Frazioni e operazioni

LA FRAZIONE
Una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti
della stessa dimensione.
ES:
Il denominatore: indica il numero totale di parti uguali che compone l’intero.
Il numeratore: indica il numero di parti che è stato considerato.
Il numeratore e il denominatore sono detti TERMINI della frazione
Una frazione può essere:
•
propria: se il numeratore è minore del denominatore.
Es:
•
impropria: se il numeratore è maggiore del denominatore.
Es:
•
8
4
unitaria: se ha numeratore 1.
Es:
•
8
7
apparente: se il numeratore è multiplo o uguale al denominatore e il valore della frazione è un numero intero.
Es:
•
3
5
1
5
numero misto: una frazione sommata o sottratta a un numero intero.
Es: 3 +
•
2
5
ridotta ai minimi termini – o irriducibile – se il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro (cioè il
loro M.C.D. è 1);
Es:
8
9
Casi particolari:
1.
0
=0
n
2.
n
= impossibile
0
3.
0
= in det er min ata
0
FRAZIONI EQUIVALENTI
Sono frazioni che hanno lo stesso valore.
Es: 3 6 9
2
=
4
=
6
= ...... = 1, 5
Le frazioni che hanno lo stesso valore formano un unico gruppo detto CLASSE e sono dette EQUIVALENTI.
IMP: La frazione che tra tutte quelle di una stessa classe ha il numeratore e il denominatore primi fra loro è detta
CAPOCLASSE poiché è quella con i termini più piccoli, cioè ridotta ai minimi termini.
Le frazioni di una stessa classe sono dette RIDUCIBILI e sono infinite, poiché se si moltiplica il numeratore e il
denominatore per una stessa quantità si ottiene sempre una frazione equivalente e della stessa classe.
Le frazioni riducibili infatti si ottengono moltiplicando la capoclasse per un certo fattore:
ES:
3 15 " 3 ⋅ 5 %
=
=$
'
2 10 # 2 ⋅ 5 &
invece per ottenere la capoclasse (quella ridotta ai minimi termini) si deve dividere per un fattore comune
SEMPLIFICAZIONE
CON RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI
Le frazioni devono essere riportate alla propria capoclasse in modo da utilizzare numeri (al numeratore e al
denominatore) molto bassi.
Questo è possibile perché il valore della frazione non cambia anche se si utilizza la frazione equivalente a quella di
partenza.
Per far ciò esistono 2 metodi:
1. SEMPLIFICAZIONI SUCCESSIVE: si dividono sia il numeratore che il denominatore per un divisore comune, fino a che
non esistono più divisori comuni.
Es: 288 288 : 2 144 : 2 72 : 3 24 : 3 8
252
=
252 : 2
=
126 : 2
=
63 : 3
=
21 : 3
=
7
2. SEMPLIFICAZIONE PER IL M.C.D.: si utilizza l’MCD dei due numeri in un’unica divisione.
Es:
5
2
288 = 2 ⋅ 3
288 288 : 36 8
=
=
252 252 : 36 7
252 = 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7
MCD = 2 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36
CONFRONTO DI 2 FRAZIONI
le frazioni si possono confrontare solo se hanno il denominatore uguale, cioè solo se dividono l’intero allo stesso modo.
Abbiamo 2 casi possibili:
1. stesso denominatore - è maggiore quella con numeratore maggiore
Es: : 4 2
>
5 5
infatti quella con numeratore più grande considera più parti dell’intero rispetto a quella con
il numeratore più piccolo.
2. denominatori differenti - devono essere trasformate al minimo comune denominatore, in modo da ricondurle
al primo caso.
Per far ciò si deve trovare il minimo comune multiplo dei denominatori.
Es:
3 5
9 10
e → <
4 6 12 12
Per ogni frazione si deve trovare il multiplo con cui moltiplicare il nuovo numeratore:
3
3⋅ 3 9
→ =
→ ↑=
=
4 12 12 : 4 3
12
5
5 ⋅ 2 10
→
=
→ ↑=
=
6
12 12 : 6
2
12
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
1. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Per poter addizionare due frazioni esse devono avere lo stesso denominatore. La frazione risultante si ottiene sommando
i numeratori e mantenendo lo stesso denominatore perché si considerano le parti di uno stesso intero.
Es:
3 2 2+3 5
+ =
=
7 7
7
7
7 5 3 7−5+3 5
− + =
=
8 8 8
8
8
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore devono essere trasformate in frazioni equivalenti con o stesso
denominatore:
2. MOLTIPLICAZIONE
Per moltiplicare due frazioni basta moltiplicare i numeratori tra loro e i denominatori tra loro, siano essi due o più.
Se moltiplichiamo una frazione per una certa quantità otteniamo:
Es:
3⋅
3 3 3 9
= ⋅ =
4 1 4 4
infatti
3 3 3 3+ 3+ 3 9
+ + =
=
4 4 4
4
4
È possibile che il numeratore di una frazione e il denominatore dell'altra abbiano un fattore comune: in questo caso è
possibile (prima di avere eseguito i due prodotti) semplificare il risultato, con un metodo chiamato SEMPLIFICAZIONE IN
CROCE:
Se calcoliamo una catena di moltiplicazioni è possibile semplificare in croce un qualsiasi denominatore con un qualsiasi
numeratore.
MAI semplificare due numeratori o due denominatori fra loro.
IL RECIPROCO (O INVERSO):
data una frazione, il suo reciproco è una frazione che si ottiene invertendo il numeratore con il
denominatore.
Il prodotto di una frazione con il suo reciproco è uguale a 1.
Es:
IMP: il reciproco di un numero intero è l’unità frazionaria
3⋅
1 3 1
= ⋅ =1
3 1 3
LA POTENZA:
è una moltiplicazione con i fattori tutti uguali, per cui la potenza di una frazione si calcola elevando
all’esponente dato sia il numeratore che il denominatore.
Es:
2
32
9
! 3$
=
=
#" &%
2
4
4
16
Ci sono delle differenze di scrittura:
3.
DIVISIONE
Per dividere due frazioni tra di loro si deve moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda.
Es:
5 20 5 9
:
= ⋅
=
6 9 6 20
Se calcoliamo una catena di divisioni è possibile trasformare tutte le divisioni in moltiplicazioni facendo il reciproco di tutte
le frazioni che hanno alla loro sinistra il simbolo di divisione (cioè dalla seconda divisione in poi).
Es:
16 4 9 16 3 25
: :
= ⋅ ⋅
=
15 3 25 15 4 9
4.
LE ESPRESSIONI ARITMETICHE CON LE FRAZIONI
Le regole delle espressioni sono sempre le stesse, solo che bisogna ricordarsi alla fine di ogni riga di ridurre ai minimi
termini tutte le frazioni riducibili ottenute nella successione dei calcoli.
Es:
(! 3 $ 2 8 1 2 + 10
=
*# & ⋅ + : - −
"
%
4
9
6
3
24
*)
-,
( 9 8 1 3+ 5
= * ⋅ + ⋅ -−
=
) 16 9 6 2 , 12
(1 1 + 5
= * + -−
=
) 2 4 , 12
( 2 + 1+ 5
=*
−
=
) 4 -, 12
3 5
= −
=
4 12
9−5 4 1
=
=
=
12
12 3