Esercizi sui Circuiti RC

Esercizi sui Circuiti RC
Problema 1
Due condensatori di capacità C = 6 µF, due resistenze R = 2.2 kΩ ed una batteria da
12 V sono collegati in serie come in Figura 1a. I condensatori sono inizialmente scarichi.
Calcolare:
• la corrente iniziale nel circuito (cioè non appena il circuito viene chiuso)
• il tempo necessario perché la corrente scenda al valore I = 1.2 mA
Soluzione
È immediato osservare che il circuito proposto è equivalente ad un circuito con resistenza,
capacità e generatore di tensione in serie. Le due resistenze sono infatti equivalenti alla
resistenza:
Req = R + R = 2R = 4.4 kΩ ,
(1)
mentre le due capacità in serie sono equivalenti alla capacità:
Ceq =
C
= 3 µF .
2
(2)
Il circuito equivalente è mostrato in Figura 1b.
Alla chiusura dell’interruttore, il condensatore Ceq inizia a “sentire” la differenza di
potenziale fornita dal generatore, e dunque inizia ad accumularsi carica sulle sue armature,
permettendo il passaggio di corrente lungo il circuito. Per t → ∞, fra le armature del
condensatore vi sarà una d.d.p. pari alla tensione fornita dal generatore: a quel punto, nel
circuito non scorrerà più corrente. La presenza della resistenza ha l’effetto di distribuire nel
tempo il caricamento del condensatore: se i collegamenti fra il generatore e il condensatore
non prresentassero resistenza, la carica del condensatore avverrebbe idealmente in un
tempo istantaneo.
L’accumulo della carica sulle armature del condensatore, l’aumento della d.d.p. fra
le armature stesse, e infine l’andamento dell’intensità di corrente nel circuito sono tutti
governati da andamenti di tipo esponenziale. In particolare, risulta rilevante ai fini del
problema l’andamento dell’intensità di corrente I(t): si può dimostrare che
I(t) = I0 e−t/τ ,
(3)
dove V è la tensione fornita dal generatore,
τ = Req Ceq = 0.0132 s
e
I0 =
V
Req
(4)
Il parametro τ è noto come costante di tempo del circuito RC. Ponendo t = 0 nell’Eq. 3
si trova immediatamente che I(0) = I0 , cioè l’intensità di corrente presente nel circuito
all’istante in cui inizia la carica del condensatore è pari a
I(0) =
12 V
V
=
≈ 2.7 mA .
Req
4.4 kΩ
2
(5)
(a) Circuito originale
(b) Circuito equivalente
Figura 1: Problema 1
Per valutare a quale istante t∗ la corrente scenda al valore di I(t∗ ) = 1.2 mA, è sufficiente
imporre che:
∗ /τ
I(t∗ ) = I0 e−t
⇒
∗ /0.0132
1.2 mA = (2.7 mA) × e−t
(6)
da cui si trova facilmente che t∗ ≈ 0.011 s.
È interessante notare come, all’istante in cui il condensatore inizia a caricarsi, il circuito
“percepisca” il condensatore come un elemento circuitale privo di resistenza. In realtà,
all’interno del condensatore non scorre mai alcuna corrente di cariche, ma questo per
il resto del circuito è del tutto ininfluente: a tutti gli effetti, l’accumulo della carica
sulle armature del condensatore produce nel resto del circuito un movimento di carica
equivalente a quello che offrirebbe un elemento circuitale chiuso.
All’istante iniziale, peraltro, il condensatore è del tutto scarico, e dunque massimamente “disponibile” ad accogliere carica sulle sue armature: è questa estrema disponibilità
a far sı̀ che il tasso di accumulo della carica sulle armature possa sostenere (all’inizioe
della carica, e nel caso ideale!) qualunque corrente sia determinata dagli altri elementi
circuitali. Con il tempo, l’accumulo della cariche sulle armature inizia ad inibire l’arrivo
di ulteriore carica: questo “frena” il movimento delle cariche nell’intero circuito, ovvero
determina una diminuzione della corrente.
A tempi molto grandi, il condensatore ha esaurito la sua disponibilità di accumulo
della carica, e dunque inibisce del tutto lo scorrimento di cariche lungo il circuito: la
corrente è pari a zero.
