Scheda di esercizi 11: basi ortogonali e matrice associata a un
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Scheda di esercizi 11: basi ortogonali e matrice associata a un
Scheda di esercizi 11: basi ortogonali e matrice associata a un prodotto scalare (a) Applica il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt alle seguenti basi di V (dotato di prodotto scalare canonico): 3 0 0 2 , 0 , 1 2 4 −1 1 0 1 , 1 0 1 0 0 1 0 1 −1 , , 1 1 1 −1 V = R3 V = R4 (b) Dato uno spazio metrico V e U = Span(u1 , . . . , un ) ⊂ V , dimostra che w ⊥ u per ogni u ∈ U ⇐⇒ w ⊥ ui , per ogni i = 1, . . . , n. Suggerimento: la freccia ⇒ è facile. Per dimostrare l’altra freccia devi utilizzare la bilinearità del prodotto scalare (c) Calcola equazioni cartesiane e parametriche del supplemento ortogonale U ⊥ nei seguenti casi: 1 0 0 1 4 – U ⊆R , U = Span , 0 −1 1 1 x1 – U ⊆ R3 , U = x2 ∈ R3 : x1 − x2 + x3 = 0 x3 x1 x + x 1 2 3 3 2 – U ⊆ R , U = ker(T ) dove T : R → R , T x2 = x1 + x2 + x3 x3 (d) Sia V = R3 [t] dotato del prodotto scalare standard, cioe’ tale che ha0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 , b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 i = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 – Dopo aver verificato che i seguenti polinomi costituiscono una base di V , applica ad essi (scegliendo l’ordine che preferisci) il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: t + 1, t + t2 , 2 − t − t3 , t3 – Dato il sottospazio U = Span(t3 − 1, t + 2) di V , calcola equazioni cartesiane e parametriche di U ⊥ . – Scrivi una base ortonormale di U e una base ortonormale di U ⊥ . 0 Università Politecnica delle Marche, Corso di Geometria, docente Chiara Brambilla (e) Dato 1 0 0 1 U = Span 0 , −1 1 1 ⊆ R4 – scrivi una base ortonormale di U , 0 2 – Dato v0 = 2 , calcola PU (v0 ) = u0 , dove PU è la proiezione ortogonale sul 1 sottospazio U , (Suggerimento: usa la formula PU (v) = hv, u1 iu1 + hv, u2 iu2 ) – scrivi la matrice A associata alla proiezione ortogonale PU : R4 → R4 rispetto a una base di R4 a tua scelta. – verifica che Av0 è il vettore u0 che hai calcolato al punto 2. – verifica che v0 − u0 ∈ U ⊥ . 2 5 1 5 Soluzione: u0 = −1 5 3 5 (f) Per ciascuno dei prodotti scalari definiti negli esercizi (a), (b), (c), (d), (e) della scheda 10, scrivi la matrice S associata, rispetto a una base a tua scelta. Per ciascuna di esse, – verifica la proprietà di simmetria – studia la degenericità del prodotto scalare, calcolando il determinante della matrice. 1 2 2 2 2 3 2 −2 Soluzione del punto (d), rispetto alla base {1, t, t2 , t3 }: S = 2 2 −20 −76 2 −2 −76 −260 (g) Data la forma bilineare simmetrica su R3 hv, wi = v1 w1 + 2v2 w2 + 3v3 w3 − 4v2 w3 − 4v3 w2 + v2 w1 + v1 w2 e la base di R3 : 1 3 −2 B = 0 , 3 , 5 , −1 3 4 scrivi – la matrice S che rappresenta h·, ·i rispetto alla base canonica C di R3 , – la matrice S 0 che rappresenta h·, ·i rispetto alla base B, – la matrice B di cambiamento di base da C a B. – Verifica infine che S 0 = B T SB, cioè che S e S 0 sono congruenti.