Basi ortonormali e processo di ortonormalizzazione

Basi ortonormali e processo di
ortonormalizzazione
1/6
Prodotto scalare in Rn
Il prodotto scalare tra due vettori di R3 si generalizza, a
differenza del prodotto vettoriale, in modo naturale al caso di
vettori di Rn .
Più precisamente, siano~u = t [u1 , . . . , un ] e~v = t [v1 , . . . , vn ] due
vettori di Rn : definiamo il loro prodotto scalare mediante
n
~u ·~v = u1 v1 + · · · + un vn
(= ∑ ui vi ) .
(1)
i=1
2/6
Prodotto scalare in Rn
Questo prodotto scalare conserva le proprietà geometriche
illustrate nel caso n = 3. In particolare
s
n
√
(2)
|~u| = ~u ·~u (= ∑ u2i )
i=1
e, se ~u,~v 6= ~0:
(~u ⊥~v )
⇐⇒
(~u ·~v = 0 )
(3)
3/6
Basi ortonormali
Definizione: Siano W un sottospazio vettoriale di Rn , con
dim W = p, e C = {~w1 , . . . ,~wp } una sua base.
Diremo che C è una base ortonormale di W se
~wi ·~wj = δij
,
1 ≤ i, j ≤ p ,
(4)
dove δij è il simbolo di Kronecker.
La (4) esprime la richiesta che tutti i vettori di C abbiano
modulo 1 e siano inoltre a due a due ortogonali. Ad esempio, la
base canonica B = {~e1 , . . . ,~en } di Rn è una base ortonormale
(verifica elementare).
4/6
Ortonormalizzazione
Il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
permette di costruire una base ortonormale C ′ = {~w ′1 , . . . ,~w ′p }
partendo da una base qualunque C = {~w1 , . . . ,~wp }.
La costruzione di C ′ è la seguente:
~w1
=
~w ′1 = vers(~w1 )
|~w1 |
(5)
~w ′2 = vers(~w2 − (~w ′1 ·~w2 )~w ′1 )
..
.
p−1
~w ′p = vers(~wp − ∑ [ (~w ′j ·~wp )~w ′j ] )
j=1
5/6
Ortonormalizzazione
L’idea geometrica è la seguente: per costruire ~w ′1 è sufficiente
prendere il versore di ~w1 .
Invece, per ~w ′2 , prima di prendere il versore è necessario
scartare l’eventuale componente di ~w2 lungo la direzione di
~w ′1 , come di seguito illustrato:
w
~2
w
~1
(w
~2 · w
~ 1′ )w
~ 1′
u
~
w
~ 1′
Infatti, ~w ′2 = vers(~u) , dove~u = ~w2 − (~w2 ·~w ′1 )~w ′1 .
Al passo successivo si scarteranno le componenti di ~w3 lungo
~w ′1 e ~w ′2 , e così via.
6/6