3
Problema 2
Nel circuito in Figura 2 si hanno R1 = 850 Ω, R2 = 250 Ω, R3 = 750 Ω, C = 150 µF,
V = 12 V. Inizialmente, l’interruttore è chiuso ed il condensatore è carico. All’istante
t = 0 si apre l’interruttore ed il condensatore comincia a scaricarsi. Determinare:
• quanto vale la costante di tempo τ per la scarica
• quanto vale la tensione ai capi del condensatore dopo che è trascorso un tempo pari
ad una volta la costante di tempo (cioè dopo un tempo t = τ )
Soluzione
Nella situazione iniziale, nel ramo di circuito contenente il condensatore non scorre alcuna
corrente. Il condensatore è infatti completamente carico: le sue armature non attraggono
più alcuna carica, impedendo di fatto la circolazione di corrente nel ramo. La scarica
non avviene perché il generatore di tensione mantiene una certa d.d.p. fra le armature.
Essendo sullo stesso ramo del condensatore, neppure attraverso la resistenza R3 scorre
alcuna corrente, ed è dunque nulla la d.d.p. ai suoi capi.
L’apertura dell’interruttore produce due effetti: (i) nel ramo circuitale contenente
l’interruttore stesso non scorrerà alcuna corrente; (ii) il condensatore non sentirà più la
d.d.p. imposta dal generatore di tensione. Complessivamente, quindi, l’analisi del circuito
si riduce a quella della sola maglia di destra: il ramo contenente l’interruttore aperto,
nel quale non scorre alcuna corrente, non produce alcun effetto sul comportamento di
tale maglia. È immediato notare come la maglia di destra sia un circuito RC privo di
generatore di tensione, con resistenza equivalente Req = R2 + R3 = 1000 Ω. La costante
di tempo che governa la scarica del condensatore lungo questo circuito è τ = CReq =
150 µF × 1000 Ω = 0.15 s.
La d.d.p. VC ai capi del condensatore diminuirà nel tempo tendendo ad annullarsi, per
effetto del riequilibrio delle cariche che scorreranno da un’armatura all’altra attraverso la
resistenza. La legge temporale è esponenziale:
VC (t) = VC (0)e−t/τ
(7)
dove VC (0) è naturalmente la d.d.p. presente fra le armature del condesatore all’istante
iniziale, quando viene aperto l’interruttore e la scarica può avere luogo. Dopo un tempo
pari a t = τ la d.d.p. fra le armature del condensatore varrà VC (τ ) = VC (0)/e. Per determinare il valore di VC (0), notiamo che all’istante in cui inizia la scarica del condensatore,
fra le armature è presente la stessa d.d.p. esistente ai capi della resistenza R2 : questo
perché − come già notato − fino a quando il condensatore è carico, nel suo ramo circuitale
non scorre alcuna corrente, e dunque nessuna caduta di potenziale si osserva attraverso
la resistenza R3 .
Il problema si sposta dunque sulla determinazione della d.d.p. fra i capi della resistenza
R2 nella condizione in cui l’interruttore è chiuso. In questa situazione, l’analisi del circuito
si riduce a quella della sola maglia di sinistra, contenente le resistenze R1 e R2 in serie
con il generatore di tensione. Il problema è quello classico del partitore di tensione: si
vuole determinare come si ripartisce la d.d.p. fornita dal generatore ai capi di ciascuna
4
Figura 2: Problema 2
delle due resistenze. La soluzione si trova facilmente considerando che la corrente che
scorre nel crcuito è pari a
V
,
(8)
I=
R1 + R2
il che comporta che ai capi di ciascuna delle due resistenze (attraverso le quali, essendo collegate in serie, scorre la medesima corrente I) siano presenti le d.d.p. V1 e V2
rispettivamente pari a:
V1 = IR1 =
R1
V
R1 + R2
V2 = IR2 =
R2
V
R1 + R2
(9)
È importante notare che la d.d.p. fornita dal generatore si distribuisce ai capi delle
resistenze in misura proporzionale al loro valore. La d.d.p. ai capi della resistenza R2 , e
dunque presente sulle armature del condensatore, è allora pari a:
V2 = VC (0) =
250 Ω
R2
V =
× 12 V ≈ 2.73 V
R1 + R2
1100 Ω
(10)
Dopo un tempo pari a t = τ dall’inizio della scarica del condensatore, fra le sue armature
sarà dunque presenta una d.d.p. pari a
VC (τ ) = VC (0)/e ≈ 1 V
5
(11)
Problema 3
La Figura 3 mostra il circuito di alimentazione di una lampadina a intermittenza. La
lampadina fluorescente L è collegata in parallelo al condensatore C di un circuito RC. La
corrente scorre soltanto quando il potenziale raggiunge il valore di innesco VL : quando
ciò avviene, il condensatore si scarica sulla lampada e produce un lampo molto breve. Si
supponga che sia necessario avere due lampi al secondo. Utilizzando una lampada con
una tensione d’innesco VL = 72 V, una batteria da 95 V e un condensatore da 0.5 µF,
quale dev’essere la resistenza R del resistore?
