Esercizi di Macchine a Fluido - Università degli Studi di Udine

Università degli Studi di Udine
Facoltà di Ingegneria
Esercizi di Macchine a Fluido
a cura di L. Casarsa
Esercizi proposti nelle prove scritte dell’esame di Macchine I e II
modulo dai docenti G.L Arnulfi, P. Giannattasio e P. Pinamonti
1
Esercizi sulle Macchine Motrici Idrauliche
2
SCELTA TURBINA IDRAULICA (Appello del 04.12.2002, esercizio N ◦ 1)
Testo
In una centrale idroelettrica è installata una turbina collegata con un alternatore con p = 22
coppie polari. Il salto geodetico è Hg = 14 m e la portata è Q = 70 m3 /s. La turbina ha un
diametro massimo della girante di Dg = 3.5 m ed è attraversata da acqua con velocità meridiana uniforme pari a cm = 10 m/s. Supponendo che le perdite nelle tubazioni dell’impianto
siano di Hperdite = 2 m e scegliendo dei valori opportuni per i rendimenti, si determini: tipo di
turbina, potenza utile, diametro al mozzo, triangoli di velocità al diametro medio della girante
(in particolare calcolare gli angoli palari).
Svolgimento
Tipo di turbina
Per determinare il tipo di turbina è necessario calcolare il numero caratteristico di macchina k
definito come:
ω · Q0.5
k=
(1)
(gH)0.75
dove ω è la velocità angolare, Q la portata volumetrica e H il salto netto. Dato il numero di
coppie polari dell’alternatore collegato alla macchina, è possibile calcolare il numero di giri
della turbina:
120 · f
n=
= 136 g/min con f = 50Hz
(2)
2p
e quindi la velocità angolare
2πn
ω=
= 14.28 rad/s
(3)
60
Il salto netto è invece definito dalla differenza tra il salto geodetico e le perdite nelle tubazioni:
H = Hg − Hperdite = 12 m
(4)
Sostituendo nell’equazione 1, si ottiene k = 3.34 che rientra nel campo delle turbina ad elica.
Potenza utile
La potenza utile Pu è data dal prodotto della potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina
(Pth ) per il rendimento effettivo della macchina, dato dal prodotto dei rendimenti meccanico,
volumetrico ed idraulico:
Pu = Pth · ηe = ρgQH · ηm ηv ηid
(5)
Assumendo 0.98 per il rendimento meccanico e volumetrico e 0.92 come rendimento idraulico,
si ottiene P u = 8240 KW .
Diametro al mozzo
Assunto il rendimento volumetrico, è possibile calcolare la reale portata che attraversa la macchina:
Q0 = Q · ηv = 68.6 m3 /s
(6)
La portata è inoltre calcolabile dall’area di passaggio fra le pale della girante e la velocità
meridiana, assunta uniforme come da ipotesi:
Q0 = c m ·
π 2
2
(D − Dm
)
4 g
3
(7)
dove Dg e Dm sono i rispettivamente i diametri della girante all’estremità e al mozzo. Il
diametro al mozzo risulta quindi pari a :
r
4Q0
= 1.875 m
(8)
Dm = Dg2 −
πcm
Triangoli di velocità
I triangoli di velocità vanno calcolati al diametro medio:
D=
Dg + D m
2
(9)
La velocità periferica al diametro medio è espressa da:
u = u 1 = u2 = ω ·
D
= 13.39 m/s
2
(10)
La componente periferica in ingresso, c1u è calcolabile dal lavoro idraulico tramite la formula
di Eulero (si assume che la velocità in uscita dalla turbina sia assiale):
c1u =
gHηid
gHid
=
= 8.09 m/s
u
u
La velocità assoluta in ingresso alla girante è quindi pari a (vedi fig.1):
