14 N 4915 → gs
89.0±11.9
13
14
C(p,γ) N 5106 → gs
47.5±11.4
13
C(p,γ)14 N 5691 → gs
75.0±10.7
13
C(p,γ)14 N dc → gs S.E. 167.0±23.9
13
C(p,γ)14 N dc → gs F.E. 791.3±38.0
13
C(p,γ)14 N dc → gs
884.4±35.3
18
19
O(p,γ) F 8014 → gs
49.0±7.0
11
Yield
µA−1 d−1
0.199±0.017
0.109±0.014
0.090±0.012
0.048±0.012
0.076±0.010
0.169±0.024
0.80±0.04
0.90±0.04
0.050±0.007
Tabella 4.12: Righe identificate negli spettri mostrati nelle figure 4.37 e 4.38,
all’energia nominale del fascio di protoni di 199.9 keV, senza gas.
la quale fortunatamente non crea alcun disturbo grazie al basso valore di Q.
Tale presenza era attesa poichè sia 12 C che 13 C sono isotopi stabili e l’abbondanza isotopica naturale del primo è circa 104 volte quella del secondo.
Inoltre tali reazioni hanno una barriera Coulombiana relativamente bassa.
In figura 4.39 è riportato uno spettro misurato con rivelatore HPGe all’energia di 199.8 keV con 1 mbar di N2 in camera di interazione e in figura 4.40
lo stesso spettro espanso nella regione 4 - 9 MeV (carica Q 55023754.45 µC
pari a 636.85 µA × d, tempo di misura 144584 s pari a 1.673 d).
In tabella 4.13 sono riportate le righe identificate negli spettri a 199.8 keV
con 1 mbar di N2 mostrati nelle figure 4.39 e 4.40. Dallo studio del fondo
indotto dal fascio per mezzo del rivelatore (HPGe) è stato concluso che la
primaria fonte di disturbo nella regione di energie in cui vengono osservati i fotoni prodotti dalla reazione 14 N(p,γ)15 O è sostanzialmente dato dalla
13
C(p,γ)14 N (Q = 7993 keV). Tale reazione non ha risonanze nell’intervallo
di energie di interesse di questo studio. Al di sotto di 150 keV nel laboratorio
compare una riga identificabile come D(p,γ)3 He (Q = 5493 keV), la quale si
trova ben al di sotto del picco della reazione 14 N(p,γ)15 O. Nell’intervallo di
energie compreso tra 150 e 170 keV nel laboratorio si osservano i disturbi prodotti dal fondo continuo della risonanza della 11 B(p,γ)12 C (Q = 15957 keV,
Eres lab = 162 keV). Sempre nel medesimo intervallo si nota la presenza della
risonanza della 18 O(p,γ)19 F (Q = 7994 keV, Eres lab = 151 keV). Quest’ultima reazione ha una risonanza anche a Eres lab = 216 keV, la cui intensità è
più piccola rispetto a quella della risonanza a 151 keV.
Attraverso questo studio è stato possibile concludere, seppur in modo indicativo, che all’energie di 80/90 keV (nel laboratorio), ove il tasso di reazione
116
Conteggi per Canale
10 5
10
4
10
3
10 2
10
1
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Energia (keV)
con 1 mbar di N2 .
Conteggi per Canale
100
80
60
40
20
0
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Energia (keV)
con 1 mbar di N2 , espanso nell’intervallo 4 - 9 MeV.
4.5 Rivelatore BGO
Energia
keV
4161
4438
4762
5161
5183
5672
5771
6183
6282
6793
6970
7479
7716
8022
117
Reazione
Conteggi
N(p,γ)15 O 5183 → gs S.E.
11
B(p,γ)12 C 4438 → gs
14
N(p,γ)15 O 5183 → gs F.E.
14
N(p,γ)15 O 6183 → gs S.E.
14
N(p,γ)15 O 5183 → gs
14
N(p,γ)15 O 6183 → gs F.E.
14
N(p,γ)15 O 6793 → gs S.E.
14
N(p,γ)15 O 6183 → gs
14
N(p,γ)15 O 6793 → gs F.E.
14
N(p,γ)15 O 6793 → gs
14
N(p,γ)15 O dc → gs F.E.
14
N(p,γ)15 O dc → gs
13
C(p,γ)14 N dc → gs
18
O(p,γ)19 F 8014 → gs
a.d.
408.7±23.1
n.d.
a.d.
62.5±13.9
199.7±16.5
60.0±12.3
244.5±19.5
320.0±22.0
522.0±24.4
a.d.
a.d.
n.d.
33.0±6.7
14
Yield
µA−1 d−1
0.64±0.04
0.102±0.021
0.313±0.025
0.094±0.019
0.38±0.03
0.50±0.04
0.82±0.04
0.052±0.010
Tabella 4.13: Righe identificate negli spettri mostrati nelle figure 4.39 e 4.40,
all’energia di 199.8 keV con 1 mbar di N2 . Sono riporate le righe attese e
appena distinguibili (a.d.) e quelle non distinguibili (n.d.).
atteso per la reazione 14 N(p,γ)15 O diventa confrontabile con il tasso di fondo
naturale, che i conteggi provenienti dal fondo indotto dal fascio sarebbero
stati circa il 2 - 5 % di quelli della reazione. Inoltre, tenendo conto che la
trasmissione del fascio peggiora a bassa energia, è stato stimato che un ragionevole limite superiore al fondo indotto dal fascio dovesse essere del 10 %
circa rispetto al tasso di reazione atteso.
4.5.4
Sistema di acquisizione dati
In una fase preliminare dell’esperimento è stato valutata la possibilità di
impiegare un sistema di acquisizione multiparametrico, per aquisire simultaneamente i segnali dei dodici fotomoltiplicatori del rivelatore BGO. Lo studio
si è concentrato solo sul fondo naturale, con l’intento di valutare i vantaggi
per le misure a bassa energia. In figura 4.41 è riportato l’andamento del tasso
di conteggio del fondo naturale al variare del limite inferiore della ROI, per
un certo numero di regioni interesse nell’intervallo 5-8 MeV. Il limite superiore era fissato a 8 MeV (sezione 4.5.2 a pagina 105). I tassi di conteggio
sono stati valutati per tre diversi algoritmi di selezione degli eventi:
118
Tasso del fondo (eventi/day)
80
ROImin<Es<8000
ROImin<Es<8000.and.Single
ROImin<Es<8000.and.Tac<50
ROImin<Es<8000.and.(Single.or.Double)
ROImin<Es<8000.and.(Single.or.Double).and.tac<50
70
60
50
40
30
20
10
0
5000
5250
5500
5750
6000
6250
6500
6750
7000
Limite Inferiore ROI (keV)
Figura 4.41: Andamento del tasso di conteggio in funzione del limite inferiore
della ROI per tre diversi algoritmi di selezione degli eventi, descritti nel testo.
• Sum: in questo caso si osserva il numero di eventi quando la somma
dell’energia depositata in tutti e sei i cristalli del rivelatore è all’interno
della regione di interesse.
• Single: in questo caso si osserva il numero di eventi quando la somma
dell’energia depositata in tutti i cristalli è nella regione di interesse e
quando un solo cristallo aveva un deposito di energia superiore ad una
soglia prefissata e tutti gli altri inferiore.
• Single and Double: in questo caso si osserva il numero di eventi quando la somma dell’energia depositata in tutti i cristalli è compresa nella
regione di interesse e quando un cristallo ha avuto un deposito di energia in un intervallo prefissato corrispondente all’energia di una transizione primaria ed un altro cristallo ha avuto un deposito di energia
corrispondente ad una transizione secondaria.
4.5 Rivelatore BGO
119
In figura 4.42 è riportato l’andamento dell’efficienza totale ottenuto dalle
simulazioni per i tre algoritmi di selezione degli eventi in funzione del limite
inferiore della regione di interesse.
Il segnale prodotto dalla reazione S è dato dalla differenza tra tutto il segnale
osservato in una regione di interesse T e il fondo N :
S =T −N
(4.51)
L’errore relativo sui conteggi netti è in prima approssimazione dato da:
s
√
1
1
∆S
T +N
=
=√
(4.52)
2+
S
S
(S/N )
S
Dall’equazione 4.52 risulta evidente che l’errore relativo diminuisce sia al crescere della statistica S del segnale si al crescere del rapporto segnale rumore
S
. Il rapporto tra il segnale e il rumore è dato da:
B
(S/N ) =
η × treaz
tbackground
(4.53)
Quindi, indipendentemente dal tasso di reazione, il rapporto segnale rumore
è proporzionale al rapporto tra l’efficienza totale di rivelazione e il tasso di
conteggio del fondo:
η
(4.54)
(S/N ) ∝
tbackground
In figura 4.43 è riportato l’andamento del rapporto tra efficienza di rivelazione
e tasso di conteggio del fondo naturale in funzione del limite inferiore della
regione di interesse. Osservando la figura 4.43 si evince che il il rapporto
segnale rumore è quasi identico per tutti gli algoritmi. In pratica anche i
piccoli guadagni messi in evidenza dalla figura 4.43 sono appena apprezzabili.
Appare quindi chiaro dalla figura 4.42 che la scelta dell’algoritmo risulta
invece condizionata in modo significativo dal valore del’efficienza. Infatti a
parità di rapporto segnale rumore conviene scegliere l’algoritmo più efficiente
per ridurre i tempi di misura. Per questa ragione si è scelto di operare con
l’algoritmo definito Sum, che prevede di osservare il numero di eventi nella
regione di interesse senza alcun ulteriore criterio di selezione. Per questa
ragione è stato dismesso l’uso del sistema di acquisizione multiparametrico e
si è adottato l’uso di un semplice multicale Gamma-Vision di EG&G Ortec.
120
80
ROImin<Es<8000
Efficienza (%)
70
60
50
40
30
20
5000
5250
5500
5750
6000
6250
6500
6750
7000
Figura 4.42: Andamento dell’efficienza totale per i tre algoritmi di selezione
degli in funzione del limite inferiore della regione di interesse.
Efficienza/Fondo (%/(eventi/day))
6
ROImin<Es<8000
5
4
3
2
1
0
5000
5250
5500
5750
6000
6250
6500
6750
7000
Figura 4.43: Andamento del rapporto efficienza fondo per i algoritmi di
selezione degli eventi in funzione del limite inferiore della regione di interesse.
Capitolo 5
Codice di simulazione LUNA
Questo capitolo è dedicato alla descrizione del codice di simulazione MonteCarlo sviluppato dalla collaborazione LUNA. Il codice risulta di fondamentale
importanza nell’analisi dei dati, in quanto fornisce l’efficienza di rivelazione
e l’energia di interazione dei proiettili.
La sezione d’urto delle reazioni non risonanti indotte da particelle cariche
dipende fortemente dall’energia. Un incertezza dell’energia dell’1% può portare ad un incertezza del 20% del fattore astrofisico S(E). L’energia a cui
avvengono realmente le interazioni non è misurabile direttamente, evento per
evento, ed quindi è necessario poterla determinare correttamente tenendo
conto della perdita di energia dei proiettili nel bersaglio. Per questa ragione
la collaborazione LUNA ha sviluppato un codice Monte Carlo per la previsione e l’interpretazione dei risultati sperimentali.
La prima sezione è dedicata all’esposizione delle considerazioni generali. Nella seconda si discute la perdita di energia media e nella terza il fenomeno
dello sparpagliamento angolare. Nella quarta si discute il metodo di estrazione e nella quinta la metodologia per calcolare degli integrali con il metodo
Monte-Carlo. Nella sesta sono mostrati i risultati forniti dal codice.
5.1
Prima di giungere nella zona del bersaglio, il fascio di proiettili ha una distribuzione di energia prossima ad una gaussiana, con una larghezza dipendente
dalle caratteristiche della macchina accelerante. Quando il fascio penetra attraverso il bersaglio le sue caratteristiche si modificano. In particolare si ha
un allargamento della distribuzione angolare delle particelle e dell’energia,
accompagnata da una diminuzione di quest’ultima. La perdita di energia
media ∆E può essere descritta da una appropriata funzione di distribuzione
122
Φ(∆E), dipendente dallo spessore (L) e dal numero di atomi per unità di
volume (ρ) del bersaglio. Il moto termico degli atomi del bersaglio gassoso
porta ad un ulteriore allargamento della distribuzione dell’energia del centro
di massa per effetto Doppler. Tutti questi effetti portano alla generazione di
una distribuzione di energia di interazione e influenzano l’efficenza di rivelazione.
