LA DURATION E LA GESTIONE DEL

LA DURATION E LA GESTIONE DEL PORTAFOGLIO
OBBLIGAZIONARIO
FLAVIO ANGELINI
Sommario. In queste note si vuole mostrare come la Duration
venga utilizzata quale strumento per la gestione del portafoglio obbligazionario. La logica operativa è esposta in maniera schematica
per motivi di chiarezza e per evidenziare i concetti fondamentali.
Le definizioni e i concetti di base relativi alla duration, per i quali
si fa riferimento al libro di testo del corso (1), sono date per assunte. Si consiglia di approfondire le questioni di calcolo tramite
le cartelle excel suggerite.
1. Richiami sulla duration di portafoglio
Si ricorda che la Duration di un portafoglio è facilmente calcolabile
a partire dalle Duration dei titoli presenti nel portafoglio ((1), Formula
(10.16) ). In particolare, se X e Y sono due titoli o portafogli e αX e
αY indicano il numero di quote rispettivamente di X e di Y detenute,
si ha che
(1.1)
αY V (Y )
αX V (X)
D(X) +
D(Y ).
D(αX X + αY Y ) =
V (αX X + αY Y )
V (αX X + αY Y )
Si è indicato con V (·) il valore all’istante di valutazione di un titolo o
portafoglio cosicché il termine
V (αX X + αY Y ) = αX V (X) + αY V (Y )
rappresenta il valore totale del portafoglio, mentre i termini αX V (X)
e αY V (Y ) rappresentano i soldi investiti rispettivamente in X e in Y .
I pesi o percentuali investite rispettivamente nel titolo X e nel titolo
Y sono
αY V (Y )
αX V (X)
,
pY =
.
pX =
V (αX X + αY Y )
V (αX X + αY Y )
Cosicché, se il valore dell’investimento all’istante di valutazione viene
denotato con C, e dunque
C = αX V (X) + αY V (Y ),
1
2
FLAVIO ANGELINI
le percentuali sono pX = αX VC(X) e pY = αY VC(Y ) . Indicando con (pX , pY )
il portafoglio, si ha ((1), Formula (10.16))
(1.2)
D((pX , pY )) = pX D(X) + pY D(Y ).
Si osservi che una delle due percentuali, ad esempio pX , può essere
negativa. Ciò significa che il titolo X è stato venduto allo scoperto per investire il ricavato sul titolo Y e dunque pY è maggiore del
100%, ovvero si sta investendo su Y più del capitale posseduto. Nel
caso entrambi i pesi siano positivi, sono ovviamente entrambi minori
di 1. In questo caso, dalla (1.2) si vede che la duration del portafoglio
D((pX , pY )) è un numero compreso tra D(X) e D(Y ) e sarà tanto più
vicino a D(X) quanto maggiore è pX e viceversa. Nel caso particolare
che D(X) = D(Y ) allora
D(αX X + αY Y ) = (pX + pY )D(X) = D(X)
qualunque siano pX e pY .
Esempio 1.1. Un investitore ha C = 100 mila euro investiti in due
titoli, un titolo X che costa 1 per ogni quota acquistata e un titolo Y che
costa 1.017 per ogni quota acquistata. L’investitore possiede αX = 40
mila quote di X e αY = 59 mila quote di Y . Dunque la percentuale di
capitale investita in X è
40000 · 1
pX =
= 40%
100000
e la percentuale investita in X è
59000 · 1.017
pY =
≈ 60%.
100000
Se D(X) = 2 e D(Y ) = 4 si ha che la duration del portafoglio è
D((40%, 60%)) = 0.4 · 2 + 0.6 · 4 = 3.2.
