Esercizi certamen matematica

LICEO CARDUCCI
CERTAMEN DI MATEMATICA
classe terza liceo
La prova è costituita da 5 quesiti a scelta multipla con giustificazione. Una sola delle soluzioni proposte è esatta.
Il tempo a disposizione è un ora. Verranno attribuiti cinque punti ad ogni risposta esatta con giustificazione, due
punti ad ogni risposta esatta senza giustificazione, nessun punto ai quesiti senza risposta, sarà tolto un punto per
ogni risposta errata senza giustificazione della risposta. E’ consentito l’uso di una calcolatrice non
programmabile. Le soluzioni devono essere riportate nella tabella nell’ultima pagina.
01 Considerare il triangolo rettangolo ABC di cateti AB e AC rispettivamente di lunghezze 4cm e 3 cm. Determinare la
lunghezza x del segmento CD in modo che l’area del triangolo AED sia massima essendo D un punto sul prolungamento
del cateto AC dalla parte di C ed E un punto del cateto AB tale che CD @ EB. x =
a 0
b 0.5
c 1
d 2.
02 Un’agenzia immobiliare stima di poter affittare 75 appartamenti di un grande complesso con un affitto medio
mensile di 680 euro. E’ noto che per ogni 40 euro di aumento dell’affitto si perda , in media, l’affitto di 3 appartamenti.
La somma che dovrebbe essere richiesta mediamente per l’affitto degli appartamenti per massimizzare il ricavo mensile
è:
a 680 euro
b 760 euro
c 840 euro
d 920 euro
.
03 Un punto P si muove nel piano in modo che le sue proiezioni sugli assi si muovano con le seguenti leggi orarie:
ì
4 (1 + t )
ïx =
ï
1+ t2
.
La traiettoria del punto P è:
í
ï y = 4t (1 + t )
ïî
1+ t2
a x2 + y 2 - 4 x - 4 y = 0
b 4 x 2 + 4 y 2 - x - y = 0 c x2 + y 2 + 4 x + 4 y = 0
04 Il grafico della curva di equazione
x
12
+
y
5
d 4x2 + 4 y 2 + x + y = 0 .
= 1 è rappresentato da un:
a quadrato di lato 13
c rettangolo di lati 5 e 12
b rombo di lato 13
d triangolo di lati 5, 12, 13
05 Ogni corda AB della parabola di equazione f ( x ) = x 2 è parallela alla tangente alla curva tracciata nel suo punto di
ascissa c essendo c :
a la media aritmetica delle ascisse di A e B
b la semidifferenza delle ascisse di B ed A
c la media geometrica delle ascisse di A e B
d il semiprodotto delle ascisse di A e B
06 Siano: g la circonferenza con centro nell’origine O e raggio r = 2; P il punto di coordinate x = 5, y = 2; t1 e t2 le
rette tangenti condotte da P a g; T1 e T2 i punti di tangenza. Considerato il punto T sul minore degli archi T1 T2 di g, sia t
la retta tangente tracciata da T a g e siano R ed S rispettivamente i punto di intersezione fra le tangenti t t1 e t t2. la misura
del perimetro del triangolo RSP è :
a 20
b 15
c 10
d non calcolabile in quanto T non fisso
07 In ogni punto di una superficie riflettente, il raggio luminoso incidente ed il raggio luminoso riflesso formano con la
normale alla superficie stessa, nel punto di incidenza, due angoli, detti rispettivamente di incidenza e di riflessione, di
uguale ampiezza. Uno specchio parabolico riflettente è costituita dalla faccia interna di un paraboloide, superficie
ottenuta dalla rotazione di 180° di una parabola attorno al suo asse. Se y = ax 2 + bx + c rappresenta l’equazione della
parabola sezione dello specchio con il piano xy e P ( x0 , y0 ) il punto di incidenza, l’equazione della retta normale da cui
si misurano gli angoli di incidenza e di riflessione ha equazione :
a
c
( y - y0 ) - ( 2ax0 + b )( x - x0 ) = 0
( 2ax0 + b )( y - y0 ) - ( x - x0 ) = 0
b
d
( y - y0 ) + ( 2ax0 + b )( x - x0 ) = 0
( 2ax0 + b )( y - y0 ) + ( x - x0 ) = 0
08 La magnitudine stellare m misura l’intensità luminosa I di una stella: le scale utilizzate in astronomia per la misura
della luminosità risalgono ad Ipparco, il quale divise le stelle visibili in sei classi di grandezza, attualmente indicate con i
simboli 1m , 2m , … , 6m . Le stelle meno visibili ad occhio nudo sono di classe 6m , mentre quelle appartenenti alla classe
1m sono quelle maggiormente visibili. Nel diciannovesimo secolo la differenza tra due classi contigue di luminosità fu
definita esattamente dal valore 10 0,4 . La differenza di luminosità uguale fra una stella di classe 2m ed una di classe 6m è:
a 39.8107
b 100
c 15.8489
d 6.3096
09 Per produrre un DVD che riproduce la performance di un artista si sostiene un costo di produzione C calcolabile
con la formula: C ( x ) = 15000 + 2 x dove x è il numero di DVD prodotti e C è misurato in euro. Se si indica con c(x) il
costo medio di produzione il valore minimo che può assumere c(x) è :
a
2€
b 15000 €
c 30000 €
d 0€
10 Lemniscus, in latino, è un nastro annodato: nell’antica Roma designava il nastro pendente dalle corone in segno
d’onore. Jacques Bernoulli studiò e diede nome ad una curva, detta appunto lemniscata per la sua forma: nel 1694
pubblicava un articolo negli Acta Eruditorum descrivendo la curva “come un otto, o un nodo, o l’anello di un nastro” (
anche il simbolo dell’infinito è una piccola lemniscata). La curva può essere considerata come il luogo geometrico dei
punti del piano per i quali è costante ( a2) il prodotto delle distanze del punto da due punti fissi distanti fra loro 2a.
Riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali in cui i due punti fissi si trovino sull’asse delle ascisse
simmetrici rispetto all’origine del sistema, l’equazione della lemniscata di Bernoulli è :
a
c
(x
(x
2
- y 2 ) = 2a 2 ( x 2 + y 2 )
b
2
- y 2 ) = 2a 2 ( x 2 - y 2 )
d
2
2
( x + y ) = 2a ( x - y )
( x + y ) = 2a ( x + y )
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
11 Un’azienda ha stabilito che nella produzione di x unità di una data merce il ricavo totale ed il costo totale di
produzione sono modellizzabili dalle funzioni (in euro) R ( x ) = 2500 x - 3x 2 , C ( x ) = 500 + 2 x 2 se il profitto è dato da
P(x) =R(x) – C(x) il profitto massimo si ha producendo :
a 250 unità
12
b 500 unità
c 750 unità
d 100 unità
ìï x 2 + y 2 - 4 x - 4 y + 4 £ 0
La misura dell’area della regione finita di piano definita da í
è :
ïî y + x - 2 ³ 0
a p+2
b p-2
c p-4
d 4–p
La misura dell’area della regione finita di piano definita compresa fra gli assi cartesiani e la curva di equazione
da x 2 + y 2 - 4 x - 4 y + 4 = 0 è :
13
a p+2
b p-2
c p-4
d 4–p
14 Negli strumenti a fiato una serie di fori regolarmente distanziati ha anche il potere di agire da filtro acustico passaalto che trasmette all’esterno suoni di alta frequenza riflettendo invece quelli di bassa frequenza. Esiste una frequenza di
separazione fra le due regioni, la frequenza di taglio, che influenza il timbro dello strumento. Per strumenti
musicalmente accettabili si ha che la frequenza di taglio è circa 1500 Hz per i clarinetti, appena più bassa per gli oboi e
tra 350 Hz e 500 Hz per i fagotti. L’equazione che fornisce la frequenza di taglio fc per fori uguali di raggio r, i cui centri
r
v
distano s é: f c = 0.16
con v velocità del suono (nell’aria v = 343 m/s), R raggio interno della canna
R s ( t + 1,5r )
cilindrica e t lo spessore della parete (t + 1,5 r si chiama lunghezza acustica de foro), per un flauto con r = 4mm, R = 7,5
mm, s = 25 mm, t = 2,4 mm si ha fc circa 2020 Hz . Se raddoppiamo la distanza fra i centri dei fori la frequenza di taglio:
a raddoppia
b dimezza
c si amplifica di un fattore
2
d si riduce di un fattore
15 Il grafico della curva formata dalle funzioni f ( x ) = x 2 , g ( x ) =
1.5
a
1.5
b
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5
-1.5
1.5
1.5
c
x , -1 £ x £ 1 è :
1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1.5
d
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1.5
2
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5
-1.5
1.5
La successione Fn dei numeri di Fibonacci (soprannome di Leonardo Pisano, vissuto attorno al
’200), è
Fn +1
definita ricorsivamente ponendo: F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , per ogni n ³ 0. Posto rn =
, n ³ 1 Ù r1 = 1 si ha :
Fn
16
a rn +1 = 1 - rn
b rn +1 = 1 + rn
c rn +1 = 1 -
1
rn
d rn +1 = 1 +
1
rn
17 Sia C la circonferenza x 2 + y 2 = 16 . L’insieme intersezione di tutti i triangoli equilateri inscritti in C è il cerchio
delimitato dalla circonferenza di equazione:
a x2 + y 2 = 8
b x2 + y 2 = 4
c x2 + y 2 = 2
d x2 + y 2 = 1
18 In una gabbia ci sono cinque pappagalli. Il loro prezzo medio è di 60 €. Purtroppo durante la pulizia della gabbia, il
più bello vola via, il prezzo medio dei rimanenti scende a 50 €. Il prezzo del fuggitivo era di:
a 60 €
b 80 €
c 100 €
d 120 €
1
dove T è la temperatura
4T - 0.01T 2 - 175
misurata in gradi Kelvin (con 50°K < T < 350°K). La minima resistenza del resistore si ha alla temperatura T di :
19 La resistenza R (in ohm) di un certo tipo di resistore è data da R =
a 150° K
b 200°K
c 250°K
d 300°K
20 Tre edifici A, B, C di un complesso residenziale in un piano cartesiano ortogonale monometrico sono rappresentati
dai punti A(-18,0) B(0,24) C(18,0). A metà distanza fra ogni coppia di edifici si trova un lampione: D fra A e B, E fra
B e C, F fra A e C; si deve posizionare un quarto lampione G equidistante dai tre edifici. La minima distanza fra due
lampioni è:
a 5.25
b 11.25
c 18.75
d non è possibile posizionare il
quarto lampione
21 Un’azienda vinicola vuole lanciare un prodotto di lusso e pensa a una produzione limitata di bottiglie da offrire sul
mercato ogni anno. I costi di investimento e pubblicitari si traducono in un costo fisso di 300000 € all’anno mentre il
costo di produzione di ogni bottiglia è di 25 €. Il prezzo di vendita di ogni bottiglia dipende dal numero di bottiglie
messe in commercio: trattandosi infatti di un prodotto di lusso, più bottiglie vengono messe in vendita e minore deve
essere il loro prezzo. Il prezzo di vendita p è espresso del numero di bottiglie x messe in commercio e vendute dalla
funzione p ( x ) = 120 - 0.004 x . Per quale numero di bottiglie messe in vendita e vendute si ha il massimo guadagno?
a 47500
b 23750
c 11875
d 5940
22 È data una semicirconferenza di diametro AB = 24 cm. Preso un punto P su di essa e detta H la sua proiezione
ortogonale su AB, determinare la lunghezza di AH se AP + 2 PB = 24 3 .
a 6 cm
b 8 cm
c 10 cm
d 12 cm
.
