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Esercizi di Geometria - 1
Samuele Mongodi - [email protected]
Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad
affrontare nei test e negli scritti dell’esame. Non è detto che vi sarà un problema
per tipo, né che quelli qui presentati coprano tutte le possibili richieste, ma farli
certo non sarà controproducente ai fini dell’esame. La sezione 3 contiene alcuni
suggerimenti su come affrontare gli esercizi.
1
Test
Esercizio 1 Sia V = R2 [x], munito della base {1, x, x2 }, e sia {L0 , L1 , L2 } la
base duale di V ∗ . Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare
Z 1
p(x) 7→
p(x)dx
0
Esercizio 2 Sia {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 e sia {e∗1 , e∗2 , e∗3 , e∗4 } la
base duale di (R4 )∗ . Determinare quanto vale e∗1 (2e1 + e2 + 3e3 − 2e4 ).
Esercizio 3 Sia V = R3 [x], munito della base {1, x, x2 , x3 }, e sia {L0 , L1 , L2 , L3 }
la base duale di V ∗ . Determinare M (x2 + 3x) dove M = L1 + 2L3 .
Esercizio 4 Sia (1, 2, 3)t ∈ R3 e sia φv ∈ (R3 )∗∗ l’elemento del biduale canonicamente associato a v. Se {e∗1 , e∗2 , e∗3 } è la base duale della base canonica,
determinare φv (e∗1 − e∗2 ).
Esercizio 5 Sia V = R2 [x], munito della base {1, x, x2 }, e sia {L0 , L1 , L2 } la
base duale di V ∗ . Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare
p(x) 7→ p(2)
Esercizio 6 Sia {v1 , v2 , v3 } una base di V su K, sia {v1∗ , v2∗ , v3∗ } la base duale
di V ∗ ; determinare v3∗ (v1 − v2 + 3v3 ).
Esercizio 7 Sia V = R2 [x], munito della base {1, 1 + x, 1 + x + x2 }, e sia
{M0 , M1 , M2 } la base duale di V ∗ . Determinare M1 (2 + 2x).
Esercizio 8 Sia v ∈ R3 e sia φv ∈ (R3 )∗∗ l’elemento del biduale canonicamente
associato a v; sapendo che {e∗1 , e∗2 , e∗3 } è la base duale della base canonica e che
φv (e∗1 ) = 0, φv (e∗2 ) = 1, φv (e∗3 ) = 1, determinare le coordinate di v rispetto alla
base canonica.
v1
w1
Esercizio 9 Sia h
,
i = −v1 w1 + v1 w2 + w1 v2 un prodotto
v2
w2
scalare suR2 ; si
scriva la matrice di tale prodotto scalare rispetto alla base
1
1
,
.
1
−1
1

 

v1
w1
Esercizio 10 Sia h v2  ,  w2 i = v1 w2 + w1 v2 − w1 v3 − v1 w3 + v3 w3 un
v3
w3
3
prodotto
scalare
su
R
;
si
scriva
la
matrice di tale prodotto scalare rispetto alla

   

0
1
 1

base  0  ,  1  ,  0  .


0
1
−1


v1
Esercizio 11 Sia b  v2  = v12 + v22 − v32 + 2v1 v3 + 4v2 v3 una forma quadratv3
ica;
matrice
del

 prodotto scalare associato a b rispetto alla base
 si scriva
  la 


0
1 
 1
 0 , 1 , 1  .


1
1
1
v1
Esercizio 12 Sia b
= v12 −2v22 −3v1 v2 una forma quadratica; si scriva la
v2
1
−2
matrice del prodotto scalare associato a b rispetto alla base
,
.
1
3
2
Esercizio 13 Dire per quali valori di α il prodotto
scalare su R associato
α
1
rispetto alla base canonica alla matrice
è indefinito non degenere.
1 α−1
Esercizio 14 Dire per quali valori di α il prodotto
scalare su R2 associato
−1 α
rispetto alla base canonica alla matrice
è definito negativo.
α 1
Esercizio 15 Dire per quali valori di α il prodotto scalare su R2 associa1
α2 − 1
to rispetto alla base canonica alla matrice
è semidefinito
2
α −1
1
positivo.