2. Strategie di gestione
Una strategia di gestione di un portafoglio, in particolare quello obbligazionario di cui ci stiamo occupando, è finalizzata alla riduzione
delle perdite dovute a movimenti avversi del mercato. Dato che la Duration misura l’intensità delle perdite, si cerca di tenere la Duration
corta. Nel caso di operazioni di investimento, si ha anche l’obiettivo di
aumentare i guadagni. Per raggiungere tali obiettivi, il gestore monitora e modifica la composizione del portafoglio seguendo in sostanza la
seguente filosofia:
• Se si prevede un aumento dei tassi si ”accorcia” la Duration, cioè
la si rende più breve modificando la composizione del portafoglio.
Questa procedura consente di limitare le perdite.
LA DURATION
3
• Se si prevede un ribasso dei tassi si ”allunga” la Duration, cioè
si rende più lunga. Ciò consente di amplificare i guadagni.
Per calcolare in modo preciso le modifiche da apportare al portafoglio
per operare la strategia descritta, si possono usare le formule (1.1)
o (1.2). Vediamo come: il gestore ha un capitale C investito in un
portafoglio di titoli X. Al momento del monitoraggio dunque tutto il
capitale è investito in X. Il gestore conosce bene la duration D(X)
di X, ma ora vuole modificare il portafoglio in maniera da cambiarla.
Indichiamo con D̄ il livello di duration che il gestore si propone. Come
visto potrebbe essere D̄ > D(X) o D̄ < D(X) a secondo delle sue
previsioni sui tassi. Le dinamiche precise della scelta di D̄ sono aldilà
degli scopi di queste note e fanno parte delle capacità di gestione. Il
gestore dovrà dunque acquistare e vendere titoli. Supponiamo per fissare le idee che il gestore abbia selezionato un titolo Y da acquistare 1.
Quanta percentuale pY dovrà investire in Y per raggiungere il livello di
duration D̄? La risposta è molto semplice: ricordando che pX = 1 − pY
e usando la formula (1.2), la duration del nuovo portafoglio in funzione
di pY è
D((pX , pY )) = (1 − pY )D(X) + pY D(Y ).
Dato che si richiede che la nuova duration D((pX , pY )) sia D̄, pY dovrà
soddisfare
(2.1)
D̄ = (1 − pY )D(X) + pY D(Y )
e dunque si ricava
(2.2)
pY =
D̄ − D(X)
D(Y ) − D(X)
Appare chiaro dalle formule che se si vuole allungare la duration D̄ >
D(X) e non si vogliono effettuare vendite di Y , si dovrà usare un titolo
Y che ha duration D(Y ) > D(X), altrimenti pY verrebbe negativo.
Simmetricamente, se si vuole D̄ < D(X), si cercherà un titolo con
D(Y ) < D(X). Si osservi inoltre che se D(Y ) = D(X) la duration non
si riesce a modificare.
Esempio 2.1. ((2), gestioneportafogli.xls, foglio 1). Consideriamo un
capitale C = 1 milione EURO investito interamente in un BTP X con
duration D(X) = 1.05 anni. Il gestore di tale capitale vuole modificare
la sua duration acquistando un BTP Y che ha duration D(Y ) = 3
1Anche
perché, se il titolo non è già in portafoglio, si dovrebbe ricorrere a una
vendita allo scoperto, che non sempre è consentita. Tale titolo non è comunque escluso che sia già in portafoglio e in tal caso si tratta solo di cambiarne la percentuale,
ovvero di cambiarne il numero di quote possedute.
4
FLAVIO ANGELINI
anni. Se investe il pY = 10% del capitale nel BTP Y tenendo il pX =
90% nel BTP X, la duration che ne risulta è calcolabile da (1.2) ed è
D((90%, 10%)) = 1.245 anni. Supponiamo che invece il suo obiettivo
sia di raggiungere duration D̄ = 1.2 anni. Naturalmente sa che dovrà
investire meno in Y e userà la formula (2.2) per calcolare precisamente
pY ≈ 7.69%,
da cui pX ≈ 92.31% Dunque investirà circa 76900 EURO in Y che
ricaverà dalla vendita di quote di X e lascerà 923100 investiti in X.
Si noti che X non necessariamente deve essere un singolo titolo (e
anche Y , ma in pratica conviene selezionare un vero e proprio titolo
per limitare le operazioni da effettuare e dunque i costi di transazione).