Figura 3: Circuito di alimentazione di una lampadina ad intermittenza
Soluzione
Risulta conveniente considerare il comportamento del circuito nel momento appena successivo ad uno dei lampi della lampadina L, quando il condensatore è completamente
scarico e il ramo di destra del circuito è aperto (perché nella lampadina non passa corrente): in queste condizioni, il ramo contenente la lampadina non influisce sul comportamento
del resto del circuito, che si comporta come un circuito RC con generatore di tensione. Il
condensatore, completamente scarico, inizia a caricarsi con costante di tempo τ = RC.
Durante la fase di carica, la d.d.p. VC presente fra le armature del condesatore (inizialmente nulla) aumenta nel tempo con legge esponenziale, tendendo per t → ∞ al valore
limite V0 corrispondente alla d.d.p. fornita dal generatore:
VC (t) = V0 1 − e−t/τ
(12)
La d.d.p. fra le armature del condensatore è la medesima che viene percepita ai capi della
lampadina L: per questo motivo, nel momento in cui VC raggiunge il valore d’innesco di
72 V, la lampadina diventa conduttrice e il condensatore si scarica su di essa producendo
un lampo. Dopo il lampo, VC torna istantaneamente a zero. L’instantaneità del processo
di scarica fa in modo che il condensatore possa riportare a zero la d.d.p. fra le sue armature
prima che il generatore di tensione possa far sentire nuovamente il suo effetto.
Immediatamente dopo il lampo, ricomincia il processo di carica del condensatore (il
ciclo si ripete periodicamente: provare a rappresentare graficamente l’andamento della
tensione VC in funzione del tempo).
Secondo quanto richiesto dal problema, occorre chiedere che la tensione d’innesco
VL = 72 V venga raggiunta fra le armature del condensatore dopo un tempo pari a
6
t∗ = 0.5 s dal lampo precedente (cioè dall’inizio della carica del condensatore). Dunque
si ha:
VC (0.5) = 72 V
⇒
1 − e−0.5/τ × 95 V = 72 V ,
(13)
da cui si trova facilmente che:
"
72
1
τ=
ln 1 −
2
95
−1 #−1
≈ 0.35 s
Dal momento che τ = RC, si trova immediatamente che R ≈ 2.33 MΩ.
7
(14)
Problema 4
Nel circuito di Figura 4 si hanno i seguenti dati: V1 = 4 V, V2 = 2 V, R1 = 1.4 Ω,
R2 = 1 Ω, R3 = 1.5 Ω, C1 = 6 µF, C2 = 3 µF. Si determini l’energia immagazzinata nel
condensatore C2 .
Figura 4: Problema 4
Soluzione
L’energia E immagazzinata in un condensatore di capacità C, fra le cui armature sia
presente una d.d.p. pari a V , è data dalle relazione:
1
E = CV 2
2
(15)
Il problema si riconduce dunque alla determinazione della d.d.p. VC2 esistente fra le
armature del condensatore C2 .
Per determinare il valore di VC2 conviene prima calcolare la d.d.p. VC = VC1 + VC2
presente ai capi del sistema dei due condensatori in serie. Per calcolare VC , iniziamo a
semplificare il circuito sostituendo alle due resistente R2 e R3 la loro combinazione in
parallelo R23 ≡ R2 k R3 :
R2 R3
= 0.6 Ω
(16)
R23 =
R2 + R3
Ai capi della resistenza equivalente R23 sarà presente una d.d.p. che indichiamo con VR23 .