Nel seguito sono descritte le modalità in cui questi fenomeni sono trattati nel
codice Monte Carlo della collaborazione LUNA [44].
5.2
Perdita di energia media
Il potere frenante per unità di densità e lunghezza dE/d(ρx) (detto anche
stopping power ) è ottenuto dalle tabulazioni di Ziegler [5] e in generale risulta accurato al 3-10%. Il codice Monte Carlo è in grado di distinguere tra
bersaglio solido e gassoso, e di distinguere la stopping power per H, He e
ioni pesanti. In accordo con Ziegler [5] si sono adoperate differenti espressioni analitiche in funzione dell’energia degli ioni. In particolare la formula
di Bethe-Block è stata assunta come valore asintotico ad alta energia [39].
Tuttavia, nell’intervallo di energia tipico per gli esperimenti di astrofisica,
una relazione generale per tutte le specie di ioni non esiste e quindi si sono
adoperate le espressioni semiempiriche e parametriche di Ziegler [5]. Nel caso
della reazione 14 N(p,γ)15 O in cui il bersaglio è azoto gassoso esse sono:
µ
¶
√
dE
keV
(5.1)
−
= 2.954 E (10−18 atoms )
d(ρx)
cm cm3
L’espressione 5.1 è valida nell’intervallo di energie 1-10 keV e l’energia E dei
proiettili è espressa nel sistema del laboratorio in keV.
µ
¶
dE
Slow × Shigh
keV
−
=
(5.2)
(10−18 atoms )
d(ρx)
Slow + Shigh
cm cm3
L’espressione 5.2 è valida nell’intervallo di energia 10-999 keV e le quantità
Slow e Shigh sono definite dalle seguenti due equazioni:
Slow = 3.35E 0.45
¶ µ
¶
µ
1.900
1683
× ln(1 +
+ 0.02513 × E)
Shigh =
E
E
(5.3)
(5.4)
In figura 5.1 è mostrato l’andamento del potere frenante in funzione dell’energia dei proiettili nel laboratorio descritto dall’equazione 5.2. I dati di Ziegler
[5] risalgono al 1985. Oggi esiste una base di dati aggiornata per i valori
123
2
Potere Frenante (keV/(10 atomi / cm ))
18
16
18
14
12
10
8
6
4
2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Energia Protoni nel Laboratotio (keV)
Figura 5.1: Andamento dello stopping power in funzione dell’energia dei
protoni nel laboratorio nell’intervallo 10 - 400 keV [5] (equazione 5.2).
del potere frenente e un codice (pubblico) per calcolarlo il cui nome è SRIM
[6] (sempre curato da Ziegler). Per quanto riguarda il caso della perdita di
energia di protoni in azoto gassoso i dati aggiornati di SRIM [6] coincidono
esattamente con quelli vecchi di Ziegler dell’equazione 5.2 [5], anche se sono
state incluse alcune misurazioni recenti. Tali dati per il potere frenante sono
stimati essere accurati al 2.9% dai curatori della raccolta [6]. In figura 5.2 è
riportato il valore dello stopping power di SRIM [6]. In figura 5.3 è riportato
lo scarto dei punti sperimentali dalla curva che interpola i dati (equazione
5.2) [6].
5.3
Straggling energetico ed angolare
Quando un fascio di particelle cariche penetra attraverso un bersaglio di
spessore L e densità ρ, il numero delle collisioni tra i proiettili e gli atomi del
bersaglio è sottoposto a fluttazioni statistiche. La distribuzione dell’energia
124
Figura 5.2: Andamento del poter frenante di SRIM in funzione dell’energia
dei protoni nel laboratorio [6]. La curva che interpola i dati è quella data
dall’equazione 5.2.
Figura 5.3: Andamento dello scarto dei punti sperimentali dalla curva che
interpola i dati data dall’equazione 5.2 [6]. Il valor medio dello scarto è 2.9%.
125
persa ∆E dipende dall’energia media persa ∆E, dalla densità e dallo spessore
del bersaglio. Normalmente tale distribuzione è centrata attorno al valor
medio ∆E ed è prossima ad una gaussiana con varianza Ω2 . Una prima
espressione analitica per la deviazione standard quadratica si deve a Bohr
[45]:
Ω2B = 4πZA ZB2 e4 ρL
(5.5)
Nell’espressione 5.5 ZA e ZB sono rispettivamente il numero atomico del bersaglio e del proiettile. Nel caso della distribuzione gaussiana lo straggling
in energia è la FWHM della distribuzione. La teoria di Bohr per ricavare
l’espressione 5.5 non dipende dall’energia del proiettile e dalla distribuzione
delle velocità degli elettroni del bersaglio e assume che la distribuzione degli atomi bersaglio sia casuale, che l’energia di una singola interazione sia
piccola rispetto alla energia totale persa lungo il cammino dallo ione, che la
velocità dello ione sia molto più alta della velocità dell’elettrone più esterno
dell’atomo bersaglio. L’espressione 5.5 è solitamente considerata un limite
ad alta energia valida solo per perdite ∆E/E inferiori al 20%. Lindhard e
Scharff hanno proposto una teoria per il calcolo della deviazione standard
quadratica per energie dello ione incidente medie e basse [46]. Essi hanno
assunto che gli elettroni degli atomi del gas bersaglio siano un gas di elettroni
liberi, e hanno calcolato lo straggling come media su tutti gli elettroni della
nuvola deducendo la formula:
½ 1
Ω2LS
L(x) x ≤ 3
2
(5.6)
=
2
1
x≥3
ΩB
Nell’espressione 5.6 compare la quantità L(x) definita:
L(x) = 1.36x0.5 − 0.016x1.5
x=
~2 2
v
ZA e 4
(5.7)
Nell’espressione 5.7 compare la velocità v dello ione incidente. È importante
sottolineare che il modello del gas di elettroni liberi è una approssimazione.
Infatti quando uno ione proiettile attraversa un gas, la cui densità è costante,
le varie eccitazioni degli elettroni sono fenomeni non correlati, perché la probabilità di eccitare un elettrone in un dato intervallo di tempo è indipendente
da quante eccitazioni sono occorse precedentemente. Nel caso il bersaglio sia
in forma atomica, l’espressione 5.6 deve essere corretta introducendo un nuovo termine [47], perchè la probabilità di eccitare nuovamente è più alta una
volta che il proiettile è entrato nello spazio all’interno del raggio atomico:
Ω2a = L
(dE/dx)2
ρπra2
(5.8)
126
Nel codice sviluppato dalla collaborazione LUNA, la deviazione standard
quadratica è data dalla seguente espressione:
Ω2code = Ω2LS + Ω2a
(5.9)
Gli ioni che attraversano un bersaglio sono inoltre sottoposti ad uno straggling
angolare. Per la simmetria assiale la distribuzione dell’angolo azimutale φ
è uniforme mentre quella per l’angolo polare θ è prossima ad una gaussiana
(centrata attorno al valor medio θ = 0) con deviazione standard quadratica
[48]:
Ã
!
Ea0
2πρZA2 ZB2 e4 z ∗
2
log
σ =
(5.10)
4/3
E2
ZB ZA e 2
Nell’espressione 5.10 la quantità z ∗ è la distanza di penetrazione nel bersaglio. Nel codice sviluppato dalla collaborazione LUNA si tiene conto dello
straggling energetico ed angolare anche per i prodotti di reazione. Inoltre
questi ultimi devono attraversare materiali passivi prima di giungere ai rivelatori. In quest’ultimo caso i processi che governano la perdita di energia
possono essere diversi e la formula di Bohr (equazione 5.5) può sottostimare
lo straggling. Nel caso di grandi perdite di energia Cohen e Rose hanno proposto una formula per ioni leggeri (p, He) con energia di pochi MeV [49],
implementata nel codice:
Z
T (E2 )2 E2 dE
Ω2S
=
(5.11)
3
Ω2B
ρL
E1 T (E)
Nell’espressione 5.11 E1 ed E2 sono l’energia iniziale e finale rispettivamente,
e T (E) è la stopping power. Inoltre gli atomi di un bersaglio gassono si
muovono per l’agitazione termica originando un ulteriore effetto di straggling
in energia dovuto all’effetto Doppler, la cui deviazione standard è espressa
dalla seguente equazione.
r
r
mB
kT
σD = m B v B
= 2
EB kT
(5.12)
mA
mA
5.4
Metodo di estrazione
La simulazione degli eventi per la reazione
tre passi distinti:
14
N(p,γ)15 O procede attraverso
• Estrazione del punto z di interazione e calcolo dell’energia del proiettile.
• Estrazione della transizione γ in base ai rapporti di decadimento.
5.4 Metodo di estrazione
127
• Calcolo della cinematica della reazione e dell’energia rilasciata in ciascun rivelatore.
La probabiltà di interazione Φ(z) nel punto z del bersaglio non è costante a
causa della perdita di energia e della forte dipendenza della sezione d’urto
dall’energia ed è data dal prodotto della sezione d’urto σ(E(z)) per la densità
ρ(z):
Φ(z) = ρ(z)σ(E(z))
(5.13)
Nel caso della reazione 14 N(p,γ)15 O il bersaglio è gassoso e la densità nel
punto z è proporzionale alla pressione P (z). Inoltre il profilo della pressione in funzione della coordinata z non è uniforme all’interno del camera di
interazione e nullo al di fuori.
Φ(z) ∝ P (z) × σ(E(z)) = P (z) × (σnr (E(z)) + σBW (E(z)))
(5.14)
Dove σnr è la sezione d’urto non risonante, cioè la parte di cattura diretta,
e σBW è la sezione d’urto di Breit-Wigner (equazione 1.69). Per la parte
non risonante si è adottata la seguente parametrizzazione a partire dai dati
presenti in letteratura [4]:
r ¶
µ
S0 + S 1 × E + S 2 × E 2
µ
σnr (E) =
exp −31.29ZA ZB
(5.15)
E
E
Per ottenere la la distribuzione Φ(z) della probabilità relativa di interazione
nel punto z, il codice adopera il metodo della doppia estrazione. Si estrae
(uniformemente) un numero, il quale deve essere compreso in un certo intervallo, corrispondente alla coordinata a cui a avviene l’interazione e si calcola
l’energia media, sottraendo all’energia del proiettile l’energia media persa, e
poi si calcola la probabilità di interazione relativa:
Z z
dE
Φrel (z) = P (z)σ(E(z))
E(z) = Eproj −
ρ(z)dz
(5.16)
z0 d(ρx)
Successivamente si estrae (uniformemente) un numero compreso tra zero il
e il massimo della probabilità relativa di interazione (nell’intervallo di accettazione della coordinata z). Se tale numero è inferiore a Φrel (z) si procede
come se fosse avvenuta una interazione, calcolando la cinematica di reazione e il tracciamento dei prodotti (GEANT), tenendo conto dei fenomeni di
straggling angolare ed energetico. Viceversa, se tale numero è superiore, si
procede al tracciamento del proiettile attraverso il bersaglio fino a quando si
ferma in qualche materiale. Il programma durante i vari cicli di estrazione
completa delle tabelle per ogni evento (NTUPLE in formato HBOOK, per
128
essere successivamente analizzate con PAW [50]) con l’energia eventualmente
rilasciata nei sei cristalli, la coordinata z di interazione, l’energia di interazione, l’energia delle particelle al calorimetro e l’energia totale rilasciata su
tutti i cristalli.
5.5
Calcolo degli integrali
Ai fini dell’analisi dei dati sperimentali il codice LUNA è molto importante.
Infatti a partire da esso vengono calcolati alcuni integrali da cui si ricavano sezione d’urto ed energia efficace di interazione. Inoltre fornisce il valor
medio dell’energia dei proiettili al calorimetro, quantità fondamentale per il
calcolo della carica raccolta del fascio.
In generale la tecnica Monte-Carlo permette di calcolare intregrali di funzioni di molte variabili in domini anche molto complessi. Tuttavia ai fini di
questo lavoro interessa calcolare integrali di una sola variabile. In linea di
principio, nota l’espressione analitica della funzione da integrare, vi è solo il
problema della scelta dell’algoritmo numerico ideneo a compiere il calcolo,
con la velocità e precisione richiesti, ed il metodo Monte-Carlo non è il più
indicato [51].
