soluzioni_problemi5

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Problemi (5)
Problema 1.
Un pendolo semplice, in un punto della superficie terrestre in cui l’accelerazione di gravità è g = 9, 81
m/s2 , oscilla con frequenza f = 0, 4 Hz.
1) Determinare la lunghezza del filo del pendolo.
2) Determinare il periodo con cui oscilla un pendolo il cui filo sia più lungo del 50% del filo del
pendolo precedente.
Problema 2.
Un sacchetto di caramelle di massa 2 kg è appeso ad una molla verticale che si allunga di 50 cm sotto
il carico, sospendendo il sacchetto alla quota di 1 m sopra la testa di un bambino. Il sacchetto viene
tirato verso il basso di altri 25 cm e poi lasciato libero. Quanto tempo impiegherà il sacchetto per
ritornare alla quota di 1 m sopra la testa del bambino?
Problema 3.
Un dispositivo è formato da una molla di massa trascurabile, cui è agganciata una sfera di massa 1,2
kg; il tutto oscilla orizzontalmente con un periodo di 4 s. Calcola
1) La costante elastica della molla
2) Il periodo del sistema oscillante se si sostituisse la sfera con un’altra di massa doppia.
3) Il periodo di oscillazione nel caso in cui si sostituisse la molla con una più rigida, avente costante
elastica pari a tre volte quella della molla iniziale.
*Problema 4.
Un pendolo è costituito da un corpo puntiforme di massa m = 1 kg sospeso tramite un filo di massa
trascurabile e lunghezza l = 1 m. Conoscendo l’ampiezza angolare massima θmax = 30◦ delle
oscillazioni che il pendolo può compiere senza che il filo si spezzi, determinare il valore della tensione
di rottura τrott del filo.
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Soluzioni
Problema 1.
1) Il periodo del pendolo è T = 1/f = 2, 5 s. Sapendo che
T = 2π
s
l
g
si ricava la lunghezza del pendolo
l=g
T
2π
2
= 1, 55 m
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2)Nel nuovo pendolo l′ = l + l = l = 2, 32 m e quindi si ottiene
2
2
s
l′
= 3, 06 s
T ′ = 2π
g
Problema 2.
Il sistema caricato è in equilibrio quando la massa è alla quota di 1 msopra il bambino. Vi ritorna
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partendo dalla sua quota più bassa, la posizione di partenza (x = A = 25 cm), dopo di ciclo, cioè
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all’istante t = T . Per trovare T si deve prima ricavare k. All’inizio si ha
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−k∆l + mg = 0
e quindi
k=
mg
(2 kg)(9, 8 m/s2 )
=
= 39, 2 N/m
∆l
0, 5 m
conoscendo l’espressione del periodo T si ricava
r
m
= 1, 4 s
T = 2π
k
1
e infine t = T = 0, 35 s
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Problema 3.
1) La costante elastica si ricava facilmente dall’espressione del periodo
k=(
2π 2
) m = 2, 96 N/m
T
2) Se m′ = 2m = 2, 4 kg, il periodo risulta
T = 2π
r
m′
= 5, 66 s
k
3
3) Se k ′ = 3k = 8, 88; N/m il periodo risulta
T = 2π
r
m
= 2, 31 s
k′
*Problema 4.
Sappiamo che le equzioni del pendolo per la posizione e la velocità sono
s(t) = A sin(ωt + φ)
v(t) = −Aω cos(ωt + φ)
La velocità è massima, in modulo, quando cos(ωt + φ) = 1, e si ha
r
g
|vmax | = Aω = A
l
Inoltre l’ampiezza massima risulta A = θl e quindi
|vmax | = θl
r
g
l
La tensione del filo è data da
v2
l
e anch’essa raggiunge il valore massimo quando cos(ωt + φ) = 1 e v = vmax , vale a dire
τ = mg cos(ωt + φ) + m
τ = mg + m
2
vmax
= mg + mθ2 g = mg(1 + θ2 ) = 14, 93 N
l