A questo punto, la d.d.p. VC ai capi del sistema dei due condensatori in serie potrà essere
trovata equilibrando le d.d.p. lungo la maglia circuitale di destra:
VC = V2 − VR23
(17)
Occorre adesso trovare il valore di VR23 . In questo caso è conveniente notare come la
maglia contenente V1 , R1 e R23 possa essere studiata indipendentemente dal ramo circuitale contenente i condensatori, perché in quest’ultimo non scorre alcuna corrente (nella
condizione in cui i condensatori siano carichi). La tensione V1 si distribuirà dunque ai
capi delle resistenze R1 e R23 in misura a loro proporzionale (problema del partitore di
tensione): la corrente che scorre nella maglia è infatti pari a
I=
V1
,
R1 + R23
8
(18)
e dunque ai capi delle resistenze si formeranno due d.d.p. pari rispettivamente a:
VR1 = IR1 =
V1 R1
= 2.8 V
R1 + R23
e
VR23 = IR23 =
V1 R23
= 1.2 V
R1 + R23
(19)
La d.d.p. presenta ai capi del sistema dei due condensatori in serie è allora uguale a:
VC = V2 − VR23 = 2 V − 1.2 V = 0.8 V
(20)
Per determinare come questa d.d.p. si distribuisca fra i due capacitori in serie, conviene
notare che:
• il sistema dei due condensatori in serie è equivalente ad un unico condensatore Ceq
di capacità
C1 C2
Ceq =
;
(21)
C1 + C2
• la carica Q presente sulle armature di C1 è esattamente la stessa presente sulle
armature del condensatore C2 . Per convincersene basta osservare la Figura 4: se
sull’armatura superiore di C1 è accumulata una carica −Q, sull’armatura inferiore
dello stesso condensatore si presenterà una carica opposta +Q. Ma siccome il pezzo
di circuito conduttore che collega i due condensatori è del tutto isolato dal resto
del circuito, la sua carica complessiva deve annullarsi: questo comporta che sull’armatura superiore di C2 sia presente una carica −Q, il che a sua volta determina la
presenza di una carica +Q sull’armatura inferiore;
• se il resto del circuito non deve poter distinguere fra la combinazione dei due condensatori in serie e il condensatore equivalente Ceq , allora la carica accumulata sulle armature del condensatore equivalente Ceq dev’essere uguale alla carica Q accumulata
sulle armature esterne del sistema dei due condensatori in serie.
In base a queste considerazioni possiamo scrivere che:
Q = C1 VC1 = C2 VC2 = Ceq VC =
C1 C2
× VC
C1 + C2
(22)
Questo comporta che:
VC2 =
Q
C1
6 µF
=
× VC =
× 0.8 V ≈ 0.53 V
C2
C1 + C2
6 µF + 3 µF
(23)
Come si può notare, in un collegamento in serie fra due capacitori la d.d.p. totale si
distribuisce in maniera del tutto opposta al caso delle resistenze. Una volta trovato il
valore di VC2 , si trova immeditamente l’energia immagazzinata nel condensatore C2 :
1
E = CV 2 = 0.421 × 10−6 J
2
9
(24)
Problema 5 (dei due condensatori)
Un condensatore di capacità C viene caricato con una carica Q0 , e poi collegato ad un
condensatore identico, scarico, come in Figura 5a. Ad un certo istante l’interruttore viene
chiuso, come in Figura 5b. Si determini l’energia immagazzinata dal sistema dei due
condensatori prima e dopo la chiusura dell’interruttore, e si discuta il risultato.
Soluzione
Prima della chiusura dell’interruttore, sul condensatore di destra non è presente alcuna
carica. Si noti che le armature inferiori dei due condensatori sono collegate da un conduttore, e la carica −Q tenderebbe dunque a distribuirsi in maniera simmetrica fra i due
condensatori uguali; tuttavia, le armature superiori sono scollegate fra di loro e del tutto
isolate: questo comporta che la loro carica determini forzatamente quella delle armature
inferiori, che non hanno cosı̀ modo di equilibrarsi.