23 Una funzione f(x) avente dominio simmetrico rispetto al valore zero si dice pari (simmetrica rispetto all’asse delle
ordinate) se f(-x) = f(x), dispari (simmetrica rispetto all’origine) se f(-x) = -f(x); una funzione f(x) è detta periodica di
periodo T se f (x+T) = f(x) .
ìï 2 - x 1 < x < 2
Considerata la funzione g (x) : í
; sapendo che: f ( x ) = g ( x ) se 0 £ x < 2 , f ( - x ) = - f ( x ) ,
2
0 £ x £1
ïî x
f ( x + 4 ) = f ( x ) nell’intervallo [-4 6 ] il grafico della funzione f ( x ) è:
a
3
3
b
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
c
d
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
24 Determinare il credito relativo alle schede di due smartphone sapendo che aggiungendo 5 € all’importo della seconda
scheda si ottiene il doppio del credito della prima e, sottraendo al doppio del quadrato del credito della prima scheda il
doppio dell’importo della seconda si ottiene il quadrato dell’importo della seconda scheda diminuito di uno. Il credito
delle due schede è:
a 7€,7€
25
b 7€,8€
s (m)
t (s)
10
1.89
20
2.88
c 8€,8€
30
3.78
40
4.64
50
5.47
d
60
6.29
70
7.10
7€,9€
80
7.92
90
8.75
100
9.58
La tabella riporta i tempo di passaggio ogni 10 m di Usain Bolt nella gara del suo record del mondo. Determinare le
velocità medie per ogni intervallo di 10 m; stabilire la massima velocità raggiunta da Bolt, l’accelerazione media e dopo
quanti metri l’atleta ha iniziato a decelerare.
a 12.35m/s – 1.21 m/s2 – 80 m
c 12.25m/s – 1.26 m/s2 – 80 m
b 12.25m/s – 1.26 m/s2 – 70 m
d 12.35m/s – 1.26 m/s2 – 70 m
LICEO CARDUCCI
CERTAMEN DI MATEMATICA
classe quarta liceo
t
01 Il valore di una bottiglia di vino D.O.C è espresso dalla funzione v ( t ) = h 1 + , crescente nel tempo t (espresso in
b
anni) in cui h è il valore iniziale della bottiglia e b un parametro positivo (legato al tipo di vino). Il valore attuale
va ( t ) del prezzo di una bottiglia (calcolato a sconto composto, con tasso istantaneo d’interesse d) è espresso dalla
legge va ( t ) = e -d t × v ( t ) . Sapendo che per una bottiglia di Barolo acquistata al prezzo di 300€ il valore attuale, dopo tre
anni dall’acquisto, è di 368€ e che per il Barolo il parametro b è 5, il tasso istantaneo d applicato è circa:
a 0.01%
b 0.1%
c 1%
d 10%
02 La successione Fn dei numeri di Fibonacci (soprannome di Leonardo Pisano, vissuto attorno al ’200), è definita
F
ricorsivamente ponendo: F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , per ogni n ³ 0. Posto rn = n +1 , n ³ 1 Ù r1 = 1 si ha :
Fn
a rn +1 = 1 - rn
b rn +1 = 1 + rn
c rn +1 = 1 -
1
rn
d rn +1 = 1 +
1
rn
03 Dalla evidente osservazione che gli oggetti naturali non hanno forme regolari (le nuvole non sono sfere, le
montagne non sono coni, ….. ) Mandelbrot nel 1975 per meglio descrivere la forma irregolare degli oggetti naturali
inventò la geometria frattale (dal latino fractus). Una delle caratteristiche principali di un oggetto frattale è la sua
dimensione frattale (una misura del grado di irregolarità della figura). Per definire la dimensione frattale di un oggetto si
utilizzano: se si considerano figure piane delle circonferenze con raggio piccolo, se si considerano figure tridimensionali
delle sfere con raggio piccolo. Fissato un raggio r1 si determina il numero minimo N1 di circonferenze (o sfere)
1
necessarie per coprire l’oggetto, ridotta ora la scala di un fattore f, considerando perciò un nuovo raggio r2 = r1 , f > 1
f
si determina nuovamente il numero minimo N2 di circonferenze (o sfere) necessarie per coprire l’oggetto. La dimensione
log N2 - log N1
frattale dell’oggetto è definita da :
. Se si considera la curva che descrive un tratto di costa e si devono
log f
utilizzare 58 circonferenze di raggio 2r e 134 circonferenze di raggio r per coprire la curva, la dimensione frattale della
curva è :
a 0.612
b 1.208
c 2.782
d 6,248
ì x = 2sin t
t >0,
04 Un punto si muove nel piano in modo che le sue proiezioni sugli assi seguano le leggi : í
2
î y = 4cos t - 4sin t
la traiettoria descritta dal punto ha equazione:
a y = x2 - 2x - 4
b y = x2 + 2x - 4
c y = 4 + 2x - x2
d
y = 4 - 2x - x2
nt
iö
æ
05 In matematica finanziaria si dimostra la seguente formula M = C ç 1 + ÷ dove M è detto il montante composto, C
è nø
è il capitale depositato in banca, i il tasso di interesse corrisposto al cliente dalla banca, t il tempo di investimento ed n il
numero di periodi di conversione dell’interesse ovvero quante volte all’anno l’interesse maturato viene convertito in
capitale. Se si investe una capitale di 500€ ad un tasso nominale annuo dell’8,5%, convertito semestralmente per
triplicare il capitale sono necessari circa :