1
Esercizio 16 Determinare una base del sottospazio di R3 ortogonale a  0 
4
rispetto al prodotto scalare euclideo.
Esercizio
una base del sottospazio di R4 ortogonale ai due
 17 Determinare
 
1
1
 0   1 
  
vettori 
 1  e  0  rispetto al prodotto scalare euclideo.
0
0


1
Esercizio 18 Determinare una base del sottospazio di R3 ortogonale a  −2 
3
rispetto al prodotto scalare euclideo.


1
Esercizio 19 Determinare una base del sottospazio di R3 ortogonale a  1 
1
rispetto al prodotto scalare hx, yi = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 .
2


1
Esercizio 20 Determinare la lunghezza del vettore  1  in R3 rispetto al
1
prodotto scalare euclideo.
 
1
 2 
4

Esercizio 21 Determinare la lunghezza del vettore 
 3  in R rispetto al
2
prodotto scalare euclideo.
 
1
Esercizio 22 Determinare la lunghezza del vettore  0  in R3 rispetto al
4
prodotto scalare hx, yi = x1 y2 + x2 y1 − x2 y3 − x3 y2 .

 

x1
x1 + 3x3
Esercizio 23 Determinare l’applicazione aggiunta di f  x2  =  x2 − x1 
x3
x3 + 2x2
rispetto al prodotto scalare euclideo.

 

x1
x2 − x3

x2
Esercizio 24 Determinare l’applicazione aggiunta di f  x2  = 
x3
x1 − x2
rispetto al prodotto scalare euclideo.




x1
x3
Esercizio 25 Determinare l’applicazione aggiunta di f  x2  =  x3 
x3
x3
rispetto al prodotto scalare euclideo.




x1
x2
Esercizio 26 Determinare l’applicazione aggiunta di f  x2  =  x3 
x3
x1
rispetto al prodotto scalare hx, yi = x1 y1 + x1 y3 + x3 y1 − x2 y2 .
Esercizio 27 Dire se il prodotto scalare su R3 dato da hx, yi = x1 y1 + 2x1 y2 +
2x2 y1 −x1 y3 −x3 y1 +x2 y2 −2x3 y3 è degenere o non degenere, definito o indefinito.
Esercizio 28 Dire se il prodotto scalare su R3 dato da hx, yi = −x1 y1 + x1 y2 +
x2 y1 − 2x1 y3 − 2x3 y1 + 2x3 y3 è degenere o non degenere, definito o indefinito.
Esercizio 29 Dire se il prodotto scalare su R3 dato da hx, yi = 2x1 y1 + x1 y2 +
x2 y1 −x2 y3 −x3 y2 +2x2 y2 +2x3 y3 è degenere o non degenere, definito o indefinito.
Esercizio 30 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R3 rispetto al
prodotto scalare hx, yi = x1 y1 + x1 y3 + x3 y1 + x3 y3 .
Esercizio 31 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R3 rispetto al
prodotto scalare hx, yi = x1 y1 − x1 y3 − x3 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
Esercizio 32 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R3 rispetto al
prodotto scalare hx, yi = x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + x3 y3 .
3
2
Scritto
Esercizio 1 Sia R2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore
o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare
hp(x), q(x)i = p(0)q(0) + p(1)q(1) − p0 (0)q 0 (0)
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {1, x, x2 }.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = x2 − x − 3.
Esercizio 2 Sia R2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore
o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare
Z 1
hp(x), q(x)i =
p(x)q(x)dx − p0 (1)q 0 (1)
0
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {1, x, x2 }.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = x2 − 1.
Esercizio 3 Sia R2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore
o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare
hp(x), q(x)i = (pq)0 (0) − p(1)q(1)
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {1, x, x2 }.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = 2x2 + x.
Esercizio 4 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {ex , e−x , x, x2 }
e sia dato su V il seguente prodotto scalare
hf (x), g(x)i = (f g)0 (0) − f 0 (0)g 0 (0)
4
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {ex , e−x , x, x2 }.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = 4ex − 3x2 .
Esercizio 5 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {ex , e−x , x, x2 }
e sia dato su V il seguente prodotto scalare
Z 1
f (x)g(x)dx
hf (x), g(x)i = f (0)g(0) +
0
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {ex , e−x , x, x2 }.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = 2ex − 2e−x + x.
Esercizio 6 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, 1}
e sia dato su V il seguente prodotto scalare
Z 1
hf (x), g(x), =i
f (x)g(x)dx
0
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {sin x, cos x, 1}.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = 2 cos x + 1.
Esercizio 7 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, 1}
e sia dato su V il seguente prodotto scalare
hf (x), g(x), =if (0)g(π) + f (π)g(0)
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {sin x, cos x, 1}.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
5
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = 2 sin x + 1.
Esercizio 8 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, 1}
e sia dato su V il seguente prodotto scalare
hf (x), g(x), =if (0)g 0 (0) + f 0 (0)g(0)
i. Determinare la matrice associata a h·, ·i rispetto alla base {sin x, cos x, 1}.
ii. Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio
radicale.
iii. Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo.
iv. Trovare una base ortogonale.
v. Trovare l’ortogonale del vettore p(x) = 2 cos x + sin x.
Esercizio 9 Sia data su R3 la matrice simmetrica
√ 
√