Ad interruttore aperto, dunque, l’energia del sistema sarà immagazzinata all’interno
del solo condensatore carico:
1 Q20
(25)
Ei =
2C
D’altra parte, quando l’interruttore viene chiuso e le cariche hanno modo di equilibrarsi
fra le armature dei due condensatori, la situazione è tale che in entrambi i condensatori
sarà accumulata una carica pari a Q/2. Questo comporta che l’energia totale sia ora:
Ef =
1 Q20
Ei
1 Q20 1 Q20
+
=
=
2 4C 2 4C
4C
2
(26)
L’energia immagazzinata nei due condensatori nello stato finale è dunque pari alla metà
dell’energia iniziale. Dov’è finita l’altra metà?
(a) Stato inziale
(b) Stato finale
Figura 5: Problema dei due condensatori
L’unica possibilità è che una parte dell’energia presente nello stato iniziale sia stata
dissipata in qualche modo, nel passaggio allo stato finale. Il problema ideale presentato in
Figura 5 non offre meccanismi di dissipazione, ma nella realtà sappiamo ad esempio che
le connessioni fra i due condensatori presenteranno sempre una certa resistenza R: il passaggio della carica dal primo al secondo condensatore, tra lo stato iniziale e quello finale,
determina la dissipazione di energia sotto forma di calore all’interno dei collegamenti.
10
Figura 6: Problema dei due condensatori con resistenza dissipativa
Per studiare questa ipotesi, inseriamo nel circuito una resistenza R rappresentativa
della resistenza complessiva dei circuiti di collegamento fra i condensatori, come in Figura 6. A questo punto, indichiamo con Q(t) la carica istantanea (assunta positiva)
presente sull’armatura superiore del primo condensatore (quello inizialmente carico), ed
equilibriamo istante per istante le cadute di potenziale lungo il circuito:
dQ
Q Q0 − Q
−
+R
=0.
C
C
dt
(27)
I segni relativi sono determinati dalle seguenti considerazioni:
• la d.d.p. fra le armature del condensatore inizialmente scarico (secondo termine
nell’Eq. 27) è certamente diretta in senso opposto a quella presente fra le armature
del condensatore inizialmente carico, perché le armature a contatto accumulano
cariche di segno uguale
• la corrente che scorre fra i due condensatori produce ai capi della resistenza una
d.d.p. che va nel verso opposto di quella presente fra le armature del condensatore
che si sta scaricando, come è facile notare valutando il verso della corrente in Figura 6. Dunque il terzo termine dell’Eq. 27 dovrà avere un segno opposto a quello del
primo termine. Ma d’altra parte, il differenziale dQ che compare nella derivata al
terzo termine è negativo, perché stiamo considerando il caso in cui Q sia positiva,
e nel tempo il suo valore tende a diminuire per via della scarica del condensatore.
Dunque per far sı̀ che il terzo termine dell’Eq. 27 sia negativo rispetto al primo
termine, occorre considerarlo rispetto a quest’ultimo con un segno + relativo.
Dall’Eq. 27 si ha:
dQ
2Q − Q0
=−
RC
dt
dQ
dt
= −2
Q − Q0 /2
RC
⇒
(28)
Indicando le variabili di integrazione come t = t0 e Q = Q0 , è allora possibile scrivere:
Z Q(t)
Q0
da cui:
dQ0
2 Zt 0
dt
=
−
Q0 − Q0 /2
RC 0
⇒
ln Q(t) −
Q0
Q0
−ln Q0 −
2
2
!
2Q(t)
2t
ln
−1 =−
Q0
RC
⇒
11
Q(t) =
=−
Q0 1 + e−2t/RC .
2
2t
(29)
RC
(30)
Da qui si trova anche il valore istantaneo della corrente. Ricordando che dQ è negativo,
si ha:
Q0 −2t/RC
dQ
=
e
(31)
I(t) = −
dt
RC
L’energia dissipata per effetto Joule all’interno della resistenza R vale allora:
EJ =
Z ∞
0
I 2 (t)R dt =
Q20 Z ∞ −4t/RC
Q20 RC
Q20
Ei
e
dt
=
=
=
RC 2 0
RC 2 4
4C
2
(32)
Come si può notare, ora il bilancio energetico è corretto:
Ei = Ef + EJ .
12
(33)