Problema A Un pendolo e` costituito da una massa di dimensioni

Problema A
Un pendolo e’ costituito da una massa di dimensioni trascurabili appesa a un filo
considerato in estensibile, di massa trascurabile, lunghezza L, e fissato a un estremo.
L
Il periodo di oscillazione del pendolo e’ dato da T= 2π
, dove g e’ l’accelerazione
g
di gravita’.
La lunghezza L e’ misurata da varie persone e i risultati sono
924 mm, 922 mm, 924 mm, 923 mm, 924 mm, 924 mm
1) Viene misurato varie volte il periodo di tempo impiegato dal pendolo per fare 10
oscillazioni, e i risultati sono
19.41 s, 19.03 s, 19.27, 19.02 s 19.44 s 19.23 s, 19.39,
Calcolare il valore di g, il suo errore massimo, il suo errore statistico
2) Viene poi misurato piu’ volte il tempo necessario per far compiere al pendolo 50
oscillazioni. I risultati sono:
96.74 s, 96.59 s, 96.80 s, 96.45 s, 96.69 s, 96.82 s, 96.75 s
Questi risultati sono compatibili con i precedenti?
3) Vengono di nuovo ripetute le misure del punto 2 e i risultati sono
96. 84 s, 96.67 s, 96.76 s, 98.52 s, 96.92 s, 96.73 s, 96.89 s, 96.95 s
Il risultato 98.52 e’ anomalo? Perche’? Lo posso eliminare? Perche’?
Se lo elimino, i risultati sono compatibili con i precedenti? Perche’?
Se non lo elimino, i risultati sono compatibili con i precedenti? Perche’?
4) Considerando tutti i dati che ho, qual e’ la miglior stima di g e il suo errore?
Problema B
Uno strumento misura la radioattivita’ ambientale e fornisce il risultato sotto forma di
numero di particelle ionizzanti rivelate in un certo intervallo di tempo. Prima faccio
contare lo strumento per 1000 secondi e trovo 1126 particelle. Vado in giro a misurare
in vari posti, facendo ogni volta contare allo strumento per 100 s e trovo questi
conteggi nei vari posti
A 113,
B 98,
C 119, D 115, E 121,
F 104, G 107, H 132, I 117
1) Ritengo il posto H anomalo, perche’? ci sono altri posti anomali?
2) Ripeto la misura nel posto H, questa volta conto per 500 s, ottengo 651 conteggi.
Quanto posso essere sicuro che nel posto H c’e’ qualcosa di strano?
Problema C
E’ consuetudine curare la malattia X mediante rimozione di un pezzo di cartilagine.
Sottopongo 100 pazienti che soffrono della malattia X al ginocchio a un’operazione
con rimozione di un pezzo di cartilagine. Dopo l’operazione 27 pazienti camminano
visibilmente meglio di prima.
Sottopongo altri 100 pazienti simili ai primi a una finta operazione (ma loro non
sanno che e’ finta) in cui viene fatto tutto come nel primo caso (sala operatoria,
anestesia, tagli, sangue etc), ma non viene rimossa la cartilagine).
Caso A: 25 pazienti dopo la finta operazione camminano visibilmente meglio di
prima.
Caso B: 11 pazienti dopo la finta operazione camminano visibilmente meglio di
prima.
Se si verifica il caso A l’asportazione della cartilagine serve effettivamente o e’ solo
effetto placebo? Perche’?
Se si verifica il caso B l’asportazione della cartilagine serve effettivamente o e’ solo
effetto placebo? Perche’?
(la prova e’ stata fatta realmente e si e’ verificato il caso A)
Problema D
6 persone misurano le stesse quantita’ X e Y ciascuna con il suo strumento (ad
esempio le due quantita’ potrebbero essere le lunghezze dei lati di uno stesso
rettangolo, e ognuno usa un suo metro).
I risultati sono:
Persona
A
B
C
D
E
F
misura X
21.34
21.30
21.35
21.39
21.42
21.20
misura Y
32.02
31.90
32.00
32.10
32.08
31.92
L’ errore di misura su X e’ correlato con l’errore di misura su Y nella stessa coppia?