0
− 3 √6
√
A = −√ 3 √2
2
6
2
1
i. Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale.




x1
x3
ii. Sia f  x2  =  x2 + x1  un’applicazione lineare; si determini la
x3
x3 + x2
matrice associata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da
A nella base trovata al punto precedente.
Esercizio 10 Sia data su R3 la matrice simmetrica


−1 1
0
A =  1 −1 1 
0
1 −1
i. Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale.




x1
x2
ii. Sia f  x2  =  x2 + x3  un’applicazione lineare; si determini la
x3
x3 − x1
matrice associata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da
A nella base trovata al punto precedente.
Esercizio 11 Sia data su R3 la matrice simmetrica


0 −3 1
A = −3 1 −3
1 −3 0
6
i. Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale.

 

x1
x1 + x3
ii. Sia f  x2  =  2x2 − 3x3  un’applicazione lineare; si determini
x3
x1 − x2 + 2x3
la matrice associata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto
da A nella base trovata al punto precedente.
Esercizio 12 Sia data su R3 la matrice

2
A = 0
1
simmetrica

0 1
3 0
0 2
i. Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale.




x1
x1 − x3
ii. Sia f  x2  =  −4x3  un’applicazione lineare; si determini la
x3
x1 − x2
matrice associata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da
A nella base trovata al punto precedente.
Esercizio 13 Sia data su R4 la matrice simmetrica


1 2 0 0
 2 1 0 0

A=
 0 0 1 2
0 0 2 1
i. Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale.




x1
x1 − x4
 x2 
 −2x2 



ii. Sia f 
 x3  =  x3 − x2  un’applicazione lineare; si determini la
x4
x4 + x2
matrice associata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da
A nella base trovata al punto precedente.
Esercizio 14 Sia data su R4 la matrice simmetrica


2 0 0 1
0 2 1 0

A=
0 1 2 0
1 0 0 2
i. Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale.




x1
x1 − x2
 x2 
 −2x3 



ii. Sia f 
 x3  =  2x2 − x4  un’applicazione lineare; si determini la
x4
x1 + 3x4
matrice associata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da
A nella base trovata al punto precedente.
7
2.1
Possibili varianti
Gli esercizi dello scritto saranno, probabilmente, del tipo riportato sopra, ma
potrebbero comparire alcune varianti.
Ad esempio, una domanda possibile negli esercizi del primo tipo potrebbe
essere:
Si trovi un piano iperbolico, se esiste.
Trovare un piano iperbolico equivale a trovare due vettori isotropi che non
siano tra loro ortogonali; due tali vettori vanno cercati ovviamente fuori dal radicale. Un piccolo trucco: se sulla diagonale della matrice associata al prodotto
scalare si trovano due zeri (il che vuol dire due vettori isotropi) e se agli altri
due vertici del rettangolo individuato da quelle due caselle si trova un numero
non nullo, i due vettori della base corrispondenti ai due zeri generano un piano
iperbolico. Ad esempio, nella matrice


