Calcolo integrale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 9
Calcolo integrale
9.1
Primitive ed integrale inde…nito
De…nizione 9.1 Assegnata una funzione f : A ! R, si de…nisce primitiva di
f una qualunque funzione F : A ! R derivabile, tale che F 0 (x) = f (x), per
ogni x 2 A.
Proposizione 9.2 Se esiste F primitiva di f , allora ne esistono in…nite.
Dimostrazione. Sia c 2 R e si consideri la funzione F1 (x) = F (x) + c
...
De…nizione 9.3 Si de…nisce integrale inde…nito di f l’insieme di tutte le primitive di f . Tale insieme si denota con il simbolo
Z
f (x)dx:
Proposizione 9.4 Se la funzione f è de…nita su un intervallo, allora due
qualsiasi primitive di f di¤ eriscono tra loro per una costante.
Dimostrazione. Siano F1 ed F2 primitive di f .
...
In forza della proposizione precedente, se f è de…nita su intervallo ed ammette una primitiva F , si può scrivere
Z
f (x)dx = fF (x) + cg
o, più semplicemente
Z
f (x)dx = F (x) + c:
Vogliamo ribadire che, se non siamo su un intervallo, non è a¤atto detto che
due primitive di¤eriscano per una costante. Quindi le precedenti scritture non
sono valide, oppure si intendono riferite ad un unico intervallo.
1
2
9.2
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
Calcolo di primitive
L’esistenza di primitive per una funzione continua costituisce la tesi del cosiddetto Teorema fondamentale del Calcolo che vedremo in seguito.
Detto teorema fornisce una “ricetta” per il calcolo di una primitiva, ma in
pratica si tratta di una ricetta non utilizzabile.
In realtà la determinazione di una primitiva non è a¤atto un problema banale, anzi si può dimostrare che alcune funzioni relativamente semplici e di uso
2
comune (ad esempio f (x) = e x ) non ammettono una primitiva esprimibile in
termini di funzioni elementari.
Per calcolare le primitive il punto di partenza sono le derivate delle funzioni
elementari.
In secondo luogo si sfruttano al contrario le regole di derivazione:
linearità
integrazione per sostituzione
integrazione per parti
9.3
Integrale di Riemann
Sia assegnata una funzione f : [a; b] ! R limitata.
De…nizione 9.5 Si de…nisce partizione di [a; b] un insieme …nito e ordinato di
punti
P = fa = x0 < x1 < x2 <
< xn = bg :
De…nizione 9.6 Si de…nisce somma inferiore di f relativa alla partizione P il
numero
n
X
f (x):
s(f; P ) =
(xi xi 1 )
inf
xi x xi+1
i=1
Si de…nisce somma superiore di f relativa alla partizione P il numero
S(f; P ) =
n
X
(xi
xi
1)
sup
f (x):
xi x xi+1
i=1
Esempio 9.7 Consideriamo la funzione
f
f (x)
: [0; 3] ! R
= x3 3x2 + 5
Rappresentiamo geometricamente e calcoliamo le somme inferiori relative a due
diverse partizioni
P1
P2
= f0; 3=2; 3g ;
= f0; 1=2; 3=2; 5=2; 3g :
Anzitutto dobbiamo conoscere l’andamento della funzione, quindi abbiamo riportato il gra…co nella …g. 10.1.
9.3. INTEGRALE DI RIEMANN
3
5
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
x
2
3
Fig. 10.1: f (x) = x
2.5
3
2
3x + 5
Per P1 la rappresentazione geometrica della somma inferiore è riportata nella
…g. 10.2
5
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
Fig. 10.2: s(f; P1 )
e quindi
s(f; P1 )
= (3=2 0)f (3=2) + (3
= 63=16:
3=2)f (2)
Per P2 la rappresentazione geometrica della somma inferiore è riportata nella
…g. 10.3
4
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
5
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
Fig. 10.3: s(f; P2 )
e quindi
s(f; P2 )
=
(1=2 0)f (1=2) + (3=2 1=2)f (3=2) +
+(5=2 3=2)f (2) + (3 5=2)f (5=2)
= 23=4
Dunque, come evidenziato anche dal simbolo utilizzato, le quantità s(f; P )
e S(f; P ) dipendono in maniera essenziale, oltre che da f , dalla partizione P .
