Stessa distanza: media armonica delle velocità

Stessa distanza: media armonica delle velocità
Se percorriamo un tragitto lungo d andando a velocità scalare media v1 per la prima metà del percorso e a
velocità scalare media v2 per la seconda metà del percorso, sappiamo che la velocità scalare media v per
l’intero percorso non è la media aritmetica di v1 e v2 ma sarà tanto più vicina a quello dei due valori che
viene assunto per un tempo più lungo, e cioè il minore. Effettuiamo il calcolo:
v=
d
,
t
t = t1 + t2
Calcolando i tempi nelle due metà:
1 d
t1 = 2
v1
v2
v1
d
2
d
2
1 d
t2 = 2
v2
osserviamo che il tempo di permanenza in ciascuna metà è tanto maggiore quanto più piccola è la velocità.
Sostituendo:
v=
d
1
=
1 d
1 d
1  1
1
2 + 2
 + 

2  v1 v1 
v1
v1
La relazione ottenuta si dice media armonica dei valori v1 e v2 . Prendendo i reciproci di ambo i membri si
ha una forma più facile da ricordare:
1
1 1
1
=  + 
v
2  v1 v2 
Il problema si generalizza: se dividiamo un tragitto in n tratti uguali, e percorriamo ciascuno di essi ad una
differente velocità, si ottiene che la velocità scalare media totale è la loro media armonica:
1
11
1
1
=  +
+ ... + 
v
n  v1 v2
vn 
v1
v2
v3
v4
v5
v6
vn
t1
t2
t3
t4
t5
t6
tn
Stesso tempo: media aritmetica delle velocità
Se percorriamo un tragitto lungo d andando a velocità scalare media v1 per la prima metà del tempo totale t
e a velocità scalare media v2 per la seconda metà del tempo, la velocità scalare media v per l’intero percorso
è la media aritmetica di v1 e v2 in quanto i due valori vengono assunti per la stessa durata di tempo.
Effettuiamo il calcolo:
v=
d
,
t
v2
v1
d = d1 + d2
d2
d1
la distanza è ora differente nei due tratti:
1
d1 = v1 ⋅ t
2
1
d2 = v2 ⋅ t
2
sostituendo si ottiene proprio la media aritmetica delle velocità:
v1 ⋅
v=
1
1
t + v2 ⋅ t
2
2 = 1 (v + v )
1
2
t
2
relazione anch’essa generalizzabile in caso di n tratti percorsi tutti nello stesso tempo t n :
v=
1
(v1 + v2 + ... + vn )
n
v1
v2
v3
v4
v5 v6
vn
t
t
t
t
t
t
t