0 1
2
0
1 −1 1
2


2 1
0 −2
0 2 −2 0
possiamo trovare subito i due piani iperbolici Span{e1 , e3 } e Span{e3 , e4 }, mentre non possiamo prendere e1 , e4 in quanto gli elementi sulla diagonale sono sı̀
zero, ma lo sono anche gli altri due vertici del rettangolo (le posizioni (1, 4) e
(4, 1)).
Ancora, nel primo esercizio, potrebbe comparire la domanda:
Determinare lo spazio radicale del prodotto scalare
Questo è anche un esercizio da test, ma potrebbe comunque comparire nello
scritto. Ovviamente, vanno bene sia una base dello spazio radicale che una
parametrizzazione.
Una possibile variante del secondo esercizio, invece, potrebbe essere:
Si trovi la matrice associata all’aggiunta di f nella base canonica rispetto al
prodotto scalare indotto dalla matrice A.
In questo caso, questa è una semplificazione notevole: invece di dover calcolare l’aggiunta nella base diagonalizzante, si deve svolgere tutto nella base
canonica. Quindi è simile agli esercizi del test che chiedono di trovare l’aggiunta
di una certa applicazione rispetto ad un certo prodotto scalare. In particolare,
se f è associata alla matrice B rispetto alla base canonica, allora la sua aggiunta
sarà associata alla matrice A−1 B t A, dove A è la matrice del prodotto scalare,
sempre rispetto alla base canonica (quindi, per intenderci, non diagonale).
Non ho inserito altri esercizi con queste richieste, in quanto basta che rifacciate i precedenti quattordici esercizi inserendo anche queste domande.
8
3
Brevi richiami
In questa sezione non vi sono soluzioni di esercizi specifici, ma vengono presentati
i metodi risolutivi da usare.
3.1
Duale
Data una base di V composta dai vettori {v1 , . . . , vn }, la base duale {v1∗ , . . . , vn∗ }
di V ∗ è definita come
0 se i 6= j
vi∗ (vj ) =
1 se i = j
Quindi vi∗ (a1 v1 + . . . + an vn ) = ai ; se inoltre M è un generico elemento di V ∗ ,
M = λ1 v1∗ + . . . + λn vn∗
e i coefficienti λi sono dati da
λi = M (vi )
In particolare, se v = a1 v1 + . . . + an vn e M = λ1 v1∗ + . . . + λn vn∗ , allora
M (v) = a1 λ1 + . . . + an λn
L’isomorfismo canonico tra V e V ∗∗ è dato da
v 7→ φv
dove φv è un elemento del biduale (ovvero un’applicazione lineare dal duale al
campo base) tale che
φv (M ) = M (v)
∀M ∈ V ∗
. In particolare, se v = a1 v1 + . . . + an vn e M = λ1 v1∗ + . . . + λn vn∗ , si ha
φv (M ) = a1 λ1 + . . . + an λn
3.2
Cambi di base del prodotto scalare
Dato un prodotto scalare h·, ·i sullo spazio vettoriale V , la sua matrice nella
base {v1 , . . . , vn } è data da


hv1 , v1 i hv1 , v2 i · · · hv1 , vn i
 hv2 , v1 i hv2 , v2 i · · · hv2 , vn i 


 ..

..
..
..
 .

.
.
.
hvn , v1 i hvn , v2 i · · · hvn , vn i
ovvero, alla i−esima riga e j−esima colonna si trova il numero hvi , vj i.
9
3.3
Forme quadratiche e prodotti scalari
Ad ogni prodotto scalare è associata la forma quadratica b(v) = hv, vi; avendo
solo tale forma si può ricostruire il prodotto scalare: hv, wi = (b(v + w) − b(v −
w))/4.
Inoltre, dalla forma quadratica si può ricavare direttamente la matrice del
prodotto scalare rispetto alla base canonica: supponiamo di essere in R3 per
semplicità e che sia data la forma quadratica
b(v) = av12 + bv22 + cv32 + dv1 v2 + ev1 v3 + f v2 v3
Allora la matrice associata al prodotto scalare indotto da b rispetto alla base
canonica è


a
d/2 e/2
d/2
b
f /2
e/2 f /2
c
(attenzione ai diviso 2 fuori dalla diagonale!!).
3.4
Segnatura
Un prodotto scalare è degenere se e solo se il radicale dello spazio (V ⊥ ) è diverso
da {0}; in pratica, ciò significa che un prodotto scalare è degenere se e solo se il
determinante della matrice associata in una qualche base è nullo e la dimensione
dello spazio radicale è la dimensione del nucleo. Inoltre, un prodotto scalare è
indefinito se esiste un vettore isotropo (ovvero tale che hv, vi = 0) che non stia
in V ⊥ ; in pratica, è indefinito se la matrice associata in una qualche base ha due
autovalori di segno diverso. Viceversa, è definito positivo o negativo (e questo
ha senso solo su R o più in generale su un campo ordinato) se e solo se per ogni
vettore non nullo si ha hv, vi > 0 (nel caso di positivo) o hv, vi < 0 (nel caso di
negativo); in pratica vuol dire che tutti gli autovalori sono positivi o negativi.
Infine è semidefinito positivo (o negativo) se è degenere e per ogni vettore non
nullo si ha hv, vi ≥ 0 (o hv, vi ≤ 0); in pratica vuol dire che gli autovalori sono
tutti nulli o positivi (o negativi).
Trucchi: Se sulla diagonale c’è uno 0, il prodotto è sicuramente indefinito
(quello è un vettore isotropo); se sulla diagonale ci sono un numero positivo e
uno negativo, il prodotto è sicuramente indefinito (corrispondono a due vettori
uno con prodotto scalare con se stesso positivo, l’altro con prodotto scalare con
se stesso negativo).
3.5
Sottospazio ortogonale