Indichiamo con s(f ) l’insieme di tutte le somme inferiori di f al variare della
partizione P ; analogamente indichiamo con S(f ) l’insieme di tutte le somme
superiori.
Proposizione 9.8 Per ogni partizione P risulta
s(f; P )
S(f; P ):
Quali che siano P1 e P2 partizioni di [a; b] risulta
s(f; P1 )
S(f; P2 ):
In base al teorema precedente si dice che gli insiemi s(f ) e S(f ) sono separati.
De…nizione 9.9 La funzione f si dice integrabile (secondo Riemann) in [a; b]
se esiste un unico elemento di separazione tra l’insieme delle somme inferiori
e l’insieme delle somme superiori. Tale elemento prende il nome di integrale di
Riemann e si denota con il simbolo
Z
f (x)dx
(9.1)
[a;b]
In altri termini l’integrale di Riemann, se esiste, è l’unico numero reale
minore di tutte le somme superiori e maggiore di tutte le somme inferiori.
9.3. INTEGRALE DI RIEMANN
9.3.1
5
Interpretazione geometrica
In genere si dice che l’integrale (di funzioni positive) si interpreta come area
della regione (detta rettangoloide) avente per base [a; b] e delimitata dal gra…co
di f .
In realtà, come già avveniva in altri contesti, non è a¤atto chiaro ciò che
debba intendersi per area di una regione del piano delimitata da una curva.
Nel caso di un rettangolo ragionevolmente si assume, per de…nizione, che
l’area sia data dal prodotto delle lunghezze dei lati. Se abbiamo una regione
composta da due o più rettangoli non sovrapposti, l’area di tale regione si pone
uguale alla somma delle aree dei rettangoli. Rimane da de…nire la nozione di
area per una regione generica, in particolare per il rettangoloide.
D’altra parte abbiamo un esempio semplice ed interessante.
Esempio 9.10 La funzione f : [a; b] ! R di costante valore h è integrabile e
risulta
Z
f (x)dx = h(b a):
[a;b]
Dunque, almeno nel caso elementare di una funzione costante (con h > 0),
abbiamo ottenuto l’uguaglianza
integrale = base
altezza = area del rettangoloide
(in questo caso un rettangolo vero e proprio).
Alla luce di tutto questo assumiamo, per de…nizione, che l’area del rettangoloide relativo ad una funzione (integrabile e) positiva coincida con il valore
dell’integrale. Sul caso di una funzione non positiva torneremo in seguito.
Possiamo chiarire anche il signi…cato di integrabilità: l’area del rettangoloide
può essere approssimata da somme di aree di rettangoli: dall’interno, per difetto
(somme inferiori); dall’esterno, per eccesso (somme superiori). La condizione di
integrabilità secondo Riemann (unicità dell’elemento di separazione) vuol dire
che i due processi di approssimazione (per difetto e per eccesso) conducono allo
stesso risultato.
L’interpretazione dell’integrale come Rarea è alla base del simbolo stesso di
integrale: abbiamo una somma in…nita ( è una S stilizzata) delle aree di rettangolini in…nitesimi aventi base dx e altezza f (x); tale somma è estesa da a a
b. Come nelle somme, la variabile di integrazione non è rilevante e quindi, ad
esempio, abbiamo
Z
Z
f (x)dx =
f (t)dt:
[a;b]
9.3.2
[a;b]
Funzioni integrabili
La nozione di integrale di Riemann ha senso per funzioni limitate. Tuttavia
dobbiamo precisare subito che non tutte le funzioni limitate sono integrabili
secondo Riemann.
Sussistono i seguenti risultati
Teorema 9.11 Se f : [a; b] ! R è monotona, allora f è integrabile.
Teorema 9.12 Se f : [a; b] ! R è continua, allora f è integrabile.
6
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
Teorema 9.13 Se f : [a; b] ! R è limitata e presenta un numero …nito di punti
di discontinuità, allora f è integrabile.
Sussiste una proprietà di linearità.