Tuttavia negli integrali di interesse di questo lavoro, compaiono funzioni come
l’efficienza puntuale di rivelazione η(z) che sono calcolate solo come distrubuzioni numeriche dal codice LUNA. Ad esempio uno di questi integrali che
compare nel capitolo dell’analisi dati è:
Z
zf in
ρ(z)η(z)dz
(5.17)
zin
In questo caso la funzione ρ(z) è nota mentre la funzione η(z), che descrive
l’efficienza puntuale di rivelazione, viene calcolata dal codice Monte-Carlo.
Questo tipo problema si riconduce al caso si voglia integrare la funzione di
una sola variabile f (x) nell’intervallo [a, b]. Se la funzione f è continua, per
il teorema della media, esiste un punto c ∈ [a, b] tale che:
Z
b
a
f (x)dx = f (c) × (b − a)
(5.18)
Se dalla precedente equazione si ricava f (c) si ottiene:
f (c) =
Rb
f (x)dx
=f
(b − a)
a
(5.19)
5.5 Calcolo degli integrali
129
L’equazione 5.19 è la definizione statistica del valor medio della funzione f
nell’intervallo [a, b] se la funzione di distribuzione di probabilià ψ(x) ≡ 1:
Rb
f (x)ψ(x)dx
(5.20)
f = aR b
ψ(x)dx
a
Con il metodo Monte-Carlo si calcola il valor medio f estraendo uniformente
N punti xi ∈ [a, b] [51]:
Ã N
!
1 X
f=
f (xi )
(5.21)
N i=1
Combinando le equazioni 5.19 e 5.21 si ottiene l’espressione 5.18 per il calcolo
di un integrale con il metodo Monte-Carlo:
Ã N
!
Z b
1 X
f (xi ) (b − a)
(5.22)
I=
f (x)dx =
N i=1
a
Il punto centrale affichè valga l’equazione 5.22 è che l’estrazione dei punti
xi ∈ [a, b] sia uniforme. Infatti se fossero estratti con una funzione peso, il
valor medio cosı̀ calcolato non coincide più con quello definito dall’equazione
5.19 in cui la funzione di probabilità ψ(x) ≡ 1. Per questo motivo il codice
LUNA ha la passibilità di estrarre il punto di interazione z uniformente in
un intervallo prestabilito, anzichè con le metodologie descritti nella sezione
5.4.
Dalla definizione statistica di deviazione standard si ottiene una stima dell’errore nel calcolo di un integrale con il metodo Monte-Carlo descritto dall’equazione 5.22 [51]:
s
2
σI =
f2 − f
(b − a)
N
Dove f è definito nell’equazione 5.21 e f 2 è definito da:
!
Ã N
X
1
f (xi )2
f2 =
N i=1
(5.23)
(5.24)
Si noti che l’equazione 5.23 fornisce un estimatore per l’errore sul calcolo di
un integrale, ma in generale non fornisce nessuna garanzia che tale errore
sia distribuito in modo normale. Combinando le equazioni 5.22 ed 5.23 si
perviene alla stima dell’errore realativo nel calcolo di un integrale con la
suddetta procedura:
v
u
2
σI
1 u
f2 − f
t
=√
(5.25)
2
I
N
f
130
La precisione relativa nel calcolo di un integrale espressa dell’equazione 5.25
è fattorizzata in due termini: il primo rappresenta l’errore relativo dalla statistica del calcolo mentre il secondo l’errore relativo dovuto alle fluttuazioni
della funzione da integrare. Dall’equazione 5.25 si nota che più la funzione
da integrare varia dolcemente attorno al suo valor medio e più la fluttuazione
relativa sarà piccola e quindi saranno necessarie meno estrazioni per raggiungere una data precisione.
Nel calcolo degli integrali di interesse in questo lavoro è stata scelta una statistica di simulazione tale che la precisione relativa sia meglio di 1%, combinata
con la fluttuazione relativa della funzione da integrare.
5.6
Risultati del codice
Il codice di simulazione LUNA è stato ampiamente verificato nel passato
[44, 38, 39, 10, 52].
Per il caso specifico della reazione 14 N(p,γ)15 O si è confrontato i risultati
della simulazione con uno spettro sperimentale a statistica elevata e con il
profilo di efficienza misurato con una sorgente radioattiva (sezione 4.5.1 e
pagina 100).
In figura 5.4 è sono mostrati schematicamente la geometria e i materiali
passivi inseriti nel codice di simulazione per lo studio della 14 N(p,γ)15 O.
Nelle figure 5.5 e 5.6 sono riportati un spettro sperimentale della somma
dell’energia rilasciata su tutti i cristalli del BGO nella regione di interesse
tra 5 e 8 MeV ed uno simulato, all’energia di 237.9 keV ed alla pressione
di 2.0 mb. Nelle figure 5.7 e 5.8 sono riportati uno spettro sperimentale
della somma dell’energia rilasciata su tutti i cristalli del BGO ed uno spettro
simulato, all’energia nel laboratorio di 237.9 keV ed alla pressione di 2.0 mb.
Nelle figure 5.9 e 5.10 sono riportati lo spettro simulato dell’energia efficace di
interazione e il suo andamento in funzione della coordinata di interazione zint .
Nelle figure 5.11 e5.12 sono riportati gli andamenti simulati delle funzioni
efficienza di rivelazione puntuale η(z) ed prodotto P (z) × η(z) (per il calcolo
della sezione d’urto) in funzione della coordinata di interazione zint . Nelle
figure 5.13 e 5.14 sono riportati lo spettro simulato dell’energia rilasciata
al calorimetro e l’andamento simulato del fattore di Gamow (per il calcolo
dell’energia efficace di interazione) in funzione della coordinata di interazione
zint . Nelle figure 5.15 e 5.16 sono riportati il profilo di pressione impiegato
dalla simulazione e lo spettro simulato della coordinata di interazione zint .
131
MKS Baratron 626A
280 mm
Target
Chamber
PM
Calorimeter
BGO Crystal
PM
60 mm
A1
Brass
Pipe
PM
70 mm
BGO Crystal
PM
First
Pumping
Stage
100 mm
70 mm
40
mm
20
mm
Chamber
−28
−14
−11
−7 −5
0
5
14
Axis (cm)
Figura 5.4: Rappresentazione schematica della geometria e dei materiali
passivi inseriti nel codice di simulazione per lo studio della 14 N(p,γ)15 O.
132
Reaction Yield (events/µAd)
50
40
30
20
10
0
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
BGO Sum Gamma Ray Energy (keV)
Figura 5.5: Spettro sperimentale della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata su tutti i cristalli di BGO nella regione di interesse tra 5 e 8 MeV,
all’energia di 237.9 keV ed alla pressione di 2.0 mb.
225
Conteggi per Canale
200
175
150
125
100
75
50
25
0
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
Energia (keV)
Figura 5.6: Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata
su tutti i cristalli di BGO nella regione di interesse tra 5 e 8 MeV, all’energia
di 237.9 keV ed alla pressione di 2.0 mb.
133
Conteggi per Canale
10 4
10 3
10
2
10
1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Energia (keV)
Conteggi per Canale
Figura 5.7: Spettro sperimentale della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata su tutti i cristalli di BGO, all’energia nel laboratorio di 237.9 keV
ed alla pressione di 2 mb.
10
3
10
2
10
1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Energia (keV)
Figura 5.8: Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia rilasciata
su tutti i cristalli di BGO, all’energia di 237.9 keV ed alla pressione di 2 mb.
134
500
Eventi Rivelati
400
300
200
100
0
220
222
224
226
228
230
232
234
236
238
240
Energia di Interazione (keV)
Figura 5.9: Spettro simulato della reazione
di interazione.
14
N(p,γ)15 O dell’energia efficace
240
237.5
235
232.5
230
227.5
225
222.5
220
217.5
215
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 5.10: Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’energia
efficace di interazione in funzione della coordinata di interazione zint .
135
0.7211 / 361
0.7653
1.046
11.45
0.9
P1
P2
P3
Efficienza di Rivelazione
0.8
0.7
0.1594
7.574
4.929
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 5.11: Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O dell’efficienza
di rivelazione puntuale in funzione della coordinata di interazione zint . Si
noti la “valle” tra -11 e -7 cm determinata dall’assorbimento dei fotoni da
parte del collimatore A1 (figura 5.4).
1.4
P(z)η(z) (mbar cm)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-30
-25
-20
-15
-10
Asse Z (cm)
-5
0
5
Figura 5.12: Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O del prodotto
P (z)η(z) in funzione della coordinata di interazione zint .
136
2000
1750
Eventi
1500
1250
1000
750
500
250
0
221.2 221.25 221.3 221.35 221.4 221.45 221.5 221.55 221.6
Energia Protoni al Calorimetro (keV)
rilasciata al calorimetro.
x 10
14
N(p,γ)15 O dell’energia
-8
Fattore di Gamow (keV
-1)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 5.14: Andamento simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O del fattore di
Gamow in funzione della coordinata di interazione zint .
137
1.8
1.6
P(z) (mbar)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 5.15: Andamento del profilo di pressione adoperato nel codice si
simulazione Monte-Carlo.
300
Eventi Rivelati
250
200
150
100
50
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
interazione zint .
14
N(p,γ)15 O della coordinata di
Capitolo 6
Risultati finali
Questo capitolo è dedicato alla descrizione del metodo di analisi dei dati
e dei risultati dell’esperimento 14 N(p,γ)15 O. Nella prima sezione si espone
la definizione della sezione d’urto e nella seconda si discute la definizione
dell’energia efficace di interazione. Nella sezione terza si descrive il metodo di
misura dei conteggi e nella quarta quello di misura della carica. Nelle sezioni
quinta
e sesta si descrivono rispettivamente il metodo di calcolo dell’integrale
R zf
ρ(z)η(z)dz e dell’energia efficace di interazione. Nella settima sezione
zi
sono esposti i risultati ottenuti. Nell’ottava sezione si descrive il metodo di
misura del fattore ωγres .
6.1
Definizione della sezione d’urto
La quantità che si misura direttamente è la yield Y (introdotta nella sezione
3.1 a pagina 55) definita come il rapporto tra il numero di particelle rivelate
e quelle accelerate:
Z zf
Ndet
σ(E(z))ρ(z)η(z)dz
(6.1)
=
Y =
Nbeam
zi
La sezione d’urto risulta legata alla yield tramite l’integrale che compare
nell’equazione 6.1, in cui vi sono anche la densità ρ(z) e l’efficienza puntuale di
rivelazione η(z). L’energia dei proiettili diminuisce durante l’attraversamento
del bersaglio gassoso ed è quindi una funzione della coordinata z.
Z z
dE
E(z) = Ebeam −
(E(z))ρ(z)dz
(6.2)
zi d(ρx)
Dove Ebeam è l’energia del fascio. Anche
la sezione d’urto nell’intervallo di
R zse
f
dE
energie compreso tra Ebeam e Ebeam − zi d(ρx)
(E(z))ρ(z)dz fosse caratterizzata da fenomeni risonanti, si può introdurre una sezione d’urto efficace σef f ,
140
Risultati finali
intesa come valor medio nell’intervallo di energie a cui i proiettili attraversano il bersaglio. Le motivazioni di questa affermazione sono approfondite
nella prossima sezione dove si discute la definizione dell’energia efficace di
interazione.
Z zf
Ndet
Y =
= σef f
ρ(z)η(z)dz
(6.3)
Nbeam
zi
Combinando le equazioni 6.1 e 6.3 si ottiene immediatamente l’espressione
che lega la sezione d’urto efficace σef f alle quantità misurate sperimentalmente:
N
R zf riv
σef f =
(6.4)
Nbeam zi ρ(z)η(z)dz
Nell’equazione 6.4 ρ(z) indica il valore della densità corretto per l’effetto
di riscaldamento e tale notazione è adottata per tutto il presente capitolo.
Per calcolare la sezione d’urto efficace σef f si devono misurare, o calcolare,
le quantità presenti nell’equazione 6.4. Una volta nota l’energia efficace di
interazione nel centro di massa Eef f si può procere al calcolo del fattore
astrofisico all’energia efficace:
¶
µ
√ ZA ZB e 2 r µ
(6.5)
2π
Sef f = σef f Eef f exp
~
Eef f
La giustificazione della procedura di analisi adottata e la definizione dell’energia efficace di interazione sono discusse nel prossimo paragrafo.