v1


Il sottospazio ortogonale ad un vettore v =  ...  rispetto al prodotto scalare
vn
h·, ·i è l’insieme delle soluzioni del sistema lineare (ad una equazione ed n
incognite)

 

v1
x1

 

h ...  ,  ... i = 0
vn
xn
10
In particolare, se il prodotto scalare è quello euclideo (o canonico) si ha
v1 x 1 + . . . + vn x n = 0
Il sottospazio ortogonale al sottospazio generato dai due vettori v e w è l’insieme
delle soluzioni del sistema lineare (a due equazioni e n incognite
hv, xi = 0
hw, xi = 0
e se il prodotto scalare è quello euclideo (o canonico) si ha
v1 x 1 + . . . + vn x n = 0
w 1 x1 + . . . + w n xn = 0
E cosı̀ via per gli ortogonali a sottospazi generati da più vettori.
3.6
Lunghezze e angoli
La lunghezza di un vettore v rispetto al prodotto scalare h·, ·i esiste solo se
questo è definito positivo ed è
p
kvk = hv, vi
Nel caso del prodotto scalare canonico,
q
kvk = v12 + . . . + vn2
se v1 , . . . , vn sono le coordinate di v rispetto alla base canonica (o più in generale
rispetto ad una base ortonormale).
Similmente, l’angolo θ tra i due vettori v, w, sempre per un prodotto definito
positivo, si definisce come
hv, wi
θ = arccos
kvkkwk
Ovvero, più usualmente si dice che
cos θ =
hv, wi
kvkkwk
Quindi, rispetto al prodotto scalare euclideo
cos θ = p
3.7
v12
v1 w 1 + . . . + vn w n
p
+ . . . + vn w12 + . . . + wn2
Applicazione aggiunta
L’applicazione aggiunta di f : V → V rispetto al prodotto scalare h·, ·i è
l’applicazione a f : V → V tale che
hf (v), wi = hv, a f (w)i
11
per ogni v, w ∈ V . Se il prodotto scalare è quello euclideo, la matrice di a f
rispetto alla base canonica non è altro che la trasposta della matrice di f rispetto
alla base canonica.
Se invece il prodotto scalare è associato, rispetto alla base canonica, alla
matrice simmetrica A e f è associata alla matrice B, allora a f è associata alla
matrice A−1 B t A.
e
Se infine abbiamo ottenuto una matrice ortogonale M tale che M t AM = A
è diagonale, nella base formata dalle colonne di M l’aggiunta di f è associata
alla matrice
e−1 M t B t M A
e
A
3.8
Basi ortogonali
Per trovare una base ortogonale per un prodotto scalare si applica il metodo di
Lagrange a partire da una base qualsiasi (di solito quella canonica). In breve,
il metodo si compone di tre mosse:
1. se hv1 , v1 i =
6 0, si sostituisce ogni vettore vi con vi −
hv1 ,vi i
hvi ,vi i ;
2. se hv1 , v1 i = 0 ma c’è un vi tale che hvi , vi i 6= 0, si scambiano v1 e vi e si
torna al passo 1;
3. se per ogni i si ha hvi , vi i = 0, ma esistono i, j tali che hvi , vj i =
6 0, si
mette vi + vj al posto di v1 e si mette v1 al posto di vi (o di vj ), a meno
che v1 non sia già uno dei due vettori, allora si mette vi + vj al posto di
v1 e basta.
Dopo aver applicato il primo passo, si ottiene una nuova base e si ricomincia,
escludendo il primo vettore e considerando solo dal secondo in poi; dopo il
secondo passo si considereranno i vettori dal terzo in poi e cosı̀ via. Se non
si può applicare nessuna delle tre mosse, la matrice che rimane è tutta nulla,
quindi la base è già ortogonale.
Nel caso il prodotto scalare sia definito positivo, si applicherà sempre la
prima mossa e, una volta terminato p
il processo, dividendo ogni vettore della
base per la propria norma (ovvero per hv, vi), si otterrà una base ortonormale.
3.9
Diagonalizzazione tramite matrici ortogonali
Per diagonalizzare una matrice simmetrica A tramite matrici ortogonali si procede come segue: si trova una base di autovettori di A, data da {v1 , . . . , vn }
e si applica il procedimento di Grahm- Schmidt (oppure Lagrange più la normalizzazione finale) rispetto al prodotto scalare euclideo a tale base. Si noti
che, per il teorema spettrale, gli autovettori relativi ad autovalori diversi sono
già ortogonali, quindi basta applicare l’ortodiagonalizzazione solo ai gruppi di
autovettori dello stesso autovalore.
E’ importante ricordarsi sempre di normalizzare
i vettori (rispetto al prodotp
to scalare euclideo), ovvero di dividere per v12 + . . . + vn2 , per ottenere alla fine
una base di vettori di norma 1.
I vettori cosı̀ trovati formano le colonne di una matrice M tale che M t =
−1
M , quindi M −1 AM = M t AM è una matrice diagonale e la base trovata è
contemporaneamente ortogonale per A e ortonormale per il prodotto scalare
euclideo.
12
3.10
Vettori isotropi
Se il prodotto scalare è degenere, un vettore isotropo non nullo è semplicemente
un elemento del nucleo della matrice associata; oppure, se nella matrice c’è uno
zero sulla diagonale, diciamo in posizione (i, i), allora vuol dire che hvi , vi i = 0,
con vi l’i−esimo elemento della base, quindi quello è un vettore isotropo.
Se invece il prodotto scalare è non degenere e definito (positivo o negativo)
il vettore isotropo non esiste.
Se infine il prodotto scalare è indefinito e non degenere (e non vi sono 0
sulladiagonale),
si può procedere come segue: si scrive un vettore incognito