Anzi, nella pratica tipicamente X è un portafoglio composto da diversi
titoli sul mercato. Tutti i conti che sono stati fatti continuano a funzionare. Supponiamo ad esempio che X sia un portafoglio composto dal
60% di un titolo A e dal 40% di un titolo B. Il risultato dell’esempio
ci dice che si deve mantenere il 92.31% di X e dunque il 55.38% di
A e il 36.92% di B e vendere dunque il 4.62% di A e il 4.08% di B
(per un calcolo con un portafoglio X composto da due titoli si veda (2),
gestioneportafogli.xls, foglio 2).
3. L’hedge ratio
In generale una strategia di copertura o di immunizzazione o di hedging è una strategia che si propone di minimizzare, eventualmente annullare, i rischi derivanti da un’esposizione finanziaria. Nel mercato
obbligazionario l’obiettivo è quello di minimizzare il rischio derivante
dai cambiamenti dei tassi d’interesse.
Si consideri il caso in cui si intenda proteggere una posizione in un
portafoglio obbligazionario o in un titolo del mercato monetario X il
cui valore all’istante di valutazione è V (X) e la cui duration è D(X). Si
è preoccupati che una cambiamento della curva dei tassi provochi una
perdita di valore del portafoglio. Se si vuole immunizzare o coprire il
portafoglio dal rischio di perdite bisognerà cambiare la composizione del
portafoglio, cioè introdurre nel portafoglio una posizione che bilanci le
perdite potenziali del portafoglio originario. Analogamente alla sezione
precedente, se si assume che i movimenti futuri della curva avvengano
per shift paralleli, un modo per attuare tale strategia di copertura è
quella di rendere il più breve possibile la duration totale, in particolare
di renderla nulla. La differenza con la gestione della sezione precedente
è che tale strategia è indipendente dalle aspettative sui tassi futuri, nel
senso che l’obiettivo principale è quello di coprirsi il più possibile dai
rischi senza tentare di alzare i profitti.
LA DURATION
5
Sia dunque F un titolo del mercato monetario 2 e indichiamo con
V (F ) il suo valore e con D(F ) la sua duration, che supponiamo diversa
dalla duration D(X) di X.
Si consideri un portafoglio composto dal portafoglio X e da α quote
del titolo F . La duration del portafoglio è, utilizzando la formula (1.1),
V (X)
αV (F )
D(X) +
D(F ).
V (X + αF )
V (X + αF )
Si vuole ora determinare il valore α? che rende nulla la duration del
portafoglio D(X + αF ) = 0. Si trova che
D(X + αF ) =
V (X)D(X)
.
V (F )D(F )
Il numero di quote α? da investire in F si dice hedge ratio o rapporto
di copertura basato sulla duration.
α? = −
Esempio 3.1. Un gestore di un fondo ha C = 1 milione di euro investito in un portafoglio obligazionario con duration 4. Data l’alta volatilità
dei tassi decide di coprire la posizione acquistando o vendendo un titolo F con duration D(F ) = 6 anni che costa 97 per ogni 100 di valore
facciale. L’hedge ratio è
1000000 · 4
α? = −
= −6872.85.
97 · 6
Ciò significa che si devono vendere allo scoperto 6872.85 quote di F
per annullare la duration per un valore facciale complessivo di 687285.
L’idea della strategia di copertura è la seguente: se i tassi salgono e
X rappresenta una posizione long in titoli obbligazionari, ci sarà una
perdita nel valore del portafoglio X. Dato che in tal caso si opera una
vendita allo scoperto di F , si avrà un guadagno nella posizione corta su
F , andando a bilanciare la perdita nella posizione in X. Naturalmente,
nel caso che i tassi scendono, il valore del portafoglio X incrementerà
il suo valore mentre si avrà una perdita nella posizione corta su F .
Vediamo questo argomento con un semplice esempio.