Il calcolo delle incertezze, di tipo accidentale e sistematico, sia della sezione d’urto che del fattore astrofisico, avviene tramite le usuali regole di
propagazione degli errori, considerando indipendenti i due tipi di errore.


s
sX
X
Eef f = Eef f ±
(6.6)
σE2 acc ±
σE2 sist 

σef f = σef f ±

Sef f = Sef f ±
s
acc
sist
X
sX
acc
s
X
acc
σσ2 acc ±
σS2 acc ±
sist
sX
sist

σσ2 sist 
(6.7)
σS2 sist 
(6.8)

Per le misure a bassa energia, ove sono state effettuate numerose misure
indipendenti a bassa statistica, è stato deciso di calcolare il valor medio col
metodo della media pesata. Il peso scelto è l’inverso del quadrato dell’errore
6.2 Definizione dell’energia efficace di interazione
141
accidentale della sezione durto. Per l’energia efficace di interazione si ha:
!Ã N
!−1
Ã N
X Eef f i
X 1
E ef f =
(6.9)
σ2 i
σ2 i
i=1 σ acc
i=1 σ acc
σ E acc
σ E sist
v
Ã N
!−1
u N
uX σ 2 i X
1
E acc
=t
4
σ
σ2 i
σ acc i
i=1
i=1 σ acc
v
Ã N
!−1
u N
uX σ 2
X 1
i
E sist
=t
σσ4 acc i i=1 σσ2 acc i
i=1
Per la sezione d’urto efficace di interazione si ha:
Ã N
!Ã N
!−1
X σef f i
X 1
σ ef f =
σ2 i
σ2 i
i=1 σ acc
i=1 σ acc
−1
v
u N
uX 1

σ σ acc = t
2
i
σ
i=1 σ acc
v
Ã N
!−1
u N
uX σ 2 i X
1
σ sist
σ σ sist = t
4
σ
σ2 i
σ acc i
i=1 σ acc
i=1
(6.10)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Poiché il fattore astrofisico è dipendente dalla sezione d’urto attraverso l’equazione 6.5, una volta ottenuti i valori medi di sezione d’urto ed energia
efficaci, E ef f e σ ef f , esso viene calcolato a partire dall’equazione 6.5 adoperando i valori ottenuti con la media statistica e poi propagando gli errori
secondo le regole ordinarie come indicato in precedenza.
¶
µ
√ ZA ZB e 2 r µ
(6.15)
S ef f = σ ef f E ef f exp
2π
~
E ef f


s
s
X
X
(6.16)
S ef f = S ef f ±
σS2 acc ±
σS2 sist 
acc
6.2
sist
Definizione dell’energia efficace di interazione
Si noti che il fattore esponenziale di Gamow dell’equazione 6.5 varia rapidamente con l’energia e nel caso limite della misura con il fascio di protoni
142
Risultati finali
di 80 keV la sezione d’urto varia fino al 90 % nell’intervallo di energie in
cui i proiettili attraversano il bersaglio (∆E ' 13 keV, P = 1 mbar). Va
considerato che per i calcoli di evoluzione stellare, è opportuno disporre di
coppie di valori E, σ(E) oppure E, S(E), piuttosto che del valor medio in un
intervallo di energie. Quindi risulta necessario attribuire un’energia efficace
di interazione Eef f al valor medio della sezione d’urto misurato σef f , definito
dall’equazione 6.4.
Combinando le equazioni 6.1 e 6.3 si ottiene l’espressione analitica della
sezione d’urto efficace σef f :
σef f =
R zf
zi
R zf
ρ(z)η(z)dz
zi
(6.17)
Il valore corretto dell’energia efficace Eef f è quello tale che, il valore puntuale
della sezione d’urto σ associato ad una certa energia Eef f , σ(EEf f ), sia pari al
suo valor medio σef f . Quindi l’energia efficace di interazione risulta definita
da:
σef f = σ(Eef f )
(6.18)
Combinando le equazioni 6.17 e 6.18 si ottiene:
R zf
zi
R zf
= σ(Eef f )
ρ(z)η(z)dz
zi
(6.19)
E quindi invertendo l’equazione 6.19:
Eef f = σ −1
Ã R zf
zi
R zf
ρ(z)η(z)dz
zi
!
(6.20)
Si noti che non è possibile ricavare il valore dell’energia efficace dalla definizione 6.20 poiché l’andamento puntuale della sezione d’urto σ(E) non è
noto prima di effettuare la misura. Nel prossimo paragrafo viene esposto il
metodo seguito per determinare l’energia efficace di interazione.
6.2.1
Il metodo iterativo
In linea di principio è lecito ammettere di conoscere una sezione d’urto teorica attesa σth (E). Si noti che se l’andamento dei dati analizzati, ottenuti
adottando inizialmente una certa σth (E), non dovesse essere ben descritto
dalla σth (E) stessa, quest’ultima può essere modificata, iterativamente, fino
143
ad ottenere un buon accordo con i risultati dell’esperimento.
Con queste ipotesi si ha quindi che la sezione d’urto media σth ef f vale:
σth ef f =
R zf
zi
σth (E(z))ρ(z)η(z)dz
R zf
ρ(z)η(z)dz
zi
(6.21)
In accordo con la definizione contenuta nell’equazione 6.20, il valore di Eef f
si ottiene invertendo l’equazione 6.21:
−1
(σth ef f )
Eth ef f = σth
(6.22)
La scelta del valore di Eef f può essere verificata introducendo un criterio di
accettabilità per la differenza relativa tra la sezione d’urto puntuale σth (Eef f )
e quella media σth ef f . In questo studio è adottata la soglia dell’1% per la
differenza relativa:
σth ef f − σth (Eef f )
∆σ
=
< ±1%
σ
σth (Eef f )
(6.23)
Si è assunto che, nell’intervallo di energie di interesse in questo studio, la sezione d’urto teorica attesa σth (E) sia data da un termine non risonante e uno
di Breit-Wigner per la risonanza a 259 keV (centro di massa, approssimazione
di singolo livello, figura 2.7 a pagina 51 [4]):
σth (E) = (S0 + S1 × E + S2 × E 2 )
e−2πη(E)
+ σBW (E)
E
(6.24)
Nella sezione dedicata all’esposizione dei risultati è mostrato l’ottimo accordo
tra i dati sperimentali e l’andamento adottato. Per comodità il fattore di
Gamow è espresso nella notazione di Sommerfeld:
³√
pµ´
Z A ZB e2
exp
2π
−2πη(E)
~
E
e
=
(6.25)
E
E
In pratica nel caso della 14 N(p,γ)15 O, l’andamento della sezione d’urto teorica
σth è ben approssimato al di sotto della risonanza a 278 keV da (figura 2.7 a
pagina 51 [4]):
e−2πη(E)
(6.26)
σth (E) ' S
E
Infatti il fattore astrofisico S è ragionevolmente costante nell’intervallo di
energie tipico di ogni misura (circa 13 keV, alla pressione P = 1 mbar, Ebeam
144
Risultati finali
100
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
∆σ/σ (%)
80
60
40
20
0
50
100
150
200
250
300
350
400
(equazione 6.23) in funzione dell’enerFigura 6.1: Andamento del fattore ∆σ
σ
gia dei protoni nel laboratorio per la definizione dell’energia efficace espressa dall’equazione 6.27 e per tre pressioni. Le linee tratteggiate orizzontali
rappresentano la soglia di ± 1 %.
= 80 keV). Inserendo l’andamento approssimato della sezione d’urto espresso
dall’equazione 6.26 nell’equazione 6.19 si ottiene:
e−2πη(Eef f )
=
Eef f
R zf
zi
e−2πη(Ecm (z))
ρ(z)η(z)dz
(z)
REzcm
f
ρ(z)η(z)dz
zi
(6.27)
Il valore dell’energia efficace di interazione definita dall’equazione 6.27 si
ottiene invertendo (numericamente) il fattore di Gamow. Ia figura 6.1 è
riportato l’andamento della differenza relativa della sezione d’urto definita
dall’equazione 6.23 per le pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar in funzione dell’energia nominale del fascio nel laboratorio. Dalla figura 6.1 si nota come al
crescere della pressione (ovvero della perdita di energia) il valore della variazione relativa della sezione d’urto aumenta.
Si noti che alla pressione di 1 mbar la variazione relativa della sezione d’urto
è contenuta entro la soglia prefissata di 1 % anche al di sotto dell’energia più
bassa esplorata in questo studio Ebeam = 80 keV.
6.2.2
Altre definizioni
In letteratura alcuni autori hanno scelto definizioni diverse dall’equazione
6.19 per l’energia efficace di interazione. Una di queste, molto in uso, è:
R zf
Ecm (z)σ(Ecm (z))ρ(z)η(z)dz
Eef f = zi R zf
(6.28)
σ(Ecm (z))ρ(z)η(z)dz
zi
L’equazione 6.28 definisce l’energia efficace di interazioni come il valor medio
dell’energia a cui avvengono le interazioni pesato sulla probabilità di interazione σ(E(z))ρ(z)η(z). In questo lavoro è stata anche valutata la possibilità
di assumere come definizione per l’energia efficace l’equazione 6.28 verificandola per mezzo della condizione 6.23. I risultati sono mostrati in funzione
dell’energia nominale del fascio in figura 6.2 per tre pressioni. Anche dalle
figura 6.2 si nota come al crescere della pressione (ovvero della perdita di
energia) il valore della variazione relativa della sezione d’urto aumenta.
6.2.3
Considerando la definizione della yield (equazione 6.1), impiegando la definizione del fattore astrofisico (equazione 6.5), si potrebbe essere indotti
a definire, in perfetta analogia con la sezione d’urto, un fattore astrofisico
medio:
R zf
−2πη(Ecm (z))
S(E(z)) e Ecm (z) ρ(z)η(z)dz
Y
zi
=
Sef f = R zf e−2πη(Ecm (z))
R zf e−2πη(Ecm (z))
ρ(z)η(z)dz
ρ(z)η(z)dz
Ecm (z)
Ecm (z)
zi
zi
(6.29)
Naturalmente per calcolare la sezione d’urto è sempre necessario conoscere
l’energia efficace per poter invertire l’equazione 6.5. Si noti che anche in
questo caso è necessaria una conoscenza precisa dell’energia per via del fattore
esponenziale nella formula 6.5. Una buona definizione dell’energia efficace,
per il fattore astrofisico, dovrebbe soddisfare una equazione analoga alla 6.19:
R zf
−2πη(Ecm (z))
S(Ecm (z)) e Ecm (z) ρ(z)η(z)dz
zi
= S(Eef f )
(6.30)
R zf e−2πη(Ecm (z))
ρ(z)η(z)dz
Ecm (z)
zi
Anche in questo caso è necessario verificare le definizioni possibili dell’energia
efficace per mezzo di una equazione analoga alla 6.23.
145
146
Risultati finali
20
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
∆σ/σ (%)
0
-20
-40
-60
-80
50
100
150
200
250
300
350
400
(equazione 6.23) in funzione dell’enerFigura 6.2: Andamento del fattore ∆σ
σ
gia dei protoni nel laboratorio per la definizione dell’energia efficace espressa dall’equazione 6.28 e per tre pressioni. Le linee tratteggiate orizzontali
rappresentano la soglia di ± 1 %.
Tuttavia, poichè il fattore astrofisico varia poco con l’energia, la definizione
espressa nell’equazione 6.30 non vincola sufficientemente l’energia efficace.
Infatti, nel caso limite in cui si assume ancora valida l’approssimazione della sezione d’urto contenuta nell’equazione 6.26, per cui S(E) ' S (valida
per intervalli di energie inferiori a 13 keV ed energie inferiori a 278 keV),
l’equazione 6.30 diviene una identitá:
R zf e−2πη(E(z))
ρ(z)η(z)dz
E(z)
zi
≡1
(6.31)
ρ(z)η(z)dz
E(z)
zi
Questo risultato non deve sorprendere: consegue direttamente dalla debole
dipendenza del fattore astrofisico dall’energia. Inoltre la sezione d’urto σ(E)
e il fattore astrofisico S(E) sono funzioni dipendenti (equazione 6.5). Quindi
ha senso porre un vincolo per la definizione dell’energia efficace solo sulla
6.3 Misura dei conteggi
147
funzione, tra le due, che varia più rapidamente in funzione di essa. Per
questa ragione la procedura di analisi dati parte dal calcolo della sezione
d’urto e dell’energia efficace.