(in altre parole: i valori ottenuti di X e Y sono correlati?). Quanto sono correlati?
Posso dedurre dai dati una relazione tra gli errori su X e quelli su Y?
Se calcolo il prodotto Z = XY come valuto l’errore su Z?
Se calcolo il rapporto W = X/Y come valuto l’errore su W?
( se vi serve il calcolo dei coefficienti di una retta col metodo dei minimi quadrati
A=
B=
( ∑ x i2 )( ∑ y i ) − ( ∑ xi ) ( ∑ x i y i )
∆
N (∑ xi yi ) − (∑ xi )(∑ yi )
Se y=Ax+B)
∆
∆ = N (∑ xi2 ) − (∑ xi ) 2
Soluzioni
Problema A
1)
(L medio= 923.5 mm, ∆L= 1 mm , σL=0.84, quindi L= (923±1) mm (errore
massimo), L=(923.5±0.8) mm (errore statistico), L=(923.3±0.4) mm (errore
statistico sulla media)
tmedio prima serie= 19.26 s, σt =0.17 s ∆t=0.2 s, t prima serie =(19.3±0.2) s (errore
massimo), t prima serie = (19.26±0.17) s (errore statistico), t prima serie =(19.26±0.08) s
(errore statistico sulla media)
Tmedio prima serie= 1.926 s, σT =0.017 s ∆t=0.02 s, T prima serie =(1.93±0.02) s (errore
massimo), T prima serie = (1.926±0.017) s (errore statistico), T prima serie =(1.926±0.008) s
(errore statistico sulla media)
g=4π2L/T2 = 12.567 * 0.9233/(1.926)2 m s-2= 9.8257… m s-2
∆g= (4π2/T2) ∆L + (8π2L/T3) ∆T = (10.6 * 0.001 + 10.2 * 0.02) m s-2 ≈ 0.2 ms-2.
σg2= (4π2/T2)2 σL2 + (8π2L/T3)2 σT2 = (112 * 0.00000016 + 104 * 0.00006) m2 s-4 =
0.006 m2 s-4
σg= 0.08 ms-2 (se uso l’errore statistico sulle medie)
g= (9.8±0.2)
errore massimo,
(9.83±0.08) errore statistico
2)
tmedio seconda serie = 96.691… s, σt =0.13 s ∆t=0.2 s, t seconda serie =(96.7±0.2) s (errore
massimo), t prima serie = (96.70±0.13) s (errore statistico), t prima serie =(96.70±0.06) s
(errore statistico sulla media)
Tmedio seconda serie= 1.9228… s, σT =0.0026 s ∆t=0.004 s, T seconda serie =
(1.923±0.004) s (errore massimo), T seconda serie = (1.9228±0.0026) s (errore statistico),
T prima serie =(1.9228±0.0012) s (errore statistico sulla media)
La differenza tra il periodo T calcolato con la prima serie di dati e quello calcolato
con la seconda serie e’ meno della somma in quadratura degli errori statistici sulle
medie, quindi i dati sono pienamente compatibili.
3)
Media 97.035 s deviazione standard σ=0.6 s, 98.52 s dista da media circa 1.5 s, 2.5
deviazioni standard, la probabilita’ che questo sia dovuto al caso e’ circa 0.012. Ho
fatto 8 misure, quindi dovrei aspettarmi in media 8*0.012= 0.1 misure che scartino
come questa o piu’ di questa. 1 e’ sensibilmente maggiore di 0.1 (e di 0.1+ la sua
deviazione standard 0.03), quindi posso rigettare la misure 98.52 (ad esempio potrei
per sbaglio aver contato 51 oscillazioni invece di 50)
Rigettando la misure ho media = 96.823 s, σ=0.11 s , dev. standard della media=
0.04
La differenza in modulo tra i valori medi dei tempi misurati nella seconda e terza serie
di misure = 96.82-96.70 s= 0.12 s , errore statistico sulla differenza delle medie =
(0.042+0.062)1/2 s= 0.07 s. La differenza dista da 0 per 1.7 deviazioni standard. Ci
sono circa 0.09 probabilita’ che questo sia dovuto al caso. E quindi 0.91
probabilita’che la differenza abbia qualche causa specifica.