Esempio 3.2. ((2) solesercizi9.xls es.9, cambiando i dati di input)
Nell’esempio precedente si supponga che il portafoglio X sia composto
da uno ZCB con scadenza 4 anni e F sia uno ZCB con scadenza 6 anni.
Si supponga che si sia in presenza di una struttura dei tassi piatti con
yield h(0) = 0.05. In tal caso il valore di F è V (F ) = 100 ∗ e−h(0)·6 =
74.08 e l’hedge ratio è α? = −8999.06 e il valore facciale complessivo di
2Nella
pratica operativa vengono utilizzati titoli futures, ma per semplicità di
trattazione penseremo sia un titolo obbligazionario semplice, come uno ZCB.
6
FLAVIO ANGELINI
F da vendere allo scoperto è 899906. Si supponga che i tassi cambiano
con shift parallelo e che il corrispondente yield sia h(0+) = 0.055. In
tal caso il titolo X subirà una perdita dato che il suo valore post-shift
−h(0+)·4
sarà V 0 (X) = e1000000
= 980198.67 con una perdita di V 0 (X) −
−h(0)·4 · e
V (X) = 19801.33 euro. Il valore della posizione in F passerà da VF =
|α? |V (F ) = 666667.67 a VF0 = |α? |V 0 (F ) = |α? | · 100 · e−h(0+)·6 =
646963.69. La posizione corta porterà un guadagno pari a VF − VF0 =
19702.98. Di conseguenza, la variazione di valore della posizione si
ottiene considerando la perdita nella posizione in X e il guadagno nella
posizione in F e è pari a ∆ = 19702.98 − 19801.33 = −98.35, cioè una
perdita limitata considerando la potenziale perdita della sola posizione
in X. Il fatto che la variazione non sia esattamente nulla è ovviamente
dovuto al fatto che la duration fornisce solo un’approssimazione del
primo ordine della variazione di valore del portafoglio. Nel caso che i
tassi scendano, h(0+) = 0.045, si ha un guadagno V 0 (X) − V (X) =
20201.34 euro nella posizione lunga e una perdita VF − VF0 = 20303.02
nella posizione corta con una perdita netta di ∆ = −101, 68 euro.
La copertura è dunque efficace nel caso di spostamenti paralleli della
curva. Verifichiamo ora la correttezza della copertura nel caso il movimento della curva sia non parallelo. Sia dunque h(0+, 4) = 0.055 e
h(0+, 6) = 0.045. In tal caso il titolo X subirà una perdita dato che
−h(0+,4)·4
il suo valore post-shift sarà V 0 (X) = e1000000
= 980198.67
−h(0)·4 · e
0
con una perdita di V (X) − V (X) = 19801.33 euro. Il valore della posizione in F passerà da VF = |α? |V (F ) = 666667.67 a VF0 =
|α? |V 0 (F ) = |α? | · 100 · e−h(0+,6)·6 = 686969.69. Stavolta anche la posizione corta porterà una perdita pari a VF0 − VF = 20303.02. Di conseguenza, la posizione globale dimunirà di valore subendo una perdita
complessiva ottenuta sommando le due perdite, la quale risulta pari a
∆ = −20303.02 − 19801.33 = − − 40104.35. Se ne conclude che la
strategia di copertura deve essere effettuata con molta cautela e deve
essere corredata da una oculata previsione dei movimenti della curva
dei tassi.
Un’ulteriore ambito di applicazione della duration è quello dell’immunizzazione classica. I suoi principi, corredati da un esempio, sono
descitti in (1), par. 10.2.5. I conti dell’esempio 10.2.4 sono svolti in
gestioneportafogli.xls, foglio ”immunizzazione”.
Riferimenti
(1) G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi, Manuale di finanza,
vol I. Tassi d’interesse. Mutui e obbligazioni, 2005, il Mulino.
LA DURATION
7
(2) http://www.unipg.it/angelini/matfin.htm
Sezione di Finanza Matematica, Dipartimento di Economia, Finanza
e Statistica, Università di Perugia
E-mail address: [email protected]