x1


x =  ...  e si calcola
xn
 
x1
 

h ...  , 
xn


x1
.. i = xt Ax
. 
xn
che sarà un polinomio nelle variabili xi di grado 2. Si vuole trovare dei numeri
x1 , . . . , xn che annullano questa espressione; un metodo possibile è assegnare
valori a n − 1 di queste variabili (valori facili, ad esempio 0,1 o −1) e cercare
di ricavare l’ultima variabile di modo che tutto faccia 0. Attenzione, questo
metodo non funziona sempre al primo colpo, perché l’equazione è di grado 2
e non è detto che si possa risolvere per ogni valore messo a caso nelle prime
variabili, quindi eventualmente si può provare a cambiare i valori assegnati.
4
Risposte numeriche per i test

1
1.  1/2 
1/3

2. 2
3. 3
4. −1


1
5.  2 
4
6. 3
7. 2


0
8.  1 
1
1 −1
9.
−1 3
13

0
10. 0
1

2
11. 2
4
−4
12.
19

1
−1
3

2 4
4 5
5 7
19
4
0
1
−1
13. {1/2 < α < 1/2 +
√
5/2} ∪ {α < 1/2 −
14. nessun α.
√
√
15. α = 0, 2, − 2

  
−4
0
16.  0  ,  1 
1
0
  

0
1
 −1   0 
  
17. 
 −1  ,  0 
1
0

  
−3
2
18.  1  ,  0 
1
0

  
−1
1
19.  1  ,  0 
0
1
√
3
20.
√
21. 3 2
22. 0

23.
24.
25.
26.
 
x1
a 
x2  = 
f
x3

 
x1
a 
x2  = 
f
x3

 
x1
a 
x2  = 
f
x3

 
x1
a 
x2  = 
f
x3

x1 − x2
x2 + 2x3 
3x1 + x3

x3
x1 + x2 − x3 
−x1

0

0
x1 + x2 + x3

−x2
−x1 − x3 
x1 + x2
14
√
5/2}
27. non degenere, indefinito
28. non degenere, indefinito
29. non degenere definito positivo
30. 2
31. 1
32. 1.
15