Esercizi sui condizionali indicativi - Dipartimento di Filosofia

Esercizi sui condizionali indicativi
soluzioni
Sandro Zucchi
2013-14
Primo esercizio (i tre barbieri)
Il problema
Lewis Carroll, in un articolo dal titolo “A logical paradox” pubblicato nel 1894 su
Mind, racconta questa storia. Nel suo villaggio ci sono tre barbieri: Allen, Brown,
e Carr. I tre barbieri hanno una bottega che gestiscono secondo questa regola: in
ogni momento almeno uno di loro deve essere in bottega. Un giorno, lo zio Jim e
lo zio Joe si dirigono verso la bottega dei tre barbieri portando con loro il nipote
Charles. Lo zio Jim spera che Carr sia in bottega e che sia lui a raderlo, in quanto
Brown è maldestro e Allen ha la mano poco ferma da quando ha avuto la febbre.
Veniamo a sapere inoltre che, causa di questa febbre, Allen è assai riluttante ad
andare in giro solo, e quindi, quando è fuori, porta sempre Brown con sé. Ora, lo
zio Joe, sentendo il desiderio espresso dallo zio Jim, afferma che Carr è certamente
in bottega e, per dimostrare che ha ragione, produce l’argomento seguente:
Dal momento che almeno uno dei barbieri deve essere in bottega, è
chiaro che
(1)
se Carr è fuori, allora se Allen è fuori, Brown non è fuori.
Inoltre, dal momento che quando è fuori, Allen porta sempre Brown
con sé, è vero che
1
Metodi formali per filosofi
(2)
2
se Allen è fuori, Brown è fuori.
Dunque,
(3)
Carr non è fuori.
La conclusione (3) segue dalle premesse (1)-(2), in quanto, se supponiamo che le premesse siano vere e la conclusione falsa, arriviamo a
una contraddizione, ovvero dobbiamo concludere che sia (2) che (4)
sono veri:
(4)
se Allen è fuori, Brown non è fuori.
Lo zio Jim è poco convinto che (4) contraddica (2), e la discussione procede fino
a che zii e nipote arrivano alla bottega dei barbieri. Carroll non ci dice chi hanno
trovato nella bottega. Ma afferma di aver ragione di credere che il ragionamento
dello zio Joe sollevi un problema reale per la teoria dei condizionali e conclude con
l’augurio che “alcuni dei lettori di Mind interessati alla logica aiuteranno a chiarire
queste curiose difficoltà.”
Il compito
Dà una mano a Lewis Carroll:
1. Assumi che i condizionali indicativi siano condizionali materiali (mantieni
questa assunzione nel corso di tutto l’esercizio) e rappresenta gli enunciati
(1)-(4) in LP.
2. Rispondi ora alla domanda: la conclusione (3) è implicata dalle premesse
(1)-(2)?
3. Se hai risposto “sı̀” alla domanda 2, mostra che la conclusione è derivabile
dalle premesse in LP(NAT).
4. Se hai risposto “no” alla domanda 2, descrivi un contro-modello che rende
vere le premesse e falsifica la conclusione.
5. Ha ragione lo zio Joe a sostenere che (1), (2) e (5) implicano (2) e (4)?
(5)
Carr è fuori
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3
6. Se hai risposto “sı̀” alla domanda 5, mostra che la congiunzione di (2) e (4)
è derivabile in LP(NAT) dalle premesse (1), (2) e (5).
7. Se hai risposto “no” alla domanda 5, descrivi un contro-modello che rende
vere le premesse (1), (2) e (5) e falsifica la conclusione, cioè la congiunzione
di (2) e (4).
8. Ha ragione lo zio Joe a sostenere che (2) e (4) sono incompatibili?
9. Se hai risposto “sı̀” alla domanda 8, dà una tavola di verità che mostra che la
congiunzione di (2) e (4) non è soddisfacibile.
10. Se hai risposto “no” alla domanda 8, dà una tavola di verità che mostra che
la congiunzione di (2) e (4) è soddisfacibile.
Le risposte
1. p: Carr è fuori q: Allen è fuori r: Brown è fuori
(1) se Carr è fuori, allora se Allen è fuori, Brown non è fuori.
(1)’ p ⊃ (q ⊃∼ r)
(2) se Allen è fuori, Brown è fuori.
(2)’ q ⊃ r
(3) Carr non è fuori.
(3)’ ∼ p
(4) se Allen è fuori, Brown non è fuori.
(4)’ q ⊃∼ r
2. Se i condizionali indicativi sono condizionali materiali, la conclusione (3)
non è implicata dalle premesse (1)-(2).
3. Infatti, (1)’ e (2)’ sono vere e (3)’ falsa nelle valutazioni ν1 e ν2 :
ν1 (p) = 1
ν1 (q) = 0
ν1 (r) = 1
...
ν2 (p) = 1
ν2 (q) = 0
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4
ν2 (r) = 0
...
5. Se i condizionali indicativi sono condizionali materiali, lo zio Joe ha ragione
a sostenere che (1)-(2) e (5) implicano (2) e (4).