q
c1 = c21u + c2m = 12.86 m/s
(11)
(12)
La componente tangenziale della velocità relativa è calcolabile come segue:
w1u = u − c1u = 5.3 m/s
(13)
da cui è possibile calcolare direttamente l’angolo palare in ingresso:
β1 = arctan
cm
= 62.1◦
c1u
(14)
La velocità relativa in uscita è data direttamente da (nell’ipotesi di flusso assiale, vedi fig. 1):
p
w2 = u2 + c2m = 16.71 m/s
(15)
e quindi l’angolo palare in uscita è pari a:
β2 = arcsin
Cm
= 36.8◦
W2
4
(16)
Figura 1: Triangoli di velocità al diametro medio ella girante
ANALISI DIMENSIONALE TURBINE IDRAULICHE (Appello del 22.7.96, esercizio N ◦ 1)
Testo
Due turbine idrauliche simili e funzionanti in condizioni di similitudine fluidodinamica hanno
le seguenti caratteristiche:
I turbina : n1 = 250 g/min; H1 = 20 m; ηe1 = 0.87; Q1 = 25 m3 /s
II turbina : H2 = 20 m; diametro pari a metà di quello della I turbina
Determinare il numero caratteristico di macchina, la potenza utile delle due turbine, la velocit à
di rotazione e la portata della seconda.
Svolgimento
Numero caratteristico di macchina
É possibile calcolare il numero caratteristico di macchina delle due turbine direttamente dai dati
della prima:
ω · Q0.5
k=
= 2.5
(17)
(gH)0.75
Potenza utile delle due turbine
La potenza utile è definita come:
Pe = ηe · ρgQH
Per la prima turbina vale quindi:
Pe1 = ηe1 · ρgQ1 H1 = 4.27 M W
(18)
Poichè le due turbine simili ammettono lo stesso salto utile e medesimo rendimento effettivo
(le due macchine simili lavorano in condizioni di similitudine fluidodinamica), allora vale la
seguente relazione fra le potenze utili delle due macchine:
Q2
D2
Pe2
=
= 22
Pe1
Q1
D1
5
Pertanto, la potenza utile della seconda turbina vale:
Pe2 = Pe1 ·
D22
= 1.07 M W
D12
(19)
Velocità di rotazione e portata della seconda turbina
Consideriamo la definizione di cifra di potenza:
λ=
Pe
ρω 3 D5
Per le due macchine simili vale: λ1 = λ2 . Esprimendo la velocità angolare ω in funzione del
numero di giri ω = 2πn/60, si ha:
s
Pe2 D15
= 500 g/min
(20)
n2 = n 1 · 3
Pe1 D25
La portata della seconda macchina si può ottenere dall’eguaglianza delle cifre di flusso ϕ =
Q
:
ωD 3
ω2 D23
n2 D23
Q2 = Q 1 ·
=
Q
·
= 6.25 m3 /s
(21)
1
ω1 D13
n1 D13
TURBINA PELTON (Appello 20.03.2003, esercizio N ◦ 1)
Testo
Si consideri una turbina Pelton operante con caduta netta H = 500 m, portata Q = 4 m 3 /s e
con due induttori, i = 2. La turbina sia collegata ad un alternatore otto coppie polari, 2p = 16.
Ipotizzando un rapporto u/c1 = 0.48 e scegliendo opportuni valori per i rendimenti/coefficienti
di perdita, calcolare: numero caratteristico di macchina, potenza utile, diametro dei getti, diametro medio della girante, triangoli della velocità.
Svolgimento
Numero caratteristico di macchina
Il numero caratteristico di macchina k è definito come:
ω · Q0.5
(gH)0.75
(22)
120 · f
= 375 g/min f = 50Hz
2p
(23)
k=
Il numero di giri di rotazione della macchina:
n=
e quindi la velocità angolare:
2πn
= 39.27 rad/s
(24)
60
Sostituendo quindi in eq. 22, si ottiene k = 0.134, valore che appartiene al range tipico per le
turbine Pelton.