Proposizione 9.14 Se le funzioni f1 ; f2 : [a; b] ! R sono integrabili, allora
anche la funzione somma è integrabile e risulta
Z
Z
Z
(f1 (x) + f2 (x))dx =
f1 (x)dx +
f2 (x)dx:
[a;b]
[a;b]
[a;b]
Se f : [a; b] ! R è integrabile e c 2 R, allora c f è integrabile e risulta
Z
Z
c f (x)dx = c
f (x) dx
[a;b]
[a;b]
Osservazione 9.15 Se le funzioni f1 ; f2 : [a; b] ! R sono integrabili, allora
anche la funzione prodotto è integrabile, ma è assolutamente falso che l’integrale
del prodotto è uguale al prodotto degli integrali.
Sussiste la proprietà additiva rispetto al dominio.
Proposizione 9.16 Se f : [a; b] ! R è integrabile e c 2 (a; b), allora f è
integrabile negli intervalli [a; c] e [c; b] e risulta
Z
Z
Z
f (x) dx +
f (x) dx =
f (x) dx:
[a;c]
9.3.3
[c;b]
[a;b]
Proprietà dell’integrale
Sia f : [a; b] ! R integrabile, si de…nisce media (integrale) di f il numero reale
Z
1
f (x)dx:
f=
b a [a;b]
Teorema 9.17 (della media) Se f : [a; b] ! R è integrabile, risulta
inf f (x)
x2[a;b]
f
sup f (x):
x2[a;b]
Inoltre, se f è continua, esiste x0 2 [a; b] tale che
f = f (x0 ):
Dal Teorema della media consegue la proprietà di positività.
Proposizione 9.18 Se f : [a; b] ! R è integrabile e per ogni x 2 [a; b] risulta
f (x) 0, allora
Z
f (x)dx 0:
[a;b]
Dalla linearità e dalla positività consegue la proprietà di confronto.
Proposizione 9.19 Se le funzioni f1 ; f2 : [a; b] ! R sono integrabili e per ogni
x 2 [a; b] risulta
f1 (x) f2 (x);
allora
Z
[a;b]
f1 (x)dx
Z
[a;b]
f2 (x)dx:
9.4. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
9.4
7
Teorema fondamentale del Calcolo
Siano I intervallo, f : I ! R integrabile (secondo Riemann) in ogni intervallo
chiuso e limitato contenuto in I.
De…nizione 9.20 Per ogni a; b 2 I, si de…nisce integrale de…nito di f tra a e
b il numero reale
8 R
se a < b
Z b
< [a;b] f (x)dx
0 R
se a = b
f (x)dx =
:
a
f
(x)dx
se b < a
[b;a]
A meno del segno, l’integrale de…nito coincide con l’integrale di Riemann,
pertanto si riportano all’integrale de…nito le proprietà di linearità, la proprietà
additiva rispetto al dominio.
Di fatto il simbolo di integrale de…nito (il più simile a quello di somma) si
preferisce al simbolo (9.1).
Fissato a 2 I, l’integrale de…nito consente di de…nire una nuova funzione
Z x
F (x) =
f (t)dt
(9.2)
a
denominata funzione integrale di f .
Teorema 9.21 (di esistenza di primitive) Se f è continua, allora la funzione integrale F de…nita da (9.2) è una primitiva di f .
Questo teorema prende il nome di Teorema Fondamentale del Calcolo. Esso,
infatti mette in relazione due nozioni apparentemente del tutto indipendenti
(quella di primitiva, collegata con la derivata, e l’integrale de…nito, collegato
con la misurazione di aree).
Da teorema precedente si deduce la cosiddetta Formula Fondamentale del
Calcolo integrale.
Teorema 9.22 Se f è continua, denotata con G un’arbitraria primitiva di f ,
per ogni a; b 2 I si ha
Z b
f (x)dx = G(b) G(a):
a
9.4.1
Integrazione approssimata
La formula fondamentale del calcolo consente di valutare gli integrali de…niti
quando si conosce una primitiva della funzione integranda; d’altra parte sono
abbastanza frequenti i casi in cui una primitiva non è nota. Per queste ultime situazioni si è sviluppata, nell’ambito dell’analisi matematica e del calcolo
numerico, una teoria detta integrazione numerica.
Nella …gura seguente, a titolo di esempio, presentiamo, il metodo dei rettanRb
goli “mid-point”composto: si approssima a f (x)dx con la somma sn delle aree
di rettangolini aventi base uguale (l’intervallo [a; b] diviso in n parti uguali) e
come altezza la funzione valutata nel punto medio di ciascun intervallino.
