appelli2012

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A)
Cognome:
Nome:
Nr.matricola:
Corso di laurea:
Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k ∈ R, i piani:
π1 : x − 2y + 2z = 2,
π2 : z = 5,
π3 : kx − y = 3.
1. Determinare i valori di k per cui π1 ∩ π2 ∩ π3 6= ∅.
2. Determinare, se possibile, una retta passate per l’origine e ortogonale a π1 e π2 .
Svolgimento:
Esercizio 2. Siano
¶
µ
1 2 3
A1 =
,
0 0 0
¶
µ
0 1 0
,
A2 =
1 0 0
µ
¶
2 2 2
A3 =
.
0 1 1
1. È possibile scrivere ogni matrice in M2×3 (R) come combinazione lineare di A1 , A2 , A3 ?
Giustificare la risposta.
2. Stabilire se A1 , A2 , A3 sono linearmente indipendenti.
Svolgimento:
nµ 3 ¶ µ 0 ¶o
n µπ ¶ µ0¶ o
0
Esercizio 3. Siano B =
,
eB =
,
due basi ordinate di R2 .
2π
−1
0
1
Sia L : R2 −→ R2 l’applicazione lineare definita da
¶
µ ¶ µ
x
πx
L
=
.
y
2x − y
1. Determinare MB,B0 e MB0 ,B .
2. Determinare MB,B (L) e MB0 ,B0 (L).
Svolgimento:
Esercizio 4. Si consideri la matrice


0 −1
0
√
A = 1 √0 − 2 ∈ M3×3 (K),
0
2
0
(K = R, o K = C).
1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilità o meno di diagonalizzare A. In
caso affermativo, diagonalizzare la matrice A.
2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispetto
al prodotto scalare standard di R3 .
Svolgimento:
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - B)
Cognome:
Nome:
Nr.matricola:
Corso di laurea:
Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k ∈ R, i piani:
π1 : z = 5,
π2 : x − 2y + 2z = 2,
π3 : kx − y = 3.
1. Determinare i valori di k per cui π1 ∩ π2 ∩ π3 6= ∅.
2. Determinare, se possibile, una retta passate per l’origine e ortogonale a π1 e π2 .
Svolgimento:
Esercizio 2. Siano
¶
µ
3 2 1
A1 =
,
0 0 0
¶
µ
0 1 0
,
A2 =
1 0 0
µ
¶
1 1 1
A3 =
.
0 2 2
1. È possibile scrivere ogni matrice in M2×3 (R) come combinazione lineare di A1 , A2 , A3 ?
Giustificare la risposta.
2. Stabilire se A1 , A2 , A3 sono linearmente indipendenti.
Svolgimento:
nµ 3 ¶ µ 0 ¶o
n µπ ¶ µ0¶ o
0
Esercizio 3. Siano B =
,
eB =
,
due basi ordinate di R2 .
2π
−1
0
1
Sia L : R2 −→ R2 l’applicazione lineare definita da
¶
µ ¶ µ
x
πx
L
=
.
y
2x + y
1. Determinare MB,B0 e MB0 ,B .
2. Determinare MB,B (L) e MB0 ,B0 (L).
Svolgimento:
Esercizio 4. Si consideri la matrice


0 −1
0
√
A = 1 √0 − 2 ∈ M3×3 (K),
0
2
0
(K = R, o K = C).
1. Discutere, nei due casi K = R e K = C, la possibilità o meno di diagonalizzare A. In
caso affermativo, diagonalizzare la matrice A.
2. Nel caso K = R, stabilire se le colonne di A formano una base ortonormale rispetto
al prodotto scalare standard di R3 .
Svolgimento:
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio 2012 - A)
Cognome:
Nome:
Nr.matricola:
Corso di laurea:
Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni
½
x − y + z = 2,
x − 4 = 0.
1. Determinare un’equazione cartesiana per il piano π contenente r e P .
2. Determinare un’equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r.
Svolgimento:
Esercizio 2. Siano dati i sottospazi
W1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 = 0, 3x2 + 2x3 − 3x4 − 3x5 = 0} ,
W2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 − x2 + 6x3 − 9x4 − 9x5 = 0} .
1. Determinare una base e la dimensione di W1 ∩ W2 .
2. Determinare una base e la dimensione di W1 + W2 .
Svolgimento:
Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R2 , rappresentato dalla matrice
¶
µ
4 2
A=
2 2
rispetto alla base canonica di R2 .
µµ ¶ µ ¶¶
0
1
.
,
1. Calcolare g
−3
0
2. Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x1 , x2 )T ∈ R2 | 3x1 = 2x2 },
rispetto al prodotto scalare g.
Svolgimento:
Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 che è rappresentata dalla matrice