ω=
6
Diametro dei getti
Il diametro dei getti dei due induttori può essere calcolato dall’espressione della portata:
Q = i · c1 ·
πd2
4
dove c1 è la velocità in uscita dall’induttore, espressa da:
p
c1 = ϕ · 2gH
(25)
(26)
Assumendo 0.97 come valore per il coefficiente di perdita ϕ, si ottiene c 1 = 96.1 m/s e quindi,
dall’eq. 25, si calcola d pari a:
r
4Q
d=
= 0.163 m
(27)
c1 · π · i
Diametro medio della girante
Poichè dai dati di macchina risulta che u/c1 = 0.48, la velocità periferica u vale u = c1 · 0.48 =
46.13 m/s. Il diametro medio della girante si ricava dall’espressione della velocità periferica:
D=
2u
= 2.349 m
ω
(28)
Triangoli di velocita
Per definire completamente il triangolo di velocità in ingresso rimane da calcolare solo la
velocità relativa w1 (vedi fig. 2):
w1 = c1 − u = 50 m/s
(29)
La velocità periferica in uscita è calcolabile da quella in ingresso assumendo un opportuno
valore per il coefficiente di perdita ψ:
w2 = ψ · w1 = 48 m/s ψ = 0.96
(30)
Assumendo che la velocità assoluta in uscita c2 non abbia componente periferica (c2u = 0, vedi
fig. 2):
q
c2 =
w22 − u = 13.2 m/s
(31)
mentre l’angolo relativo di uscita:
β2 = arcsin
w2
= 16.3◦
u
(32)
Potenza utile
La potenza utile è definita dal prodotto della potenza teorica Pth trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo ηe dato dal prodotto dei rendimenti idraulico, volumetrico e
meccanico:
Pu = Pth · ηe = ρgQH · ηid ηv ηm
(33)
7
Trattandosi di una turbina ad azione, il rendimento volumetrico si assume unitario; il rendimento
meccanico si stima pari a 0.97, mentre il rendimento idraulico pu ò essere calcolato direttamente
dalla sua definizione e dall’espressione del salto idraulico secondo Eulero:
ηi =
Hid
u · c1 1
=
·
= 0.90
H
g
H
(34)
Pertanto, la potenza utile risulta pari a Pu = 17.13 KW
NOTA
Per il calcolo della potenza utile, il rendimento idraulico poteva anche essere assunto. Cosı̀ facendo, la velocità di uscita dagli induttori c1 doveva essere calcolata non dalla eq. 26 ma dalla
definizione del salto idraulico secondo Eulero:
u · c1
= ηid H
(35)
Hid =
g
Figura 2: Triangoli di velocità all’ingresso (sx) e all’uscita (dx) della girante
TURBINA FRANCIS (Appello del 04.12.96, esercizio N ◦ 1)
Testo
Effettuare il dimensionamento di massima di una turbina Francis che debba elaborare una portata Q = 21 m3 /s, fornendo una potenza all’albero Pe = 40 M W . Disegnare in scala i triangoli
di velocità e le sezioni meridiana e trasversale della macchina.
Allegati: diagrammi 3-7; tabella 1.
Svolgimento
La potenza utile all’albero è definita come:
Pe = ηe · ρgHQ
8
(36)
dove ηe è il rendimento effettivo dato dal prodotto del rendimento idraulico η id per quello volumetrico ηv e meccanico ηm . Assumendo ηid = 0.94; ηv = 0.98 e ηm = 0.95 (ηe = 0.875), si
può calcolare H dall’equazione (36):
H=
Pe
= 222 m
ηe ρgQ
(37)
Dal diagramma in fig. (3) si può quindi determinare il numero di giri caratteristico riferito
alla potenza np = 105. Dalla definizione di np , esprimendo la potenza utile in CV (Pe =
40 M W = 54.348 CV ) si può risalire al numero di giri della turbina:
n=
np H 1.25
√
= 386 g/min
Pe
(38)
La velocità di sincrono inferiore più vicina si ha per 8 coppie polari (2p = 16):
n=
120f
= 375 g/min f = 50 Hz
2p
(39)
Il nuovo valore di np sarà quindi:
√
n Pe
np = 1.25 = 102
H
(40)
mentre il numero caratteristico di giri riferito alla portata:
nq =
nQ0.5
= 30
H 0.75
(41)
valore che appartiene al range tipico delle turbine Francis (20-120).