Si noti che in generale le definizioni di sezione d’urto media σef f e di fattore
astrofisico medio Sef f non sono equivalenti. Infatti impiegando le definizioni
6.17 e 6.29 per mezzo dell’equazione 6.5 si ha:
σef f = Sef f
e−2πη(Eef f )
Eef f
(6.32)
Adoperando esplicitamente le definizioni di sezione d’urto media σef f e fattore strofisico medio SEf f si perviene a:
R zf
R zf
−2πη(E(z))
S(E(z)) e E(z) ρ(z)η(z)dz e−2πη(Eef f )
zi
zi
R zf
=
Eef f
ρ(z)η(z)dz
ρ(z)η(z)dz
zi
zi
E(z)
(6.33)
Si noti che gli integrali:
Z
Z zf
σ(E(z))ρ(z)η(z)dz =
zi
zf
zi
e−2πη(E(z))
ρ(z)η(z)dz
S(E(z))
E(z)
(6.34)
Sono uguali per la definizione 6.5 e quindi l’equazione 6.33 si riduce ad essere
una definizione di energia efficace, identica a quella adottata 6.27.
Tuttavia il fatto centrale è che le due definizioni di σef f (equazione 6.17) e di
Sef f (equazione 6.29) sono equivalenti se e solo se l’energia efficace è quella
definita dall’equazione 6.27.
Come è stato mostrato nella sezione 6.2.1, la definizione di energia efficace
adottata in questo lavoro vale sotto precise condizioni e questo implica che
le due definizioni di sezione d’urto media e di fattore astrofisico medio non
sono in generale equivalenti.
6.3
Misura dei conteggi
Il numero dei conteggi Ndet viene determinato dall’area del picco somma
nello spettro γ del rivelatore BGO. Dalla cinematica di reazione (discussa
nella sezione 1.5 a pagina 14) si ha che l’energia Eγ di un fotone prodotto
dalla reazione vale (equazione 1.23):
Eγ = Qn + Ep cm + ∆Doppler − ∆Recoil
(6.35)
Nel caso in studio della reazione 14 N(p,γ)15 O, sono possibili transizioni ad
alcuni livelli eccitati Ei (5.18, 6.18 e 6.79 MeV) i quali decadono a loro volta
148
Risultati finali
E res
(keV)
Γ
(keV)
2187
200
987
259
Q
(keV)
7297 14
N+p
−507
Jπ
Ei
(keV)
9484
3/2+
8284
3/2+
7556
1/2+
7276
7/2+
3.6
1.2
6859
+
5/2
6793
3/2+
6176
3/2 −
5241
5183
5/2+
1/2+
0
15
O
1/2 −
T=1/2
β+
−2753
Figura 6.3: Schema dei livelli del nucleo di
14
N(p,γ)15 O.
15
15
N
1/2 −
T=1/2
O rilevanti per la reazione
direttamente nello stato fondamentale dello 15 O. In figura 6.3 è riproposto
lo schema dei livelli del nucleo di 15 O rilevanti per la reazione 14 N(p,γ)15 O.
Nel caso di una transizione in cascata allo stato fondamentale che popoli un
certo livello Ei si ha:
Eγ ip = Qn − Ei + Ep cm + ∆Doppler − ∆Recoil
Eγ is = Ei + ∆Doppler − ∆Recoil
(6.36)
(6.37)
Dove Eγ ip viene detto primario, poichè esso viene emesso nella transizione
dallo stato continuo ad un livello eccitato Ei (5.18, 6.18 e 6.79 MeV), ed Eγ is
viene detto secondario. Poiché il rivelatore BGO è un summing crystal le
diseccitazioni in cascata hanno una alta probabilità di “sommarsi” all’interno
del rivelatore, depositando una energia pari alla somma delle energie dei
fotoni (equazione 6.35). In figura 6.4 è mostrato uno spettro di reazione
simulato dal quale si nota come il segnale sia “concentrato” nel picco somma.
Poiché i contributi dovuti all’effetto Doppler e al rinculo sono dello 0.8%
6.3 Misura dei conteggi
149
rispetto al Q, modesti rispetto alla risoluzione del rivelatore (a 7.5 MeV di
circa 8%), l’equazione 6.35 si riduce a:
Eγ ' Qn + Ep cm
(6.38)
Nell’equazione 6.38 il contributo del termine dovuto all’energia dei proiettili
è molto piccolo e vale al massimo il 3 % per l’energia Ebeam max = 250 keV
dei proiettili usata in questo esperimento.
In figura 6.5 è riproposto lo spettro del fondo naturale. Si noti come al di sotto
di 5 MeV il fondo aumenta notevolmente (sezione 4.5.2 a pagina 105). Per
determinare la regione energetica (ROI), nell’intervallo 5-8 MeV, all’interno
della quale osservare il numero di fotoni prodotti dalla reazione 14 N(p,γ)15 O
è stato studiato l’andamento del rapporto tra il segnale e il rumore S/N . Si
noti che S/N dipende anche dall’energia del fascio per il fondo dovuto alle
reazioni parassite. In un primo approccio è stato considerato solo il fondo
naturale il quale domina nelle misure a bassa energia (figura 6.5).
Per le considerazioni sul fondo naturale si rimanda alla sezione 4.5.2 a pagina
105. Per le considerazioni sulla natura del fondo indotto dal fascio si rimanda
alla sezione 4.5.3 a pagina 110.
Il rapporto tra l’efficienza e il tasso di conteggio del fondo (senza fascio) è
proporzionale al rapporto segnale rumore (sezione 4.5.2 a pagina 105):
s
∆S
1
1
=√
2+
(6.39)
S
(S/N )
S
S
η
∝
N
tbackground
(6.40)
In figura 6.6 è riportato l’andamento dell’efficienza calcolata col codice MonteCarlo in funzione del limite inferiore della regione di interesse. In figura 6.7
è riportato l’andamento del rapporto dell’efficienza sul tasso di conteggio del
fondo naturale. Si noti come al crescere del limite inferiore della regione di
interesse aumenta il rapporto segnale rumore (figura 6.7) ma descresce il valore dell’efficienza di rivelazione (figura 6.6).
Per determinare la ROI per la reazione è stato quindi trovato un compromesso, anche tenendo conto del fondo indotto dal fascio. Infatti nelle misure
al di sotto di 150 keV nel laboratorio, negli spettri è presente una riga identificabile come D(p,γ)3 He (Q=5493 KeV). Quindi per eliminare il contributo
di tale reazione parassita è necessario porre il limite inferiore della regione
di interesse ad almeno 6 MeV. Inoltre al di sopra dell’energia di 190 keV
negli spettri è presente una riga a 6130 keV proveniente dalla 19 F(p,αγ)16 O
(Q = 8113 keV) e per eliminare il contributo di questa reazione è necessario
Conteggi per Canale
150
10
3
10
2
10
1
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000 18000
Energia (keV)
Figura 6.4: Spettro simulato della reazione 14 N(p,γ)15 O. Si noti come a causa
dell’effetto somma nel rivelatore BGO il segnale sia “concentrato” nel picco.
10
6
10
5
10
4
10 3
10
2
10
1
10
-1
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000 18000
Energia (keV)
Figura 6.5: Spettro del fondo naturale sottoterra (tempo di misura
37.5 giorni) e in superficie schermato con 10 cm di Pb (tempo di misura
0.73 giorni).
151
60
Efficienza (%)
55
50
45
40
35
30
25
5000 5250 5500 5750 6000 6250 6500 6750 7000 7250
Efficienza/Fondo (%/(eventi/giorno))
Figura 6.6: Andamento dell’efficienza di rivelazione in funzione del limite
inferiore della ROI.
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
5000 5250 5500 5750 6000 6250 6500 6750 7000 7250
Figura 6.7: Andamento del rapporto efficienza tasso di conteggio del fondo
in funzione del limite inferiore della ROI.
152
Risultati finali
35
32.5
30
27.5
25
22.5
20
17.5
15
12.5
1
2
3
4
5
6
7
Indice di Misurazione
Figura 6.8: Andamento cronologico del tasso di conteggio del fondo naturale nella regione di interesse 6500-8000 keV. La linea rossa orizzontale a
tratto continuo rappresenta il valor medio, mentre le linee rosse tratteggiate
rappresentano l’errore a lilvello di 1σ.
porre il limite inferiore della ROI al almeno 6.5 MeV. In pratica si è scelto di
fissare la ROI 6500-8000 keV per quasi tutte le misure. Infatti la riduzione
di efficienza rispetto alla ROI 6000-8000 keV (circa 5%) è compensata da un
aumento del rapporto S/N (circa +20 %), senza apprezzabile allungamento
dei tempi di misura. In figura 6.8 è riportato l’andamento cronologico dela
tasso di conteggio del fondo naturale nella regione di interesse 6500-8000 keV.
Il numero di conteggi derivanti dalla reazione è quello contenuto nella ROI
NROI dimunuito del fondo naturale e di quello indotto dal fascio che si sono
accumulati durante la misura:
Ndet = NROI − Nbkg = NROI − rnat × tmis − y beam × Nbeam
(6.41)
Dove rnat è il tasso di conteggio medio del fondo naturale (sezione 4.5.2 a
pagina 105) mentre y è la yield del fondo indotto dal fascio. Quest’ultima
6.4 Misura della carica
153
viene determinata a partire dalle misure con gas inerte (He) nel bersaglio,
senza cambiare i parametri della macchina acceleratrice:
y=
Ndet He − r × tmis He
Nbeam He
(6.42)
Il valore della yield del fondo indotto dal fascio viene corretto per tenere
conto del fondo Compton delle reazioni parassite con righe ad alta energia
(11 B(p,γ)12 C Q = 15957 keV e 15 N(p,γ)16 O Q = 12127 keV). In figura 6.9
è riportato lo spettro somma di tutte le misure compiute all’energia limite
di 70 keV (carica 927±7 C, tempo di misura 49.12 giorni) confrontato con il
fondo naturale sottoterra ed in superficie. In figura 6.10 è riportato lo spettro
somma di tutte le misure compiute all’energia di 90 keV (carica 141±3 C,
tempo di misura 6.90 giorni) confrontato con il fondo naturale sottoterra
ed in superficie. In 6.11 è riportato uno spettro misurato all’energia di di
196 keV (carica 14.33±0.16 C, tempo di misura 0.57 giorni). In tale spettro
sono ben identificate le righe a 4438 keV, circa 11.5 MeV e circa 16 MeV della
reazione parassita 11 B(p,γ)12 C Q = 15957 keV. In figura 6.12 è riportato lo
stesso spettro normalizzato alla carica (blu) confrontato con uno ottenuto
alla medesima energia e condizioni macchina con il gas inerte (rosso).
6.4
Misura della carica
La misura del numero di particelle accelerate NBeam avviene per mezzo del
calorimetro. Il numero medio di particelle del fascio incidenti per unità di
tempo I è dato dal rapporto tra la potenza termica sviluppata dal fascio e
l’energia della particelle incidenti:
Nbeam = I × tmis =
Pzero − Prun
Pbeam
× tmis =
× tmis
Ecal
Ecal
(6.43)
Le quantità Prun e Pzero , sono rispettivamente la potenza dissipata dal riscaldatore del calorimetro con e senza il fascio (introdotte nella sezione 4.4
pagina 93). Normalmente si misura durante un run la potenza istantanea
dissipata dal riscaldatore e nel periodo di tempo immediatamente successivo
si spegne il fascio, misurando la potenza zero. Si calcola il valor medio della
potenza misurata con il fascio e la potenza zero a partire dai valori contenuti
nei file generati dall’applicazione di controllo in LABVIEW.
Come già mostrato nel capitolo dedicato all’apparato sperimentale (sezione
4.4.3 a pagina 97), l’errore sulla misura di potenza del fascio è di circa lo
0.5% del valore stesso.
Il codice di Monte Carlo calcola evento per evento l’energia con cui i proiettili
154
10 7
Isotopi Naturali
10 6
10 5
10
4
10
3
10
2
14
15
N(p,γ) O
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
6600 6800 7000 7200 7400 7600 7800 8000
3
D(p,γ) He
14
1
10
10
15
N(p,γ) O 70 keV Run
Fondo Sottoterra
Fondo in Superficie (Pb)
10
-1
-2
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000 18000
Energia (keV)
Figura 6.9: Spettro totale della misura a 70 keV, energia limite esplorata in
questo esperimento (Q = 927±7 C, t = 49.12 giorni) confrontato con il fondo
naturale sottoterra ed in superficie schermato con 10 cm di Pb.