a 11anni
06
b 13anni
3 ö
æ
L’espressione ç cos p ÷
4 ø
è
a –0.6125
c 15 anni
d 17 anni
2
nell’insieme dei numeri reali ha valore :
b 0
c 0.6125
d non ha significato
1
(a e k costanti
1 + ae - kt
positive) con p(t) frazione della popolazione che conosce la notizia all’istante t. Se a = 10, k = 0.5 e t è misurato in ore,
l’80% della popolazione conoscerà la notizia dopo :
07 Sotto certe ipotesi una notizia si diffonde da persona a persona seguendo l’equazione p(t ) =
a 7,378 ore
b 3,204 ore
c 2,051 ore
d nessuna delle precedenti
08 Sia m0 la massa di un corpo radioattivo all’istante in cui si inizia l’osservazione (t = 0); la massa decresce secondo
la legge m ( t ) = m0 e - lt , l > 0 . Se T è il periodo del corpo radioattivo ovvero il tempo necessario affinché la massa
iniziale si dimezzi allora T = :
a ln
2
b
l
ln 2
l
c ln
l
2
d
ln l
2
I
I0
dove I è l’intensità dell’energia liberata per unità di area dal movimento tellurico, misurata in J/m2, che viene confrontata
con un’intensità di soglia I0 posta convenzionalmente pari ad uno. Se l’intensità R misurata nel terremoto di San
Francisco del 1906 fu R = 8,3 la quantità di energia per unità di area liberata nel terremoto fu :
09 L’intensità R d i un terremoto, misurata per mezzo della scala Richter, viene calcolata con la formula R = log
a 119526231,5 J / m 2
b
1,128040355 J / m 2
c 1,319720393 J / m2
d 4023,872394 J / m2
10 Detta f la frequenza fondamentale di una nota musicale , le intensità sonore delle altre frequenze della stessa nota
sono multipli di f e costituiscono il timbro del suono. Nella scala musicale 13 note (do, do diesis o re bemolle, mi, fa, fa
diesis o sol bemolle, sol, sol diesis o si bemolle, si, do) vengono raggruppate in intervalli delle ottave, che separano due
note con frequenza una doppia dell’altra. Sapendo che le frequenze delle note all’interno di un’ottava formano una
progressione geometrica (ovvero il rapporto fra due termini consecutivi è costante) è che la frequenza f del do centrale di
un pianoforte è di 262 Hz, la frequenza (approssimata all’intero più vicino) del sol della prima ottava delle note del
pianoforte è
a
393 Hz
b 416 Hz
c 371 Hz
d
381 Hz
11 Le scale sismiche, per essere scientificamente efficaci, devono poter consentire il paragone tra le intensità dei
terremoti che avvengono in condizioni ambientali differenti. Per questo motivo esse si fondano sulla misura dell’energia
che si libera al momento dell’evento sismico. Una delle più utilizzate è la scala Richter, ideata nel 1935 dal geofisico
æ Aö
americano. Questa definisce la magnitudo M di un terremoto come: M = Log ç ÷ dove A indica l’ampiezza massima
è A0 ø
delle onde del terremoto considerato e A0 = 10 – 6 m l’ampiezza massima delle onde di un terremoto campione con
epicentro a 100 km di distanza. Uno dei terremoti di magnitudo più alta M = 9 è quello che colpì il Cile nel 1960. Attuali
sismografi sono sensibilissimi e sono in grado di rilevare terremoti con M = – 3. Le ampiezze delle onde del terremoto
che colpì il Cile e quello di magnitudo minima rilevabile sono di:
a 10 – 54 m e 10 – 18 m
b 10 3 m e 10 – 9 m
c 10 9 m e 10 – 3 m
d
10 15 m e 10 3 m
12 Il modello sinusoidale t = k sin ( hn + a ) + b , con k > 0, descrive con una discreta approssimazione come varia la
temperatura t dell’acqua del mare in funzione dei giorni n dell’anno. Determinare la funzione temperatura se:
- il periodo della funzione è di 365 giorni
- il 15 febbraio è stata registrata la temperatura minima di 10 °C
- il 17 agosto è stata registrata la temperatura massima di 26 °C
a
c
911 ö
æ 2n
t = 8sin ç
p+
p ÷ + 18
730 ø
è 365
911 ö
æ 2n
t = 18sin ç
p+
p ÷+8
365
730
è
ø
b
d
911 ö
æ 2n
t = 8sin ç
pp ÷ + 18
730 ø
è 365
911 ö
æ 2n
t = 18sin ç
p+
p ÷ -8
365
730
è
ø
13 L’umidità relativa percentuale u(r) che assicura l’equilibrio di una goccia di raggio r è data dalla formula di Kelvin:
A
u ( r ) = 100e rT dove A = 3.2 10 – 7 K × m è una costante che dipende da proprietà dell’acqua e t è la temperatura assoluta
nelle immediate vicinanze della goccia. Supponiamo che si aggreghino per urti casuali alcune decine di molecole di
vapore acqueo alla temperatura di 4 °C, formando una gocciolina di raggio 1nm. La gocciolina rimarrebbe in equilibrio
con l’ambiente solo se l’umidità relativa fosse
a 100%
b 409%
c 5.54 1036 %
Qæ 1
1 ö
÷÷
çç
d non sarà mai in equilibrio
14 La seconda equazione di Clapeyron Pv2 = Pv1e R è T1 T2 ø esprime la tensione di vapore Pv2 ad una temperatura T2, in
funzione della tensione di vapore Pv1 ad una temperatura T1, della costante R = 1.985 e del Calore Molare di
vaporizzazione Q.