6. Ecco la derivazione:
1.
p ⊃ (q ⊃∼ r)
P
2.
q⊃r
P
3.
p
P
4.
Prova: (q ⊃ r) ∧ (q ⊃∼ r)
DD
5.
q⊃r
R, 2
6.
q ⊃∼ r
7.
(q ⊃ r) ∧ (q ⊃∼ r)
⊃E, 3, 1
∧I, 5, 6
8. Tuttavia, se i condizionali indicativi sono condizionali materiali, lo zio Joe
ha torto a sostenere che (2) e (4) sono incompatibili.
10. Infatti, “q ⊃ r” e “q ⊃∼ r” sono entrambe vere se q è falso.
Nota storica
La soluzione al paradosso basata sull’assunzione che i condizionali indicativi sono condizionali materiali è contenuta in una nota di Johnson (1894) pubblicata su Mind pochi mesi dopo l’articolo di Carroll. Russell in The principles of
mathematics (1903) propone la stessa soluzione (sezione 19, nota 1):
The principle that false propositions imply all propositions solves Lewis
Carroll’s logical paradox in Mind, N. S. No. 11 (1894). The assertion
made in that paradox is that, if p, q, r be propositions, and q implies
r, while p implies that q implies not-r, then p must be false, on the
supposed ground that “q implies r” and “q implies not-r” are incompatible. But in virtue of our definition of negation, if q be false both these
implications will hold: the two together, in fact, whatever proposition
r may be, are equivalent to not-q. Thus the only inference warranted by Lewis Carroll’s premisses is that if p be true, q must be false,
i.e. that p implies not-q; and this is the conclusion, oddly enough,
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which common sense would have drawn in the particular case which
he discusses.
(Tieni presente che, in questo passaggio, Russell usa il termine “implication” per
riferirsi all’implicazione materiale).
Secondo esercizio (una prova dell’esistenza di Dio)
Edgington (1986) cita questo argomento (l’esempio è di W. D. Hart):
Se Dio non esiste, non è vero che, se prego, le mie preghiere saranno
esaudite da Dio. Non prego. Dunque, Dio esiste.
Rispondi alle domande seguenti:
11. Secondo te, l’argomento è valido in italiano? (Rispondi sı̀ o no).
12. L’argomento è valido se i condizionali indicativi sono condizionali materiali?
13. Se hai risposto “no” alla domanda 12, descrivi un contro-modello che rende
vere le premesse e falsa la conclusione.
14. Se hai risposto “sı̀” alla domanda 12, deriva la conclusione dalle premesse
in LP(NAT).
15. La tesi che i condizionali indicativi sono condizionali materiali implica che
Dio esiste? (Motiva la risposta).
Le risposte
11. L’argomento è citato nella letteratura come un chiaro esempio di argomento
invalido in italiano (le premesse sembrano più ragionevoli della conclusione) e dunque viene ritenuto un controesempio alla tesi che i condizionali
indicativi sono condizionali materiali.
12. Sı̀, l’argomento è valido se i condizionali indicativi sono condizionali materiali.
14. Ecco la derivazione in LP(NAT):
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6
1.
∼ p ⊃∼ (q ⊃ r)
P
2.
∼q
P
3.
Prova: p
∼I
4.
∼p
Ass
5.
∼ (q ⊃ r)
6.
q ∧ ∼r
∼⊃, 5
7.
q
∧E, 6
8.
∼q
⊃E, 4, 1
15. Se i condizionali indicativi sono condizionali materiali, l’argomento è valido. Inoltre le premesse sono plausibili. ll materialista dei condizionali deve
dunque concludere che Dio esiste? Stalnaker (2011) suggerisce che una via
di uscita possibile per evitare questa conclusione è la seguente. Il sostenitore
della tesi che i condizionali indicativi sono condizionali materiali potrebbe
sostenere che la prima premessa dell’argomento
Se Dio non esiste, non è vero che, se prego, le mie preghiere saranno
esaudite da Dio.
appare plausibile solo in quanto viene intesa cosı̀:
Se Dio non esiste, allora se prego, non è vero che le mie preghiere
saranno esaudite da Dio.
Se questa affermazione è corretta, l’argomento dovrebbe avere la forma seguente:
1.
∼ p ⊃ (q ⊃∼ r)
2.
∼q
3.
∴p
Ma questo argomento non è valido in LP: ogni valutazione che assegna a “p”
il valore 0 e a “q” il valore 0 rende vere le premesse 1-2 e falsa la conclusione
3. Infatti, se “q” è falso, la premessa 2 è vera. Inoltre, se “q” è falso, il
R, 2
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condizionale “(q ⊃∼ r)” è vero, e dunque la premessa 1 è vera. Ma la
conclusione 3 è falsa se “p” è falso.
Terzo esercizio (robustezza)
Considera di nuovo i condizionali (6) and (7) di cui abbiamo parlato a lezione:
(6)
Se New York è in Nuova Zelanda, allora 2+2=4.
(7)
Se New York è negli Stati Uniti, allora la Seconda Guerra Mondiale è finita
nel 1945.