10 7
Isotopi Naturali
10 6
10 5
10
4
10
3
10
2
14
15
N(p,γ) O
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6600 6800 7000 7200 7400 7600 7800 8000
3
D(p,γ) He
14
1
10
10
15
N(p,γ) O 90 keV Run
Fondo Sottoterra
Fondo in Superficie (Pb)
10
-1
-2
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000 16000 18000
Energia (keV)
Figura 6.10: Spettro totale della misura a 90 keV (Q = 141±3 C, t =
6.90 giorni) confrontato con il fondo naturale sottoterra ed in superficie
schermato con 10 cm di Pb.
155
Conteggi per Canale
10
5
10 4
10 3
10
2
10
1
0
2000
4000
6000
8000
10000 12000 14000 16000
Energia (keV)
Yield di Reazione (eventi/(µA×day))
Figura 6.11: Spettro della reazione 14 N(p,γ)15 O misurato alle’energia di
196 keV (Q = 14.33±0.16 C, t = 0.57 giorni).
7
6
5
4
3
2
1
0
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
Energia (keV)
Figura 6.12: Confronto tra uno spettro normalizzato alla carica della reazione
14
N(p,γ)15 O misurato all’energia di 196 keV espanso nella regione 5-8 MeV
(blu) (Q = 14.33±0.16 C, t = 0.57 giorni) con uno misurato con il gas inerte
alla medesima energia (rosso) (Q = 6.04±0.07 C, t = 0.24 giorni).
156
Risultati finali
giungono al calorimetro. Si definisce l’energia dei protoni al calorimetro E cal
il valor medio della distribuzione dell’energia con cui i proiettili giungono al
calorimetro.
Z zf
dE
Ecal = Ebeam −
(E(z))ρ(z)dz = Ebeam − ∆Ecal
(6.44)
zi d(ρx)
La quantità Ebeam è l’energia iniziale del fascio nel sistema del laboratorio, e
la quantità ∆Ecal è l’energia media persa dai proiettili nel giungere al calorimetro.
L’incertezza relativa sull’energia del proiettile Ebeam è circa 10−3 (come mostrato nella sezione 4.2.1 a pagina 69), mentre quella sulla perdita di energia
∆Ecal , calcolata dal Monte Carlo, è del 2.9 % (di tipo sistematico) in accordo
con Ziegler [5] (sezione 5.2 a pagina 122), dello 0.25 % (di tipo accidentale) dovuto alla pressione (sezione 4.3.2 a pagina 72) e dello 0.5 % (di tipo
sistematico) dovuto alla temperatura del gas (sezione 4.3.3 a pagina 77),e
quindi:
q
σEcal =
2
σE2 beam + σ∆E
' σ∆Ecal
cal
(6.45)
Da cui:
σEcal
σ∆Ecal
=
Ecal
Ecal
Questa incertezza è di tipo sistematico.
6.5
Calcolo dell’integrale
(6.46)
R zf
zi
ρ(z)η(z)dz
Rz
Il calcolo dell’integrale zif ρ(z)η(z)dz che compare nell’equazione 6.4 avviene
per mezzo del codice Monte-Carlo (con le metodologie descritte nella sezione
5.5 a pagina 128) a partire dal profilo di pressione misurato senza fascio nel
bersaglio (descritto nella sezione 4.3.2 a pagina 72) e dal profilo di temperatura del gas (sezione 4.3.3 a pagina 77). Il programma di simulazione non è
stato sviluppato per tenere conto di gradienti di temperatura, ma solamente
gradienti di pressione. Per questa ragione al programma viene fornito, tra i
dati di ingresso, un profilo di pressione adattato opportunamente per tenere
conto dei gradienti della temperatura. Poiché si deve avere che:
ρ(z)sim =
νPsim (z)
νP (z)
= hbeam
= ρ(z)
kTsim
kT (z)
(6.47)
Dalla precedente equazione si ottiene che il profilo di pressione adattato della
simulazione Psim (z) vale:
Psim (z) = hbeam P (z)
Tsim
T (z)
(6.48)
6.6 Calcolo dell’energia efficace di interazione Eef f
E quindi il calcolo dell’integrale diviene:
Z zf
Z zf
ν
ρ(z)η(z)dz =
Psim (z)η(z)dz
kTsim zi
zi
157
(6.49)
Il programma calcola l’integrale nel seguente modo (la metodologia è stata
descritta nella sezione 5.5 a pagina 128):
Z zf
X
L
(6.50)
Psim (z)η(z)dz =
Psim (zk )ηk
Ngen
zi
k
Dove k è l’indice somma sugli eventi generati, la quantità Pk (zk ) è la pressione nel punto zk in cui avviene l’interazione, ηk vale 0 o 1 seconda che il
fotone sia stato o meno rivelato, L è la lunghezza del bersaglio (zf − zi ) e
Ngen è il numero di eventi generati.
Nel passato le predizioni del codice di simulazione LUNA per il valore dell’efficienza di rivelazione sono state verificate diverse volte [10, 38, 52]. Nel
presente studio sono state confrontate le predizioni del codice con le misure
di efficienza effettuate con una sorgente radioattiva di 137 Cs. La metodologia di misura e i risultati ottenuti sono esposti nella sezione 4.5.1 a pagina
100. Al valore dell’efficienza si associa un 1 % di errore di tipo sistematico,
al valore della pressione si associa un errore dell’0.25 % di tipo accidentale
eR alla temperatura un 0.5 % di tipo sistematico. Al calcolo dell’integrale
zf
Psim (z)η(z)dz si associa un’errore di tipo accidentale dello 0.75 % derizi
vante dal metodo di integrazione Monte-Carlo, come descritto nella sezione
5.5 a pagina 128.
All’integrale si associa una indeterminazione del 2.5% di tipo sistematico derivante dagli errori sui rapporti di decadimento (branhing ratios) tra le diverse
cascate. Tale errore è stato ottenuto variando di 10% (assoluto) i rapporti
ottenuti nell’esperimento col bersaglio solido [36]. Tale errore è uguale anche
alle energie più basse dove si è dovuto ricorrere ad estrapolazioni.
6.6
Calcolo dell’energia efficace di interazione Eef f
La definizione dell’energia efficace di interazione Eef f , discussa nella sezione
6.2 a pagina 141, è:
e−2πη(Eef f )
=
Eef f
R zf
zi
e−2πη(E(z))
ρ(z)η(z)dz
R zE(z)
f
ρ(z)η(z)dz
zi
(6.51)
158
Risultati finali
Rz
R z −2πη(E(z))
Il calcolo degli integrali zif e E(z) ρ(z)η(z)dz e zif ρ(z)η(z)dz che nell’equazione 6.51 avviene per mezzo del codice Monte-Carlo (con le metodologie
descritte nella sezione 5.5 a pagina 128 a partire dal profilo di pressione misurato senza fascio nel bersaglio (sezione 4.3.2 a pagina 72) e dal profilo di
temperatura del gas (sezione 4.3.3 a pagina 77).
Il codice Monte-Carlo determina, per ogni evento simulato, l’energia di interazione E(z) nel sistema del laboratorio:
Z z
dE
E(z) = Ebeam −
(E(z))ρdz = Ebeam − ∆E(z)
(6.52)
zi d(ρx)
Il valore effettivo di Eef f si ottiene dopo aver invertito numericamente l’equazione 6.51. Si noti che complessivamente la precisione del calcolo degli
integrali e l’inversione numerica del fattore di Gamow portano ad un errore di tipo accidentale di circa 10−4 e sistematico di circa 10−3 sul valore di
Eef f . La precisione numerica nell’inversione del fattore di Gamow è circa di
10−6 . Il valore dell’energia efficace di interazione Eef f è definito nel centro
di massa, utilizzato nell’equazione 6.4, è legato a alla perdita di energia (nel
centro di massa):
(6.53)
Eef f = Ebeam cm − ∆Eef f
Analogamente a quanto discusso per l’energia al calorimetro:
q
2
σEef f = σE2 beam cm + σ∆E
' σ∆Eef f
ef f
(6.54)
Tuttavia bisogna osservare che il valore dell’energia efficace è critico ai fini
del calcolo del fattore astrofisico. Infatti nell’equazione 6.5 compare il fattore
esponenziale di Gamow e, propagando gli errori, si ottiene:
¶2 µ
¶2
µ
¶ sµ
¶2 µ
√ ZA ZB e 2 r µ
∆Eef f
∆S
∆σ
(6.55)
+ 1 − 2π
=
S
σ
2~
Eef f
Eef f
Dall’equazione 6.55 si nota che il contributo dovuto all’errore relativo della
energia efficace cresce a bassa energia, per via del termine derivante dal
fattore esponenziale di Gamow.
6.7
Risultati
Durante questo esperimento è stata misurata la sezione d’urto della reazione
N(p,γ)15 O nell’intervallo di energia 70.08-228.21 keV nel centro di massa.
Si noti che le misure sono state compiute a passi di 10 keV poiché questo è approssimativamente il valore della perdita di energia alla pressione
14
6.7 Risultati
159
250
225
6
Temperatura (10 K)
200
Novæ
175
150
125
100
7❍⋅ AGB
75
25
0
2❍⋅ AGB
1❍⋅ RGB
30❍⋅ MS
50
LUNA 2005
Sun
0
25
50
Schröder 1987
75
100
125
150
175
200
225
250
Figura 6.13: Andamento della temperatura centrale di una stella in funzione
dell’energia dei proietilli della reazione 14 N(p,γ)15 O. La curva verde continua
invidua la temperatura centrale del picco di Gamow in funzione dell’energia.
I segmenti verdi orizzontali rappresentano l’estensione dei picchi di Gamow
di alcuni tipi di stelle.
di 1 mbar. È stato misurato per la prima volta fino al centro del picco di
Gamow delle stelle di tipo M2¯ AGB, E0 = 69 keV, ∆E0 = 22 keV, temperatura interna della stella 64×106 K. Inoltre è stato raggiunto anche il
picco di Gamow delle stelle di tipo M1¯ RGB, E0 = 61 keV, ∆E0 = 19 keV,
temperatura interna della stella 53×106 K. In figura 6.13 è riportato l’andamento della temperatura centrale delle stelle in funzione dell’energia di
interazione per la 14 N(p,γ)15 O, la curva verde continua rappresenta il centro
del picco di Gamow. I segmenti verdi orizzontali rappresentano l’estensione
dei picchi di Gamow di alcuni tipi di stelle. Nelle figure 6.14 e 6.15 sono
riportati gli andamenti della sezione d’urto e del fattore astrofisico misurati
in questo esperimento. In figura 6.16 è riportato il confronto tra i valori della
sezione d’urto misurati con il bersaglio gassoso e quello solido dalla collaborazione LUNA. Ai dati è sovrapposta una interpolazione data dalla somma
160
10
Sezione d’urto (barn)
10
10
10
10
10
10
10
10
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Energia di interazione (keV)
Figura 6.14: Andamento della sezione d’urto misurato in questo esperimento.
Le incertezze di tipo accidentale e sistematico sono sommate in quadratura.
Fattore Astrofisico (keV barn)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Figura 6.15: Andamento del fattore astrofisico misurato in questo esperimento. Le incertezze di tipo accidentale e sistematico sono sommate in
quadratura.
6.7 Risultati
161
di un termine risonante (approssimazione di singolo livello [15]) e uno non
risonante:
σ(E) = (S0 + S1 × E + S2 × E 2 )
e−2πη(E)
+ σBW (E)
E
(6.56)
Nelle figure 6.17 e 6.18 sono riportati i confronti tra i valori del fattore astrofisico misurati in questo esperimento e quelli ottenuti da altri autori. Dalle
figure 6.17 e 6.18 emerge il buon accordo con i dati di U.Schröder et al. (1987)
[3] e l’ottimo accordo coi dati (preliminari) misurati col bersaglio solido dalla
collaborazione LUNA.
In particolare dalla figura 6.18 risulta evidente l’esistenza di uno scarto sistematico con le misure di W.Lamb and R.Hester (1957) [25] (misura del
decadimento del nucleo di 15 O), probabilmente dovuto al fondo prodotto dal
decadimento parassita del nucleo di 13 N→ β + +ν+13 N generato dalla reazione
contaminante 12 C(p,γ)13 N. Inoltre si nota l’ottimo accordo coi dati ottenuti
dalla misura indiretta di A.Mukhamedzhanov et al. (2003) [33].