Sapendo che la tensione di vapore dell’acqua: a 200°C (473°K) è 16.49 Kg/cm2, a 100°C (373°K) è 1.033 Kg/cm2 il
Calore Molare di vaporizzazione Q per l’acqua è circa:
a 478 Kcal/Kmole
b 1101 Kcal/Kmole
c 4213Kcal/Kmole
d 9702 Kcal/Kmole
15 Il grafico della funzione : y = e sin x nell’intervallo [-p p] è:
a
b
3
2
2.5
1.5
2
1
1.5
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-4
4
c
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
d
3
4
3.5
2.5
3
2
2.5
1.5
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-4
16 È opera del chimico tedesco Walter Herman Nernst verso la fine del XIX secolo la determinazione del potenziale E
RT [ Oss ]
di semipila in condizioni di concentrazione e di temperatura non standard: E = E 0 +
ln
essendo: E0 il
nF [ Rid ]
potenziale standard della pila, R = 8,31 J k–1 mol–1 la costante dei gas, T la temperatura della cella, n il numero di
elettroni scambiati nella cella, F = 896485 C mol–1 la costante di Faraday. L’equazione di Nernst alla temperatura di
2,55 ×10-2 [ Oss ]
25°C, per semipila a concentrazione non standard diventa E = E 0 +
ln
. Se per la semipila Zn / Zn2+ i
n
Rid
[ ]
potenziali sono E0 = -0.763 V e E = -0.792 V con [Rid] = 1 M si ha [Oss] =
a 0.01 M
b 0.037 M
c 0.1 M
d 0.374 M
ì x = sin q cos q
, q Î [ 0, 2p ] la curva G
17 Sia G la curva assegnata dalle equazioni parametriche í
2
î y = sin q
circonferenza di equazione:
a x2 + y 2 = 1
b x2 + y 2 = x
c x2 + y 2 = y
appartiene alla
d x2 + y 2 = x + y .
18 Un paziente riceve per iniezione quantità uguali di una certa medicina. E’ necessario che, ad ogni istante, la
concentrazione di tale sostanza non scenda al di sotto di un valore minimo. Sapendo l’organismo elimina questa sostanza
secondo la relazione C ( t ) = ke -0,11155t , t > 0 , essendo C(t) la concentrazione al tempo t, espresso in ore, k = C(0) la
concentrazione immediatamente dopo la somministrazione della sostanza con la prima iniezione. Se la seconda iniezione
viene effettuata quando la concentrazione è scesa al valore ½ k, il tempo trascorso dalla prima iniezione è:
a 0.077 ore
b 0.184 ore
c 6.214 ore
d 14.78 ore
19 L’equazione di propagazione di un onda sonora è descritta da una funzione in due variabili
æ æx tö
ö
y ( x, t ) = y0 sin ç 2p ç - ÷ + j ÷ essendo y0 l’ampiezza massima, l la lunghezza dell’onda e T il suo periodo e
è èl T ø
ø
j l’angolo di sfasamento. Se due onde si propagano in una stessa regione di spazio interferiscono fra loro ed originano
un’onda risultante la cui equazione è la somma delle equazioni delle singole onde. Considerate due onde aventi stessa
ampiezza massima, periodo e lunghezza d’onda, con j = 0 per la prima e j = p per la seconda; l’equazione dell’onda
risultante è:
æ æx tö 1 ö
æ æx t ö
ö
a y ( x, t ) = y0 sin ç p ç - ÷ + p ÷
b y ( x, t ) = 2 y0 sin ç 2p ç - ÷ + p ÷
è èl T ø 2 ø
è èl T ø
ø
æ æx t
c y ( x, t ) = 2 y0 sin ç 2p ç è èl T
ö 1 ö
÷+ p ÷
ø 2 ø
d 0
20 La magnitudine stellare m misura l’intensità luminosa I di una stella: le scale utilizzate in astronomia per la misura
della luminosità risalgono ad Ipparco, il quale divise le stelle visibili in sei classi di grandezza, attualmente indicate con i
simboli 1m , 2m , … , 6m . Le stelle meno visibili ad occhio nudo sono di classe 6m , mentre quelle appartenenti alla classe
1m sono quelle maggiormente visibili. Se due stelle hanno magnitudine rispettivamente m1 e m2 il logaritmo del rapporto
I
tra le rispettive intensità luminose I1 ed I2 è log 1 = :
I2
a 0.4(m1 – m2)
21
b 0.4(m2 – m1)
c 2.5(m2 – m1)
d 2.5(m1 – m2)
L’intensità di un suono viene espressa in decibel dB dalla relazione I dB = 10 log
I
essendo I 0 = 10-12 W / m2 la
I0
soglia di percettibilità per un suono di 1000 Hz a cui corrispondono 0 dB. Il livello soglia del dolore è I = 1012 I 0 W / m2
a cui corrispondono :
a 1.2 dB
b 12 dB
c 120 dB
d 1200 dB
Con éë H + ùû si indica la concentrazione di ioni idrogeno (= numero di moli / cm3) in una soluzione, si definisce
come misura dell’acidità della soluzione la quantità pH = - log éë H + ùû . Considerando come soluzione neutra l’acqua pura
22
a cui si associa il valore pH = 7 , la concentrazione di ioni idrogeno in una soluzione neutra è :
a 10 -7
b e -7
a 10 – 54 m e 10 – 18 m
b 10 3 m e 10 – 9 m
c 10 7
c 10 9 m e 10 – 3 m
d e7
d
10 15 m e 10 3 m