E’evidente che questa procedura si può applicare ad una funzione qualsiasi;
ovviamente essa ha senso solo per funzioni di cui sia nota l’integrabilità. Se la
8
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
funzione funzione integranda è continua (dunque integrabile), si può dimostrare
che
Z
b
lim sn =
n
f (x)dx:
a
Con ulteriori ipotesi su f si dispone anche di formule che valutano l’errore, cioè
la di¤erenza
Z b
f (x)dx:
sn
a
40
30
20
10
0
1
2x
3
4
Ovviamente questa e tutte le altre procedure di integrazione numerica risultano estremamente laboriose se utilizzate senza un apparato di calcolo automatico: quindi o si è in grado scrivere un programma di calcolo, oppure si utilizza
un software matematico che già contiene questa funzione.
A proposito di software dobbiamo sottolineare che i Computer Algebra System sono in grado di calcolare (nei casi in cui è possibile) le primitive, quindi
per valutare gli integrali de…niti fanno ricorso direttamente alla formula fondamentale del calcolo integrale. In questo modo risultano drasticamente ridotti
gli errori di approssimazione.
9.5
Calcolo di aree
Nel caso di una funzione integrabile e positiva, ci siamo già so¤ermati sull’interpretazione dell’integrale come area.
Nel caso di una generica funzione integrabile l’integrale si interpreta come
somma (algebrica) delle aree prese con segno positivo dove f (x) 0 e con segno
negativo dove f (x) 0.
Se siamo interessati all’area totale della regione compresa tra il gra…co di una
funzione, l’asse delle ascisse e delimitata dalle rette verticali x = a ed x = b,
dobbiamo calcolare
Z
b
a
jf (x)j dx:
9.6. INTEGRALI IMPROPRI
9
Analogamente l’area della regione compresa tra i gra…ci di due funzioni
f1 (x)
f2 (x);
delimitata dalle rette verticali x = a ed x = b; si ottiene come
Z b
(f2 (x) f1 (x)) dx:
(9.3)
a
Se eliminiamo l’ipotesi (9.3), allora l’area si ottiene come
Z b
jf2 (x) f1 (x)j dx:
a
9.6
Integrali impropri
Sussiste una proprietà di continuità rispetto al dominio.
Proposizione 9.23 Sia f : [a; b] ! R integrabile secondo Riemann. Risulta
Z b
Z c
f (x)dx = lim
f (x)dx
c!b
a
=
lim+
c!a
a
Z
b
f (x)dx:
c
A partire da questa proprietà, vogliamo dare signi…cato all’integrale per una
classe più ampia di funzioni
Z
f (x)dx
I
con I intervallo illimitato e/o f : I ! R illimitata.
In quanto segue a; b 2 R, con a < b e con le opportune restrizioni nel caso
di estremi inclusi. Per semplicità assumeremo le funzioni continue, quindi avremo immediatamente l’integrabilità secondo Riemann sui sottointervalli chiusi e
limitati.
Possiamo distinguere tre situazioni. Nelle prime due la de…nizione viene
suggerita direttamente dalla proprietà di continuità rispetto al dominio.
a) Sia f : [a; b) ! R; si pone
Z b
f (x)dx = lim
c!b
a
Z
c
f (x)dx:
a
b) Analogamente nel caso f : (a; b] ! R; si pone
Z b
Z b
f (x)dx = lim+
f (x)dx:
c!a
a
c
c) Sia f : (a; b) ! R. Ci si riconduce ai casi precedenti a) e b): …ssato
x0 2 (a; b) si pone
Z b
Z x0
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx =
a
a
x0
Z x0
Z c
= lim+
f (x)dx + lim
f (x)dx
c!a
c
c!b
x0
sotto la condizione che non si tratti di in…niti di segno opposto.
10
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
De…nizione 9.24 In tutti i casi suddetti la funzione f si dice integrabile in
senso improprio se i limiti esistono e sono …niti.
Osservazione 9.25 Nella de…nizione e nel calcolo degli integrali impropri non
è consentito rimpiazzare due limiti separati
R +1 con uno simultaneo.
Ad esempio, se vogliamo calcolare 1 f (x) dx, il risultato di
lim
c! 1
Z
x0
f (x) dx + lim
c!+1
c
Z
(corretto), potrebbe essere ben diverso da
Z c
f (x) dx
lim
c!+1
(errato).
c
c
x0
f (x) dx