Per verificare eventuali effetti sistematici dovuti alla pressione del bersaglio,
sono state eseguite misure a differenti pressioni nella camera di interazione
(0.5, 1.0 e 2.0 mbar), e alla medesima energia nominale del fascio (181.2,
209.1, 220.9 e 237.9 keV). In figura 6.19 sono evidenziate le misure a diversa
pressione e si nota che risultano compatibili.
Per controllare l’eventuale presenza di effetti sistematici dovuti al metodo
di sottrazione del fondo a partire dalle misure con il gas inerte, queste sono
state ripetute variando la pressione del gas e mantenendo fissa l’energia nominale del fascio e tutti i parametri dell’acceleratore. In pratica si è scelto
di compiere questa verifica per tre energie nominali del fascio (181.2, 209.1
e 237.9 keV). A ciascuna di queste energie sono state effettuate misure coll’azoto nel bersaglio alle pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar ed è stato misurato
il fondo indotto dal fascio con il gas inerte, ad un certo numero di pressioni
ritenute rilevanti, per determinare o meno la presenza di effetti dovuti al
diverso spessore energetico del bersaglio, e allo sparpagliamento angolare del
fascio. Inoltre da questo studio è stato possibile determinare che il valore
della yield delle reazioni contaminanti non dipende dalle pressioni dell’azoto
e del gas inerte adoperate. Quindi è stato concluso che le eventuali contaminazioni dei gas adoperati sono trascurabili. In figura 6.20 sono evidenziati i
risultati di una serie di misure dove la pressione del gas inerte è stata variata:
non è possibile osservare alcun effetto perché i punti presi a diverse pressioni
differiscono al più di 0.2 %. I valori dell’energia efficace di interazione, sezione d’urto e fattore astrofisico con i rispettivi errori accidentali e sistematici
ottenuti in questo esperimento sono riepilogati in tabella 6.1.
162
Cross Section (barn)
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
-7
10
-8
10
-9
10
-10
10
-11
10
LUNA Bersaglio Solido 2004
LUNA Bersaglio Gassoso 2005
Fit LUNA
-12
10
-13
10
-14
10
-15
10
50
100
150
200
250
300
350
400
Center Mass Energy (keV)
Figura 6.16: Valori di sezione d’urto misurati dalla collaborazione LUNA in
questo esperimento e per mezzo del bersaglio solido. Ai dati è sovrapposta
una interpolazione data dall’equazione 6.56.
10
4
W.Lamb et al. 1957
R.Pixley 1957
D.Hebbard et al. 1963
U.Schroder et al. 1987
Mukhamedzhanov at el. 2003
10 3
10 2
10
1
10
-1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figura 6.17: Valori di fattore astrofisico misurati in questo esperimento e da
altri autori.
163
Eef f ± σEacc
± σEsisef f
ef f
keV
70.08±0.01±0.06
79.30±0.02±0.10
88.70±0.04±0.15
98.57±0.06±0.23
108.00±0.09±0.38
117.59±0.09±0.38
126.64±0.09±0.39
153.26±0.09±0.38
159.77±0.09±0.51
163.93±0.09±0.38
166.45±0.09±0.33
171.47±0.09±0.36
181.79±0.09±0.38
186.61±0.09±0.48
190.34±0.09±0.37
192.60±0.09±0.33
201.01±0.09±0.38
203.48±0.09±0.32
207.82±0.09±0.37
213.03±0.09±0.50
217.18±0.09±0.37
219.58±0.09±0.33
228.21±0.09±0.37
σef f ± σσacc
± σσsis
ef f
ef f
barn
(23.8±1.9±1.9)×10−14
(98.2±5.5±5.1)×10−14
(30.9±1.3±1.2)×10−13
(90.3±5.0±4.3)×10−13
(20.7±1.3±1.1)×10−12
(47.9±2.0±2.3)×10−12
(93.2±3.9±4.2)×10−12
(43.0±3.3±1.8)×10−11
(60.6±2.2±2.8)×10−11
(75.7±3.6±4.3)×10−11
(97.8±4.5±5.2)×10−11
(107.9±3.7±4.6 ×10−11
(188.1±6.3±8.6)×10−11
(231.6±7.6±10.4)×10−11
(285.5±8.1±12.1)×10−11
(33.4±1.5±1.8)×10−10
(43.6±2.3±1.9)×10−10
(55.9±2.9±2.4×10−10
(67.2±2.3±3.0)×10−10
(83.3±2.9±3.8)×10−10
(112.9±4.2±5.2)×10−10
(133.6±5.2±6.7)×10−10
(229.4±7.1±10.0)×10−10
Sef f ± σSacc
± σSsis
ef f
ef f
keV barn
1.74±0.14±0.14a
1.77±0.10±0.10a
1.70±0.07±0.07a
1.74±0.09±0.09a
1.68±0.10±0.11a
1.81±0.07±0.10a
1.85±0.08±0.10a
1.86±0.14±0.09a
1.92±0.07±0.10b,1
1.98±0.10±0.12a,1
2.29±0.11±0.13c,1
2.05±0.07±0.09a
2.37±0.08±0.11a
2.44±0.08±0.12b,2
2.63±0.08±0.12a,2
2.85±0.12±0.15c,2
2.81±0.15±0.13a,3
3.33±0.17±0.15b,3
3.49±0.12±0.16a
3.70±0.13±0.18c,4
4.45±0.16±0.22a,4
4.92±0.19±0.25b,4
6.67±0.21±0.30a
Tabella 6.1: Valori sperimentali dell’energia efficace di interazione, della
sezione d’urto e del fattore astrofisico coi rispettivi errori accidentali e sistematici ottenuti in questo esperimento. Tutti gli errori sono espressi ad
1σ.
a
b
c
1
2
3
4
Pressione nominale 1.0 mbar
Energia
Energia
Energia
Energia
nominale
nominale
nominale
nominale
181.2
209.1
220.9
237.9
keV
keV
keV
keV
164
Risultati finali
8
W.Lamb et al. 1957
R.Pixley 1957
D.Hebbard et al. 1963
U.Schroder et al. 1987
Mukhamedzhanov at el. 2003
7
6
5
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
Figura 6.18: Confronto tra il fattore astrofisico misurato in questo esperimento e precedenti dati in letteratura. L’intervallo energetico è ristretto a quello
ricoperto dal presente lavoro e si nota l’ottimo accordo con i dati misurati
dalla collaborazione LUNA con il bersaglio solido.
6.8
Conseguenze astrofisiche
I dati qui presentati possono essere usati per valutare direttamente il tasso
di reazione del ciclo CNO per diversi scenari stellari per i quali non sono
più necessarie estrapolazioni (figura 6.13). Per questa ragione le incertezze
nell’intervallo di energie astrofisiche di 20-80 keV sono ora ridotte significativamente. Per via della grande importanza della combustione di H nell’astrofisica stellare, le misure qui riportate rappresentano un importante passo in
avanti nella comprensione delle fasi evolutive di di molti tipi di stelle.
Ad esempio le giganti rosse (RGB) e le giganti asintotiche (AGB) sono importanti per la l’evoluzione dinamica e la nucleosintesi galattica. La luminosità
delle giganti rosse viene impiegata come riferimento per determinare la distanza delle galassie più vicine [53, 54], mentre le giganti asintotiche sono
tra le stelle più importanti per la nucleosintesi degli elementi più pesanti del
165
8
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
7
6
5
4
3
2
1
0
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Figura 6.19: Fattore astrofisico in funzione dell’energia dell’energia efficace
misurato alle pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar.
8
He 0.5 mbar
He 1.0 mbar
He 1.5 mbar
He 2.0 mbar
He 3.0 mbar
He 4.0 mbar
He 5.0 mbar
He 6.0 mbar
7
6
5
4
3
2
1
0
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Figura 6.20: Fattore astrofisico in funzione dell’energia efficace ottenuto sottraendo il fondo indotto dal fascio a diverse pressioni del gas inerte. Non è
possibile osservare alcun effetto poiché i punti al più differiscono di 0.2 %.
166
Risultati finali
ferro [55]. Inoltre le stelle giganti sono state impiegate anche come laboratori per studi di fisica fondamentale, come le proprietà elettromagnetiche del
neutrino [56] e le interazioni non standard del neutrino [57]. La luminosità
di queste stelle cresce linearmente in funzione della massa del nucleo centrale
di idrogeno esaurito della stella [54], la cui crescita è controllata dal ciclo
CNO. Perdipiù molte proprieta delle stelle giganti, come la luminosità, l’efficienza convettiva e la composizione chimica del mantello, sono direttamente
influenzate dal tasso della 14 N(p,γ)15 O [17, 55]. Inoltre i modelli delle stelle AGB di piccola massa prevedono un tasso di produzione di carbonio più
basso nell’atmosfera stellare. Una diminuzione del 25% del tasso di reazione
del ciclo CNO nel guscio di idrogeno porta ad avere meccanismi di rimescolamento più efficenti, e quindi ad una produzione circa doppia per il carbonio
nel mantello di queste stelle [17]. Un’altra importante implicazione dei risultati qui mostrati riguarda la determinazione dell’età dei sistemi di stelle
più vecchi, ossia le glubular clusters [16, 58, 59]. Una riduzione di un fattore
del tasso di reazione della 14 N(p,γ)15 O, implica che le globular clusters sono
più vecchie di almeno 0.7 Gyear [16, 59]. La precisione delle misure qui riportate permetterà una migliore determinazione dell’età dei globular cluster,
fornendo un vincolo indipendente per i modelli di evoluzione cosmologica
[16, 59]. Inoltre i flussi di neutrini solari all’energie dell’ordine di 1 Mev sono
influenzati dai risultati qui esposti. Infatti questa nuova determinazione del
tasso di reazione della 14 N(p,γ)15 O permetterà una riduzione delle incertezze
dei flussi dei neutrini solari prodotti dai decadimenti β dei nuclei 13 N e 15 O.
Anche se il contributo del ciclo CNO alla produzione energetica totale del
sole è piccolo, il suo tasso di produzione di neutrini è circa il 10 % del totale
[59, 60]. Si noti che prima che il tasso di reazione della reazione 14 N(p,γ)15 O
fosse ridotto di un fattore circa 2 il tasso di neutrini generati dal ciclo CNO
era stimato il 20 % del totale.
6.9
Misura del fattore ωγres
Questa sezione è dedicata all’esposizione di una misura complementare eseguita nel corso dell’esperimento. Infatti l’apparato ha consentito non solo
di misurare la sezione d’urto in funzione dell’energia ma anche di determinare il fattore ωγres che carattarizza l’intensità della risonanza a 259 keV.
Nel caso di una risonanza larga ed isolata si ha che la sezione d’urto è data
dall’equazione 1.73 a pagina 36, qui riproposta:
σ(E) = ωγres
Γa (E) Γb (E)
Γres
πλ2 (E)
Γa res Γb res (E − Eres )2 + (Γ(E)/2)2
(6.57)
6.9 Misura del fattore ωγres
167
Il fattore ωγres è una quantità molto importante (definito dall’equazione 1.74
a pagina 37), e nel caso della risonanza a 259 keV esso è stato determinato
in precedenza da diversi autori. Il confronto tra i dati qui ottenuti e quelli
in letteratura fornisce una ulteriore verifica indipendente dei possibili effetti
sistematici che influenzano l’analisi dei dati e i calcoli per determinare il fattore astrofisico.
Nel caso di un bersaglio gassoso esteso si ha che la yield Y è data dall’equazione 6.1 a pagina 139, qui riproposta:
Z zf
Ndet
(6.58)
Y =
=
Nbeam
zi
Se l’intervallo di energie in cui i proiettili attraversano il bersaglio include o
è prossimo all’energia della risonanza Eres , la sezione d’urto è dominata dal
contributo risonante descritto dall’equazione 6.57.
Per determinare il fattore ωγres vi sono due approcci descritti nei prossimi
due paragrafi.