Se non escludo la misura anomala le cose vanno ancora peggio
(da continuare)
Problema B
La deviazione standard dei conteggi e’ la radice quadrata dei conteggi, quindi per il
primo conteggio e’ circa 34, per la seconda serie circa 10, per la terza circa 26.
Il primo valore corrisponde a (1.126 ±0.034) conteggi al secondo, i conteggi misurati
in H sono (1.32±0.11) al secondo, la differenza tra i due valori e’ 0.194 conteggi al
secondo, l’ errore statistico sulla differenza e’ ((0.034)2+(0.11)2)1/2 ≈ 0.11 conteggi al
secondo. La differenza differisce da zero per 1.8 deviazioni standard. Ci sono 7
probabilita’ su 100 che questo sia un caso. Il posto H potrebbe essere anomalo.
Le differenze rispetto al “fondo” (prima misura) per gli altri posti sono entro circa 1
deviazione standard della differenza, quindi potrebbero essere normali.
Le terza misura fornisce il valore (1.30±0.05) conteggi al secondo.
Questo valore differisce dal risultato della prima misura di 0.174 conteggi al secondo.
L’ errore statistico sulla differenza e’ ((0.034)2+(0.05)2)1/2 ≈ 0.06 conteggi al
secondo. La differenza differisce da zero per 2.9 deviazioni standard. Ci sono circa 3
probabilita’ su 1000 che questo sia un caso. Il posto H e’ anomalo con alta
probabilita’ (0.997).
Problema C
Dai dati che ho la miglior stima della percentuale di successo dell’operazione vera e’
0.27, 27 pazienti su 100 camminano meglio. Prendo questa come probabilita’ di
“successo”. La distribuzione del numero dei pazienti n che camminerebbero meglio,
se ripetessi molte volte la serie di 100 operazioni, sarebbe un binomiale con N=100,
p=0.27, q=(1-p)=0.73 (Ho 100 tentativi con probabilita’ 0.27 di riuscire e 0.73 di
fallire, quindi la distribuzione da usare e’ la binomiale)
N
P(n)=   p n (1 − p ) N − n
n
Questa distribuzione ha una deviazione standard = (Np(1-p))1/2 = 4.4
(potrei approssimativamente fare il conto con una distribuzione di Poisson di media
27, verrebbe σ=5.2, questo risultato e’ meno corretto di quello ottenuto dalla
binomiale perche’ il numero di tentativi, 100, non e’ molto grande, e la probabilita’ di
successo p non e’ molto piccola. La distribuzione di Poisson funziona se N tende a
infinito e p tende a zero).
Nel caso A la il numero di successi 25 differisce di meno di un σ da quello
dell’operazione vera, quindi la differenza non e’ significativa, e non posso dire che la
rimozione della cartilagine serva.
Nel caso B la differenza e’ 16, quindi e’ circa 3 volte la σ della differenza
(=(4.42+3.12)1/2), quindi e’ significativa, quindi posso dire che la rimozione serve.
Problema D
X media 21.333 sigma x=0.0774
=0.0267/6 = 0.00445
Y media =32.0033333 sigma x= 0.081 cov
Coefficiente di correlazione lineare r = 0.71, secondo la tabella dell’appendice C del
vostro libro la probabilita’ di avere solo per caso un coefficiente di correlazione
lineare uguale a o maggiore di 0.71 con 6 coppie di misure e’ circa 0.12, quindi non e’
certo che ci sia realmente una correlazione, ma ci sono circa 0.88 probabilita’ (88%)
che essa ci sia.
Facendo un fit lineare dei dati la retta y=A+Bx che meglio interpola i dati interpola i
dati ha
A=0.89 +-0.28
B=-16.19 +- 15.2
L’errore sul coefficiente angolare B e’ circa confrontabile col valore del coefficiente
stesso. Anche questo ci dice che una certa correlazione potrebbe esserci, ma non
posso essere sufficientemente sicuro che sia reale.
L’errore su Z e W lo devo calcolare con la formula della propagazione degli errori per
gli errori statistici, tenendo conto anche della covarianza, poiche’ questa non e’
trascurabile.