Rispondi alla domanda:
16. Questi condizionali sono robusti rispetto al loro antecedente?
La risposta
16. Se i condizionali indicativi sono condizionali materiali, (6) è equivalente a
(6)’. La probabilità di (6)’ (e dunque di (6)) è alta in quanto sappiamo che
i due disgiunti sono veri. Inoltre, se venissimo a sapere che New York è
in Nuova Zelanda, la probabilità di (6)’ (e dunque di (6)) rimarrebbe alta in quanto sappiamo che il secondo disgiunto in (6)’ è vero. Dunque, il
condizionale (6) è robusto relativamente al suo antecedente.
(6)
Se New York è in Nuova Zelanda, allora 2+2=4.
(6)’
New York non è in Nuova Zelanda o 2+2=4.
Se i condizionali indicativi sono condizionali materiali, (7) è equivalente a
(7)’. La probabilità di (7)’ (e dunque di (7)) è alta in quanto sappiamo che il
secondo disgiunto è vero. Inoltre, anche venendo a sapere che New York è
negli Stati Uniti, la probabilità di (7)’ (e dunque di (7)) rimane alta in quanto
sappiamo che il secondo disgiunto in (7)’ è vero. Dunque, il condizionale
(7) è robusto relativamente al suo antecedente.
(7)
Se New York è negli Stati Uniti, allora la Seconda Guerra Mondiale
è finita nel 1945.
(7)’
New York non è negli Stati Uniti o la Seconda Guerra Mondiale è
finita nel 1945.
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Dunque, la condizione di robustezza non è sufficiente a spiegare l’apparente
falsità degli enunciati (6) e (7).
Quarto esercizio (robustezza)
Come abbiamo visto, l’enunciato (8) è falso in una situazione in cui io sostengo il
contrario di quello che sostenete voi:
(8)
Se io ho ragione, voi avete ragione oppure se voi avete ragione, io ho
ragione.
Questo è un problema per la tesi che i condizionali indicativi sono condizionali
materiali, in quanto, secondo questa tesi, la rappresentazione di (8) in LP è una
formula valida.
Read (1988) osserva che il sostenitore della tesi non può cavarsela semplicemente facendo appello alle condizioni di asseribilità dei condizionali. Non può cavarsela cosı̀, perché nel caso di (8) solo la disgiunzione è asserita, non gli enunciati
che la compongono, e quindi è irrilevante se i condizionali in (8) siano asseribili o
no.
Si potrebbe replicare a Read che, benché i condizionali in (8) non siano asseriti, in realtà la loro asseribilità è rilevante per l’asseribilità della disgiunzione (8).
Infatti, si potrebbe sostenere che una disgiunzione sia asseribile solo se almeno
uno dei disgiunti è asseribile. Se questa assunzione è corretta, il sostenitore della tesi che i condizionali indicativi sono condizionali materiali potrebbe sostenere
che la disgiunzione (8) è vera ma non asseribile nel caso in cui io sostengo il contrario di quello che sostenete voi, in quanto, in questo caso, i condizionali che la
compongono non sono asseribili.
Questo modo di replicare a Read ci riporta dunque alla questione se i condizionali in (8) siano asseribili o no nel caso descritto. Rispondi alla domanda:
17. Secondo la condizione di asseribilità proposta da Jackson per i condizionali
indicativi, sono asseribili o no i condizionali in (8) nel caso in cui io sostengo
il contrario di quello che sostenete voi? (Motiva la risposta).
La robustezza di un condizionale, secondo Jackson, comporta che il condizionale abbia un’alta probabilità soggettiva. Se supponiamo inoltre che una disgiunzione sia asseribile solo se almeno uno dei disgiunti lo è, ne segue che la
disgiunzione di due condizionali dovrebbe essere asseribile solo se almeno uno dei
condizionali ha un’alta probabilità soggettiva. Rispondi alla domanda:
18. E’ corretta questa conseguenza? (Motiva la risposta).
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Le risposte
17. Il condizionale (9) è equivalente a (9)’ per Jackson:
(9)
Se io ho ragione, voi avete ragione.
(9)’
Io non ho ragione oppure voi avete ragione.
La disgiunzione (9)’ ha un’alta probabilità di essere vera solo nel caso in cui
voi abbiate ragione (visto che io sostengo il contrario di ciò che sostenete
voi), ma in questo caso, se si viene a sapere che l’antecedente del condizionale (9), “io ho ragione”, è vero, allora entrambi i disgiunti sono falsi,
quindi il condizionale non avrebbe un’alta probabilità di essere vero in quel
caso. Quindi (9) non è robusto rispetto al suo antecedente. Un ragionamento
analogo vale per l’altro condizionale “se voi avete ragione, io ho ragione”.
18. Quanto invece alla questione se è corretto assumere che la disgiunzione di
due condizionali sia asseribile solo quando almeno uno dei due condizionali
ha un’alta probabilità soggettiva, la risposta è no. Dopotutto, è possibile
asserire la disgiunzione (10) in modo veritiero senza avere alcuna ragione di
ritenere vero uno dei condizionali che la compongono:
(10)
se apri la porta vedrai un topo oppure se apri la porta non vedrai un
topo.