Dal grafico in figura (4) è possibile determinare i diametri della sezione meridiana, essendo i
parametri ki definiti come:
ui
πDi n
ki = √
= √
(42)
2gH
60 2gH
Per la turbina considerata si ottiene: D = D1 = 2.218 m; D2 = 1.815 m e D3 = 1.244 m
(vedi fig. 8).
Dal grafico in fig. (5) si ricavano gli altri parametri geometrici:
B/D = 0.13 → B = 0.288 m
P/D = 0.105 → P = 0.233 m
La posizione del punto A si determina dall’equazione della portata una volta nota la velocit à
c2m
I triangoli di velocità vanno calcolati lungo la linea di flusso media. Bisogna quindi prima
calcolare i diametri e le velocità medie:
D1 =
D + D1
πD1 n
= 2.218 m → u1 =
= 43.55 m/s
2
60
D2 =
D2 + D 3
πD2 n
= 1.530 m → u2 =
= 30 m/s
2
60
9
La velocità meridiana in ingresso si calcola direttamente dall’espressione della portata, assumendo per il coefficiente di ingombro palare ξ1 = 0.95:
cm1 =
ηv Q
= 10.8 m/s
πD1 Bξ1
(43)
In uscita, per porsi nelle condizioni di massimo rendimento della macchina, si assume c 2u = 0,
ovvero c2m = c2 .
Dal grafico in fig. (6), noto il valore di np , si possono determinare le velocità assolute in ingresso
e uscita dalla girante:
p
kce = 0.69 → c1 = kce 2gH = 45.5 m/s
p
kcu = 0.14 → c2 = kcu 2gH = 9.24 m/s
Per il triangolo della velocità in ingresso vale (vedi fig. 20):
q
q
2
2
cu1 = c1 − cm1 = 44.2 m/s w1 = c2m1 + (cu1 − u1 )2 = 10.82 m/s
α1 = arcsin
cm1
= 13.7◦
c1
β1 = 90◦ + arccos
cm1
= 93.5◦
w1
Per il triangolo in uscita si ha invece:
q
c2
= 17.1◦
w2 = u22 + c22 = 31.4 m/s β2 = arctan
u2
Dal diagramma (7) si valuta il range di variazione del numero di pale della girante Z g : Zgmax =
21; Zgmin = 13. Assumiamo Zg = 17. Il diametro della circonferenza dei perni palari del
distributore è: Dcp = 1.3D = 2.883 m. Dalla tabella 1, per il valore di Dcp in questione, si ha
che il numero di pale del distributore è Zd = 24.
In fine, è possibile verificare il rendimento idraulico assunto:
ηid =
u 1 c1
Hid
=
= 0.88
gH
gH
che è un valore troppo basso. Si dovrebbe quindi procedere con una successiva iterazione del
dimensionamento utilizzando il valore appena calcolato nell’equazione (37).