1 0 0
2 5 0 , k ∈ R,
3 7 k
rispetto alla base canonica di R3 , presa come base di partenza e di arrivo.
1. Determinare, al variare del parametro k ∈ R, una base per ogni autospazio di L.
2. Stabilire per quali valori di k ∈ R l’applicazione L è diagonalizzabile.
Svolgimento:
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 12 Luglio 2012 - B)
Cognome:
Nome:
Nr.matricola:
Corso di laurea:
Esercizio 1. Siano dati il punto P = (2, 1, 2) e la retta r di equazioni
½
y − z = 2,
x − 4 = 0.
1. Determinare un’equazione cartesiana per il piano π contenente r e P .
2. Determinare un’equazione parametrica per la retta passante per P e parallela a r.
Svolgimento:
Esercizio 2. Siano dati i sottospazi
W1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 − x2 + 6x3 − 9x4 − 9x5 = 0} ,
W2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T ∈ R5 | x1 = 0, 3x2 + 2x3 − 3x4 − 3x5 = 0} .
1. Determinare una base e la dimensione di W1 ∩ W2 .
2. Determinare una base e la dimensione di W1 + W2 .
Svolgimento:
Esercizio 3. Si consideri il prodotto scalare g di R2 , rappresentato dalla matrice
¶
µ
4 2
A=
2 2
rispetto alla base canonica di R2 .
µµ ¶ µ ¶¶
3
0
.
,
1. Calcolare g
0
−1
2. Determinare lo spazio ortogonale al sottospazio W = {(x1 , x2 )T ∈ R2 | 3x1 = 2x2 },
rispetto al prodotto scalare g.
Svolgimento:
Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 che è rappresentata dalla matrice


1 0 0
2 5 0 , k ∈ R,
3 7 k
rispetto alla base canonica di R3 , presa come base di partenza e di arrivo.
1. Determinare, al variare del parametro k ∈ R, una base per ogni autospazio di L.
2. Stabilire per quali valori di k ∈ R l’applicazione L è diagonalizzabile.
Svolgimento:
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 17 settembre 2012 - A)
Cognome:
Nome:
Nr.matricola:
Corso di laurea:
Esercizio 1. Nello spazio R3 , si considerino le rette


 x=1−t
 x=0
y=1
y = t0 .
s1 :
, s2 :


z = 3t
z=0
1. Specificare la posizione rispettiva delle due rette.
2. Determinare equazioni cartesiane della retta r passante per P = (0, 1, 2) e incidente s1 e s2 .
Svolgimento:
Esercizio 2. In R4 , si considerino i vettori
w1 = (2, 1, 0, 1)T ,
w2 = (−1, 2, 1, 3)T ,
w3 = (−4, 3, 2, 5)T .
1. Scrivere un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio W generato da w1 , w2 , w3 .
2. Trovare una base per lo spazio ortogonale a W , rispetto al prodotto scalare standard di R4 .
Svolgimento:
Esercizio 3. Sia data la matrice


5 0 −4
A =  0 3 0 ,
4 0 −5
1. Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile su R e in tal caso trovare una matrice
invertibile P e una matrice diagonale D, tali che A = P DP −1 .
2. Calcolare la potenza A17 .
Svolgimento:
Esercizio 4. Si consideri l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 definita da
  

x1
x1 − x2 + x3
L x2  = x1 + x2 + x3  .
x3
2x1 + 2x3
1. Determinare una base per il nucleo e una base per l’immagine di L.
2. Stabilire se il vettore (1, 0, 2)T appartiene all’immagine di L.
3. Calcolare la controimmagine tramite L del vettore (0, 2, 2)T .
Svolgimento: