- Associazione Rally Matematico Transalpino

LA GAZETTE DE TRANSALPIE / LA GAZZETTA DI TRANSALPINO / NO 4
INDOVINA A CHE COSA PENSO
RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA IN AMBIENTE NUMERICO
Fabio Brunelli1
Premessa
Gli insegnanti di matematica in Italia tradizionalmente dedicano molta attenzione al calcolo numerico e letterale
(operazioni, espressioni, ecc.), senza peraltro proporre, se non raramente, occasioni di ragionamento per il tramite di
problemi da risolvere in ambiente numerico. Troppo spesso la risoluzione di problemi è legata solo all’ambito
geometrico. Questa breve relazione vuole essere un esempio proprio in questo senso. L’attività prende spunto da un
problema del Rally Matematico Transalpino proposto nella gara finale del 1999 alle categorie 6, 7, 8 (i tre anni di
scuola secondaria di primo grado).
Il problema
“Penso ad un numero. Se lo sottraggo da 4 o se lo moltiplico per 4, trovo lo stesso risultato. Potete trovare il numero al
quale ho pensato? Giustificate la vostra soluzione.”
Ho assegnato questo problema nella mia prima, nella mia seconda e nella mia classe terza. In due classi l’ho assegnato a
coppie casuali (il compagno di banco), assegnando una mezz’ora circa di tempo a disposizione. In prima invece è stato
assegnato ai sette gruppi da loro formati in vista della gara. I risultati sono stati interessanti in tutte le classi.
Le espressioni che si vedono sui volti di questi ragazzi mi pare siano eloquenti. Questo tipo di “lezione di matematica”,
che appare come alternativa rispetto a quella tradizionale costituita dall’alternarsi di “interrogazione-spiegazione”, è
generalmente molto gradita agli allievi. A loro sembra quasi di “fare un gioco” invece di “fare scuola”. Ricordo una
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Sezione di Siena
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richiesta di un alunno di qualche anno fa: “Professore invece di fare matematica oggi possiamo fare un allenamento per
il Rally come la scorsa volta?”
I risultati più modesti, come prevedibile, sono stati raggiunti in prima (un solo gruppo su sette ha risolto il problema).
Tuttavia il lavoro è stato proficuo per tutti.
Un errore tipico è stato quello di limitare la ricerca all’insieme dei numeri naturali, senza prendere in considerazione i
numeri decimali. Constatato che i numeri da zero a quattro non erano soluzioni si sono fermati.
Una ragazza è arrivata a formulare una sorta di “teorema”: “Poiché la sottrazione fa diminuire i numeri e la
moltiplicazione li fa crescere, allora questo problema è impossibile!”
Altri errori sono stati quelli di sottrarre il numero quattro dal numero sconosciuto (scambiano quindi soggetto con
complemento oggetto). Altri ancora di utilizzare due numeri diversi, uno per la moltiplicazione e uno per la sottrazione.
La maggior parte degli allievi ha proceduto per tentativi, in modo particolare nelle classi prima e seconda. A volte si è
trattato di tentativi maldestri come quello di provare con numeri naturali di due cifre: la sottrazione fornisce un numero
negativo che non potrà mai essere uguale al valore del prodotto che è positivo.
Qualcuno in seconda ha provato anche con numeri negativi, non conoscendo ancora peraltro la regola del prodotto tra
numeri positivi e negativi.
Particolare il procedimento di un alunno di seconda che, dopo avere fallito con le soluzioni intere, non volendo
affrontare le soluzioni decimali, ha “moltiplicato per dieci il problema” e ha lavorato con il numero 40 invece che con il
4. Alla fine ha diviso per dieci la soluzione. Si tratterebbe in questo caso di una nuova sindrome: “Orror decimalis”.
F. BRUNELLI – INDOVINA A CHE COSA PENSO
Bravi solutori in prima
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Bravi solutori in seconda
Nella classe terza il problema è stato risolto sia per tentativi che con le equazioni:
4 - x = 4x
4x = 4 - x
Queste due equazioni ci hanno dato modo di discutere su cosa significa che due equazioni sono “uguali” (equivalenti).
Ho assegnato poi per casa la richiesta di modificare il problema sostituendo il 4 con un altro numero a piacere.
La lezione dopo abbiamo scritto alla lavagna tutte le equazioni con i vari numeri al posto del 4.
9x = 9 - x
8x = 8 - x
10x = 10 - x
30x = 30 - x
2x = 6 – 2
5x = 5 - x
7x = 7 - x
8x = 8 - x
Non sono mancate le proposte di equazioni di altro tipo da parte di qualche alunno che non aveva compreso la
consegna.
Ho chiesto se si poteva indicare con una lettera questi vari valori che il numero della equazione poteva assumere,
creando in questo modo una “famiglia di equazioni”. E’ stata proposta da un allievo la lettera h. Così abbiamo scritto
alla lavagna:
hx = h – x
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E siamo così arrivati ad una prima idea di equazione parametrica.
A questo punto è venuta la tentazione di esprimere la formula della soluzione generale del nostro problema per mostrare
agli allievi che era possibile lavorare su una “famiglia di equazioni” contemporaneamente:
Osservando la formula risolutiva generale ho chiesto: “Questa scrittura va bene sempre?”
Alcuni hanno chiesto (erroneamente) di escludere i valori negativi. Ho cercato di convincerli con esempi che i numeri
relativi creavano solo un poco di impiccio a noi nei calcoli, ma concettualmente non erano una difficoltà. Finché un
alunno (particolarmente bravo) ha detto: “h non può essere -1, altrimenti si divide per zero!”. Siamo andati allora a
controllare cosa accade per h = -1 e abbiamo constatato che la equazione risolutiva del problema è impossibile (vedi
foto).
Abbiamo concluso che il problema posto ammette soluzione con tutti i numeri reali escluso -1.
Conclusioni
Le conclusioni sono ancora una volta di non avere mai fretta di passare al problema successivo, da un argomento
all’altro. Di dare tempo a tutti i ragazzi di esprimersi, facendosi inspirare nell’azione didattica dalle loro difficoltà e dai
loro errori. Ancora una volta i problemi proposti dal Rally si rivelano utile materiale didattico, perché stimolante per
allievi e docenti. Particolarmente fruttuosa è la modalità “stesso problema a tutta la classe divisa a coppie”. I ragazzi si
sentono a loro agio per il fatto di non essere soli e c’è maggiore probabilità di ottenere procedimenti diversi da discutere
e confrontare in un secondo tempo.
Bibliografia
L. Doretti – L. Salomone: 2015, Avvio al concetto di equazione con i problemi del RMT, Actes/Atti Bourg-en-Bresse
2004 - Arco di Trento., 235-244