Dcp ≤ 800mm
Dcp = 900 ÷ 1500mm
Dcp = 1500 ÷ 2400mm
Dcp ≥ 2400mm
Zd = 12
Zd = 16
Zd = 20 ÷ 24
Zd = 24
Tabella 1: Numero di pale del distributore in funzione del diametro dei perni palari
10
Hmax
400
300
200
100
0
0
100
200
300
400
np
Figura 3: Caduta massima
1.2
k2
k
ki
1
0.8
k1
0.6
k3
0.4
0.2
0
0
100
200
300
Figura 4: Dimensioni sezione meridiana
11
400
np
0.5
0.4
B/D
0.3
P/D
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
np
Figura 5: Dimensioni sezione meridiana
0.8
0.6
Kce
0.4
Kcu
0.2
0
0
100
200
300
Figura 6: Velocità specifiche di ingresso e uscita macchina
12
400
np
26
Zg
24
Max
22
20
18
16
14
Min
12
10
8
0
100
200
300
Figura 7: Numero di pale della girante
Figura 8: Sezione meridiana
13
400
np
TURBINA AD ELICA (Appello del 20.12.01, esercizio N ◦ 1)
Testo
Si esegua il calcolo di una turbina idraulica tipo elica con i seguenti dati funzionali: caduta netta
H = 20 m; portata Q = 18 m3 /S. Scegliendo un’opportuna velocità di rotazione si calcolino
in particolare la potenza utile, il numero caratteristico di macchina, i diametri esterno e interno
della girante e i triangoli di velocità al diametro medio (u, cm , c1u , β1 , β2 ).
Allegato: diagramma statistico parametri di progetto.
Svolgimento
Scelta velocità di rotazione
Assumiamo che la girante della turbina sia collegata ad un alternatore con otto coppie polari
(2p = 16). Il numero di giri della macchina è quindi:
n=
120f
= 375 g/min f = 50Hz
2p
(44)
Potenza utile
Per calcolare la potenza utile è necessario stimare i valori dei rendimenti:
ηid = 0.96 ηv = 0.99 ηm = 0.89
Il rendimento effettivo della macchina risulta quindi pari a:
ηe = ηid · ηv · ηm = 0.89
(45)
La potenza utile è quindi ora calcolabile attraverso la potenza teorica trasferibile dal fluido alla
macchina per il rendimento effettivo:
Pu = Pth · ηe = ρgQH · ηe = 3143 KW
(46)
Numero caratteristico di macchina
Il numero caratteristico di macchina k è definito come:
k=
ω · Q0.5
2πn
Q0.5
=
·
= 3.18
(gH)0.75
60 (gH)0.75
(47)
valore che ricade nel range tipico per le turbine ad elica.
Diametri di mozzo ed estremità
Dal diagramma statistico allegato si possono ricavare i parametri di progetto per il mozzo (k um )
e per l’estremità palare (kug ):
p
kug = 1.75 → ug = kug · 2gH = 34.67 m/s
p
kum = 0.7 → um = kum · 2gH = 13.87 m/s
14
Dalle velocità periferiche, noto il numero di giri, è quindi possibile calcolare i diametri:
Dg = u g ·
60
= 1.766 m
πn
Dm = u m ·
60
= 0.706 m
πn
Triangoli di velocità al diametro medio
Per prima cosa, calcoliamo il diametro e la corrispondente velocità periferica:
D=
Dg + D m
= 1.236 m
2
πDn
= 24.27 m/s
60
Calcoliamo poi le componenti meridiane della velocità assoluta:
u = u 1 = u2 =
4Qηv
= 8.66 m/s
cm = cm1 = cm2 = q
2
π Dg2 − Dm
(48)
Assumendo che la velocità in assoluta in uscita dalla macchina non assuma componente periferica (c2u = 0), allora è possibile calcolare la componente periferica della velocità assoluta in
ingresso c1u dall’espressione del lavoro idraulico euleriano:
c1u =
gHid
gHηid
=
= 7.76 m/s
u
u
Gli angoli palari risultano quindi (vedi fig. 9):
β1 = arctan(
cm
) = 19.6◦
u − c1u
β2 = arctan(
cm
) = 27.7◦
u
Figura 9: Triangoli di velocità al diametro medio
15
(49)
Figura 10: Diagramma statistico parametri di progetto turbina ad elica
16