6.9.1
Il metodo approssimato
Nel primo approccio, quello adottato dalla maggioranza degli autori, si trascura la dipendenza energetica delle ampiezze parziali Γa , Γb e della lunghezza
d’onda di DeBroglie λ(E) che compaiono nell’equazione 6.57:
σ(E) = ωγres
Γres
πλ2 (Eres )
(E − Eres )2 + (Γres /2)2
(6.59)
Dove si è assunto che Γa (E) = Γa res , Γb (E) = Γb res , Γ(E) = Γres e λ(E) =
λ(Eres ). Quindi inserendo l’equazione 6.59 nell’equazione 6.58, si ottiene che
la yield Y è legata al valore del fattore ωγres da:
Z zf
1
2
ρ(z)η(z)dz (6.60)
Y = ωγres Γres πλ (Eres )
2
2
zi (E(z) − Eres ) + (Γres /2)
Nell’integrale che compare a secondo membro dell’equazione 6.60 le uniche
funzioni che dipendono dalla coordinata z sono la densità ρ(z), l’efficienza di
rivelazione puntuale η(z) e la funzione lorentziana (attraverso l’energia E(z)).
Nella maggioranza degli studi precedenti della 14 N(p,γ)15 O il bersaglio era
di tipo solido per cui la densità e l’efficienza di rivelazione venivano assunte
costanti, e quindi:
Z zf
1
2
dz
(6.61)
Y = ωγres Γres πλ (Eres )ρη
2
2
168
Risultati finali
Sotto queste ipotesi nell’integrale che compare a secondo membro dell’equazione 6.61 si può fare un cambiamento di variabile, passando dalla coordinata
z all’energia E nel centro di massa:
¶
µ
dE
dE = −
ρdz = −ε(Eres )ρdz
(6.62)
d(ρx) cm
dE
nel centro di massa (avendo trascurato la
Dove ε è il potere frenante d(ρx)
sua dipendenza energetica). Nella precedente equazione il segno meno è
dovuto al fatto che l’energia diminuisce lungo il cammino dei proiettili, quindi
l’integrale che compare a secondo membro dell’equazione 6.61 diviene:
Z zf
1
dz =
2
2
(6.63)
Z E0
1
1
dE
ε(Eres )ρ E0 −∆E (E − Eres )2 + (Γres /2)2
Dove E0 è l’energia nominale del fascio nel centro di massa e ∆E l’energia
persa dai proiettili nel bersaglio (si noti che il segno meno è stato assorbito
dall’inversione degli estremi di integrazione). Sotto queste condizioni la yield
è data da:
Z E0
η
1
2
Y (E0 , ∆E) = ωγres Γres πλ (Eres )
dE
2
ε(Eres ) E0 −∆E (E − Eres ) + (Γres /2)2
(6.64)
Nel caso lo spessore energetico del bersaglio ∆E sia piccolo, l’andamento della yield in funzione dell’energia del fascio sarà proporzionale al profilo della
Breit-Wigner stessa. Nel caso invece di un bersaglio spesso, ∆E grande, per
valori dell’energia del fascio E0 molto più grandi dell’energia della risonanza Eres , si ha che la yield raggiunge il valore di saturazione Ymax (∞), che
rappresenta l’integrale della sezione d’urto risonante su tutte le energie. In
figura 6.21 è rappresentata la situazione nei casi di bersaglio sottile e spesso.
Dalla parte (d) della figura si nota come l’integrale a secondo membro dell’equazione 6.63 satura per valori dello spessore energetico del bersaglio ∆E
superiori a 6 volte Γres , ed in questo caso si parla bersaglio “infinito” per una
risonanza.
L’integrale che compare a secondo menbro dell’equazione 6.63 è un integrale
noto e la sua primitiva è la funzione arcotangente, quindi si ha:
Z E0
1
dE =
2
2
E0 −∆E (E − Eres ) + (Γres /2)
·
µ
¶
µ
¶¸ (6.65)
E0 − Eres
E0 − Eres − ∆E
2
arctan
− arctan
Γres
Γ/2
Γ/2
P
mbar
0.5
1.0
2.0
Ebeam
keV
280.5
284.2
290.2
Y ± σYacc
eventi/(µA×day)
6114450±7848
6921986±9843
7347429±9041
169
sis
acc
± σωγ
ωγres ± σωγ
res
res
meV
12.39±0.25±0.53
12.41±0.25±0.54
12.38±0.25±0.53
Tabella 6.2: Valori del fattore ωγres determinati con il metodo approssimato.
Combinando le equazioni 6.64 e 6.65 si ottiene la formula per determinare
il fattore ωγres (sotto le ipotesi di dipendenza energetica trascurabile delle
ampiezze parziali e della lunghezza d’onda di DeBroglie e densità ed efficienza
di rivelazioni costanti):
Y (E0 , ∆E)
³
´
³
´i
E0 −Eres
E0 −Eres −∆E
arctan
− arctan
Γ/2
Γ/2
(6.66)
In pratica, per determinare il fattore ωγres , si effettua una scansione della
risonanza, cioè si varia l’energia nominale del fascio Ebeam e si studia l’andamento della yield Y per determinarne il valore massimo e l’energia nominale
del fascio a cui corrisponde. In figura 6.22 sono riportati rispettivamente le
scansioni della risonanza a 278 keV alle pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar. I
conteggi sono quelli osservati nella ROI dello spettro γ del rivelatore BGO.
Inizialmente è stato effettuato il calcolo per determinare il fattore ωγ res seguendo la procedura approssimata sopra illustrata. In figura 6.23 è riportato
il confronto tra le sezione d’urto di Breit-Wigner in funzione dell’energia in
cui si tiene conto della dipendenza energetica delle ampiezze parziali, in rosso, e quella in cui la si trascura, in blu (unità di misura arbitrarie). In figura
6.24 è riportato il medesimo confronto ristretto all’intervallo di energie in cui
i proiettili attraversano il bersaglio alla pressione di 2 mbar. Dalla figura 6.24
si nota che in pratica la dipendenza energetica delle ampiezze parziali è trascurabile per questo studio. L’andamento dell’efficienza di rivelazione lungo
l’asse z è stato calcolato con il codice Monte-Carlo ed il risultato è mostrato
in figura 6.25. Il valore del potere frenante è costante entro l’1.25 % come
discusso nelle sezioni 4.3.5 a pagina 83 e 5.2 a pagina 122.
In tabella 6.2 sono riportati i valori del fattore ωγres determinati con questa
tecnica. Nella prossima sezione vengono commentati i risultati ottenuti.
ωγres =
2πλ2 (Eres ) ε(Eηres )
h
170
Risultati finali
P
Ebeam
mbar keV
0.5
280.5
1.0
284.2
2.0
290.2
Y ± σYacc
eventi/(µA×day)
6114450±7848
6921986±9843
7347429±9041
sis
acc
± σωγ
ωγres ± σωγ
res
res
meV
12.85±0.13±0.41
12.69±0.13±0.41
12.72±0.13±0.41
Tabella 6.3: Valori del fattore ωγres determinati con il metodo integrale.
Autore
U.Schröder et al. (1987) [3]
A.Formicola et al. (2004) [36]
R.Runkle et al. (2005) [37]
LUNA Bersaglio Solido (2005) [61]
ωγres
meV
14±2
13.5±0.4±0.8
13.5±1.2
12.9±0.4±0.8
Tabella 6.4: Valori del fattore ωγres ottenuti da altri autori.
6.9.2
Il metodo integrale
Nel secondo approccio, anche se la risonanza è stretta non si trascurano
le dipendenze energetiche delle ampiezza parziali Γa , Γb e della lunghezza
d’onda di DeBroglie λ ne quelle spaziali di ρ(z) e di η(z). Quindi risolvendo
l’equazione 6.58, tenendo conto dell’equazione di Breit-Wigner 6.57, si ottiene
che il valore del fattore ωγres risulta legato al valore della yield Y da:
ωγres = R zf
zi
Y
Γa (E(z)) Γb (E(z))
Γres
πλ2 (E(z))ρ(z)η(z)dz
Γa res
Γb res (E(z)−Eres )2 +(Γ(E(z))/2)2
(6.67)
Per calcolare il valore dell’integrale che compare a denominatore dell’equazione 6.67 si utilizza il codice Monte-Carlo impiegando le metodologie descritte
nella sezione 5.5 a pagina 128. In tabella 6.3 sono riportati i valori del fattore
ωγres determinati con questa tecnica. In tabella 6.4 sono riportati i valori
del fattore ωγres determinati da altri autori.
Dal confronto dei dati nelle tabelle 6.2, 6.3 e 6.4 risulta che i valori del fattore
ωγres qui ottenuti sono sono più bassi di quelli riportati in letteratura. Inoltre
i valori qui ottenuti sono compatibili con quelli che sono stati ottenuti da una
recente rianalisi dei dati ottenuti dalla collaborazione LUNA con il bersaglio
solido [61]. La differenza tra i valori qui ottenuti con il metodo approssimato
ed integrale discende direttamente dall’assunzione di densità ed efficienza di
rivelazione costanti (figura 6.25). Nei precedenti lavori in letteratura gli au-
tori non hanno indicato chiaramente se hanno usato il metodo approssimato
o quello integrale. Essi avevano impiegato bersagli di tipo solido, ed essendo la procedura approssimata ampiamente discussa in molti testi e lavori, è
ragionevole sospettare che sia stata impiegata. Si noti che nel caso bersagli
solidi è molto ragionevole approssimare l’andamento dell’efficienza costante.
Lo stesso non si può dire per quello che riguarda il profilo di densità dei
nuclei bersaglio. Infatti sono noti casi in cui il profilo di densità non è piatto
e di conseguenza è ragionevole ritenere possibile che si possa sovrastimare il
fattore ωγres .
171
172
Figura 6.21: (a) Rappresentazion schematica del bersaglio. (b) Sezione d’urto
di Breit-Wigner normalizzata al valore alla risonanza. (c) Andamento del
rapporto Y (E0 /Ymax (∞) in funzione del’energia del fascio. (d) Andamento
del rapporto Y (∆E)/Ymax (∞) in funzione del rapporto ∆E/Γ. Figura tratta
da [1].
173
x 10 3
6000
0.5 mbar
1.0 mbar
2.0 mbar
Yield (eventi/(µA×day)
5000
4000
3000
2000
1000
0
275
277.5
280
282.5
285
287.5
290
292.5
295
297.5
300
Figura 6.22: Scansioni della risonanza effettuate con il rivelatore BGO alle
pressioni di 0.5, 1.0 e 2.0 mbar. Le linee verticali tratteggiate indicano le
energie a cui sono stati associati i rispettivi massimi della yield.
Sezione d’urto σ(E) (a.u.)
174
10
1
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
-7
10
-8
10
-9
10
-10
10
Breit-Wigner
Breit-Wigner Approssimata
50
100
150
200
250
300
350
400
Figura 6.23: Confronto tra la sezione d’urto di Breit-Wigner in funzione
dell’energia in cui si tiene conto della dipendenza energetica delle ampiezze
parziali (in rosso) e quella in cui la si trascura (in blu).
Sezione d’urto σ(E) (a.u.)
10
Breit-Wigner
Breit-Wigner Approssimata
1
10
-1
274
276
278
280
282
284
286
288
290
Figura 6.24: Confronto tra la sezione d’urto di Breit-Wigner esatta (in rosso)
ed approssimata (in blu) ristretto all’intervallo di energie in cui i proiettili
attraversano il bersaglio.
175
Efficienza di Rivelazione η
0.9
0.7028 / 361
0.7428
1.101
10.95
P1
P2
P3
0.8
0.7
0.1633
7.595
4.921
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Asse Z (cm)
Figura 6.25: Andamento dell’efficienza di rivelazione η determinato col codice
Montecarlo. Si noti la valle tra -11 e -7 cm dovuta all’assorbimento dei fotoni
da parte del collimatore di ottone.
Conclusioni
Le caratteriche dell’apparato sperimentale del progetto LUNA, qui descritte,
unite al fondo estremamente bassi dei laboratori Nazionali del Gran Sasso, hanno permesso per la prima volta la misura della sezione d’urto e del
fattore astrofisico della reazione 14 N(p,γ)15 O al centro del picco di Gamow
delle giganti rosse. I dati ottenuti in questo esperimento hanno un’ottima
precisione e si sono spinti fino all’energia di 70.08 keV. La conoscenza della
sezione d’urto della reazione 14 N(p,γ)15 O è di fondamentale importanza per
la determinazione della luminosità al turn off degli ammassi globulari, per
la formazione delle stelle di carbonio e per la determinazione del flusso di
neutrini solari atteso dal ciclo CNO.
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3
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180
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