23 Il modello sinusoidale t = k sin ( hn + a ) + b , con k > 0, descrive con una discreta approssimazione come varia la
temperatura t dell’acqua del mare in funzione dei giorni n dell’anno. Determinare la funzione temperatura se:
- il periodo della funzione è di 365 giorni
- il 15 febbraio è stata registrata la temperatura minima di 10 °C
- il 17 agosto è stata registrata la temperatura massima di 26 °C
a
c
911 ö
æ 2n
t = 8sin ç
p+
p ÷ + 18
730 ø
è 365
911 ö
æ 2n
t = 18sin ç
p+
p ÷+8
365
730
è
ø
b
d
911 ö
æ 2n
t = 8sin ç
pp ÷ + 18
730 ø
è 365
911 ö
æ 2n
t = 18sin ç
p+
p ÷ -8
365
730
è
ø
24 L’umidità relativa percentuale u(r) che assicura l’equilibrio di una goccia di raggio r è data dalla formula di Kelvin:
A
u ( r ) = 100e rT dove A = 3.2 10 – 7 K × m è una costante che dipende da proprietà dell’acqua e t è la temperatura assoluta
nelle immediate vicinanze della goccia. Supponiamo che si aggreghino per urti casuali alcune decine di molecole di
vapore acqueo alla temperatura di 4 °C, formando una gocciolina di raggio 1nm. La gocciolina rimarrebbe in equilibrio
con l’ambiente solo se l’umidità relativa fosse
a 100%
b 409%
c 5.54 1036 %
d non sarà mai in equilibrio
-
h
25 La pressione atmosferica ad una data altezza h è espressa dalla legge P = P0 e 30T +8000 in funzione della
temperatura T dell’aria all’altezza h, della pressione atmosferica P0 misurata al livello del mare, e dalla misura
dell’altezza h rispetto al livello del mare. Nota la pressione atmosferica P all’altezza h dalla legge assegnata si può
ricavare l’equazione barometrica ovvero l’equazione che determina l’altezza h . Utilizzando l’equazione barometrica
vengono costruiti gli altimetri sia per uso alpinistico sia per aeronavigazione, strumenti che, note la temperatura e la
pressione dell’aria ad una certa altezza indicano il valore di h su una scala tarata in metri. L’equazione barometrica alla
base di tali strumenti è :
P
P
a h = ( 30T + 8000 ) log
b h = 0 log ( 30T + 8000 )
P0
P
c h = ( 30T + 8000 ) log
P0
P
d h=
P
log ( 30T + 8000 )
P0
LICEO CARDUCCI
CERTAMEN DI MATEMATICA
classe QUINTA liceo
01 Nei modelli di evoluzione di una popolazione isolata i fattori di evoluzione sono essenzialmente il tasso di natalità
l (numero di nati per individuo per unità di tempo) ed il tasso di mortalità m (numero di morti per individuo per unità di
tempo). Indicando con e = l - m il potenziale biologico della popolazione, con N(t) il numero di individui al tempo t e
con N0 il numero di individui al tempo t0 si ha che il numero di individui N al tempo t soddisfa l’equazione logistica di
Verhulst: N’ = eN – bN2 essendo b una costante. Il numero di individui della popolazione N al tempo t è:
a
e N0
-e t-t
bN 0 + ( b - e N 0 ) e ( )
b
0
e N0
e N0 + ( e - bN 0 ) e
c
- e ( t - t0 )
e N0
e N 0 + ( b - e N0 ) e- e ( t - t )
d
0
e N0
bN 0 + ( e - bN 0 ) e
- e ( t - t0 )
02 Un forcing radiativo è la variazione di flusso netto (differenza fra entrante e uscente) attraverso l’alta atmosfera che
è dovuta al cambiamento di un fattore esterno determinante per i cambiamenti climatici. Si supponga che la temperatura
media annua della superficie terrestre sia esprimibile come funzione T = T ( S ) . Il parametro di sensibilità climatica
l (definito come variazione della temperatura media annua all’equilibrio per un forcing radiativo unitario) può essere
d
espresso dalla formula l =
T ( S ) . All’equilibrio la temperatura media annua della superficie terrestre è data da
dS
1
s T 4 = (1 - a ) S con a = 0.294, s = 5.67 ×10-8 W/ m 2 K 4 . Il valore di l se S = 1361 W/m2 è
4
(
a
0.047 °C m2/W
b
)
0.058 °C m2/W
c 0.069 °C m2/W
d 0.036 °C m2/W
4
03 Da un tronco a forma cilindrica di raggio r si vuole ricavare una trave a sezione rettangolare.
Poiché la resistenza a flessione è proporzionale al prodotto della base b per il quadrato della
altezza h della trave si ha resistenza massima per:
3
2
h
1
r
0
a b=
3
r
3
b b=
2
3r
3
c b=
6
r
3
d b=
2
6r
3
-1
-2
-3
-4
-4
b
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
04 Considerato il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB di lunghezza unitaria sia D il punto sul prolungamento del
cateto AC oltre C in modo che AD @ AB. Indicata con x l’ampiezza dell’angolo acuto nel vertice A il valore del
Area del settore circolare ABD
lim
è:
x®0
Area del triangolo ABC
a 0
b ½
c 1
d 2.
05 Nella statistica di Fermi, il numero di particelle aventi energia E alla temperatura assoluta T è dato da :
1
n( E ) = ( E - E * )
con E ¹ E * dove E * è un parametro avente le dimensioni di un’energia e k è un parametro positivo.
e k T +1
Il numero n(E) di particelle quando la temperatura T è sempre più vicina allo zero assoluto è:
a
0
b
0 se E < E*, 1 se E > E*
c 1
d 0 se E > E*, 1 se E < E*
06 In un allevamento ittico, una popolazione di pesci viene introdotta in una vasca d’allevamento e ne viene estratta
regolarmente una parte. Un modello per il tasso di crescita della popolazione P(t) è dato dall’equazione
æ P (t ) ö
dP
= r0 ç 1 ÷ P ( t ) - b P ( t ) dove r0 è il tasso di natalità dei pesci, Pm la massima popolazione che la vasca può
dt
Pm ø
è
contenere e b è la percentuale di popolazione che viene prelevata. Se la vasca può contenere 10000 pesci, il tasso di
natalità è del 5% , la percentuale di sfoltimento è del 4% e la popolazione nella vasca è costante, i pesci nella vasca sono:
a 2000
b 4000
c 6000
d 8000
07 Quattro punto A, O, B, C, appartenenti ad una retta, sono tali che AO = OB = BC = l. Sia G una delle due
semicirconferenze di diametro AB. Siano P un punto appartenente a G e q l’angolo POC. Considerata la regione finita
di piano R limitata dall’arco AP di G e dai segmenti AC e PC, determinare per quale valore di q l’area della regione è
massima .
a
p
p
b
6
c
3
p
d
2
3
p
4
08 Una delle grandezze studiate in termodinamica è la compressibilità. Se una data sostanza è mantenuta a temperatura
costante, allora il suo volume V dipende dalla pressione P. si definisce compressibilità isotermica b il prodotto
1 dV
, b misura quanto velocemente, per unità di volume, il volume di una sostanza decresce al crescere delle
V dP
pressione mantenendo la pressione costante. Se il volume V (in metri cubi) di un campione di aria a 25 °C dipende dalla
5.3
pressione P (in kiloPascal) secondo la relazione V =
, la compressibilità del campione d’aria alla pressione di 50
P
KPa è:
a 0.2
2
b
c 0.02
d 0.002
09 Galileo studiando la curva di sospensione di una catenella flessibile o di una fune nel 1638 credette di aver trovato
un’ulteriore applicazione della parabola. Che la curva non fosse una parabola venne dimostrato nel 1669 dal matematico
tedesco Jungius ma furono Huygens e Leibniz che nel 1690-91 dimostrarono che la curva detta catenaria non era una
x
x
- ö
cæ
curva algebrica. Una delle proprietà della catenaria, la cui equazione è: yc = ç e c + e c ÷ con c parametro positivo, è
÷
2 çè
ø
di avere una distribuzione di peso uniforme per ogni lunghezza di arco. Assegnate le equazioni differenziali :
y – y’ = e –x, (y’)2 – y2 = 1, y” – y = 0 , y’” + y = e x , la catenaria, se c = 1 , soddisfa :
a tutte le equazioni
b tutte tranne la seconda
c solo la prima
d solo la terza e la quarta
10 Per realizzare i circuiti elettronici da un cristallo di silicio, si depositano sulla superficie delle impurità (boro,
fosforo), che si diffondono nel silicio. Il numero N(t) delle impurità presenti alla profondità d > 0 è espresso in funzione
del tempo t > 0 da: N ( t ) =
a N = d 2e
e
-
d2
t
t
. Il numero massimo di impurità alla profondità d è:
b N=
2e
ed
c N=
d 2e
2e
d N=
2e
2ed
11 Sia ABC un triangolo inscritto nella semicirconferenza di diametro AB = 6; detti CH l’altezza del triangolo ed x la
misura del segmento AH , il limite del rapporto fra le misure dei segmenti CH ed AH se x tende a zero è:
c +¥
b 1
a 0
d il limite non ha soluzione.
12 Ogni corda AB della parabola g: y = x 2 è parallela alla tangente a g tracciata nel suo punto di ascissa c essendo c:
a la media aritmetica delle ascisse di A e B
b la semidifferenza delle ascisse di B ed A
c la media geometrica delle ascisse di A e B
d il semiprodotto delle ascisse di A e B
13 Se la derivata della variabile y = f(x) rispetto alla variabile x esprime il tasso di variazione di y rispetto ad x la
derivata logaritmica di y ovvero la derivata di ln f(x) rispetto alla variabile x esprime il tasso di incremento relativo di y
rispetto ad x. Il tasso di variazione relativa di y rispetto a variazione relative di x (ovvero la derivata di ln f(x) rispetto a
ln x) prende il nome di elasticità della funzione e si indica con E(x). Applicando le regole di derivazione di ottiene che:
a E ( x) =
f '( x)
xf ( x )
b E ( x) =
f ( x)
xf ' ( x )
c E ( x) = x
f '( x)
f ( x)
d E ( x) = x
f ( x)
f '( x)
14 Una fabbrica A deve essere collegata ad una ferrovia con una strada rettilinea AD. Sulla ferrovia è situata una città C.
La distanza tra la fabbrica e la ferrovia è d(A,B) = a; la distanza fra la città e il punto B è d(C,B) = c. Il costo del trasporto
su strada è k volte più caro di quello su ferrovia (con k numero positivo grande). La distanza x fra la città C ed il punto
D, interno al tratto ferroviario BC, che minimizza il costo del trasporto dalla città C alla fabbrica A è:
a a + c ( k 2 - 1)
-
1
2
b a - c ( k 2 - 1)
-
1
2
c c - a ( k 2 - 1)
-
1
2
d c + a ( k 2 - 1)
-
1
2
15 Parallelamente alla facciata di un palazzo alto più di 8m ,
a distanza di 1m si erge un muro alto 8m .
La lunghezza minima di una scala AC che, partendo dal suolo,
si appoggi alla parete e passi per la sommità del muro si ha
se la distanza AD è:
a 6m
b
c 4m
d 3m
16 La funzione y = atgx + atg
5m
1
è:
x
a strettamente crescente
b strettamente decrescente
c costante
d non monotona
17
Sia f : R ® R una funzione continua su R, derivabile in x = 0. Si consideri la funzione g : R ® R , anch’essa
ìï( f ( x ) + 1)3
continua su R e derivabile per x = 0, definita da g ( x ) = í
ïî - f ( x ) - 1
dalla sua derivata prima f ’ (x) in x = 0 sono :
a
f ( 0) = 0
f '( 0) = 1
b
f ( 0) = 0
f ' ( 0 ) = -1
se x > 0
se x £ 0
f (0 ) = 1
c
f '( 0) = 0
. I valori assunti dalla funzione f(x) e
d
f ( 0 ) = -1
f '( 0) = 0
18 Un segmento di lunghezza L viene diviso in n (n > 1) parti uguali su ciascuna delle quali, tranne l’ultima, si
costruisce una semicirconferenza. Si ottiene in tal modo una curva costituita da n – 1 semicirconferenze e da un
segmento. La misura della lunghezza della curva se si considera n ® +¥ è :
a
19
1
L
2
b
1
pL
2
1
L
2p
c
d 2L
L’intensità J(l) d’irraggiamento di una stella in funzione della lunghezza d’onda l > 0 è data da J ( l ) =
c
l5
e
-
k
l
con
k costante che dipende dalla stella considerata. Se c = 1 l’intensità massima di irraggiamento della stella si ha per :
a l=
k
5
b l=
1
5k
c l=
5
k
d l = 5k
20 Il flusso di sangue attraverso un vaso sanguigno (vena od arteria), può essere modellizzato dal flusso di un liquido
che scorre attraverso un cilindro di raggio R e di lunghezza l. A causa dell’attrito con le pareti del vaso sanguigno, la
velocità v del sangue è massima lungo l’asse del vaso e decresce quando la distanza dall’asse (che indichiamo con r)
aumenta fino a che v assume valore nullo sulla parete del vaso. La relazione tra v ed r e data dalla legge del flusso
P
laminare scoperta dal fisico francese Poiseuille nel 1840: v =
( R 2 - r 2 ) dove h è la viscosità del sangue, P la
4h l
dv
differenza di pressione fra l’inizio e la fine del vaso. Il gradiente di velocità
è:
dr
a
21
PR
2h l
b -
Pr
2h l
c
P ( r 2 - R2 )
4h 2l
(
d -
P ( R2 - r2 )
4h l 2
)
Considerata la funzione f (n) = ln10n + log e- n , n Î ¥ lim ln10n + log e -n =
a 4.516
n®2
b 0
c non esiste
d la richiesta non ha senso
22
Assegnata la funzione y = ( x - a )
a assume il valore
1
(a + b)
2
2
( x - b) + x
sicuramente esiste un punto c dell’intervallo (a b) in cui la funzione
b assume valore massimo o minimo
c si annulla
d ha la tangente parallela all’asse x
23 Per ultimare la costruzione di una cottage occorre costruire il
tetto a due spioventi. Rappresentata in scala (1u = 1m) la sezione
del cottage in un opportuno sistema di riferimento cartesiano
(vedi figura) e considerata nel medesimo riferimento la curva
e3 x + e -3 x
y =7il profilo di ciascuno dei due spioventi poggia
13
sulla curva rispettivamente nei punti di ascissa x = ±1 e risulta
tangente alla curva nel punto di appoggio. La massima altezza del
tetto rispetto al suolo è circa:
a 13m
b 12 m
10
8
6
4
2
0
-1.5
c 11 m
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
d 10m
P
, dove P0 è
P0
la minima pressione rilevabile dall’orecchio umano e P la pressione sonora dell’onda acustica. Una sirena emette un
segnale sonoro variabile nel tempo secondo la legge P ( t ) = P0 (1 + Ate- t ) , con A costante positiva e t misurato in
24 L’intensità di un suono percepito da una persona, misurato in decibel, si ottiene dalla formula 20 log
secondi. L’intensità del suono aumenta fino al tempo ……. s poi diminuisce fino a tendere al valore ……… quando il
tempo tende all’infinito.
a 0,1
b 1,0
c A , 20logA
25 Assegnata la circonferenza di raggio r e centro C siano:
AB la corda della circonferenza lato del triangolo equilatero inscritto
A
BD @ AB un segmento appartenente alla retta tangente in B alla
circonferenza (vedi figura)
s una retta passante per D secante in E e F la semicirconferenza
s
indicata con x la distanza fra il centro C e la secante s il limite del
rapporto fra la misura di DF e la misura di DE al tendere di x a zero è: F
d e , 20
B
C
E
a
1.5
b
2
c
2.5
d
3
D